Quaderni dell'unione Matematica Italiana 48 Giuseppe Tallirli Lezioni di geometria combinatoria Pitagora Editrice Bologna 2005
Indice Prefazione v 1 Campi di Galois 1 1.1 Introduzione 1 1.2 Automorfismi di un campo finito 2 1.3 Quadrati e non quadrati in K,, - Forme quadratiche 3 2 Campi di Galois non standard 6 2.1 Filtri su un insieme 6 2.2 Pluriprodotti di campi 7 2.3 Campi non standard 11 2.4 Campi ordinati 17 2.5 II campo dei reali non standard 19 2.6 Isomortismi tra campi non standard 23 2.7 Campi di Galois non standard 26 3 Spazi geometrici 30 3.1 Spazi geometrici - Definizioni ed esempi 30 3.2 Esempi di spazi geometrici ;... 31 3.3 Spazi geometrici composti 33 4 Spazi lineari 35 4.1 Spazi lineari e loro sottospazi 35 4.2 Dimensione di uno spazio lineare 36 4.3 Esempi di spazi lineari 2-matroidali ma non 3-matroidali 42 4.4 Esempio di spazio lineare non matroidale 44 5 Spazi proiettivi e affini 46 5.1 Spazi proiettivi 46 5.2 Equazione dell'iperpiano. Spazio duale 49 5.3 Spazi di Galois 52 5.4 I piani proiettivi finiti di ordine q 54 5.5 Spazi affini 56 5.5.1 Piani affini 56 6 Spazi polari 59
6.1 Spazi parziali di rette 59 6.2 Spazi parziali di rette proiettivi e spazi polari 61 6.3 Spazi polari singolari e loro desingolarizzazione 62 6.4 Spazi polari non singolari 68 6.5 Spazi parziali di rette subimmersi 72 6.6 Esempi di spazi polari 73 Bibliografìa 78 7 Ipersuperficie algebriche 82 7.1 Generalità sulle ipersuperficie algebriche di P rk 82 7.2 Punti semplici e punti multipli 84 7.3 Tangenti asintotiche 86 7.4 Coni e Monoidi 88 7.5 Quadriche 91 8 Teoria delle coniche in un piano di Galois 95 8.1 Teoria delle coniche in caratteristica pt 2 95 8.2 Teoria delle coniche in caratteristica p = 2... 99 9 Lo spazio delle coniche e la superficie di Veronese 103 9.1 Spazio delle coniche 103 9.2 La Varietà M\ e la Superficie di Veronese V 2 104 9.3 Piani tangenti e secanti in coniche V2 107 10 Quadriche e varietà grassmanniane in PG(r, q) 112 10.1 La quadrica di Klein e la geometria delle rette di PG(3, q). 112 10.2 Richiami su omografie e reciprocità di P r>k 114 10.3 Polarità e polarità mille in P r, K 116 10.4 Polarità, polarità nulla, quadriche in caratteristica 2 120 10.5 II gruppo delle omografie di P5,K che mutano in sé (3 125 10.6 Le sezioni iperpiane della quadrica di Klein.129 10.7 Le sezioni di Q con i sottospazi di PG(5, q) 131 10.8 La grassmanniana delle rette di P r,k 136 10.9 II gruppo delle omografie di P r>k che mutano ^r,i,k in sé 141 lo.losottograssmanniane di^r> i,k 142 10.11 La grassmanniana delle rette di PG{r, q)...144 10.12 Spazi parziali di rette e grassmanniana delle rette 145 11 Le (n)-varietà di uno spazio proiettivo 148 11.1 Le (n)-varietà regolari 148 11.2 Spazi massimali in una (n)-varietà regolare non singolare 151 11.3 Proprietà delle (w)-varietà regolari non singolari di tipo m in P rk 153 11.4 Sulle («)-varietà regolari non singolari in PG(r, q) 154 11.5 Proprietà degli spazi massimali di una («)-varietà regolare non singolare di tipo m di P,,K, w<(r-l)/2 158 11.6 I due sistemi di spazi massimali di una (2)-varietà di tipo iperbolico di P2r+i.K 159
HI 11.7 Caratterizzazione delle (w)-varietà regolari di PG(r, q) (n > 3) come varietà hermitiane 162 11.8 Caratterizzazione delle (2)-varietà regolari di P f,k come quadriche 165 12 Blockingsets 168 12.1 La teoria dei /t-insiemi 168 12.1.1 Caratteri di un ^-insieme rispetto alle rette in PG(r, q) 168 12.1.2 Insiemi di tipo (0,M)I in PG(r,q) 170 12.1.3 Caratteri di un -insieme rispetto ai sottospazi 173 12.1.4 Insiemi di tipo (0, n) rispetto ai sottospazi di dimensione d 174 12.1.5 Alcuni À:-insiemi di tipo (1,«) di PG(2,q) 175 12.1.6 I A:-insiemi di tipo (1,«)i in PG(r,q) 178 12.2 Blocking sets e (k; m, «)-insiemi rispetto alle rette in PG(r, q) 180 12.3 Blocking sets e (k; m, w)-insiemi nella dimensione d in PG(r, q) 182 12.4 Blocking sets rispetto alle rette 185 12.5 Blocking sets in PG(2, q) 188 12.6 Esempi 191 12.6.1 Blocking sets in un piano proiettivo di ordine q 191 12.6.2 Blocking sets in PG(3, q) 201 12.7 Blockingsets in AG(r,q) rispetto alle rette 204 12.8 Spettro dei blocking sets in PG{2, q) 215 13 Disegni 220 13.1 Disegni: definizioni e prime proprietà 220 13.2 Esempi di disegni 223 13.3 Matrici di incidenza di uno spazio geometrico 227 13.4 Disegni simmetrici 233 13.5 Esempi di disegni simmetrici 237 13.6 Disegni composti 237 13.7 Estensioni di sistemi di Steiner 239 13.8 Insiemi di differenze e disegni 241 13.9 Le «-pie di insiemi di differenze 244 13.101 2-disegni simmetrici 247 13.10.1 Proprietà ed esempi 247 13.10.2 II Teorema di Bruck-Ryser-Chowla 249 13.10.3 Caratterizzazione degli interi somma di due quadrati 250 13.10.4 Conseguenze del Teorema B.R.C 250 13.11 Disegni ottenuti da disegni simmetrici 258 13.12Sistemi di terne di Steiner 258 13.12.1 Proprietà ed esempi 258 13.12.2 S(2,3, q) ottenuti da una «-pia di insiemi di differenze 260 13.12.3 Duplicazione di un S{2,3,v) 262 13.12.4 Prodotto di sistemi di terne di Steiner 263 13.12.5 La famiglia dei sistemi di Steiner S(2,3,49) 265 13.12.6 II reticolo dei sottospazi di S(2,3,7) o 5(2,3,49) -267 13.13Esempi di S(2,q + \,q ì + q 2 + q + 1) non isomorfi 271
IV 14 (n,d)-stetemi in P rk. A r, K 279 14.1 Definizioni e generalità sugli («, (^-sistemi 279 14.2 Gli («, d)-sistemi negli spazi di Galois 282 14.3 Generalità sugli («, c/)-sistemi parziali 284 Note bibliografiche 287 Indice dei simboli 289 Indice analitico 291