Massimi e minimi : TEOREMI Condizione necessaria del I ordine Teorema di Weierstrass Teorema di Rolle Teorema di Lagrange Conseguenza del Teorema di Lagrange. Data f: A R, f derivabile in x 0 A. Def.: Se f ʹ (x 0 ) = 0 allora x 0 è un punto critico per f su A. Massimi e Minimi di una funzione Data f: A R, Def: Un punto x 0 A si dice di massimo relativo (o locale) per f su A se I xo : f(x) f(x 0 ) x I xo A. Def : Un punto x 0 A si dice di massimo assoluto (o globale) per f su A se f(x) f(x 0 ) x A.
Def : Un punto x 0 A si dice di minimo relativo (o locale) per f su A se I xo : f(x) f(x 0 ) x I xo A. Def : Un punto x 0 A si dice di minimo assoluto (o globale) per f su A se f(x) f(x 0 ) x A. Def: Un punto x 0 A si dice di massimo [minimo] relativo (o locale) stretto per f su A se I xo : f(x) < f(x 0 ) [>] x I xo A, x x 0. Se x 0 A è un punto di massimo [minimo] assoluto per f su A allora f(x 0 ) rappresenta il valore massimo [minimo] di f su A. Esempio: Dimostrare, tramite la definizione, che x 0 = -1 è un punto di max relativo e non assoluto della funzione f(x) = x(x+1) 2 +2. Def : Un punto x 0 A si dice di massimo relativo per f su A se I xo : f(x) f(x 0 ) x I xo A, Poiché, A = C.E. = R e che f(x 0 ) = f(-1) = 2 x (x+1) 2 +2 2 x (x+1) 2 0
verificata per ogni x 0, quindi esiste un I -1 tale che x 0. Per dimostrare che -1 è massimo relativo ma non assoluto è sufficiente mostrare che esiste un punto, ad esempio, x = 1 dove f(1) = 4+2 = 6 > f(-1) = 2.
Esempio grafico # f (x)= $ & (x 2) 2 +1 se 1 x 4 x 5 se 4 < x 6 1 se 6 < x 8 x = 1 punto di frontiera x = 2 f (2) = 0 punto di max rel. punto di minimo rel x = 4 punto di discontinuità punto di max assoluto f (x) = 5 = f (4) lim f (x) =1 + lim x 4 x 4
x = 5 punto di non derivabilità assoluto lim f '(x) < 0 lim f "(x) > 0 x 5 x 5 + punto di minimo x = 6 punto di non derivabilità punto di max relativo f '(x) > 0 lim f (x) = 0 lim x 6 x 6 + " 6<x 8 punti di min e max relativi
Condizione necessaria del I Ordine o Teorema di Fermat Teorema: Data f: A R, f derivabile in x 0 A e x 0 punto interno ad A. Se x 0 è un punto di massimo o di minimo relativo allora f ʹ (x 0 ) = 0 Ipotesi : f derivabile in x 0 A, x 0 (punto interno ad A) è un punto di massimo o di minimo relativo Tesi : f ʹ (x 0 ) = 0. dim.: Per assurdo, si nega la tesi f (x 0 ) 0. Se f (x 0 ) > 0 f è crescente in x 0, cioè I xo tale che f(x) > f(x 0 ) x > x 0, x I xo A allora x 0 non può essere un punto di massimo, f(x) < f(x 0 ) x < x 0, x I xo A allora x 0 non può essere un punto di minimo. Assurdo in quanto per ipotesi x 0 è di massimo o di minimo relativo. Non vale il viceversa, infatti: Data f(x) = x 3 f (x) = 3x 2 3x 2 = 0 x = 0 Punto critico. x = 0 si dimostra che non è ne un punto di minimo ne massimo per f.
Data f: A R. I punti di A candidati ad essere minimo e/o di massimo relativo e/o assoluto sono: i) i punti di frontiera di A che appartengono ad A, ii) tra i punti interni ad A : punti discontinuità, f (x 0 ) punti di non derivabilità punti critici, cioè f (x 0 ) = 0. Se f è costante su [a,b] A x (a,b) sono punti di massimo e di minimo relativo di f su A. Teorema di Weierstrass Data f: A R. Teorema: Se f è continua sull insieme A chiuso e limitato allora f assume valore massimo M e valore minimo m su A. Inoltre, se A è un insieme convesso f assume tutti i valori compresi tra M e m. Conseguenze Se f è continua su A compatto allora per il Teorema di Weierstrass - esistono almeno x m, x M A tale che m = f(x m ) e M = f(x M ), per cui x m è un punto di minimo assoluto, x M è un punto di massimo assoluto,
se inoltre A è convesso: - dato y' R con m y' M esiste x' A tale che y'= f(x'). Esempio: a) Dire se esistono punti di minimo e massimo assoluto nell intervallo [-4,1] della funzione: # x + 3 se x < 1 f(x) = $ & x 2 +1 se x 1 b) Dimostrare, inoltre, che esiste almeno un punto x 0 [-4,1] dove la funzione vale 1,9457, cioè f(x 0 ) = 1,9457 x 0 [-4,1]. a) Le ipotesi del Teorema di Weierstrass sono verificate, infatti, 1. f è definita nell intervallo [-4,1] CHIUSO e LIMITATO. 2. f è continua su [-4,1] in quanto formata da funzioni continue ed inoltre è continua nel punto x = -1 dove cambia di definizione, infatti: lim x 1 lim x 1 f(x) = f( 1) = 2 ossia x + 3 = 2 = lim x 1+ x2 +1. Allora è verificata la tesi del Teorema di Weierstrass, cioè
- l esistenza del valore massimo M e minimo m della f(x) m f(x) M per ogni x [-4,1] ed - l esitenza di almeno x m, x M [-4,1] tale che m = f(x m ) e M = f(x M ), per cui x m è un punto di minimo assoluto, x M è un punto di massimo assoluto, b) [-4,1] è un insieme convesso quindi per il Teorema di Weierstrass f assume tutti i valori compresi tra M e m per cui occorre determinare m e M, così da dimostrare che m 1,9457 M. I punti di A candidati ad essere minimo e/o di massimo relativo e/o assoluto sono: i) i punti di frontiera di [-4,1] x = -4, x = 1 ii) e tra i punti interni (-4,1) - punti discontinuità non esistono punti dove la f è non continua su [-4,1] - punti di non derivabilità, - punti critici f (x 0 ) = 0. f(x) = # $ & (x + 3) x + 3 x 2 +1 se 4 x 3 se 3 < x < 1 se 1 x 1
f (x) = # $ & 1 se 4 x < 3 1 se 3 < x < 1 2x se 1< x 1 f - (-3) =-1 f + (-3) = 1 f - (-1) =1 f + (-1) = -2 da cui punti di non derivabilità x= -3 x = -1 punti critici f (x) = 2x = 0 x=0. Candidati p.di frontiera x= -4 x = 1 p. di non derivab. x = -1 x = -3 Valore funzione f(-4) =1 f(1) = 2 f(-1) = 2 f(-3) = 0 p. critici x = 0 f(0) = 1 x = 1 e -1 punti di massimo assoluto M = f(1)= f(-1) =2 x = -3 punti di minimo assoluto m = f(-3)=0 0 f(x) 2 per ogni x [-4,1] allora per il T. di W. esiste almeno x 0 [-4,1] tale che f(x 0 ) = 1,9457.