FIBONACCI: matematica - natura - arte

FIBONACCI: matematica - natura - arte

«la filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi ma non si può intendere se prima non si impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, né quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro labirinto». Da «Il Saggiatore» (1623) di Galileo Galilei

I segreti di questo straordinario mondo, che esibisce vere e proprie opere d arte, sono sbalorditive sequenze numeriche, come si accorse più di otto secoli fa un grande matematico toscano di nome Leonardo Pisano, meglio noto come Fibonacci.

Luci d artista Il volo dei numeri Dal 2002, in occasione della sistemazione dell illuminazione esterna e della nascita del progetto "Luci d Artista", sul fianco della cupola è stata montata una scultura luminosa di Mario Merz, Il volo dei numeri. Rappresenta l inizio della serie di Fibonacci, ed è una sfolgorante installazione concettuale in grado di rappresentare l esplosivo e apparentemente caotico processo di crescita tipico di molti fenomeni naturali.

Leonardo Pisano o da Pisa (Pisa 1170 ca. Pisa 1250 ca.) matematico del XIII secolo, detto Fibonacci (Filius Bonacii). Suo padre (Guglielmo Bonacci) era segretario della Repubblica di Pisa e responsabile, a partire dal 1192, del commercio pisano presso la colonia di Bugia, oggi Bejaia, nel nord-est dell Algeria. Dopo il 1192 Bonacci portò suo figlio a Bugia dove apprese le tecniche di calcolo. Fare clic sull'icona per inserire un'immagine

Fare clic sull'icona per inserire un'immagine Fibonacci viaggiò in Egitto, Siria, Grecia, Sicilia e Provenza dove imparò le tecniche matematiche impiegate in queste regioni. Verso il 1200 tornò a Pisa dove lavorò a diverse opere matematiche. La statua di Fibonacci a Pisa

L opera più importante è il «Liber abaci» in cui raccoglie quasi tutte le conoscenze aritmetiche e algebriche dell epoca ha un ruolo fondamentale nello sviluppo della matematica dell Europa occidentale

- diffusione della numerazione indo-arabica (al posto di quella latina) che semplifica i commerci, poiché semplificava le modalità di calcolo nelle operazioni quotidiane - valore posizionale delle cifre - introduzione di un nuovo simbolo corrispondente allo ZERO, per indicare le posizioni vuote.

Un problema, nella terza parte del «Liber abaci», portò all introduzione dei numeri e della sequenza di Fibonacci, per la quale è ricordato ancora oggi. La reputazione di Fibonacci come matematico divenne così grande che il Sacro Romano Imperatore Federico II di Svevia gli chiese un udienza mentre era a Pisa nel 1225. A Fibonacci è stato anche dedicato un asteroide: 6765 Fibonacci.

ORIGINE DELLA SUCCESSIONE Nel 1223, a Pisa, l imperatore Federico II di Svevia assistette ad un singolare torneo tra abacisti e algoritmisti: in quella gara si dimostrò che col metodo posizionale indiano appreso dagli arabi si poteva calcolare più velocemente di qualsiasi abaco.

Gregor Reisch, Margarita Philosophica, 1508: la lotta fra abacisti e algoritmisti; si noti il volto soddisfatto dell algoritmista contrapposto a quello deluso dell abacista, sotto la guida dello spirito (ovviamente femminile) dell aritmetica.

Problema «Un tale mise una coppia di conigli in un luogo completamente circondato da un muro, per scoprire quante coppie di conigli discendessero da questa in un anno: per natura le coppie di conigli generano ogni mese un'altra coppia e cominciano a procreare a partire dal secondo mese dalla nascita.» Liber Abaci Fibonacci, vinse la gara dando al test una risposta così rapida da far persino sospettare che il torneo fosse truccato.

Nasce così la celebre successione di Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, i primi 2 elementi sono 1, 1; ogni altro elemento è dato dalla somma dei due che lo precedono.

AMBITI DI APPLICAZIONE DELLA SUCCESSIONE DI FIBONACCI: aritmetica chimica fisica musica arte geometria natura anatomia umana astronomia e meteorologia economia informatica botanica frattali

Le proprietà della successione 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 -.. 12 mes 1. Il quadrato di ogni numero di Fibonacci - differisce di uno dal prodotto dei due numeri di fianco ad esso - la differenza è, alternativamente, più o meno 1, via via che la serie continua. Esempi: 52 = 25 82 = 64 132 = 169 3 x 8 = 24 ( 1) 5 x 13 = 65 ( + 1) 8 x 21 = 168 ( 1) Questa proprietà è conosciuta come IDENTITA DI CASSINI scoperta nel 1680 da Jean- Dominique Cassini

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 -.. 2. Sommando i primi n numeri di Fibonacci ed aggiungendo 1, il risultato è sempre uguale al numero (n + 2) di F., ovvero al numero due volte dopo l ultimo addizionato. Esempi: n=5 n=8 1 + 1 + 2 + 3 + 5 = 12 12 + 1 = 13 (n + 2) = (5 +2) = 7 num. di F. 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 = 54 54 + 1 = 55 (n + 2) = (8 + 2) = 10 num. di F.

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 -.. 3. Se (invece di sommare tutti i numeri) se ne somma uno sì ed uno no, il risultato è sempre uguale al numero successivo all ultimo addizionato. Esempi: sommo i primi tre: 1 + 2 + 5 = 8 sommo i primi sei: 1 + 2 + 5 + 13 + 34 + 89 = 144

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 -.. 4. Se si somma il quadrato di un numero (n) con il quadrato del suo successivo (n + 1), si ottiene il (2n + 1) numero della sequenza. Esempi: F(4) (quarto numero della sequenza) che è 3 32 + 52 = 9 + 25 = 34 che è F(9) (2 x 4 + 1) F(6) (sesto numero della sequenza) che è 8 82 + 132 = 64 + 169 = 233 che è F(13) (6 x 2 + 1)

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 -.. 5. Per quattro numeri di Fibonacci consecutivi qualsiasi si ha che: terzo2 - secondo2 = primo x quarto Esempi: consideriamo i numeri consideriamo i numeri 3 5 8 13 82 52 = 3 x 13 64 25 = 39 8 13 21 34 212 132 = 8 x 34 441 169 = 272

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 -.. 6. F(12) (il dodicesimo numero della sequenza) è l unico quadrato perfetto 144 = 12 x 12 = 122 F(6) (il sesto numero della sequenza) è l unico cubo perfetto 8 = 2 x 2 x 2 = 23

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 -.. 7. Se dividiamo qualsiasi numero per il secondo che lo precede nella sequenza, otterremo sempre 2 come quoziente e come resto il numero che precede immediatamente il divisore. Esempi: F(10) = 55 F(8) = 21 55 : 21 = 2 resto 13 = F(7) F(9) = 34 F(7) = 13 34 : 13 = 2 resto 8 = F(6) F(11) = 89 F(9) = 34 89 : 34 = 2 resto 21 = F(8)

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 -.. 8. Dal «triangolo di Tartaglia» si possono ricavare i numeri di Fibonacci: si devono sommare i numeri delle diagonali evidenziate in figura

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 -.. 9. Ogni due numeri ve n è uno divisibile per due, ogni tre numeri ve n è uno divisibile per tre, ogni quattro numeri ve n è uno divisibile per cinque,, ogni n numeri vi è o un numero primo o un numero divisibile per lo stesso numero primo.

La successione di Fibonacci ha portato ad approfondire moltissimi ambiti della matematica e delle scienze naturali. Tuttavia, pur avendo scoperto questa importante successione, Fibonacci non colse molti degli aspetti finora visti, né quello principale che, solo quattro secoli più tardi, osservò Keplero: il rapporto tra due termini successivi tendeva alla SEZIONE AUREA.

PROPRIETA PRINCIPALE: SEZIONE AUREA Il rapporto tra un numero della serie di Fibonacci e il suo precedente tende a un numero decimale illimitato (irrazionale) chiamato «sezione aurea» o «numero aureo» o «numero di Fidia» indicato con φ = 1,6180339887 1:1 = 1 2:1 = 2 3:2 = 1,5 5:3 = 1,66666666 8:5 = 1,6 13:8 = 1,625 21:13 = 1,61538461 34:21 = 1,61904761 55:34 = 1,61764705 89:55 = 1,61818181 144:89 = 1,61797752 233:144 = 1,61805555 377:233 = 1,61802575 610:377 = 1,61803713 987:610 = 1,61803278. 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 -

RETTANGOLO AUREO In geometria la sezione aurea è il segmento a ed è legato al «rettangolo aureo», cioè quella particolare figura in cui il rapporto tra il lato maggiore (a) e il lato minore (b) è uguale a φ.

Se si prova a sottrarre dal rettangolo di partenza un area pari al quadrato generato dal lato minore, si otterrà un nuovo rettangolo ancora una volta in proporzione aurea; togliendo ancora un quadrato dal rettangolo figlio con lo stesso procedimento, si otterrà nuovamente un rettangolo rimpicciolito del fattore φ. Proseguendo, si otterranno dunque una serie di rettangoli sempre più piccoli, ma tutti simili.

Un modo per costruire questo tipo di rettangolo è quello di accostare in successione dei quadrati che abbiamo per lati i valori della successione di Fibonacci. In questo modo si creerà una successione di rettangoli sempre più vicini a quello aureo, ma è bene precisare che sarà sempre una approssimazione che non diventerà mai esatta: perché il rapporto aureo è un numero irrazionale, 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55.

Diversi filosofi ed artisti sono arrivati, col tempo, a cogliere nel rettangolo aureo un ideale di bellezza e armonia, spingendosi a ricercarlo e, in alcuni casi, a ricrearlo nell'ambiente antropico quale "canone di bellezza"; testimonianza ne è la storia del nome che in epoche più recenti ha assunto appunto gli appellativi di "aureo" o "divino".

SPIRALE DI FIBONACCI La curva che passa per vertici consecutivi di questa successione di rettangoli è una spirale che troviamo spesso nelle conchiglie, nelle squame dell ananas, nella disposizione dei semi del girasole e delle foglie su un ramo.

1 Un particolare mollusco chiamato Nautilus ha una conchiglia che assume la forma della spirale di Fibonacci. Il nautilus è classificato come fossile vivente. Questo animale nella sua conchiglia aumenta di grandezza e si costruisce camere sempre più spaziose, sigillando le precedenti ormai inutilizzabili perché troppo piccole. Così, mentre la conchiglia si allunga, il raggio aumenta in proporzione, creando la particolare forma a spirale e facendo in modo di non mutare la forma del guscio.

In realtà la Spirale di Fibonacci (o Spirale aurea) si avvicina molto alla forma del Nautilus, ma non è coincidente (come si può vedere da questa immagine)

La successione di Fibonacci ha un ruolo fondamentale 2 nella fillotassi, branca della botanica che studia l ordine in cui foglie, PETALI, squame, ecc. vengono distribuite, conferendo una struttura geometrica alle piante.

Il matematico e astronomo Keplero, per primo, osservò in natura la presenza significativa del numero 5 (quinto numero nella successione di Fibonacci). Egli riteneva che quasi tutti gli alberi e i cespugli avessero fiori composti da 5 petali e frutti con 5 suddivisioni. In effetti ciò si osserva se si taglia orizzontalmente una mela. Le principali famiglie di fiori con uno schema a 5 petali comprendono: i garofani, le rose (con fragole, more e mele), le leguminose, i gerani, le viole, l' erica (con rododendri, azalee e mirtilli), le primule, le solanacee (con pomodori, patate e peperoni). Oltre a schemi basati sul numero 5, in natura sono molto comuni anche quelli basati su 2 e 3 (o sui loro multipli), in parte per il fatto che in biologia un principio fondamentale è costituito dall'espansione, ovvero dalla crescita per suddivisione. Il pericarpo di una mela è a forma di stella a cinque punte

Il rapporto tra il segmento AC e il segmento C B è esattamente la sezione aurea e, poiché si tratta di una figura regolare, il rapporto è rappresentato 5 volte. Nella parte centrale del pentacolo è racchiuso un pentagono regolare e il "rapporto aureo" è presente anche in questa figura: basta tracciare le diagonali. Si origina un nuovo pentagono... e il procedimento si può iterare all'infinito. e questo pentagono dà luogo a molti rettangoli aurei! Un'infinità di rapporti aurei in pentagoni inscritti uno nell'altro. Questo numero è stato venerato da numerose culture diverse e per molte epoche.

ANGOLO AUREO Cioè il rapporto proporzionale angolare tra due segmenti circolari

Ciascun elemento botanico (foglie, petali, squame, semi, ), sviluppandosi uno per uno, diverge di un determinato angolo rispetto al precedente. Nella maggior parte dei casi l'angolo approssima l'angolo aureo, cioe 137,5. Per apprezzare il significato dell'angolo aureo, consideriamo due numeri consecutivi della successione di Fibonacci, ad esempio F9 = 34 e F10 = 55, facendo il rapporto e moltiplicando per 360 otteniamo 222,5 gradi. 34 : 55 = 0,6181818 x 360 = 222,5 Ora, poichè l'angolo 222,5 è maggiore di 180, dovremmo sottrarlo a 360 : 360-222,5 = 137,5 cioè l'angolo aureo. Oppure: 55 : 89 = 0,617977 x 360 = 222,471911 = 222,5 222,5 = 137,5 89 : 144 = 0,6180555 x 360 = 222,5 360 360-222,5 = 137,5

Questo valore è profondamente presente in natura. Come si configura la struttura formata dai semi di girasole: Aggiungiamo un primo seme rosso. Ruotiamo di 137,5º Aggiungiamo un secondo seme di colore verde e torniamo al centro. Ruotiamo di altri 137,5º Aggiungiamo un terzo seme ocra e torniamo al centro, proprio accanto al primo seme.

... E così via, seme dopo seme, otterremo a poco a poco una sorta di distribuzioni come quelle illustrate nelle seguenti figure. In questo modo si arriva alla caratteristica struttura del girasole, in cui tutti i semi sono disposti nel modo più compatto possibile.

Il modello matematico dell'accrescimento del girasole La figura illustra un esempio di fillotassi a spirale nel capolino di un girasole, infatti se si contano attentamente il numero delle spirali, si nota che quelle in senso orario, evidenziate in arancione, sono 21 e quelle in senso antiorario, in azzurro, sono 34, cioè due numeri consecutivi della successione di Fibonacci. Ma queste due famiglie di spirali non sono le uniche presenti nel capolino, bensì sono le uniche visibili.

Solitamente quando le spirali orientate in senso orario sono 34 quelle orientate in senso antiorario sono 55; quando le spirali orientate in senso orario sono rispettivamente 55 o 89 quelle orientate in senso antiorario sono 89 e 144, tutti numeri consecutivi appartenenti alla successione di Fibonacci. 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233

Un altro evidente esempio di fillotassi basata sui numeri di Fibonacci è l ANANAS. Ognuna delle squame che rivestono questo frutto appartiene a tre spirali diverse, evidenziate in figura: una che sale da sinistra verso destra ripidamente (verde), una con angolazione minore sempre nella stessa direzione (blu) e un ultima da destra verso sinistra (rossa). Le quantità di queste spirali presenti coincidono con i numeri della successione di Fibonacci.

Idealizzando la buccia dell ananas come la superficie di un cilindro, si immagini di aprirla lungo una linea verticale e di distenderla su un piano, ottenendo così una striscia compresa fra due copie della stessa linea.

Analogamente la fillotassi delle brattee delle PIGNE segue un andamento a spirale aurea. Le brattee si dispongono, infatti, secondo due serie di spirali dal ramo verso l esterno, una in senso orario e l altra in senso antiorario.

DISPOSIZIONE DI RAMI E FOGLIE Nel caso della disposizione dei rami, se si proiettano le ramificazioni di diverse piante o alberi su un piano si vede che l'angolo fra due rami successivi è costante e vicino all'angolo aureo. Inoltre per quanto riguarda l'emissione di nuovi rami, alcune piante seguono una regola precisa. Ogni nuovo ramo prima di germogliare, richiede un periodo di tempo che dipende dal tipo di pianta. Ogni ramo impiega un mese prima di biforcarsi, similmente al problema dei conigli. Successivamente tale ramo germoglia a intervalli di tempo più brevi. Prendendo come unità di tempo il mese, il numero dei rami evolve seguendo la successione di Fibonacci.

La fillotassi non appare solo come regolarità nell'accrescimento delle piante, ma riguarda anche la disposizione delle foglie sul fusto. La si può osservare prendendo una pianta che non sia stata potata e cominciando dalla foglia più in basso, si risale lungo il fusto, contando il numero di rotazioni attorno ad esso, fino a che non si raggiunge la foglia la cui direzione è la stessa della foglia di partenza. Il numero di rotazioni sarà un numero di Fibonacci, e anche il numero di foglie trovate sul cammino fino a raggiungere la foglia finale, apparterrà alla successione di Fibonacci.

Le foglie sui rami e i rami sul tronco tendono a disporsi in modo tale da avere una massima esposizione al sole: per questo motivo la loro successione segue un andamento rotatorio e spiraliforme.

Ancora un esempio di fillotassi a spirale che si può rilevare nel cavolfiore o nel broccolo.

La quantità e la disposizione dei petali di alcuni fiori sono anch'esse collegate coi numeri di Fibonacci e il rapporto aureo. Quanti di noi, almeno una volta nella vita, hanno «interrogato» i petali della margherita intorno alla fatale questione (m'ama o non m'ama)? La maggior parte delle margherite di campo hanno 13, 21 o 34 petali (in alcuni casi 55 o 89) numeri ormai familiari. (Si noti che i primi due sono dispari; perciò, cominciando con «m'ama» il buon esito è garantito.) Il numero di petali riflette semplicemente il numero di spirali in ogni famiglia. Anche la mirabile corolla della rosa è collegata al rapporto aureo, perché la successione circolare delle foglie si basa sull'angolo aureo di 137,5

Le foglie, numerate da 1 a 10 in base all'ordine di formazione, si dispongono a formare una spirale Quasi tutti i fiori hanno 3 o 5 o 8 o 13 o 21 o 34 o 55 o 89 petali. Ad esempio: i gigli ne hanno 3, i ranuncoli o la parnassia 5, il delphinium spesso ne ha 8, come il cosmos, la calendula 13, il girasole 34.

Manifestazioni del rapporto aureo nell ARTE Analizzando la presenza del numero φ nell arte di tutti i tempi si scopre che è largamente presente. Non sempre si può valutare se è stata una scelta consapevole, ma certo si rimane esterrefatti a scoprire che monumenti antichissimi hanno tutte le loro parti divinamente proporzionate, come, per esempio, nella Porta del Sole in Bolivia (1500 a.c.)

In uno dei più antichi documenti matematici, il papiro Rhind che risale approssimativamente al 1650 a.c., si fa riferimento a un "rapporto sacro" che era importante per gli Egizi. Nella grande piramide di Cheope, costruita a Giza verso il 2650 a.c. circa, il rapporto fra l'apotema e la metà del lato di base è quasi esattamente 1,618, mentre il rapporto fra l'altezza della piramide e la metà del lato di base è radice quadrata di φ.

La civiltà classica greca si pose come scopo quello di unificare tutte le arti e le scienze secondo rapporti armonici: gli antichi architetti dunque nei loro edifici dovevano ricercare l accordo tra le misure mediante la ripetizione di rapporti proporzionali privilegiati. In particolare un celebre esempio di trionfo del rapporto divino come modulo è il Partenone dell Acropoli di Atene, progettato dall architetto Fidia, da cui deriva il nome Phi del Rapporto.

Il Partenone con l individuazione dei rettangoli aurei sulla facciata

Nell arco di Costantino la proporzione aurea venne rispettata integralmente: nella distribuzione dei tre settori del fronte suddivisi dalle colonne, nell altezza dei fornici, nel rettangolo aureo di altezza complessiva della parte centrale. I settori laterali sottostanti il fregio presi a sé ripropongono di nuovo il rettangolo aureo, rettangolo che è comunque proporzionale al rettangolo aureo dell area centrale.

Segmenti aurei individuati sulla facciata di Notre Dame. Il palazzo di vetro dell'onu a New York...

La Torre CN a Toronto, la più alta a struttura autoportante al mondo, segue la sezione aurea. Il rapporto tra la sua altezza complessiva di 553,33 metri e l'altezza del ponte di osservazione a 342 metri è infatti 1,618. La scala a volute a spirale aurea dell abbazia benedettina di Melk (Austria).

Nel campo della pittura si possono ricordare: Piero della Francesca: la «Flagellazione di Cristo» Andando a misurare il rapporto tra la distanza delle due colonne che reggono l atrio e la distanza tra la colonna di sinistra e quella a cui è legato Cristo, si otterrà il numero Φ. Allo stesso modo la divisione tra spazio interno ed esterno è diviso secondo la sezione aurea.

Sandro Botticelli, nella sua opera «La nascita di Venere», cercando di generare un nudo perfetto, non potè fare a meno di inserire il rapporto aureo che donasse armonia alla figura della donna.

Leonardo da Vinci, figura fondamentale del Rinascimento, afferma che «la pittura è la regina delle arti ed è strettamente legata alle scienze matematiche,». Questo discorso trova la sua rappresentazione migliore nel celebre Uomo vitruviano, in cui egli stabilì che la proporzione umana è perfetta solo quando l ombelico divide l uomo in modo aureo.

«La Gioconda»: il rettangolo aureo è individuabile in più parti. E possibile inserire in questo particolare rettangolo la disposizione generale del quadro, le dimensioni del viso, l area che va dal collo a sopra le mani e ancora quella che va dalla scollatura dell abito fino alla fine inferiore del braccio sinistro.

Nell opera L ultima cena il rapporto aureo viene utilizzato con una particolare funzione: essendo Gesù l unica figura divina, Leonardo lo inscrive in un rettangolo dal rapporto dei lati pari a φ.

Distribuzione delle preferenze estetiche sulle proporzioni di vari rettangoli, secondo Fechner. Il maggior numero di preferenze si concentra attorno ai rettangoli aurei. Si osserva che il rettangolo aureo, che occupa una posizione intermedia tra i rettangoli del campione, presenta la più alta frequenza di scelte secondo un canone estetico. L esperienza di Fechner intendeva esaminare (e di fatto sanzionava) la credibilità di un opinione largamente diffusa tra pittori ed architetti (ed anche tra matematici) secondo cui dall osservazione del rettangolo aureo si traesse un senso di equilibrata armonia. Numerose sono infatti le opere d arte nelle quali si riscontrano le proporzioni del rettangolo aureo.

Sarà un caso se anche le carte di credito, le carte bancomat, le tessere sanitarie, le tessere soci dei vari supermercati,. sono rettangoli aurei?

La sequenza di Fibonacci in questa scultura di John Edmark! John Edmark è un designer/inventore/artista che ha progettato incredibili sculture 3D in grado di generare un effetto visivo unico sfruttando la sequenza di Fibonacci. Queste creazioni sono composte con la medesima struttura naturale presente ad esempio nei girasoli o nelle pigne. Facendole ruotare danno la sensazione di un movimento infinito, costantemente dinamico e sinuoso, un movimento che sarebbe possibile associare al concetto stesso di vita. In questo progetto, se si conta il numero di spirali per ogni fermo immagine, si avrà sempre numeri relativi alla sequenza del matematico pisano.

e i z a r e n G o i z n e t t a l l e d