I sistemi di Numerazione Gasparotto Matteo a.s. 2012-13 Gasparotto Matteo () I sistemi di Numerazione a.s. 2012-13 1 / 26 Contenuti 1 Sistema Addizionale 2 Sistema Posizionale 3 Basi Numeriche 4 Convertire le Basi Gasparotto Matteo () I sistemi di Numerazione a.s. 2012-13 2 / 26 Sistema Addizionale Gasparotto Matteo () I sistemi di Numerazione a.s. 2012-13 3 / 26
Numerazione Egizia Gasparotto Matteo () I sistemi di Numerazione a.s. 2012-13 4 / 26 Numerazione Sumera Gasparotto Matteo () I sistemi di Numerazione a.s. 2012-13 5 / 26 Numerazione Greca Gasparotto Matteo () I sistemi di Numerazione a.s. 2012-13 6 / 26
Numerazione Maya Gasparotto Matteo () I sistemi di Numerazione a.s. 2012-13 7 / 26 Numerazione Romana La numerazione romana è uno degli esempi più noti di sistema di numerazione addizionale. 1 Insieme finito di simboli I, V, X, L, C, D, M 2 Ogni simbolo un determinato valore I 1, V 5,... 3 Numeri: giustapposizioni di simboli CLXIII 4 Valore: somma dei singoli valori 100+50+10+1+1+1 5 Combinazioni speciali IV 5-1=4, IX 10-1=9 Gasparotto Matteo () I sistemi di Numerazione a.s. 2012-13 8 / 26 Caratteristiche Generali 1 Insieme finito di simboli 2 Ogni simbolo un determinato valore 3 Numeri: giustapposizioni di simboli 4 Valore: somma dei singoli valori NOTA: Non si possono rappresentare numeri oltre un certo valore a meno di non introdurre nuovi simboli Gasparotto Matteo () I sistemi di Numerazione a.s. 2012-13 9 / 26
Sistema Posizionale Gasparotto Matteo () I sistemi di Numerazione a.s. 2012-13 10 / 26 Numerazione Indiana Gasparotto Matteo () I sistemi di Numerazione a.s. 2012-13 11 / 26 Numerazione Araba Gasparotto Matteo () I sistemi di Numerazione a.s. 2012-13 12 / 26
Caratteristiche Generali Il nostro attuale sistema di numerazione è di tipo posizionale. 1 Insieme finito e determinato di simboli 2 Ogni simbolo rappresenta un fattore moltiplicativo preciso 3 Numeri: giustapposizioni di simboli [cifre] 4 Il valore di ogni cifra dipende dal simbolo utilizzato e dalla sua posizione all interno del numero 5 Lo zero: 0 NOTA: Non ci sono limiti al numero più grande che si può rappresentare pur mantenendo sempre lo stesso insieme di simboli Gasparotto Matteo () I sistemi di Numerazione a.s. 2012-13 13 / 26 Basi Numeriche B n Gasparotto Matteo () I sistemi di Numerazione a.s. 2012-13 14 / 26 Quanti Sistemi Posizionali? Esistono diversi sistemi posizionali: si differenziano a seconda dei simboli che utilizzano I simboli usati da un sistema di numerazione ne costituiscono la base Ciò che conta è la quantità di simboli utilizzati n simboli B n = {b 1, b 2,, b n } Gasparotto Matteo () I sistemi di Numerazione a.s. 2012-13 15 / 26
Alcuni Esempi 1 Base dieci (decimale) 2 Base due (binaria) B 10 = {0, 1, 2,, 9} 3 Base sedici (esadecimale) B 2 = {0, 1} B 16 = {0, 1, 2,, 9, A, B, C, D, E, F } Gasparotto Matteo () I sistemi di Numerazione a.s. 2012-13 16 / 26 L idea alla Base Immaginiamo di voler rappresentare tutti i numeri da zero a mille. Abbiamo bisogno di al più quattro cifre 0000 Cambiamo il simbolo all estrema destra fino a che non esauriamo tutti gli elementi della base 0000, 0001,..., 0009 Facciamo avanzare di un simbolo la seconda cifra mentre ricominciamo da capo con la prima cifra 0010 Facciamo avanzare i simboli per la prima cifra 0010, 0011,..., 0019 Ripetiamo questi passi fino a mille (e anche oltre) Gasparotto Matteo () I sistemi di Numerazione a.s. 2012-13 17 / 26 Ordini di grandezza Prima cifra: il valore coincide con quello associato ai simboli della base Seconda cifra: il valore del simbolo deve essere moltiplicato per la cardinalità della base n-esima cifra: il valore del simbolo deve essere moltiplicato per la potenza (n-1)-esima della cardinalità della base Esempio: il valore di 1977 in base dieci B 10 = 10 1977 = 1 10 3 + 9 10 2 + 7 10 1 + 7 10 0 Ogni potenza della cardinalità della base determina un ordine di grandezza per quella base Gasparotto Matteo () I sistemi di Numerazione a.s. 2012-13 18 / 26
Lavorare con Basi diverse Le cifre 101 in base dieci indicano il numero centouno, ma in base due indicano il numero cinque Per evitare fraintendimenti: Specificare sempre la base del numero (Numero) Base oppure Numero Base Esempio: 101 2 = 5 10 oppure (101) 2 = (5) 10 Solo quando deducibile dal contesto la base può essere omessa Gasparotto Matteo () I sistemi di Numerazione a.s. 2012-13 19 / 26 Cambio di Base B n B m Gasparotto Matteo () I sistemi di Numerazione a.s. 2012-13 20 / 26 Verso il 10 Abbiamo visto che in base dieci si ha B 10 = 10 1977 = 1 10 3 + 9 10 2 + 7 10 1 + 7 10 0 Sia B n = {b 1, b 2,, b n } B n = n Sia N un numero con k cifre Per determinare il valore in base dieci di N calcoliamo c k n k 1 + c k 1 n k 2 + + c 2 n 1 + c 1 n 0 c 1, c 2,, c k B n sono le cifre di N ordinate da destra verso sinistra Gasparotto Matteo () I sistemi di Numerazione a.s. 2012-13 21 / 26
Prima Procedura di Conversione: Forma Polinomiale Estendiamo questo concetto, adattandolo ad altre basi numeriche Moltiplichiamo ogni cifra per una potenza della base L esponente della potenza corrisponde alla posizione della cifra diminuito di uno Calcoliamo la somma di questi prodotti Esempio: Convertire 214 5 in base dieci (B 10 ) 2 5 2 + 1 5 1 + 4 5 0 = = 2 25 + 1 5 + 4 1 = = 50 + 5 + 4 = = 59 Gasparotto Matteo () I sistemi di Numerazione a.s. 2012-13 22 / 26 Seconda Procedura di Conversione: Algoritmo di Horner Alla base abbiamo sempre una serie di moltiplicazioni che procedono da sinistra verso destra Moltiplichiamo l ultima cifra per la cardinalità della base iniziale 2 5 = 10 Al prodotto ottenuto aggiungiamo la cifra successiva 10 + 1 = 11 Ripeto questi passi fino a quando non giungo alla prima cifra 11 5 = 55 55 + 4 = 59 Gasparotto Matteo () I sistemi di Numerazione a.s. 2012-13 23 / 26 Strutturiamo Horner Diamo forma a questo algoritmo, considerando la conversione di 3121 4 in base dieci (B 10 ) 3 4 ( 12 + 1 ) 4 ( 52 + 2 ) 4 216 + 1 = 217 NOTA: si osservi come il numero nella base iniziale venga scritto verticalmente al centro di tutte le operazioni, mentre l ultimo risultato corrisponda al numero iniziale ma in base dieci Gasparotto Matteo () I sistemi di Numerazione a.s. 2012-13 24 / 26
Lasciando il 10 Ritorna in gioco la divisione con resto Esempio: convertiamo 214 10 in base cinque Divisione Quoziente Resto Idea Chiave 214:5 42 4 Dividendo: 214; Divisore: 5 42:5 8 2 Dividendo: 42 8:5 1 3 Dividendo: 8 1:5 0 1 Quoziente: 0 Conclusione: 214 10 = 1324 5 Gasparotto Matteo () I sistemi di Numerazione a.s. 2012-13 25 / 26 A scala Il precedente algoritmo può essere eseguito (più agevolmente e rapidamente) non mediante tabella ma sotto forma di divisione a scala discendente 214 5 4 42 5 2 8 5 3 1 5 1 0 Gasparotto Matteo () I sistemi di Numerazione a.s. 2012-13 26 / 26