MD2 MD3 Funzioni Esercizi di allenamento
1) Data la seguente rappresentazione sagittale A B 1. 2. 2. 3. 4. 4. 5. 6. 6. 7. 8. 10. a) Definisci la proposizione che stabilisce la relazione da A verso B. a R b...?... b) D R =?, I R =? c) Di quante coppie ordinate è composto AxB? d) Determinare il grafo G R della relazione della relazione A B 2) Dati due insiemi così definiti : X x N \ x 12, Y y N \ y 0 considera la relazione : x R y x è il triplo di y a) Rappresenta la relazione in forma sagittale. b) Indica gli elementi dell insieme di partenza. c) Indica l insieme di definizione e delle immagini. d) Determina il grafo G R della relazione. 3) a) G R ={ ( 2 ; 7 ), ( 4; - 3 4 ), ( 5 ; 0 ) } Indica dominio D R e codominio I R b) G R = { ( -1 ; 3 ), ( 0 ; 2 ), ( 1 ; 3 ), ( 2 ; 6 ) } Indica dominio D R e codominio I R. Deduci dal grafo l equazione della relazione R. c) A = { x -1 < x < 4 ; x } e B = { y y < 3 2 ; y } Sia la relazione : x R y y x 1 x 1 i) calcola G R della relazione e trova D R e I R ; ii) rappresenta graficamente mediante diagrammi di Venn la relazione (insieme di partenza e di arrivo, dominio e codominio, prodotto cartesiano e grafo). 1
4) a) y b) y c) y x x x a) y e) y f) y x x x g) y h) y i) y x x x 5) X = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 }, Y = {1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 7 ; 9 ; 10 ; 16 ; 17 } a) Sapendo che il grafo della funzione h da X verso Y é : G h = { (1;2), (2;5), (3;10), (4;17) }, indicare la forma algebrica della funzione h : x y =? b) D h =? e Im h =? c) Rappresenta la funzione in forma sagittale. d) Determina il grafo della funzione : X Y, i: x y = x + 2 6) A = {1,2,3,4} ; B = {0, 3, 4, 8, 9,10} ; G = {(1;0), (2;3), (3;8)} a) G è il grafo di una funzione da A B? Perché? b) Trova il dominio, codominio e scrivi l equazione della relazione da A B. c) Rappresenta con diagrammi di Venn. 7) C = {1, 2, 3, 4} ; D = { 0, 3, 4, 8, 9, 10} ; f : C D ; x y = 3x + 1 a) Trova il grafo, il dominio e il codominio della funzione f. b) Rappresenta in forma sagittale. 2
8) Date le funzioni seguenti, determina l insieme di definizione per ognuna di esse. a) f : x y = 1 2 x 2 g : x y = - 1 2 x -1 4 b) h : x y = 2 2x 2 1 m : x y = 1 x k : x y = 1 2 x 2 i : x y = 2x 2-1 n : x y = - 1 2 x +1 p : x y = 3x 9 x 9.1 Date le funzioni reali seguenti, determina l insieme di definizione per ognuna di esse. f : x y = 2x 4 g : x y = 7x h : x y = x 2 2 i : x y = - 4 3 x 3 3 4 k : : x y = x m : x y = 4 x 5 n : x y = 2x 5 o : x y = 12 5x 4 p : x y = x.( x 6) 5 q : x y = 5 x.( x 6) r : x y = 6x 1 x s : x y = 4 2x 1 t : x y = x 1 x 2 4 u : x y = 2x 1 5 x 9.2 Delle funzioni assegnate nell esercizio 9, calcolare: a) f (2) =? e f (x) = 10 b) p (-2) =? e p (x) = 0 9.3 Si conosce la funzione reale t : x y = 10 )a x 2 3, calcolare t (-3) e t (x) = 0 x 3 3
10.b) 11.a Rappresenta le seguenti funzioni reali nello stesso piano cartesiano e leggi (se possibile) i punti di intersezione di ogni retta con gli assi cartesiani. f : y = 2x + 5 ; g : 5y = 10x 30 ; h : 6x + 18y -12 = 0 11.b) Rappresenta le seguenti funzioni reali nello stesso piano cartesiano e leggi (se possibile) i punti di intersezione di ogni retta con gli assi cartesiani. p: 3y x = 6 ; g : 5y x 2 = 0 ; h : 21y - 6y + 7 = 0 12. Data la funzione reale h : 2x y = 8 : a) calcolare i punti A, B di h intersezione assi; b) verifica graficamente. 13. Data la funzione, g : x + y = 6 a) Rappresenta g nel piano cartesiano e leggi i punti C, D di g intersezione assi cartesiani. b) Verifica algebricamente. 14. Sono date le funzioni reali f : y = x 3, g: y 2x = 5 a) Calcolare P di f intersezione g. b) Verificare graficamente. 15. Sono date le seguenti funzioni p : x y = x + 10 s : x y = 2x 5 a) Calcolare i punti E, F, G, H, di p e s intersezione assi cartesiani. b) Calcolare il punto M di p intersezione s. c) Verificare graficamente tutti i punti calcolati. 16. Sono date le seguenti funzioni m : x y = 7 - x t : x y = 3x 9 a) Determinare graficamente i punti H, I, L, Q di m, t intersezione assi cartesiani. b) Determinare graficamente il punto Z di m intersezione t. c) Verificare algebricamente tutti i punti trovati. 4
17. Sono date le funzioni reali p : y + 6 = 2x, s : y + 2x - 10 = 0 a) Rappresentare nel piano cartesiano p e leggere i punti A, B di p intersezione assi. b) Calcolare M di p intersezione s. c) Rappresentare nel piano cartesiano s e indica se passa per il punto Z (2;13). d) Verifica con il calcolo. 18. Sono date le rette seguenti: f : 7y + 2x = 35 ; g : 2x + 7y + 42 = 0 ; h : 2x 7y 4 = 0 Stabilire quali sono parallele tra loro. 19. a) Stabilire se la retta passante per i punti Z (-2;6 ) e Q ( 4;-9) è parallela alla retta di equazione 2y + 5x = -12. b) Un altra retta passa per D (x; 3) e F ( 8;-22 ). Per quali valori di x la retta passante per DF è parallela alla retta passante per ZQ? 20. Verificare se la retta f : 7y 5x = 28 è perpendicolare alla retta g di equazione 7x + 5y 6 = 0 21. Verificare se la retta h : 3y 2x = 6 e s : 2y 3x = -5 sono perpendicolari; rappresentale poi nello stesso piano cartesiano. Determina quale delle due rette passa per F ( 1 ; -1 ). 22. Verificare che la retta passante per A ( 2 ; 7 ) e B ( 5 ; 3 ) è perpendicolare alla retta 3x 4y + 8 = 0. Rappresentale entrambe nello stesso piano cartesiano. 23. È data la retta t di equazione 4y 3x + 1 = 0 e il punto E ( 6 ; -6 ). Sapresti determinare l equazione della retta p passante per E e perpendicolare alla retta t? 24. È data la retta z : y mx + x 5 = 0, determinare il valore del parametro m della retta z affinché sia perpendicolare alla retta passante per C ( 2 ; -3) e D ( 8 ; 4 ). 25. Sono date le rette m : 2y 3x + 6 = 0 e q : 3y 2px + p + 8 = 0 Determinare il valore di p della retta q affinché sia perpendicolare alla retta m. Scrivere dunque l equazione di q e rappresenta le due rette nello stesso piano cartesiano. 26. È data la retta q : 2y 4dx + x + 8 = 0, determinare il valore del parametro d della retta q affinché sia perpendicolare alla retta passante per A ( 5 ; -4) e P ( 10 ; -2 ). 5
27. Scrivere l equazione delle rette passanti per i seguenti punti: a) C (3 ; -5), D (5 ; -2) b) F (0 ; -4), G (-5 ; -2) c) H (-2 ; -4), L (1/2 ; 1/3) d) P (- 2/3 ; -2/5), Q (-2/3 ; 1/5) 28 È data la retta p : 2y (5c + 1) x = 4, determinare il valore del parametro c della retta p affinché sia perpendicolare alla retta passante per M ( 2 ; 5 ) e T ( 3 ; 1 ). 29. Determinare l equazione della retta passante per P ( 5 ; 4 ) e parallela alla retta 2x + 5y 1 = 0. Rappresentare poi le due rette nello stesso piano cartesiano. 30. Scrivere l equazione della retta passante per i punti A (2 ; - 5 8 ) e B (3 ; - 5 6 ) e 12 verificare che passa per il punto C (1. ; - ). 5 31. 32. 33. 34. 35. 36. 6
37. 38. 39. 40. 41. Data la funzione reale seguente : f : x y = 32 x 4 43.1 Calcolare f 1 43.2 Calcolare f intersezione f 1 43.3 Rappresentare f e f 1 nello stesso piano cartesiano e verificare il punto d intersezione. 42. Data la funzione reale seguente : g : x y = 2x + 2 44.1 Calcolare g 1 44.2 Calcolare g intersezione g 1 44.3 Rappresentare g e g 1 nello stesso piano cartesiano e verificare il punto d intersezione 43 Data la funzione reale seguente : 4x h : x y = 34 x 45.1 Calcolare h 1 45.2 Calcolare h intersezione h 1 45.3 Calcolare i punti di h intersezione assi cartesiani. 7
44. Il titolare di un negozio intende dotarsi di un nuovo cellulare per un suo dipendente; si rivolge presso un agenzia, che gli fa le seguenti proposte: Proposta EASY Proposta PRIVATE Proposta BUSINESS Acquisto cellulare e carta SIM Abbonamento mensile Costo comunicazione al minuto Cellulare 200.- CHF Carta SIM 40.- CHF 0.- CHF 0,80 CHF Cellulare 80.- CHF Carta SIM 40.- CHF 25.- CHF 0,50 CHF Cellulare 0.- CHF Carta SIM 0.- CHF 60.- CHF 0,20 CHF Le seguenti proposte sono vincolate dalla firma di un contratto di 2 anni, quindi la spesa dell acquisto del cellulare e della carta SIM è da ripartire su 24 mesi. 46.1 Indicare le funzioni che a x minuti di conversazione fanno corrispondere il costo mensile per ognuna delle proposte. 46.2 Rappresentare sul grafico la spesa mensile delle tre proposte (da 0 a 150 minuti di conversazione; 1 quadretto = 5 minuti o CHF). 46.3 Definire algebricamente con un intervallo (in minuti) quando è più conveniente ognuna delle tre proposte (calcolare bene il valore dei loro estremi; arrotondare al minuto intero). 46.4 Il titolare prevede che la comunicazione del suo dipendente varierebbe tra gli 80 minuti min. e i 100 minuti max. Calcolare secondo la proposta più conveniente, il costo mensile minimo e massimo. 47. Un comune decide di dare in appalto il servizio di sgombero della neve per l inverno 2006-2007. Al concorso, pubblicato sul foglio ufficiale, rispondono tre ditte, che sottopongono le seguenti offerte: - ditta A: una tariffa di base di 1'000.- CHF, più 200.- CHF per ogni ora di servizio; - ditta B: una tariffa oraria di 400.- CHF; - ditta C: una tariffa di base di 1'800.- CHF, più 120.- CHF per ogni ora di servizio. 47.1 Nel mese di ottobre 2006, considerando che mediamente negli ultimi anni le nevicate hanno chiesto un intervento per lo sgombero della neve della durata di 8 ore, il comune decide di accettare l offerta che offre il servizio più conveniente. Quale ditta avrà scelto il comune? Rispondere rappresentando graficamente le offerte delle tre ditte, in modo che siano ben visibili i punti d intersezione. 47.2 La nevicata di fine gennaio 2007, ha richiesto un intervento per lo sgombero della neve di 32 ore. Quanto perde il comune, se confronta i prezzi con l offerta scelta e l offerta più vantaggiosa? 48. Un commesso viaggiatore ogni anno cambia l automobile con la quale si sposta per lavoro. 8
Quest anno si trova a decidere tra l acquisto di 2 modelli, una (A) è in vendita a 45'000 CHF, l altra (B) a 60 000 CHF. Da una rivista specializzata risulta che dopo l acquisto, per queste due vetture sono da calcolare dei costi supplementari di 40 centesimi al Km per A e 25 centesimi al Km per B. L azienda versa a questo signore 65 centesimi per ogni Km percorso come rimborso spese. 48.1 Scrivere tre funzioni relative al costo delle due vetture e al rimborso dell azienda, in base ai chilometri percorsi. 48.2 Rappresentare queste funzioni su uno stesso diagramma, in modo tale che siano visibili tutti i punti di intersezione. 48.3 Ipotizzando una percorrenza annua di 50'000 Km, quale auto converrebbe acquistare? Motiva la tua risposta. 48.4 Dopo quanti chilometri percorsi il rimborso dell azienda copre interamente i costi della vettura A e dopo quanti chilometri copre quelli della vettura B? 49. Il signor Rossi intende noleggiare un camper per le vacanze e si fa fare delle proposte da un rivenditore. - Camper A: costo fisso di 300 CHF e 50 cts al chilometro. Consuma 1litro ogni 12 km. - Camper B: costo fisso di 500 CHF e 20 cts al chilometro. Consuma 1 litro ogni 16 km. Supponendo che il costo della benzina venga mantenuto stabile a 1,20 CHF al litro per tutta la vacanza, rispondi alle seguenti domande: 49.1 Scrivi la forma algebrica delle funzioni che al numero x di chilometri percorsi fanno corrispondere a) i costi di noleggio del camper A b) i costi di noleggio del camper B c) i costi della benzina con il camper A d) i costi della benzina con il camper B e) i costi totali decidendo di noleggiare il camper A f) i costi totali decidendo di noleggiare il camper B. 49.2 A partire da quanti km è più conveniente la proposta del camper B? 49.3 Scegliendo il camper B e decidendo di non spendere più del triplo dei costi fissi, quanti chilometri al massimo si potranno percorrere? 50. Una ditta si procura articoli semilavorati e dopo un accurata rifinitura li vende a dei grossisti. Per l azienda, che deve coprire dei costi fissi annui, la produzione presenta i seguenti costi complessivi: Articoli semilavorati 1'000 pz 4'000 pz Costo 18'000.- CHF 42'000.- CHF Per lo smercio si conoscono i seguenti ricavi: Articoli venduti 2'000 pz 5'000.- pz Ricavo 20'000.- CHF 50'000.- CHF 9
50.1 Determinare l equazione della funzione che esprime i costi complessivi e quella del ricavo; trovare poi algebricamente il punto d equilibrio (ossia costi = ricavi; indicare con x gli articoli e con y il prezzo). 50.2 Rappresentare graficamente le due funzioni e il punto di equilibrio trovato. 50.3 La ditta decide di aumentare di 2 CHF il prezzo di vendita di ogni articolo, trovare la nuova equazione della funzione dei ricavi e calcolare il nuovo punto di equilibrio. 51. Una piccola azienda produce delle apparecchiature per il settore automobilistico. L imprenditore sa che riesce a vendere tutti gli apparecchi che produce se li vende al prezzo di 150.- CHF l uno. Stima i costi fissi a 9'000.- CHF e il costo per apparecchio a 50.- CHF l uno. L imprenditore ha anche la possibilità di acquistare una macchina per la produzione delle apparecchiature, riducendo i costi di produzione a 30.- CHF l uno, ma aumentando i costi fissi di 5'400.- CHF. 51.1 Determinare le funzioni che descrivono: a. la cifra d affari; b. i costi di produzione senza macchina; c. i costi di produzione con la macchina. 51.2 Rappresentare le tre funzioni su un diagramma cartesiano (prima di disegnare valuta la scelta delle unità per gli assi in modo che sul grafico ci siano tutti i punti d intersezione). 51.3 Indica sul grafico e verifica algebricamente: a. a partire da quanti apparecchi prodotti conviene la produzione senza macchina? b. a partire da quanti apparecchi prodotti conviene la produzione con macchina? c. a partire da quanti apparecchi prodotti conviene la produzione con macchina rispetto a quella senza macchina? 52. Per l ingresso a una palestra per un intero anno, ho la scelta tra le seguenti condizioni : - abbonamento annuale Fr. 900.00 ( e poi entro gratis). - abbonamento annuale Fr. 400.00 e poi pago Fr. 4.00 per ogni entrata. - nessun abbonamento, e ogni entrata mi costa Fr. 12.00. 52.1 Scrivi le tre funzioni prezzo, dove x è il numero delle entrate annue, y è il mio costo. 52.2 Fai il grafico delle tre funzioni. 52.3 Dal grafico, stabilisci quale delle tre condizioni sia più vantaggiosa, a dipendenza del numero di entrate annue previsto. 53. Nella sua bottega alla periferia di San Pietroburgo, Yuri produce matrioske da vendere al mercato a 60 rubli il pezzo. La bottega gli costa 600 rubli al mese di 10
affitto, inoltre deve calcolare lo stipendio per il suo aiutante (400 rubli) e per sé (800 rubli). Per il materiale (legname, vernice, ecc) ci vogliono 40 rubli per ogni matrioska prodotta. Fate un analisi di punto morto per l attività di Yuri. 54. Come cambia la situazione dell esercizio precedente se l aiutante lascia il posto di lavoro e Yuri deve mandare avanti l attività da solo? (Tutte le altre condizioni rimangono invariate). Per Yuri le cose migliorano o peggiorano? Potete riutilizzare il grafico del punto 1, specificando il significato di ogni retta. 55. Toshiro e Mitsuru hanno affittato un monolocale nei sobborghi di Kobe, dove assemblano videogiochi tascabili per conto di un grande distributore, che paga loro 10 yen al pezzo. Per le componenti necessarie (che comprano all ingrosso) spendono 4 yen al pezzo. Il locale costa 400 yen di affitto al mese e i due soci contano su uno stipendio di 700 yen ciascuno. Fate l analisi di punto morto per l attività di Toshiro e Mitsuru.. 56. Il grossista che fornisce loro le componenti aumenta il prezzo di 1 yen al pezzo (da 4 a 5). I due soci si trasferiscono in un appartamento meno caro, risparmiando 50 yen al mese. Fate una nuova analisi di punto morto, le cose migliorano o peggiorano per questa piccola azienda? Potete riutilizzare il grafico del punto 1, specificando il significato di ogni retta. 57 Sull isola greca di Samos, Kostas noleggia motocicli a giornata per i turisti. La sua tariffa è di 12 al giorno per uno scooter. Per la struttura dove esercita la sua attività spende, tra affitto, tasse e assicurazioni varie 120 al giorno. Le riparazioni e la manutenzione di uno scooter gli costano 7 per ogni giorno di utilizzo. Fai un analisi di punto morto per questa piccola azienda. 58 Kostas dell esercizio precedente assume alle sue dipendenze il meccanico Ghiorghis, che gli permette di ridurre i costi per le riparazioni da 7 a 5 per giorno di utilizzo di uno scooter, aumentando però nel contempo le spese fisse da 120 a 140 al giorno. Rifai l analisi di punto morto (puoi riutilizzare il grafico del punto 1) L assunzione di Ghiorghis è vantaggiosa per Kostas? Per quali ragioni e a quali condizioni? Argomenta brevemente aiutandoti con il grafico. 11