Soluzioni domande ed esercizi Fondamenti di Affidabilità Capitolo 2. La vita di un cambio ad ingranaggi può essere fortemente influenzata nelle fasi iniziali della sua vita da problemi derivanti principalmente al processo produttivo. La mortalità infantile di un pezzo dipende da fattori che limitano fortemente la vita del pezzo, per una determinata percentuale di pezzi. Alcuni esempio di questa applicazione possono essere: - trattamenti superficiali carenti per una certa percentuale di ingranaggi - inclusioni nei pezzi di fusione - cricche presenti sul materiale - errato montaggio di alcune parti (cuscinetti, ingranaggi, etc.) 2. L affidabilità calcolata per il tale componente è 84,4%, l inaffidabilità è di 5,6%. Anche conoscendo la durata della prova non è possibile calcolare l affidabilità per altri tempi di funzionamento se non si ipotizza il comportamento del componente. Tale valore può essere calcolato se si fanno alcune ipotesi sul tasso di guasto, considerandolo per esempio costante. 3. Un prodotto meccanico che ha un MTBF minore dell MTTF è caratterizzato dal fatto che, dopo la prima riparazione, il prodotto aumenta la propria probabilità di guastarsi. Un esempio che viene dall esperienza comune è quello di una autovettura. L aumento dell inaffidabilità è legato al fatto che, quando un auto viene riparata la prima volta non tutti i componenti vengono sostituiti. Questo determina il fatto che esistono a bordo macchina dei componenti che hanno accumulato un tempo di lavoro elevato (MTTF + T) e che hanno quindi una maggiore probabilità di guastarsi. MTTF e MTBF coincidono quando una riparazione al prodotto determina che lo stesso ritorni alle condizioni iniziali per quanto riguarda l affidabilità (sostituzione totale dei componenti o, perlomeno, di tutti quelli sensibili di usura. 4. L affidabilità condizionale di tale evento è 84,6%, il prodotto delle tre affidabilità fornite. Se si lanciano 00 missili contro il bersaglio stabilito si ha che solo 86 colpiranno il bersaglio, di conseguenza, per garantire che almeno 00 missili raggiungano il bersaglio ne devono essere lanciati almeno 8. 5. L istogramma dei dati è riportato in figura. Da una analisi visiva è possibile individuare la distribuzione normale come distribuzione rappresentativa dei dati in esame. Histogram of C Normal 9 8 Mean 50,36 StDev 9,467 N 40 7 Frequency 6 5 4 3 2 0 30 40 50 C 60 70 6. Un componente che spende la sua vita principalmente nella fase di danneggiamento casuale è un componente che non risente né dell usura né della mortalità infantile. In questo senso il componente deve essere prodotto da un processo ormai stabile e capace e non deve essere sollecitato in modo tale da creare fatica nel materiale o usura delle parti (non deve per esempio essere interessato a strisciamenti).
Capitolo 3. La distribuzione che meglio interpola di dati in esame è una distribuzione normale caratterizzata da un valore medio pari a 50 ed una deviazione standard pari a 9,5. Questo determina che affidabilità del componente a 20000, 30000 ed 80000 ore sia praticamente nulla. Date le caratteristiche della distribuzione normale già dopo 90-00 ore di funzionamento si avrà una probabilità trascurabile che un componente sia ancora funzionante. Di conseguenza il tasso di guasto a tali tempi di funzionamento tenderà ad infinito. 2. L affidabilità del componente a 500 ore è 63,2%. E possibile ricavarsi tale valore anche senza eseguire calcoli in quanto, quando il parametro di spostamento è zero, l affidabilità al tempo pari al parametro di scala è 63,2%. Su questa caratteristica della distribuzione di Weibull si base il funzionamento delle carte di Weibull. 3. La densità di probabilità di questo rapporta i gusti che si sono verificati al numero di pezzi ad inizio prova, il tasso di guasto rapporta in guasti avvenuti in una certa unità temporale ( ora, 000 cicli, etc.) al numero di pezzi presenti all inizio dell unità temporale. 4. I parametri caratteristici della distribuzione sono: parametro di forma,8, parametro di scala 970, parametro di spostamento 0. L affidabilità del prodotto a 500 ore con confidenza del 50% è 7,7% mentre per una confidenza del 90% questo valore scende al 2,2%. Il valore di affidabilità con maggiore confidenza è più basso in quanto ci si vuole cautelare da possibili sovrastime di questo parametro. 5. A tali tempi di funzionamento l affidabilità dei componenti è sostanzialmente molto bassa. Per 0000 ore di funzionamento tale valore è pari allo 0,6%, mentre per 20000 ore è praticamente zero. Con un campione di partenza di 50 elementi si ha quindi che la probabilità che un componente arrivi fino a 0000 ore è trascurabile. Fra 0000 e 20000 non si avranno quindi rotture di componenti. Caso diverso se avessimo avuto 000 campioni da testare. In questo caso fra 0000 e 20000 ore se ne sarebbero rotti 6. 6. Da una analisi degli errori di approssimazione (i minimi quadrati sono una soluzione molto efficiente) è possibile vedere come la distribuzione di Weibull rappresenti molto meglio i dati rispetto ad una distribuzione esponenziale. La seconda presenta comunque il vantaggio della più semplice trattazione numerica. I coefficienti della distribuzione di Weibull sono β=,8, δ=80 γ=0, mentre quello della distribuzione esponenziale è λ=0,0006. Questo porta ad una affidabilità del 40% nel caso della distribuzione di Weibull ed una affidabilità del 34% nel caso della esponenziale. Per quanto riguarda il tasso di guasto si ha, rispettivamente, guasti/0 6 ore e, guasti/0 6 ore a 000 ore di funzionamento. Per la densità di probabilità di guasto si ha 0,0005 per Weibull e 0,0055 per la esponenziale a 000 ore di funzionamento.
Capitolo 4. Il seguente sistema si può risolvere utilizzando due volte il teorema di Bayes, rispettivamente per i componenti A e C. Si hanno quindi quattro possibili casi, rappresentati nella figura sottostante. Il valore delle affidabilità dei quattro sottosistemi deve essere composto in questo modo per avere l affidabilità del sistema complessivo. R R A C R R + R A C F F + R A C R F + R A C F R = 90,5 ( ) ( ) ( ) ( ) % S = S F F A C S R R A C S F R A C S R F A C F G B A F e C F = 97,5% D E F A R e C R = 62,0% D E F A R e C F = 62,0% D E F A B G A F e C R = 9,0% 2. Sono necessari almeno tre componenti in serie per raggiungere una affidabilità superiore a 95%. Con un componente soltanto si ottiene una affidabilità del sistema di 76%, con due componenti di 92% e con tre di circa 96%. 3. Il sistema in esame si risolve facilmente applicando il teorema di Bayes al componente C. In questo caso è possibile separare il sistema in due casi. In questo modo si ha che l affidabilità totale del sistema è pari a 73,7% D E F D E F A B G A B G A R = 66,5% A F = 76,%
Capitolo 5. Nell esempio, si ha un campionamento per distribuzione esponenziale del tipo failureterminated senza rimpiazzo. L MTTF in questo caso si valuta con la relazione: MTTF ta r r i= = = t + ( m r) t i r Dato che tutte le unità sono arrivate a rottura la relazione si semplifica: r ti ta i= 463ore MTTF = = = = 38. 77ore r r 30 Essendo nel caso di distribuzione esponenziale: d MTTF = * λ Si ha: * λ = MTTF = = 0.0072guasti / ora 38.77ore 2. Per valutare il periodo ottimale di burn-in per il prodotto in questione è necessario valutare l affidabilità condizionale in modo che risulti: R ( T T ), burn it missione = ( burn in + Tmissione ) Robiettivo R( T ) R T burn in Con un tempo di missione di 50 ore e con i dati dell esercizio si può scrivere: R( T burn in, T missione e = 50) = 0,8 0,8 Tburn in + 50 500 Tburn in 500 e Applicando la formula per vari valori di T burn-in si ricava la tabella e il grafico, da cui si ricava che, per ottenere una affidabilità della missione del 95%, per una missione di 50 ore, è necessario testare precedentemente il prodotto per almeno 4500 ore.
tempo burn-in aff.condizionale 0 0,853 500 0,924 000 0,933 500 0,938 2000 0,94 2500 0,944 3000 0,946 3500 0,947 4000 0,949 4500 0,950 5000 0,95 0,960 0,940 0,920 0,900 0,880 0,860 3. Il modello di Grompertz prevede il calcolo delle tre costanti a, b, c: 0,840 0 000 2000 3000 4000 5000 6000 Serie R( t) = a b t c Dividendo i dati relativi alla crescita dell affidabilità del prodotto in 3 sottosistemi, la numerosità del sottogruppo è evidentemente 6/3=2 unità; si calcolano i valori di S, S2 e S3, somma rispettivamente dei valori dei logaritmi del, 2 e 3 gruppo. numero gruppo T sviluppo(giorni) Affidabilità (%) log 0 R S S 2 S 3 a b c 0 60,2,78 3,59 3,76 3,83 0,88 0,665 0,668 20 65,3,8 2 30 73,,86 40 78,4,89 3 50 8,2,9 60 83,5,92 Considerando un unità temporale pari a 0 giorni, si ricava attraverso il modello di Grompertz l affidabilità prevista dopo 00 ore, che risulta pari all 87,2%. T sviluppo(giorni) unità temporale Affidabilità prevista Affidabilità (sperimentale) 0 0 58,6 60,2 20 67, 65,3 30 2 73,5 73, 40 3 78,0 78,4 50 4 8,2 8,2 60 5 83,5 83,5 70 6 85,0 80 7 86,0 90 8 86,7 00 9 87,2 4. L analisi affidabilistica nel caso in cui il campionamento di Weibull preveda la presenza di componenti che non si sono guastati si avvale delle relazioni:
n + A I. O. = + B N. O.( m) = N. O.( m ) + I. O.( m) Assumendo un numero d ordine pari a 0 in corrispondenza del primo componente sospeso, si ha la situazione descritta in tabella: Numero rottura Ore N.O. 2,090909 2 5 2,888 3 37 3,74026 4 49 5,392208 5 62 7,04456 6 75 9,522078 + 0 I. O.() = =.09 N. O.() = 0 +.09 =. 09 + 0 +.09 I. O.(2) = =.09 N. O.(2) =.09 +.09 = 2. 8 + 9 Si può valutare il Median Ranke per il campione incompleto con la relazione: M. R.( i) = N. O.( i) 0,3 n + 0,4 I risultati sono riportati in tabella: Numero rottura Ore Median Ranke 2 0,069 2 5 0,65 3 37 0,302 4 49 0,447 5 62 0,592 6 75 0,809.09 0,3 M. R.() = = 0.069 + 0,4 Riportando i tempi e i valori di M.R.=F(i) sulla carta di Weibull si ricavano i valori dei parametri della distribuzione:
g 0 b.4 d 65ore X X X X X X Capitolo 6
2. L indice di criticità di ogni classe di gravità si valuta sommando gli indici di criticità di tutti i modi di guasto della classe, secondo la formula: n = i I Ci α β λ t j= Il risultato dei calcoli è riportato in tabella: j j classe I classe II classe III classe IV a i b i l t a i* b i *l*t Ic 0,6 0,85 0 5000 25500 0,5 0,95 20 4000 38000 63500 0,7 0,9 300 000 89000 0,6 0,7 5 200 420 089420 0,4 0,9 500 5000 900000 0,2 0,75 00 400 6000 0,9 0,95 200 3500 598500 6400 0,8 0,8 30 500 9600 0, 0,6 25 000 500 0,6 50 2500 75000 76500
Capitolo 7. Il tasso di guasto (e quindi la probabilità di accadimento) del TOP event è 0,0232 guasti/0 6 ore di funzionamento. Da questa analisi è possibile notare come il componente di gran lunga più influente sulla probabilità di accadimento dell evento sia A, i restanti componenti, essendo collegati a valle da una porta AND, hanno una influenza sostanzialmente molto bassa. 2. Il tasso di guasto dei singoli componenti per ottenere una probabilità di accadimento del sistema pari a 0,0 guasti/0 6 ore di funzionamento è pari a 0,09 guasti/0 6 ore di funzionamento. Come per l esercizio precedente è il componente A che ha la massima influenza sulla probabilità risultante.
Capitolo 8. La distribuzione della probabilità di guasto, da confrontarsi con il valore di riferimento zero, è caratterizzata da media pari a 50 e deviazione standard pari a 85,5. questo determina una affidabilità del componente pari a 96,2%. 2. La tensione di snervamento del materiale per raggiungere il valore obiettivo di R = 99,7% deve essere 440 Mpa. Questo risultato può essere raggiunto in due modi: risolvendo il sistema implicito per trovare il valore di riferimento o eseguire una simulazione, anche con EXCEL, fino ad ottenere l affidabilità obiettivo. 3. L affidabilità del componente così sollecitato è pari a 94,5%. La distribuzione risultante, da confrontare con il valore zero, è caratterizzata da valore medio pari a 80 e deviazione standard pari a 50. 4. Per raggiungere l affidabilità obiettivo di 97,75% (ridurre l inaffidabilità rispetto al caso precedente) è necessario che il valore della deviazione standard del materiale deve essere risotto a 26 Mpa.
Capitolo 9. La durata (R = 95%) del semiasse alla sollecitazione di progetto (00 C) è determinato ponendo su una carta lineare logaritmica i dati delle altre due sollecitazioni ed interpolandoli linearmente. Il valore risultante è 320 giorni. L equazione che lega la durata alla sollecitazione è trovata per interpolazione esponenziale dei due risultati della prova ( 0,039 sollecitaz) accelerata: durata = 280 e 2. Per determinare l affidabilità del componente per vari tempi di funzionamento è necessario conoscere tutti e tre i parametri della distribuzione di Weibull che ne rappresentano il comportamento. Il parametro β viene calcolato come media della due prove (β infatti deve rimanere circa costante nelle varie condizioni di prova), in questo caso assume quindi il valore di 2,2. Il parametro γ, come solitamente avviene, viene considerato pari a zero, mentre per il parametro δ è necessario considerare che l affidabilità del componente a 320 giorni è pari al 95%. In modo grafico o numerico è possibile ricavarsi il tempo al quale l affidabilità del componente è pari a 63,2%, che corrisponde a 6 giorni, questo valore costituisce il parametro δ. Conoscendo i tre parametri le affidabilità richieste sono: Tempo (mesi) Tempo (giorni) Affidabilità 3 90 90% 0 900 0,03% 00 9000 0%
Capitolo 0. La configurazione dopo 8 intervalli è data dalla produttoria della matrice di transizione per 8 volte. Per determinare la probabilità dello stato finale è necessario moltiplicare tale matrice risultante per il vettore della configurazione iniziale, cioè (, 0, 0). La matrice finale risultante è: A= 0.4595 0.2703 0.2703 0.4595 0.2703 0.2703 0.4595 0.2703 0.2703 Da qui si ha che la probabilità, dopo 8 intervalli, di trovarsi nello stato 2 è pari al 27%. 2. Eseguendo una simulazione del processo è possibile verificare come si arrivi allo stato assorbente dopo 3 intervalli temporali. Dalla simulazione si vede come tutti e tre gli stati siano assorbenti. 3. Il tempo medio di guasto MTTF è facilmente calcolato come il /λ. Il valore di µ è invece necessario per calcolare la disponibilità (availability) del sistema, utilizzando la formula (0.32). 4. Eseguendo una simulazione del processo è possibile vedere come i valori limite siano raggiunti dopo 5 intervalli temporali. I valori di probabilità limite così raggiunti hanno valori: 32,3% per lo stato, 23,9% per lo stato 2, 43,8% per lo stato 3.