GEOMETRIA 3 LE TRE DIMENSIONI richiami della teoria n La geometria dello sazio o geometria dei solidi eá il settore della geometria che si occua di cori a tre dimensioni; n una retta eá erendicolare ad un iano se lo interseca in un unto e se eá erendicolare ad ogni retta del iano assante er quel unto; n la distanza di un unto da un iano eá la lunghezza del segmento erendicolare condotto da quel unto al iano. COMPRENSIONE DELLA TEORIA 1 Comleta la seguente definizione: la geometria dello sazio o geometria dei solidi o ancora geometria solida eá il settore della geometria che si occua dei cori a... 2 Gli elementi fondamentali della geometria solida sono... 3 Indica quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false: a. er un unto assa un solo iano; V F b. er una retta assano infiniti iani; V F c. er un unto assano infiniti iani; V F d. er una retta assa un solo iano. V F 4 Comleta le seguenti definizioni: a. due rette aartenenti allo stesso iano si dicono...; b. due rette non aartenenti allo stesso iano si dicono...; c. una retta eá erendicolare ad un iano se lo interseca in un... e se eá... ad ogni retta del iano assante er quel unto; il unto di intersezione eá detto... della erendicolare. 5 La distanza di un unto da un iano eá: a. la lunghezza di un segmento condotto da quel unto al iano; b. la lunghezza del segmento erendicolare condotto da quel unto al iano; c. la lunghezza della retta erendicolare condotta da quel unto al iano. APPLICAZIONE 6 Considera due rette sghembe r ed s individuate dai segmenti AB e CD; traccia er il unto B la arallela t,individuata dal segmento BE,alla retta CD. Com'eÁ il iano individuato dalle due rette incidenti risetto alla retta s?
2 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 7 Una retta r eá arallela ad un iano ; come deve essere una retta di ercheâ esista un iano assante er questa retta e er r? Quanti ossono essere questi iani? 8 Se una retta r eá erendicolare ad un iano,due iani e,contenenti la retta r,come risultano risetto al iano? 9 Considera una retta r erendicolare ad un iano in un generico unto H. Siano P e Q due generici unti aartenenti risettivamente alla retta r e al iano. Di che natura eá il triangolo PQH? Siega il motivo della tua scelta. 10 Se una retta r eá erendicolare ad un iano in un unto H e P eá un generico unto di,qual eá la osizione reciroca tra la retta r e la retta assante er PH? Qual eá invece la osizione reciroca tra la retta r e una generica retta del iano assante er P ma non er H? 11 Esercizio Svolto Calcola la distanza del unto P dal iano saendo che PQ ˆ 205 cm e QH ˆ 123 cm. PQ ˆ 205 cm QH ˆ 123 cm PH? PH Alichiamo il teorema di Pitagora nel triangolo rettangolo PQH saendo che il cateto PH corrisonde alla distanza del unto P dal iano : q PH ˆ PQ 2 QH 2 ˆ 205 2 123 2 cm ˆ 42025 15129 cm ˆ 26896 cm ˆ 164 cm Utilizzando la figura dell'esercizio svolto recedente risolvi i seguenti roblemi. 12 Calcola la misura del segmento PH saendo che: PQ ˆ 95 cm; QH ˆ 57 cm; PH?. [76 cm] 13 Calcola la misura del segmento QH saendo che: PQ ˆ 155 cm; PH ˆ 124 cm; PH?. [93 cm] 14 Calcola la misura del segmento QP saendo che: PH ˆ 208 cm; QP ˆ 156 cm; PH?. [260 cm] 15 Esercizio Guidato Calcola la distanza di un unto P dal iano saendo che PQ QH ˆ 148 cm e PQ QH ˆ 37 cm. PQ QH ˆ 148 cm PQ QH ˆ 37 cm PH Determiniamo la misura di PQ e QP : h i QH ˆ PQ QH ::::: ::::: : 2 ˆ 148 37 : 2Š cm ˆ ::::::: cm PQ ˆ ::::: PQ QH ˆ 55,5 ::::: cm ˆ 92,5 cm Alichiamo il teorema di Pitagora nel triangolo rettangolo... er calcolare la misura del segmento PH: PH ˆ ::::::: ::::::: ˆ 92,5 2 ::::::: cm ˆ ::::::::::: 3080,25 cm ˆ :::::::::: cm ˆ 74 cm.
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 3 Utilizzando la figura dell'esercizio guidato recedente risolvi i seguenti roblemi. 16 Calcola la distanza del unto P dal iano saendo che PQ QH ˆ 232 cm e PQ QH ˆ 58 cm. [116 cm] 17 La distanza del unto P dal iano misura 150 cm saendo che PQH d eá amio 30,calcola la lunghezza di QH. [259,8 cm] 18 Calcola la distanza del unto P dal iano saendo che QH ˆ 50 cm e d PQH eá amio 60. [86,6 cm] 19 Una retta r eá erendicolare ad un iano in un unto H. Determina l'amiezza dell'angolo PQH d con il unto Q aartenente al iano,nei seguenti casi: a. PH ˆ QH; 45 Š b. PQ ˆ 2 QH; 60 Š c. PQ ˆ 2 PH. 30 Š 20 Da un unto P,non aartenente al iano,traccia due segmenti congruenti che intersecano il iano nei unti A e B allineati con il iede H della erendicolare condotta da P su. Saendo che i segmenti PA e PB sono lunghi ciascuno 25 cm,e che il erimetro del triangolo PAB eá 90 cm,calcola la distanza del unto P dal iano. [15 cm] 21 Doo aver disegnato due iani aralleli e,traccia in una circonferenza di centro O e inscrivi in essa un quadrato ABCD. Proietta sul iano il unto d'intersezione delle due diagonali del quadrato e chiama P questo unto. Saendo che i segmenti PO e PD sono uno 4 dell'altro e la somma delle loro 5 misure eá 135 cm,calcola il erimetro e l'area del quadrato. 254,5584 cm; 4050 cm 2 Š (Suggerimento: er il calcolo dell'area usa la formula A ˆ d 2 : 2 22 Disegna su un iano un rombo ABCD avente le diagonali AC e BD lunghe risettivamente 18 cm e 32 cm. Doo aver tracciato la retta erendicolare al iano assante er il unto d'intersezione H delle due diagonali,rendi un unto P tale che la sua distanza dal iano sia 12 cm. Calcola la distanza di P dai quattro vertici del rombo. PA ˆ PC ˆ 15 cm; PB ˆ PD ˆ 20 cm 23 Esercizio Svolto I unti P e Q di una retta r incidente con un iano distano dallo stesso iano risettivamente 46 cm e 18 cm; saendo che la loro distanza misura 35 cm,calcola la lunghezza della roiezione P 0 Q 0 del segmento PQ sul iano. PP 0 ˆ 46 cm P 0 Q 0 QQ 0 ˆ 18 cm PQ ˆ 35 cm Dal unto Q tracciamo una arallela al segmento P 0 Q 0 ; questa intersecheraá il segmento PP 0 in un unto R. Il triangolo PRQ eá rettangolo in R,ertanto: PR ˆ PP 0 QQ 0 ˆ 46 18 cm ˆ 28 cm Alicando il teorema di Pitagora,otteniamo: q RQ ˆ PQ 2 PR 2 ˆ 35 2 28 2 cm ˆ 1225 784 cm ˆ 441 cm ˆ 21 cm. Essendo P 0 Q 0 ˆ RQ tale valore raresenta la roiezione di PQ sul iano.
4 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 24 Osserva le seguenti figure e, utilizzando i dati della tabella a lato, calcola i valori incogniti. PQ ˆ 95 cm P 0 Q 0 PP 0 ˆ 123 cm QQ 0 ˆ 180 cm [76 cm] 25 PQ ˆ 145 cm P 0 Q 0 PP 0 ˆ 123 cm QQ 0 ˆ 106 cm [144 cm] 26 Esercizio Guidato Il segmento PQ eá lungo 112,5 cm; calcola la misura della sua roiezione sul iano saendo che QQ 0 ˆ 100 cm e HQ 0 ˆ 32,5 cm. PQ ˆ 112,5 cm P 0 Q 0 QQ 0 ˆ 100 cm HQ 0 ˆ 32,5 cm Calcoliamo la lunghezza del segmento QH: QH ˆ QQ 0 HQ 0 ˆ 100 32,5 cm ˆ 67,5 cm. Determiniamo la misura di PH alicando il teorema di Pitagora nel triangolo rettangolo ::::::::: q PH ˆ PQ 2 ::::::: ˆ 112,5 2 67,5 2 cm ˆ ::::::::::::::: 4556,25 cm ˆ :::::::: cm ˆ 90 cm Come eá facile caire PH ˆ :::::::::: ertanto: P 0 Q 0 ˆ 90 cm. 27 Utilizzando la figura dell'esercizio recedente calcola la misura del segmento PQ e della sua roiezione sul iano saendo che QQ 0 ˆ 50 cm; PP 0 ˆ 20 cm; QPH d ˆ 45. [42,42 cm; 30 cm] 28 Calcola la misura della roiezione del segmento AB su saendo che BB 0 ˆ 42 cm; PB ˆ 70 cm e AA 0 ˆ 24 cm. [24 cm]
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 5 I PIANI NELLO SPAZIO richiami della teoria n Il diedro eá ciascuna delle due arti in cui lo sazio rimane diviso da due semiiani aventi la stessa origine; n la sezione normale di un diedro eá l'angolo che si ottiene sezionando il diedro con un iano erendicolare al suo sigolo; n la misura di un angolo diedro eá data dall'amiezza della sua sezione normale; n due diedri consecutivi hanno uno sigolo e una faccia in comune; n due diedri adiacenti sono anche consecutivi e hanno le due facce non comuni in semiiani oosti; n il semiiano bisettore eá il semiiano che uscendo dallo sigolo del diedro lo divide in due diedri congruenti; n due iani erendicolari si intersecano formando quattro diedri congruenti; n l'angoloide eá la arte di sazio determinata da tre o iuá angoli aventi il vertice in comune e tutti a due a due consecutivi; n la somma degli angoli di vertice delle facce di un angoloide eá semre minore di un angolo giro. COMPRENSIONE DELLA TEORIA 29 Due iani nello sazio ossono essere: a. incidenti se hanno una... in comune; b.... se non hanno alcun unto in comune; c. coincidenti se hanno... i loro unti in comune. 30 Comleta la seguente definizione: il diedro eá ciascuna delle... in cui... rimane diviso da... aventi...; i due semiiani sono detti... del diedro,la retta origine si dice... o costola. 31 Indica nella figura a lato con un archetto l'angolo diedro convesso e quello concavo. 32 Comleta le seguenti definizioni: a. la sezione normale di un diedro eá l'angolo che si ottiene... il diedro con un iano... al suo sigolo; b. un diedro si dice acuto,retto o ottuso se la sua... corrisonde risettivamente ad... 33 Indica quali dei seguenti diedri sono consecutivi e quali adiacenti. a. b.
6 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 34 Comleta le seguenti definizioni: a. un semiiano si dice bisettore quando,uscendo dallo... del diedro,lo divide in... congruenti; b. l'angoloide eá la arte di sazio determinata da... o iuá... aventi... in comune e tutti a due a due... 35 La somma degli angoli al vertice delle facce di un angoloide eá: a. uguale ad un angolo giro; b. semre maggiore di un angolo giro; c. semre minore di un angolo giro. APPLICAZIONE 36 Esercizio Svolto Due iani e intersecandosi formano un diedro di amiezza 150 ; calcola la misura di ognuno degli altri tre diedri che si vengono a formare. Dato ˆ 150 0,, 0 Osservando la figura notiamo che: 0 ˆ ˆ 150 in quanto diedri oosti allo sigolo. ˆ 180 ˆ 180 150 ˆ 30 ; 0 ˆ ˆ 30 ercheâ diedri oosti allo sigolo. 37 Due iani e intersecandosi formano un diedro di amiezza 125 ; calcola la misura di ognuno degli altri tre diedri che si vengono a formare. 125 ;55 ;55 Š 38 Un diedro eá amio 55 ; calcola l'amiezza del suo comlementare. 35 Š 39 Un diedro eá amio 106 ; calcola l'amiezza del suo sulementare. 74 Š 40 Due diedri adiacenti sono uno il doio dell'altro. Calcola l'amiezza di ciascun diedro. 60 ; 120 Š 41 La somma delle amiezze di due diedri consecutivi eá 160 e il rimo diedro eá il trilo del secondo; calcola la misura dei due diedri. 40 ; 120 Š 42 Indica con quali delle seguenti terne di angoli eá ossibile formare un angoloide: a. 130 ;75 ; 121 ;35 ; b. 100 ; 145 ;59 ;50 ; c. 77 ;88 ;99 ; 100. 43 Due iani e intersecandosi formano un diedro di amiezza 35 25 0 30 00. Calcola la misura degli altri tre diedri che si vengono a formare. 144 34 0 30 00 Š 44 Calcola l'amiezza di due diedri adiacenti saendo che il doio del minore suera di 18 il maggiore. 114 ;66 Š 45 Due diedri sono uno 3 4 dell'altro e la loro somma eá amia 91 42 0 ; calcola la misura di ognuno di essi. 39 18 0 ;52 24 0 Š
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 7 46 Calcola l'amiezza di due diedri adiacenti saendo che la sezione normale di uno di essi eá 5 3 della sezione normale dell'altro. 112 30 0 ;67 30 0 Š 47 La differenza di due diedri sulementari misura 55 44 0. Calcola le amiezze dei due diedri. 62 8 0 ; 117 52 0 Š 48 E' ossibile costruire un angoloide di 4 facce saendo che l'angolo al vertice della rima faccia misura 25 ed eá la metaá del secondo,il secondo eá la metaá del terzo e il terzo eá la metaá del quarto? [no,ercheâ...] 49 Tre diedri consecutivi formano un angolo di 288. Calcola l'amiezza dei tre diedri saendo che il rimo eá 3 5 del secondo e che quest'ultimo eá 5 4 del terzo diedro. 72 ; 120 ;96 Š 50 Tre semiiani aventi l'origine in comune formano tre angoli diedri. Calcola l'amiezza di ciascun angolo diedro saendo che le risettive misure sono roorzionali ai numeri 4,5 e 3. 120 ; 150 ;90 Š 51 Disegna un angoloide di vertice V a cinque facce e sezionalo con due iani e tra loro aralleli. 52 PuoÁ esistere un angoloide formato da tre facce uguali amie ciascuna 80 40 0 e da altre due facce tra loro uguali amie ciascuna 57 30 0? [si,ercheâ...]