Teoria Economica della produzione e dei costi. (1 a parte) Tecnologia e funzione di produzione. Mario Sportelli Dipartimento di Matematica Università degli Studi di Bari Via E. Orabona, 4 I-70125 Bari (Italy) (Tel.: +39 (0)99 7720 626; fax: +39 (0)99 7763 295) E-mail: msportelli@dm.uniba.it URL: http://www.dm.uniba.it/~msportelli 1
Alcune definizioni preliminari. Definizione 1 Dicesi piano di produzione (o insieme di produzione) l insieme degli output Y di beni o servizi: V( Y) y1, y2,..., y n = ( ) Definizione 2 - Dicesi tecnologia l insieme delle conoscenze tecniche applicate ad un processo produttivo. Definizione 3 - Si dicono input quei beni o servizi utilizzati in un processo di produzione. n 2
o Definizione 4 - Dicesi tecnica di produzione ogni combinazione di input diversi: x = x1, x2,..., x k ( ) Indichiamo con X l insieme delle tecniche di produzione disponibili data la tecnologia. o Definizione 5 - Dicesi funzione di produzione l applicazione f : X che ad ogni x X associa un solo y Y e tale che y sia sulla frontiera di Y. L operatore f sintetizza la tecnologia. Y k 3
Postulati della tecnologia. Sia y = f( x) una funzione di produzione. Monotonicità: se x > x: f (x ) > f (x). Convessità: xx, X f( x) = f( x ) : z = αx+ (1 α) x f( z) f( x) = f( x ) α [ 0, 1] 4
Produttività marginale e media di un fattore. Produttività totale di un fattore: relazione tra output e diversi livelli di un solo input (tutti gli altri (z) restano costanti). Produttività media: rapporto tra l output totale e quantità utilizzata di un fattore ( x i ) y = f( x i, z) Produttività marginale: tasso al quale l output varia al variare della quantità utilizzata di un fattore ( x i ) AP i = f ( x) x i MP i y = = fi > 0 x i Osservazione 1: La produttività marginale è positiva per il primo postulato della tecnologia. 5
Le variazioni della produttività marginale. Ulteriori variazioni di x i. Rendimenti del fattore: Rendimenti crescenti del fattore 0 Rendimenti costanti del fattore Rendimenti decrescenti del fattore 2 MPi f = = f 2 ii xi xi Variazioni di un altro fattore x j. Migliorano o non alterano il contributo produttivo di x i : MPi x 2 f = = fij 0 x x j i j 6
Produttività media e marginale di x i Proposizione 1: Le curve del prodotto marginale e della produttività media di un fattore si intersecano nel punto di massimo della produttività media. Dim. Sia f( xi, z) APi = x la funzione di produttività media del fattore x i. Dalla condizione del primo ordine per un massimo, deduciamo che dap MP x f ( x, z) = = 0 dx i i i i 2 i xi da cui MP x f ( x, z) = 0 MP = i i i i La condizione del secondo ordine è soddisfatta se MP i è decrescente. i f( xi, z) x i 7
Produttività totale media e marginale di x i 8
Isoquanto di produzione: insieme delle tecniche alle quali si associa un medesimo livello di output : { x X x } Q( y) = : y = f( ) 9
Saggio marginale tecnico di sostituzione (TRS): tasso al quale l utilizzo di un fattore deve variare al variare della quantità utilizzata di un altro fattore, affinché il livello di produzione resti costante. Per determinare il TRS fra due fattori qualunque, occorre differenziare l isoquanto: d y k = fidxi = i= 1 Assumendo variabili soltanto i fattori x i e x j, la precedente diviene da cui, essendo le produttività marginali positive dx j fi MPi = TRS = = < 0 dx f MP 0 d y = f dx + f dx = i i j j i j j 0
Significato geometrico del TRS. 11
Rendimenti di scala. I rendimenti di scala misurano la reattività dell output a variazioni equiproporzionali di tutti gli input. Quando gli input variano tutti nella stessa proporzione, si dice che è variata la scala di produzione. Per determinare i rendimenti di scala, fissiamo una tecnica di produzione x. Se gli input variano tutti nella stessa proporzione, le nuove tecniche di produzione sono determinabili moltiplicando il vettore x per uno scalare s definito parametro di scala. Al variare di s, i successivi livelli di output sono determinati dalla funzione: y = f( sx) 12
Rendimenti di scala Elasticità di produzione: rapporto tra la variazione relativa o percentuale dell output e la variazione relativa o percentuale del parametro di scala. Tale rapporto si indica con E P : E p y% y s ys = = : = s% y s sy Rendimenti crescenti di scala implicano E P > 1. Rendimenti costanti di scala implicano E P = 1. Rendimenti decrescenti di scala implicano E P < 1. 13
Rendimenti di scala I rendimenti di scala che caratterizzano una funzione di produzione possono essere valutati (ma non misurati) confrontando: Si ha, pertanto: f ( sx) con sf ( x) Rendimenti crescenti discala. f ( sx) sf ( x) Rendimenti costanti discala. Rendimenti decrescenti discala. 14
Rendimenti di scala Sia y = f (x) una funzione continua e differenziabile. Proposizione 2: Se f (x) è positivamente omogenea di grado α, l elasticità di produzione è sempre pari ad α. Dim. Se f (x) è positivamente omogenea di grado α, allora f( sx) = s α f( x) Pertanto E p dy s = = α ds y 15
Rendimenti di scala con x R 2 + Quando la tecnica di produzione include due soli fattori, data la mappa degli isoquanti, i rendimenti di scala sono misurati lungo un raggio uscente dall origine, la cui inclinazione definisce il rapporto di utilizzazione dei fattori. I rendimenti di scala sono indipendenti dalle produttività marginali dei fattori. 16
Il processo di produzione. Breve periodo Lungo periodo E un intervallo temporale entro cui solo la dotazione di alcuni fattori può variare. Tali fattori si dicono variabili. Gli altri fattori, la cui dotazione non varia, si dicono fattori fissi. E un intervallo temporale entro cui tutti i fattori possono variare. 17
Il processo di produzione. Quando si utilizzano funzioni di produzione con due soli fattori, normalmente si assume che un solo fattore sia variabile nel breve periodo; l altro fattore è fisso nel breve periodo e variabile nel lungo periodo. Convenzionalmente il fattore variabile è il lavoro L; quello fisso il capitale K. Si pone, pertanto: y = f( LK, ) NB Per capitale s intende l insieme della macchine e attrezzature utilizzate nel processo produttivo. 18
La massimizzazione del profitto nel breve periodo Il problema di massimizzazione del profitto si pone nel modo seguente: Π ( p, w, z) = max ωz pf ( x, z) ( wx + ) x 0 [ ] dove il vettore ω z denota i prezzi d uso dei fattori fissi. La condizione necessaria per il massimo Π richiede che Π = pfi wi = 0 i [ 1, k] x i z da cui deduciamo pfi = wi pmpi = wi La soluzione del problema di massimizzazione del profitto determina le funzioni di domanda dei fattori x i (p, w). L insieme di tali domande si denota con x(p, w).
Condizione del secondo ordine per il massimo. L Hessiano H = f f f f f f f f f 11 12 1k 21 22 2k k1 k 2 kk deve essere semi-definito negativo. Ciò accade quando f ii < 0 ( i) il che implica che la funzione di produzione è localmente concava in corrispondenza di x *.
Max P nel caso di un solo fattore variabile
Max P nel lungo periodo Quando tutti i fattori sono variabili il problema della massimizzazione del profitto è il seguente: x 0 [ pf ] Π ( p, w) = max ( x) wx Formalmente la soluzione è identica a quella già vista per il breve periodo: pf = w i [1,..., k] i i La condizione del secondo ordine richiede sempre che l Hessiano sia semi-definito negativo.
Difficoltà nella massimizzazione di P Quando la tecnologia non è descrivibile con una funzione di produzione continua e derivabile. Ciò accade se si opera con tecniche di produzione a coefficienti fissi. In tali situazioni occorre avvalersi di strumenti analitici diversi quali la programmazione lineare e non per determinare le funzioni di domanda dei fattori. Quando la funzione di produzione è caratterizzata da rendimenti di scala costanti (o crescenti) non esiste un piano di produzione che massimizza Π.
Proprietà delle funzioni di domanda Sia x i. xi ( p, w) la funzione di domanda del generico fattore 1. La funzione xi ( p, w) è sempre omogenea di grado zero. Dim. Se i prezzi dei fattori e quello dell output crescono nella stessa proporzione, la domanda di fattori non varia. Infatti, [ ] [ ] Π ( p, w) = max pf ( x) wx = max tpf ( x) twx x 0 x 0
Proprietà delle funzioni di domanda 2. La variazione del prezzo di un fattore genera sempre una variazione di segno opposto della domanda dello stesso fattore: x w < 0 i i Dim. - Per semplicità consideriamo una tecnica di produzione x 2 +. pf max Π x1 2 pf = w = w 1 1, x 2 2 Derivando rispetto a w 1 e w 2 e riordinando in forma matriciale il risultato, otteniamo:
Proprietà 2 delle funzioni di domanda f11 f12 x1 w1 x1 w2 1 p 0 = f f x w x w 0 1 p 21 22 2 1 2 2 Normalizzando p = 1, la matrice di destra diviene unitaria. Poiché la prima matrice di sinistra coincide con l Hessiano H, che semi-definito negativo e simmetrico, allora, x1 w1 x1 w2 1 = H x w x w 2 1 2 2 Essendo anche H -1 simmetrica e semi-definita negativa, la matrice di sinistra (nota come matrice di sostituzione) è simmetrica e semi-definita negativa e, pertanto, include solo termini negativi lungo la diagonale principale.
Proprietà delle funzioni di domanda Osservazione 2 A causa della sua simmetria, la matrice di sostituzione implica xi wj = xj wi Non esiste alcuna spiegazione economica di questo risultato. Il risultato semplicemente consegue dall assunzione che l impresa punti alla massimizzazione del profitto.