REGRESSIONE LINERE ULTIPL Itroduzoe Per u ù gevole lettur d questo ctolo s cosgl lo studo relre dell regressoe lere selce rgoeto trttto el Ctolo Iftt l regressoe lere ultl è u estesoe dell regressoe lere selce l cso cu s ego due o ù vrl eslctve er dr coto del coorteto dell vrle rsost L esoszoe segurà lo sche utlzzto el ctolo recedete: doo ver trodotto l odello d regressoe lere ultl ed esosto le ssuzo d se verro resett gl sttor de qudrt de coeffcet d regressoe e se e dchero le roretà; s resetero o role d ferez reltv sgol coeffcet d regressoe o loro cozo ler; seguro fe le tecche d ferez sul vlore tteso o sul lvello dell vrle rsost e l ls de resdu er l ccerteto dell vldtà delle ssuzo d se L esoszoe s vvrrà dell lger delle trc: eefco de lettor che o ho destchezz co tle strueto le ozo rcl su vettor e sulle trc soo rchte ell edce d questo ctolo odello d regressoe ultl S suog che l vrle rsost Y oss essere ess relzoe co vrl eslctve o redttve se l seguete odello Y β β β β () ε dove β β β soo costt uerche o ote dette coeffcet d regressoe soo vlor ssut dlle vrl eslctve X X X etre ε è u vc co vlore tteso e vrz σ Ne segue che Y è u vc co vlore tteso e vrz dt rsettvete d: E( Y ) β β β β ) σ Vr( Y Coe s uò osservre l vrz d Y o dede d vlor ssut dlle vrl e- slctve So or Y β β β β ε β β β β ε Y ()
Y β β β β ε le esresso del odello () corrsodet dstte secfczo delle vrl eslctve Nel seguto s ssuerà l dedez delle vc Y Y Y Deft vettor Y β Y Y β β Y β ε ε ε ε e l trce X le equzo () ossoo essere coedte el odo seguete Y Xβ ε Eseo Nell Tell soo rortt dt reltv tre crtterstche (volue detro e ltezz) d u coe csule d te dell tolog secfct Tell Volue Y ( etr cu) detro X (esresso cetetr) e ltezz X (esress etr) d eselr d cedro ero Utà Y X X Utà Y X X 6 6 9 7 9 9 7 7 67 9 9 79 9 6 7 7 7 79 9 6 76 7 6 9 7 6 9 66 9 6 9 67 97 9 7 9 7 6 6 7 6 9 6 6 79 9 6 6 7 6 6 9 76 9 7 9 7 6 7 C s uò chedere se l odello d regressoe lere s doeo rresetre l lege d dedez del volue degl ler (dctvo dell res lego) d rsettv detr e ltezze I ltre role l dod è: l cooscez del detro e dell ltezz d u t è suffcete er oter redre (stre) l suo volue? I que-
sto eseo l volue è l vrle rsost etre l detro e l ltezz soo le vrl eslctve U utle ls relre è rresett dll cosddett trce de dgr d dsersoe che cosste ell resetzoe cogut de dgr d dsersoe otteut do l vrle rsost co cscu vrle eslctv e l sgol vrle eslctv co cscu delle ltre L lettur de grfc cosete d ccertre vsvete l sussstez d evetul ssoczo d to o lere tr l vrle rsost e le vrl eslctve oché d vlutre sere vsvete l correlzoe tr le coe d vrl eslctve I grfc soo utl che er l dvduzoe d evetul dt ol Eseo S vogl costrure l trce de dgr d dsersoe er dt rortt ell Tell Soluzoe I ossl dgr d dsersoe dedott dll croco tr l sgol vrle e cscu delle ltre soo rortt ell Fgur Fgur trce de dgr d dsersoe er dt dell Eseo St de retr del odello co l etodo de qudrt Per l st de coeffcet d regressoe s utlzz coe ell regressoe lere selce l etodo de qudrt Co questo etodo s ssego β β β que vlor che redoo l quttà ( f dell st s uso sol er dcre vlor osservt dell vrle Y)
) ( q S () fuzoe delle vrl Il role d o s rsolve dervdo S rsetto e ugugldo zero le dervte re I rsultt d quest o- erzoe soo stetzzt ell Prooszoe Prooszoe S cosdero l vettore de vlor osservt dell vrle rsost e l trce X de vlor osservt delle vrl eslctve llor l st de qudrt del vettore ] [ β β β β de coeffcet d regressoe del odello () è dt d X (X () Dostrzoe Dervdo rzlete l () rsetto e ugugldo le dervte s ottee l sste d equzo ler dcte d seguto: ) )( ( ) )( ( ) )( ( d cu s ottee l sste equvlete () Cosderto che X X
e che X l sste () uò essere esresso coe X X D qu reoltlcdo ro e secodo ero er ( s ottee l () U volt detert coeffcet d regressoe l odello d regressoe stto è e- sresso d ˆ Geoetrcete è l equzoe d u ero ello szo deso I rtcolre se l esressoe recedete è l equzoe d u o ello szo trdesole Sosttuedo vlor osservt delle vrl eslctve s ottegoo cosddett vlor teorc Il vettore de vlor teorc [ ˆ ˆ ˆ ] è dto d ˆ ˆ X (6) Eseo Co rfereto dt dell Eseo s voglo deterre coeffcet del odello d regressoe del volue delle te sul detro e l ltezz Soluzoe Covee resetre l soluzoe er ss successv questo fe s redoo le trc X 9 X 9 e l vettore Trte Ecel o ltro rogr s clcolo rodott:
X X 9976 699 9976 9 9 699 9 66 X 79 66 669 L vers dell r trce è d cu s rcv fe ( X 97 6 6 6 77 6 ( 97 6 6 6 77 6 79 66 9 669 Il odello d regressoe (o d regressoe) è ed è rresetto ell Fgur ˆ 9 Fgur Po d regressoe stto er dt dell Eseo Quto l sgfcto de coeffcet d regressoe l ro è l vlore teorco dell vrle rsost che s ottee qudo etre le vrl eslctve ssuoo l vlore ; l secodo 9 è l vrzoe che reset l vrle rsost qudo l detro X uet d cetetro etre l ltezz X re costte; l ter- 6
zo è l vrzoe che reset l vrle rsost qudo l ltezz uet d etro fero restdo l detro X I vlor teorc ˆ ˆ L ˆ s detero sosttuedo ell equzoe del odello d regressoe stto vlor ssut dlle vrl eslctve ell r ell secod ell -es osservzoe S uò che rcorrere l clcolo trcleotteedo X 7 9 7 9 7 Prooszoe L devz totle dell vrle rsost uò essere scoost el odo seguete ( ) ( ˆ ) ( ˆ ) (7) dove è l ed rtetc de vlor osservt d Y Il ro ddedo destr dell ugule è l cosddett devz segt etre l secodo è l cosddett devz resdu Dostrzoe S scrv l so de qudrt delle osservzo su Y coe ( ˆ ˆ )(ˆ ˆ) (ˆ e) (ˆ e) ˆ ˆ ˆ e e ˆ e e () dove ŷ è l vettore de vlor teorc gà defto recedez ed e è l vettore de resdu e quello de resdu esresso d Poché er l (6) ˆ ˆ e ˆ ˆ X H e ( ) ˆ vedo osto H X( e I H s h ˆ e H quto H (l trce H è setrc e deotete) I se ll () e segue che Tle equzoe è equvlete ll ˆ ˆ e e ˆ ˆ e e 7
d cu essedo (er u ot scrttur dell devz) l devz totle d Y e ˆˆ l devz segt s ervee ll (7) Sull se dell Prooszoe è or ossle defre u sur dell otà dell dtteto del odello d regressoe lere ut osservt S h R ( ˆ ) ( ) ( ( ˆ ) ) L forul dett dce d deterzoe è u dctore dell doetà del odello d regressoe lere rresetre l relzoe sttstc tr l vrle rsost e le vrl eslctve Ess ssue vlor ell tervllo [ ]: rede l vlore qudo ˆ er qulss coè qudo l cooscez de vlor delle vrl eslctve o dà lcu cotruto ll revsoe del vlore dell vrle rsost; è ugule qudo ˆ er qulss coè qudo l vrle rsost reset u relzoe lere erfett co le vrl eslctve Nturlete u vlore elevto d R deot u uo dtteto del odello dt; vcevers u vlore dell dce vco llo dc che l odello è deguto rresetre dt osservt U for odfct dell dce è dt d ~ R R ( R ) ~ L rgoe er cu s rcorre ll dce R st el ftto che qudo è ccolo e l uero delle vrl eslctve è reltvete elevto rsetto R tede sorvvlutre l dtteto del odello dt Eseo S vogl clcolre l dce d deterzoe er l odello d regressoe stto ell Eseo Soluzoe Poché l dce R è dto d ( ˆ ) 7 ( ˆ ) R 7 9 767 vlore che deot u uo dtteto del o d regressoe ut osservt Il cso dell rett Qudo s h u sol vrle eslctv l odello d regressoe lere ultl () s rduce u rett Ne segue che co l () s ottegoo le stesse forule gà este el Ctolo forule () Iftt l trce X dvee
X d cu X X S h oltre ( X ( ) Ife sosttuedo l recedete esressoe ell equzoe () s ottee ( ) D cu doo lcu ssgg lgerc s ottegoo le () Proretà degl sttor de qudrt Nell esoszoe del etodo de qudrt le quttà soo stte cosderte coe uer dt I u vsoe redttv s cosdero luogo de uer ltrettte vc Y Y Y coe dcto co le () Co questo ceto d rosettv covee rscrvere l () utlzzdo l letter uscol che er l vettore de coeffcet d regressoe stt: B ( Y Nell forul Y e B soo vettor d vc I rtcolre le vc cooet del ro vettore soo dedet e ooschedstche (co l stess vrz) etre quelle del secodo coe cozo ler d Y Y Y soo tr loro correlte Il vettore B è lo sttore de qudrt del vettore de retr β Nell Prooszoe soo dcte le roretà dello sttore B Prooszoe Lo sttore B è o dstorto Ioltre ell otes che le vc Y Y Y so dedet e ooschedstche B è lo sttore ù effcete ell see degl sttor o dstort esress d cozo ler delle vc Y Y Y L vrz d B è dt d Vr( B) σ ( (9) Il vettore B è l rodotto dell trce ( X er l vettore Y ertto l sgol cooete d B (coe rodotto dell rorto vettore rg d ( X er l vettore colo Y) è u cozoe lere delle vc Y Y Y 9
Dostrzoe Quto ll o dstorsoe d B s uò scrvere E( B ) E[( Y] E[( ( Xβ ε)] d cu E( B ) E[( Xβ ( Xε )] IE( β) ( E( ε) β essedo ( X X I e E( ε ) Cò sgfc che cscu B è uo sttore o dstorto d β er og Per quto rgurd l (9) s h Vr( B ) E{[ B E( B)][ B E( B)] } Poché E( B ) ( E( Y) l esressoe recedete uò essere ost ell for - - - Vr( B ) E{( [ Y E( Y)][ Y E( Y)] X( } E{( Xεε X( d cu s rcv - Vr( B) ( E( εε ) X( σ ( X essedo E( εε') σ I L dostrzoe che lo sttore B è effcete tr gl sttor o dstort esress d u cozoe lere delle vc Y Y Y uò essere trovt Pccolo (99) 77 } Dll (9) s evce che l vrz dell geerc cooete d Vr ( B ) σ c B del vettore B è dt dove c è l eleeto dell dgole d ( dvduto dll rg e dll colo Coe s è vsto el Ctolo le tecche d ferez sul odello d regressoe covolgoo lo sttore dell vrz σ Tle sttore vee resetto ell Prooszoe Prooszoe Uo sttore o dstorto dell vrz σ dell cooete d errore ε del odello () è dto d ˆ ) ˆ ( Y Y σ () Dostrzoe Idct co D R l devz resdu uertore del rorto l secodo ero dell () sog dostrre che E( D R ) ( ) σ
Per fre cò è coveete sfruttre l relzoe se ll qule s uò scrvere D cu E( D R D R e ε e e ε ε ε ε tr( ε ε) tr( εε ) ) tr[ E( εε )] σ tr( ) σ tr[ I X( )] σ [tr( I) tr( X( )] Poché er u roretà dell trcc (ved l edce d questo ctolo) s h coe volevs dostrre tr[ X( ] tr[ X( ] tr[ I( ) ( ) ] E( D R ) σ [ ( )] St de retr co l etodo dell ss verosglz Se el odello () s ssue che l cooete d errore ε s dstrut orlete co ed e vrz σ l st de retr β β β e σ uò essere effettut co l etodo dell ss verosglz I rsultt soo dct ell Prooszoe Prooszoe Nell otes d orltà dell cooete d erroreε del odello () le ste d ss verosglz de retr β β β e σ soo dte rsettvete d ( X ˆ ~ ) ( Y Y σ dove è l vettore de vlor osservt dell vrle rsost e X è l trce de vlor osservt delle vrl eslctve Dostrzoe Se l cooete d errore del odello () h dstruzoe orle le quttà soo deterzo delle vc Y Y Y dstrute orlete co ed E( Y ) β β β β Iftt vle l cte d dettà e Y Yˆ Y XB Y X(X' Y [ I X(X' ]( Xβ ε) ε dove l ult equzoe derv dl ftto che [ I X(X' ] Xβ Xβ X(X' Xβ
e vrz σ Ne segue che l fuzoe d verosglz del coe osservto è dt d ( ( ( ) L( σ ) σ σ e e / πσ (π ) σ Per og dto vlore d σ l fuzoe L ( σ ) è ss qudo è l fuzoe ( ( d cu s evce che lo sttore d ss verosglz d β cocde co lo sttore de qudrt () I quto ll st d ss verosglz d σ è ecessro rsolvere l role d sso dell fuzoe L ( σ ) rsetto σ questo fe ssuedo coe oto l vettore covee sszzre rsetto σ l fuzoe d logverosglz l ( σ ) log L( σ ) S h ertto d d ( ( l( σ ) log(π ) log( σ ) dσ dσ σ ( ( σ σ d cu s tre che lo sttore d ss verosglz d Lo sttore d ss verosglz d tede zero ~ ( ( DR σ σ è ~σ è dstorto; stotcete l dstorsoe Iferez sul odello d regressoe ultl Le tecche d ferez che sro resette d qu vt rchedoo l ssuzoe che l cooete d errore ε che re el odello () dstruzoe orle ε ~ N( σ ) Cò lc che le vc Y Y Y (dedet e ooschedstche) che oo ell () so orl D quest ssuzoe scturscoo rsultt d clcolo delle roltà che soo dct ell Prooszoe 6 Prooszoe 6 Nell otes d orltà dell cooete d errore ε del odello () vle quto d seguto dcto: l vettore B sttore de qudrt (e d ss verosglz) d β h dstruzoe orle ultl l sgol cooete orle ˆ Y ) / B ~ N ( β σ ( ); B del vettore B d cu l uto recedete h dstruzoe B ~ N( β σ c ) ; l vc ( Y σ h dstruzoe ch-qudrto co grd d lertà; se el odello () β β β l vc ( ˆ ) Y Y / σ h dstruzoe ch-qudrto co grd d lertà; le vc B e ˆ ( Y Y ) soo dedet; le vc ( Y Yˆ e ( Yˆ ) soo dedet ) Y
Dostrzoe L dostrzoe dell rooszoe esul d lt dell resete trttzoe S rv Grll F Theor d lcto of Ler odel Duur North Sctute ss 976 Iferez su sgol coeffcet d regressoe Coe coseguez dell orltà dell dstruzoe d h dstruzoe ch qudrto l rorto ( Y Yˆ ) / σ t B ˆ σ β B B e del ftto che l vc essedo ˆ σ B ˆ σ c h dstruzoe t d Studet co grd d lertà È così ossle costrure tervll fducr o verfcre otes su sgol β I lt fducr l lvello α er sgol coeffcet del odello d regressoe soo dt d: L B t σ L B t ˆ σ () α / ˆ B α / B Se vece s vuole sottoorre verfc l otes H : β β dove β è u vlore refssto d β cotro l ltertv H : β β l sttstc test d egre è dt d B β t () ˆ σ È fcle stlre che l zo d rfuto del test è R { t : t t α } U ltro odo d rocedere è quello che cosste ell utlzzo del lvello d sgfctvtà osservto Se l otes ltertv è udrezole l zo d rfuto deve essere odfct oortuete Verfc dell sgfctvtà dell tero odello S vogl sottoorre verfcre l otes H : β β β cotro l ltertv che leo uo de coeffcet s o ullo S trtt reltà d cofrotre l odello el suo colesso co l odello ullo coè quello che cotee solo l tercett U test rorto er verfcre l sgfctvtà dell tero odello è dto dl rorto F D R B DS / () /( ) rorto che sotto H h dstruzoe F co e grd d lertà L zo d rfuto del test è ertto R { f : f Fα } Questo role vee geere resetto trte lo sche dell tell dell ls dell vrz che è strutturt coe segue Tell Tell dell ls dell vrz Fote d vrltà Regressoe Errore Totle Devz Grd St d lertà dell vrz D D S / S D /( ) R D Y D R F D R F DS / /( )
L sttstc test () uò essere esress fuzoe d R Notdo che s uò scrvere D S R D Y R D Y e D ( R ) F ( R R / ) /( ) Eseo S vogl effetture l ferez su coeffcet d regressoe del o d regressoe vsto ell Eseo Soluzoe Nell Tell otteut co lo strueto ls dt d Ecel soo rortt: test t er l verfc dell otes ull H : β ; reltv lvell d sgfctvtà osservt; lt fducr l 9% er sgol coeffcet d regressoe Tell Test d sgfctvtà e tervll fducr er sgol coeffcet d regressoe Coeffcet Errore stdrd Sttstc t Sgf osservt Lte ferore l 9% Lte suerore l 9% 7 66 76E-7 9 66 9 777 E-6 66 6 6 6 69 Sull se delle (9) e () l errore stdrd stto del sgolo coeffcete d regressoe s ottee rededo l rdce qudrt del rodotto tr l st dell vrz σ e l rorto eleeto dell dgole dell trce ( X Così l errore stdrd stto d B è dto d ˆ σ B 97 7 7 dove è l devz resdu clcolt ell Eseo e 97 è l eleeto che s trov ell r rg e ell r colo dell trce ( X L sttstc test t vee egt er sottoorre verfc l otes ull H : β Ess s deter rortdo l st del sgolo coeffcete d regressoe l rsettvo errore stdrd stto secodo l forul () co β d eseo 66 s ottee dl rorto tr e 7 Nell Tell ell colo successv quell dell sttstc test t soo rortt lvell d sgfctvtà osservt Dll loro lettur s evce che tutt e tre coeffcet d regressoe soo sgfctvete dvers d : l lvello d sgfctvtà osservto è qus ullo er quto rgurd r due coeffcet etre è l d sotto del % er l terzo coeffcete; cò vuol dre che l otes ull H : β vee rfutt u lvello d sgfctvtà del % o lo sree u lvello d sgfctvtà del % Nelle ulte due coloe dell tell vegoo dt lt fducr l 9% er tre coeffcet d regressoe otteut lcdo l () co t ( grd d lertà soo 7) Per l verfc dell otes sull vldtà dell tero odello co l sttstc test () clcol ecessr vegoo resett ell Tell (otteut dttdo quell geert co lo strueto ls dt d Ecel)
Tell Tell dell ls dell vrz er dt d cu ll Eseo Fote d vrltà Devz Grd d lertà St dell vrz F Sgfctvtà osservt Regressoe 7 666 66 69E- Errore 7 Totle 767 9 Coe s vede l otes H : β β vee rfutt u lvello d sgfctvtà olto sso S uò ertto fferre che v esclus l o lertà dell relzoe sttstc del volue dl detro del troco e dll ltezz delle te cu dt s rferscoo Test er l cofroto tr odell S suog d voler orre cofroto due odell stt sugl stess dt uo de qul dfcto (ested) ell ltro ovvero u odello costtusce u versoe vcolt del odello ù geerle otteuto oedo che coeffcet d u deterto sottosee so ull Forlete osso scrvere: H H : E( Y ) β β β β : E( Y) β β β β β β S osserv che l odello sotto l otes ull s ottee oedo l codzoe d uguglz zero de coeffcet el odello geerle I tl seso s rl d odello dfcto Idcdo l so de qudrt de resdu co D R er l odello sotto l otes ull e co D R l stess quttà er l odello geerle s uò dostrre che sotto l otes ull l sttstc ( DR DR) /( ) F D /( ) R () h dstruzoe F d Fsher co è dt d R f : f > F } { α e grd lertà L zo d rfuto del test Eseo 6 S cosder or l role del cofroto tr l odello d regressoe studto ell eseo recedete e quello sto sull sol vrle eslctv X (l detro del troco) S ssu u lvello d sgfctvtà r Soluzoe Forlete l otes ull d sottoorre verfc è H : E( Y ) β β cotro l ltertv H : E( Y ) β β β
L sttstc test doe llo scoo è l () dove D R è l devz resdu che derv dll lczoe del odello coleto quello cotelto dll otes ltertv e D R è l devz resdu coess ll lczoe del odello rdotto quello cotelto dll otes ull L r devz (clcolt ell Eseo ) è r D R L secod s desue dll lczoe del etodo de qudrt l odello rdotto I clcol do (s è ftto uso che qu dello strueto ls dt d Ecel) Ne segue che D R ( ) / F 69 / 7 L zo d rfuto è R { f : f F 76767} Essedo f < 76767 l otes ull o vee rfutt Cò equvle dre che l odello rdotto è suffcete segre l vrle Y V osservto che el cso ese l role otev essere rsolto odo equvlete co l sttstc test t er l verfc dell otes ull H : β cotro l ltertv H β test gà cosderto ell Eseo : Iferez su cozo ler de coeffcet d regressoe I certe stuzo ct d dover verfcre l otes che coeffcet d regressoe d u dto sottosee oure u o ù cozo ler degl stess ssuo de tert vlor Quest vcol s resto essere esress coe Cβ h dove C è l trce ( ) che esre le cozo ler de coeffcet d regressoe ( ) e h è u vettore d uer ssegt U rort scelt delle rghe dell trce C cosete d forulre u o ù equzo ler su β β β Nell tell che segue soo rortt lcu ese d equzo d teresse rtco Tell Ese d vcol su cozo ler d coeffcet d regressoe trce C Vettore h Prodotto Cβ h C [ ] h β C [ - ] h β β C h β β 6
7 Cotu Tell trce C Vettore h Prodotto h Cβ C h β β β ) ( C ) ( h β β β È fcle osservre che le otes ulle de role d verfc d otes f qu est sttstche test () () e () s ossoo orre ell for geerle :Cβ h H e sottoorre verfc trte l sttstc test dct ell Prooszoe 7 Prooszoe 7 S h :Cβ H l otes ull d sottoorre verfc llor sotto le usul ssuzo sull cooete d errore ε del odello () l sttstc test ) / ( ) / ( ] ) ( [ ) ( D F R h CB C X X C h CB () h dstruzoe F d Fsher co e grd d lertà Dostrzoe S rv Se Srvstv Regresso lss Theor ethods d lctos Srger-Verlg New Yor 99 6 Eseo 7 S vogl verfcre l otes : β β H edte l sttstc test () reltvete l odello stto ell Eseo S og α Soluzoe L trce C dtt l role ese è C etre l vettore h è h
D clcol svolt ell Eseo s è trovto che Per cu 9 C 9 9 Sere ell Eseo s è otteuto d cu ( X 97 6 6 6 77 6 [ C ( X C ] 76 6 6 I deftv ( C h) [ C( C ] ( C h) / 66 d cu ( C h) [ C( C ] ( C h) / D / ( ) R 66 66 Coe s uò osservre l rocedeto sto sull sttstc test () dà lo stesso rsultto forto dll sttstc (); l legger dfferez uerc che s rscotr tr le due forule è dovut role d rosszoe Iferez sul vlore tteso dell vrle rsost e tervllo redttvo logete quto gà vsto er l odello d regressoe lere selce (Prgrf 6 e 7) soo oggetto d ferez o solo coeffcet del odello d regressoe che l vlore tteso o l vlore che l vrle rsost Y ssue corrsodez d dt vlor delle vrl eslctve S ( ) l vettore de vlor delle vrl eslctve er l qule teress vlutre l vlore tteso E( Y ) β β β β β Uo sttore o dstorto d ( Y ) è dto d E Y ˆ B B B B B
Coe s vede Y ˆ è u cozoe lere delle vc B B B Coe tle h vrz Vr( Y ˆ ) Vr( B) Vr( Β) σ ( X S rcord che sotto l otes d orltà dell cooete d errore ε l vettore B h dstruzoe ultorle B ~ N ( β σ ( ) Prooszoe 6 Ne segue che l vc B h dstruzoe orle co ed β e vrz σ ( I sol s h B ~ N( β σ ( ) Ioltre dll Prooszoe 6 s deduce che le vc B e D R ( ) ˆ σ soo dedet È fcle verfcre llor che v soo tutt resuost erché l rorto t ˆ σ B β ( dstruzoe t d Studet co grd d lertà Co questo rsultto s è grdo s d verfcre otes s d costrure l tervllo fducro er l vlore tteso ( Y ) I lt d tle tervllo fducro soo dt d: E α α L B t / ˆ σ ( L B t / ˆ σ ( X S or ( ) u uovo vettore d osservzo sulle vrl eslctve (uovo vettore rsetto quell co cu soo stt stt coeffcet d regressoe β ) Idct co Y l rsost ssoct questo uovo vettore s vogl deltre u tervllo etro cu s cores l vc Y co roltà α Cosderdo che l quttà Y ˆ B è uo sttore o dstorto d Y s red l vc Yˆ che h vlore tteso ullo e vrz Vr( Yˆ ( B β) Y B β ε ε ) Vr( ( B β)) Vr( ε ) σ ( Y σ Cò osto dll ssuzoe d orltà er l tere d errore ε coe gà vsto er Y ˆ s tre che l rorto Yˆ Y t ˆ σ ( h dstruzoe t d Studet co grd d lertà D queste reesse segue che l tervllo che clude co roltà α l vc Y l cosddetto tervllo redttvo h estre esress d: Yˆ ± tα / ˆ σ ( 9
Eseo Co rfereto l odello stto ell Eseo s ( 9 ) S vogl costrure l tervllo fducro l 9% er l vlore tteso d Y ssocto suddett vlor delle vrl eslctve Ioltre ssuedo coe uov osservzoe sulle vrl eslctve gl stess vlor fsst er s vogl costrure l tervllo redttvo er Y l 9% Soluzoe Poché e ˆ 9 9 9 lt fducr er ( Y ) soo: E ( l 9 9; 7 l 9 69 7 Per quto rgurd gl estre dell tervllo redttvo s h: l 9 ( ) ; 7 l 9 ( ) 66 7 6 Cotrollo d vldtà delle ssuzo d se Le ls sttstche f qu resette oggo su ssuzo e recse: l dedez delle vc Y Y Y l ooschedstctà oss l uguglz delle vrze d queste vrl csul e l orltà dstrutv delle cooet d errore ε ε ε (che se l volzoe d quest ssuzoe o fc l vldtà de rsultt coess co l st de qudrt de retr del odello Prooszoe ) Nturlete l oggetto del cotrollo d vldtà d dette ssuzo è l odello d regressoe ell struttur deftv qule eerge dlle ls ferezl su coeffcet d regressoe llustrte recedez cores quell sull lertà dell relzoe sttstc fr l vrle rsost e le vrl eslctve otes H : β β β d e- seo co l sttstc test () s uò decdere d dottre u odello rdotto (coè co u or uero d vrl eslctve) rsetto quello zlete cosderto Le tecche co cu s effettuo quest cotroll soo ot coe etod dgostc
ls de resdu Coe s è vsto el Prgrfo lo strueto rcle er l cotrollo d vldtà delle ssuzo d se è l ls de resdu l rgurdo l lettore è vtto ll rlettur d quto vee detto el rgrfo sor rchto rtcolre erto lle strutture tche del grfco de resdu (ved Fgur 7) S rcord qu che resdu soo le vc e Y Yˆ L forzoe sttstc ll se dell ggor rte de etod dgostc è costtut d resdu e Y Yˆ Quest ossoo essere cosdert ll stregu d sttor delle cooet d error ε Nell otes d orltà delle cooet d errore s uò dostrre che l vettore de resdu e h dstruzoe ultorle N ( σ ) Dove I H essedo H X( (ved Prgrfo ) Idcto co h l eleeto geerco dell trce s h h Vr( e ) σ ( Nell ls de resdu s utlzzo tlvolt le quttà ) ~ e e ˆ σ h dette resdu studetzzt (s trtt d resdu stdrdzzt edte l devzoe stdrd stt) L ls de resdu s cocretzz geerlete ell costruzoe d grfc d dsersoe che reseto sull sse vertcle resdu grezz e o quell studetzzt e sull sse orzzotle: - vlor dell sgol vrle eslctv; - cozo ler d due o ù vrl eslctve; - vlor teorc ˆ ; - vlor d u vrle eslctv o clus el odello cu vlor soo ot Nel ro cso u grfco d dsersoe che o fest secfc det (uvol regolre tedete ll for rresett ell Fgur 7) dc che l sereto dell vrle el odello o reset role rtcolr; se vece s dovesse lesre u deto rtcolre s oe l ossltà d secfcre dversete l ruolo dell vrle eslctv (edte u trsforzoe d eseo eleveto l qudrto) I odo logo vo lett dgr d dsersoe vet coe scsse vlor ssut d cozo ler d due o ù vrl eslctve Qudo sull sse delle scsse vegoo ost vlor teorc ˆ u deto regolre del grfco d dsersoe suort rtcolre l ssuzoe d ooschedstctà S cosder ftt che tl vlor teorc soo ste del vlore edo dell vrle rsost ssocto lle sgole osservzo sulle vrl eslctve Pertto u uvol d ut che resetsse u deto crescete (d eseo secodo l for del grfco 7c) decrescete o d ltr struttur rtcolre free esre u vrltà dell cooete d errore dedete dl lvello dell vrle rsost Ife qudo sull sse delle scsse vegoo rortt vlor d u vrle o sert el odello u rtcolre deto del dgr d dsersoe f esre ll oortutà d serre l vrle el odello Per quto rgurd l ssuzoe d orltà delle cooet d errore ssuzoe su cu s fod u lrg rte delle tecche d ferez este questo ctolo
u ro strueto d vlutzoe è rresetto dll stogr d frequez de resdu: se l stogr de resdu grezz o d quell studetzzt o s dscost troo seslete d u for culre s uò essere fducos sull ssuzoe rgoeto È rorto rcorrere ll stogr d frequez qudo l uero delle osservzo è stz elevto U etodo ltertvo è quello sto sul dgr d dsersoe de ut d coordte Φ ~ e ( ) dove vlor ost sulle scsse soo qutl dell orle stdrdzzt corrsodet vlor (dell fuzoe d rrtzoe dell orle stdrdzzt Φ ()) / / ( ) / etre le ordte ~ e () soo resdu studetzzt ordt seso crescete U dsoszoe de ut del dgr ttoro u rett suort l rosst orltà de resdu e qud l orltà delle cooet d errore Vlor ol e ut fluet U setto che ert rtcolre ttezoe è l dvduzoe d evetul vlor ol co rgurdo s ll vrle rsost che lle vrl eslctve C s rfersce vlor eccessvete grd o eccessvete ccol che ossoo codzore l dtteto del odello dt Scurete l ls de resdu cotrusce ll scoert de vlor ol Tuttv è oortuo llustrre due secfche tecche flzzte ll dvduzoe de cosddett ut fluet S rred l trce H e s rcord (ved Dostrzoe dell Prooszoe ) che l su trcc è r I ltr ter vle l dettà h h h d cu s evce che l vlore edo d h è ( ) / Or vlor d h olto dstt dll ed dvduo ossl ut fluet dl lto delle vrl eslctve Iftt cosderdo che h Vr( e ) σ ( u vlore olto grde d h lc u vrz olto rdott d e e qud u ossle effetto lev del uto questoe el seso dcto el Prgrfo U etodo ù geerle er l dvduzoe de ut fluet è st sull dstz d Coo S suog effetture l ls d regressoe oettedo l'-es osservzoe e s B () l vettore de coeffcet d regressoe stt sulle ret osservzo L dstz d Coo è dt d ( B D ( ) B) ( ( B( ) B) (ˆ ( ) ˆ) (ˆ ( ) ( ) ˆ σ ( ) ˆ σ ) ˆ) Vlor elevt d D dvduo ut fluet L'eserez suggersce d redere cosderzoe coe otezl ut fluet le osservzo er le qul D > dreero teute sotto osservzoe etre er quelle co D > c trovo veroslete d frote ut co forte fluez S dostr che u esressoe equvlete d D è Per coredere l logc sottostte questo rocedeto s rv Se e Srvstv o ct -
~ e h D ( ) h d cu s evce che u'osservzoe uò essere fluete se reset resdu studetzzt elevt l che l qulfc coe u vlore olo rsetto ll vrle rsost o se h è ross d el qul cso l uto è dstte dl rcetro dello szo delle vrl eslctve Nturlete le due recedet crcostze ossoo coesstere Red d dottre L dod che c s oe è quell delle zo d trredere qudo etod dgostc roducoo qulche duo crc le ssuzo d se L questoe o s rest essere trttt odo stetco Pertto c s lterà trodurre l tecc dell trsforzoe d Bo e Co utle rtcolrete el cso cu l ls de resdu ette duo l orltà delle cooet d errore L tecc r dvdure l trsforzoe dell vrle Y che rede le osservzo l ù ossle ssll lle relzzzo d u vc orle L trsforzoe è così deft: λ Y Y ( λ) λ log( Y ) Per u dto λ l odello d regressoe dvet ertto se λ se λ λ Y β β β ε log( Y ) β β β ε se λ se λ Tle trsforzoe è vld se Y è strettete ostv Tuttv è ossle oerre u trslzoe dell vrle Y del to Y c er u redeterto vlore d c tle che Y c s sere ostv L scelt del vlore "otto" d λ uò vvere odo rossto edte tecche grfche ed eslortve oure er ù forle I questo secodo cso s uò rcorrere etodo dell ss verosglz ssegdo λ l vlore che sszz l verosglz del coe csule ( ( λ) ( λ)) s l relzzzoe d vc dedet co ede Xβ e trce d covrze σ I Per fcltre l'terretzoe del odello l vlore λˆ vee d solto rossto co u vlore rosso ell grgl { / / }
PPENDICE VETTORI E TRICI Vettore È u see ordto d uer rel così dct S us che scrvere ] [ dove l ce dc l ssggo dll colo ll rg Nel ro cso s rl d vettore colo el secodo d vettore rg Nel seguto s dcherà co l vettore colo cu eleet soo tutt ugul oltlczoe d u vettore er u costte Se c è u costte l rodotto c è l vettore che reset ell oszoe l quttà c Eseo Dto c e c So d vettor L so de due vettor e è deft el odo seguete Eseo 7 6
Vettor lerete dedet I vettor s dcoo lerete dedet se esstoo uer rel o tutt ugul tl che Se tle uguglz o vle vettor soo lerete dedet Eseo 9 7 I vettor soo lerete dedet quto trce U trce d desoe u see d uer ordt rghe e coloe: U trce s dce qudrt se l uero delle rghe è ugule l uero delle coloe Due trc } { e } { B soo ugul se ; So d due trc dell stess desoe B Eseo 7 7 7 6 6 B 6 7 7 7 6 B oltlczoe d u trce er u costte c } { c c c Eseo
6 7 7 9 6 9 9 9 6 Dfferez tr due trc dell stess desoe } { B B ) ( Trsost Dt l trce l trsost è otteut scdo le rghe co le coloe L desoe d B è turlete Eseo 9 9 trce setrc U trce s dce setrc se Cò vvee se gl eleet d soo tl che Eseo 9 6 6 oltlczoe d trc Dte due trc e B l r d desoe l secod d desoe l rodotto C B è l trce d desoe tle che h h h c
S ot che due trc s ossoo oltlcre se l uero delle coloe dell r è ugule l uero delle coloe dell secod Se le trc e B soo qudrte ed ho l stess desoe soo ess etr rodott B B che se le trc che e rsulto o soo ecessrete ugul Eseo B B 9 9 7 6 trce dettà È u trce qudrt cu og eleeto dell dgole è r d etre og eleeto fuor dell dgole è r Se è u trce qudrt d desoe e I u trce dettà dell stess desoe vlgoo le dettà I I Iftt l geerco eleeto d I α è dto dl rodotto dell rg -es d I er l - es colo d ; l rg -es reset l vlore ell -es oszoe e l vlore elle ltre oszo; l -es colo reset l eleeto ell -es oszoe; e segue che l rodotto questoe dà e qud α I odo logo s verfc che I Proretà del rodotto d trc: ) c ( B ) ( c) B ) ( BC) ( B) C c) ( B C) B C d) ( B C) B C e) ( B ) B Le roretà recedet resuogoo che le trc covolte el rodotto so effett oltlcl Idcdo co vettor dell stess desoe l geerlzzzoe dell roretà c) cosete d scrvere Ioltre er l e) s uò scrvere ( ( )( ) ( )( ) ( )( ) )( ) ( )( ) ( )( ) ( ( )( ) ( )( ) ( )( ) ) ( ) ( ) ( Rgo d u trce Dt u trce l suo rgo è l uero sso d coloe (cosderte coe vettor) lerete dedet ) 7
Eseo Il rgo dell trce è quto Deterte Il deterte d u trce qudrt è lo sclre dto d > se ) ( se dove è l trce ) ( ) ( otteut d eldo l r rg e l colo Eseo 9 ) ( 6) (7 ) (6 9 9 Ivers d u trce Se è u trce qudrt d desoe co rgo r llor esste u uc trce d desoe dett vers d tle che I L vers d u trce qudrt è l trce che s ottee el odo seguete: ) s deter l trce de cofttor C che s ottee dll trce sosttuedo d og eleeto l deterte dell sottotrce che s rcv ccelldo l - es rg e l -es colo co sego dto d ) ( ; ) s deter l trce ggut d dt dll trsost d C: ; ) ( gg C c) s ervee ll trce vers dvdedo l ggut d er l deterte d : ) gg(
Eseo Dt l trce s h 9 9 C 9 9 9 6 6 7 7 d cu Ife essedo s ottee 6 gg( ) 7 6 7 6 7 6 7 Trcc Se è u trce qudrt d desoe s ch trcc d dct co l solo tr( ) l so degl eleet dell dgole d Eseo L trcc dell trce è dt d 9 9 Dte due trc e B d deso vlgoo le seguet utl roretà dell trcc (che s ossoo verfcre ercete co degl ese): ) tr( c ) ctr( ) essedo c uo sclre; ) tr(b) tr(b); c) tr( ± B) tr() ± tr(b) 9