Geometria analitica del piano II (M.S. Bernabei & H. Thaler)

Geometria analitica del piano II (M.S. Bernabei & H. Thaler)

Equazione della retta in forma esplicita Sia data una retta r ax + by + c = 0 con b 0. Svolgendo questa equazione per y otteniamo e ponendo y = a b x c b m = a, q = c b b si ha y = mx + q (*) (equazione della retta in forma esplicita).

y = mx + q

Al variare di m, q R otteniamo tutte le rette del piano tranne quelle parallele all asse y. Queste ultime sono della forma x = k, k R. Il numero m è detto coefficiente angolare della retta. Ponendo x = t si ottiene subito la seguente equazione parametrica di (*) x = t y = q + mt x y = 0 q + t 1 m (**) Da quest ultima equazione vediamo che la retta r passa Per il punto (0, q) ed è parallela al vettore v = i + mj.

Se θ indica l angolo che la retta e il vettore v formano con l asse delle x, si ha m = tan θ. Se P 0 = (x 0, y 0 ) è un punto sulla retta r, allora l equazione cartesiana corrispondente all equazione (*) della retta si trova come: y y 0 = m x x 0. (Δ) Al variare di m otteniamo tutte le rette del piano passanti per P 0 tranne quella parallela all asse delle y.

Esempio. Trovare l equazione della retta che passa per il punto P 0 = ( 1, 2) e che forma un angolo di π/3 con l asse x. Dato che m = tan θ = 3, otteniamo dall equazione (Δ) Siano date due rette y 2 = 3 x + 1. r : y = mx + q e r 1 : y = m 1 x + q 1.

Ovviamente le due rette sono parallele se e solo se lo sono i due vettori v = i + mj e v 1 = i + m 1 j, quindi se e solo se m = m 1. D altra parte le due rette sono perpendicolari se e solo se lo sono i due vettori v e v 1, quindi solo se 1 + mm 1 = 0. Esempio. Trovare l equazione della retta r passante per il punto P 0 = (2, 3) e parallela alla retta r 1 : 2x 5y + 3 = 0.

Siccome le due rette sono parallele vale m = m 1 = 2, per cui troviamo secondo (Δ) 5 l equazione r y + 3 = 2 5 (x 2). Esempio. Trovare l equazione della retta r passante per il punto P 0 = ( 1, 4) e perpendicolare alla retta r 1 : 2y 3x + 4 = 0. Il fatto che le due rette sono perpendicolari consegue

che 1 + mm 1 = 0, per cui m = 1 m 1 = 2/3. Quindi r y 4 = 2 3 (x + 1). L angolo fra le due rette r e r 1, con direzioni v e v 1, è dato da cos θ = ± v v 1 1 + mm 1 = ± v v 1 1 + m 2 2 1 + m 1

Distanza di un punto da una retta Siano dati una retta r : ax + by + c = 0 e un punto P 0 = (x 0, y 0 ). Sia H il piede della perpendicolare alla retta r condotta da P 0. La distanza δ del punto P 0 dalla retta è uguale alla lunghezza del segmento P 0 H, quindi δ = P 0 H. Sia H = (x, y). Essendo H r, vale ax + by + c = 0. I vettori P 0 H e v = ai + bj sono paralleli.

δ = P 0 H

Dalla formula per il prodotto scalare otteniamo P 0 H v = P 0 H v, cioè δ = P 0 H = P 0 H v. v Sostituendo nella formula precedente le componenti dei vettori P 0 H e v, si ottiene δ = x 0 x a + y 0 y b a 2 + b 2

oppure, usando il fatto che ax by = c δ = ax 0 + by 0 + c a 2 + b 2 Esempio. Trovare la distanza δ del punto P 0 = (4, 1) dalla retta r : 6x + 8y 3 = 0. Applicando la formula sopra, si ha: δ = 24 8 3 36 + 64 = 13 10.

La distanza fra due rette parallele r e r 1 di equazioni rispettivamente ax + by + c = 0 e ax + by + c 1 = 0 si ottiene misurando la distanza fra un punto generico P 0 = (x 0, y 0 ) r 1 e la retta r. Notando che P 0 r 1, si ha δ = ax 0 + by 0 + c a 2 + b 2 = c 1 + c a 2 + b 2 Esempio. La distanza fra le rette parallele 4x 3y + 1 = 0 e 4x 3y + 5 = 0 è δ = 5 + 1 25 = 4 5

Distanza δ fra le rette r e r 1

Esercizi 1. Trovare il coefficiente angolare delle seguenti rette: 4x-5y+20=0, 2x+3y-12=0. [4/5, -2/3] 2. Trovare l equazione della retta di coefficiente angolare 3 e che stacca sull asse y un segmento di misura 2 e disegnarla. [3x-y+2=0] 3. Per quale valore del parametro a il punto M=(a,3) giace sulla retta che congiunge i punti Q=(1,-6), P=(0,-3)? [a=-2] 4. Trovare l equazione della retta i cui punti sono equidistanti dai punti A=(2,-2) e M=(-4,2) e disegnarla. [3x-2y+3=0]

1. Trovare il coefficiente angolare delle seguenti rette: 4x-5y+20=0, 2x+3y-12=0. [4/5, -2/3] 4x 5y + 20 = 0 5y = 4x 20 y = 4 5 x + 4 m = 4 5. 2x + 3y 12 = 0 3y = 2x + 12 y = 2 3 x + 4 m = 2 3.

2. Trovare l equazione della retta di coefficiente angolare 3 e che stacca sull asse y un segmento di misura 2 e disegnarla. [3x-y+2=0] Soluzione: Usando la forma esplicita della retta y = mx + q troviamo y = 3x + 2 3x + y 2 = 0. 3. Per quale valore del parametro a il punto M = (a, 3) giace sulla retta che congiunge i punti Q = (1, 6), P = (0, 3)? Soluzione: Primo passo: trovare l equazione della retta

x 1 1 = y+6 3 3x 3 = y 6 3x + y + 3 = 0 r ; Secondo passo: per quale a vale M = (a, 3) r? Deve valere 3a + 3 + 3 = 3a + 6 = 0 a = 2.

4. Trovare l equazione della retta i cui punti sono equidistanti dai punti A = (2,-2) e M = ( 4,2) e disegnarla. Soluzione: Sia r la rette cercata. Sia P 0 il punto medio del segmento AM, cioè P 0 = 1 2 A + M = 1 1 2 2 0 = 1 0. 2 2 2 + 4 2 Come direzione della retta scegliamo un vettore v 6 che è perpendicolare al vettore AM = 4. =

che è perpendicolare al vettore AM = Per esempio v = 4 6. 6 4. L equazione parametrica della retta cercata è: P = P 0 + t 4 6, t R. Quindi x r: y = 1 0 + t 4 6 (forma parametrica). Per trovare la forma cartesiana della retta r, bisogna risolvere le due equazione di sopra rispetto a t:

t = x+1 4 ; t = y 6 ; x+1 4 = y 6, oppure 6x + 6 = 4y 6x 4y + 6 = 0 3x 2y + 3 = 0.

5. Dato il triangolo di vertici A=(7,9), B=(-5,7), C=(12,-3): trovare l equazione dell altezza passante per B. Disegnare il triangolo e l altezza. [5x-12y+109=0] 6. Trovare l equazione della retta equidistante dalle rette parallele 2x-3y+14=0 e 2x-3y-6=0. [2x-3y+4=0] 7. Trovare la distanza d tra le rette parallele 5x+12y+4=0 e 10x+24y+5=0. Disegnarle. [d=3/26] 8. Data la retta di equazione 2x+3y+4=0, scrivere l equazione della retta passante per il punto (2,1) e perpendicolare alla retta data. Disegnarle. [3x- 2y-4=0]

5. Dato il triangolo di vertici A=(7,9), B=(-5,7), C=(12,-3): trovare l equazione dell altezza passante per B. Disegnare il triangolo e l altezza. 5 Soluzione: Il vettore AC = 12 è perpendicolare alla retta cercata r. Qunidi r 5x 12y + c = 0. Inoltre sappiamo che B r 5 5 12 7 + c = 0 c = 25 + 84 = 109. La retta cercata è data da r 5x 12y + 109 = 0.

6. Trovare l equazione della retta equidistante dalle rette parallele r 1 : 2x-3y+14=0 e r 2 : 2x-3y-6=0. Soluzione: Sia r: 2x 3y + c = 0 la retta cercata. Dalla formula per la distanza fra le rette otteniamo δ = c 1 + c a 2 + b 2 Di conseguenza = c 2 + c a 2 + b 2 c 1 + c = c 2 + c. (*)

Elevando entrambi i lati di (*) alla seconda troviamo c 1 + c c 14 2 = c 2 + c 2 2 = c + 6 2 c 2 28c + 196 = c 2 + 12c + 36 40c = 160 c = 4. Abbiamo dimostrato che r: 2x 3y + 4 = 0.

Modo alternativo usando la forma esplicita delle rette: y 1 = 2 3 x + 14 3 ; y 2 = 2 3 x 2; Scegliendo q della retta cercata come q = q 1+q 2 2 q = 8 2 3 = 4 3 r: y = 2 3 x + 4 3

7. Trovare la distanza δ tra le rette parallele 5x+12y+4=0 e 10x+24y+5=0. Disegnarle. Soluzione: Usando la formula δ = c 1+c a 2 +b 2, troviamo subito δ = 4+5/2 5 2 +12 2 = 3/2 25+144 = 3 26.

8. Data la retta di equazione 2x+3y+4 = 0, scrivere l equazione della retta passante per il punto (2,1) e perpendicolare alla retta data. Disegnarle. Soluzione: Sia r: ax + by + c = 0 la retta cercata. I vettori a b e 2 3 sono perpendicolari, per cui a b = 3 2 è una possibile scelta. P r 3 2 + 2 1 + c = 0 c = 4.

9. Siano date le equazioni di due lati di un rettangolo x-2y=0, x-2y+15=0 e l equazione di una sua diagonale y=15-7x. Determinare le coordinate dei vertici del rettangolo. Fare il disegno. [(2,1), (4,2), (-1,7), (1,8)] 10. Dati i punti A=(1,4), B=(5,2), C=(8,7), determinare la distanza di A dalla retta passante per i punti B e C e l area del triangolo ABC. Fare il disegno. [ 13 34 17, 13] 11. Trovare la distanza del punto P=(2,-3) dalla retta di equazione y=2x-3. Fare il disegno. [ 4 5 5 ]

9. Siano date le equazioni di due lati di un rettangolo x-2y=0, x-2y+15=0 e l equazione di una sua diagonale y=15-7x. Determinare le coordinate dei vertici del rettangolo. Fare il disegno. [(2,1), (4,2), (-1,7), (1,8)] Soluzione: r 1 : x 2y = 0; r 2 : x 2y + 15 = 0; d: y = 15 7x; Sia P 1 il punto di intersezione di r 1 con d. La soluzione del sistema r 1 d da il vertice P 1.

(i) x 2y = 0 (ii) y = 15 7x Inserendo ii in i x 2(15 7x) = 0 x 30 + 14x = 0 x = 2. ii y = 15 7 2 = 1. P 1 = 2,1. r 2 d (i) x 2y + 15 = 0 (ii) y = 15 7x

Inserendo ii in i x 2 15 7x + 15 = 0 x 30 + 14x + 15 = 0 15x 15 = 0 x = 1. ii y = 15 7 1 = 8. P 2 = 1,8. Troviamo la retta r 3 perpendicolare a r 1 passante per P 1. r 3 : 2x + y + c = 0; P 1 r 3 2 2 + 1 + c = 0 c = 5; r 3 : 2x + y 5 = 0; Mettendo a sistema r 3 e r 2 troviamo il vertice P 3 :

i) 2x + y 5 = 0 ii) x 2y + 15 = 0 i) y = 2x + 5 Sostituendo y nella seconda x 2 2x + 5 + 15 = 0 5x = 5 x = 1; y = 7; P 3 = 1,7 ; Il punto P 4 si trova in maniera analoga.