STATISTICA 1 ESERCITAZIONE 8

STATISTICA 1 ESERCITAZIONE 8 Dott. Giuseppe Pandolfo 18 Novembre 2013 CALCOLO DELLE PROBABILITA Elementi del calcolo delle probabilità: 1) Esperimento: fenomeno caratterizzato da incertezza 2) Evento: qualunque esito che può risultare 3) Probabilità: valutazione numerica associata ad un evento Esempio: Lancio di una moneta I possibili risultati (eventi) dell esperimento lancio di una moneta sono due: T = Testa e C = Croce. La probabilità associata che esca Testa è uguale al 50%. Definiamo prova ogni esperimento soggetto ad incertezza. Indichiamo con Ω lo spazio campionario, ovvero l insieme di tutti i risultati di una prova. Operazione sugli eventi: 1) L unione tra due eventi A e B è l evento C che si verifica quando si verifica almeno uno dei due eventi A e B, ovvero: se si verifica A, se si verifica B o se si verificano contemporaneamente A e B. A B 2) La negazione dell evento A è definita come quell evento che si verifica quando non si verifica A e lo indichiamo con A Che si legge: non A oppure A negato. 3) L intersezione di A e B è quell evento C che si verifica se e solo se si verificano contemporaneamente sia A che B. C = A B Che si legge: A e B oppure A intersecato con B. Principio di inclusione-esclusione A B A è incluso in B B A B include A

Due eventi A e B si dicono incompatibili se non possono verificarsi contemporaneamente, ovvero se: A B = Ø Due eventi A e B si dicono necessari se la loro unione è l evento certo, cioè si verifica certamente almeno uno di essi, quindi se: A B = Ω Se una collezione di eventi è composta da eventi necessari e incompatibili, allora essa è una partizione di Ω. Le leggi di Morgan offrono un legame tra le operazioni. A B = A B; A B = A B Sono due relazioni, una è duale dell altra. Esercizio 1 Nella prova lancio di un dado si generano 6 possibili risultati espressi dai possibili valori di ciascuna delle 6 facce del dado. Indicare lo spazio campionario. Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Esercizio 2 Ora determiniamo lo spazio campionario nella prova lancio di due dadi per l evento S j, ovvero la somma dei punti che si verificano sulle facce dei due dadi. Si generano 36 possibili combinazioni, la somma assumerà valori compresi tra 2 e 12 ( j = 1,2,,12 ). Per cui, Ω = S 2, S 3, S 4, S 5, S 6, S 7, S 8, S 9, S 10, S 11, S 12 che costituisce la collezione di tutti i possibili risultati di tale prova. Esercizio 3 Supponiamo di lanciare tre volte una moneta. Definiamo il più piccolo spazio degli eventi elementari che descrive il numero di teste, il più piccolo spazio degli eventi elementari che descrive l evento massimo numero di teste consecutive ed infine il più piccolo spazio degli eventi elementari che descrive i precedenti due eventi.

Indichiamo il risultato testa con T e croce con C. La partizione che descrive l evento numero di teste è costituita dai seguenti eventi elementari: (TTT) (TTC, TCT, CTT) (TCC, CTC, CCT) (CCC) La partizione che descrive l evento numero massimo di teste consecutive è: (TTT) (TTC, CTT) (TCT, TCC, CTC, CCT), (CCC) La minima partizione che descrive entrambi gli eventi composti è: (TTT), (TTC, CTT) (TCT), (TCC, CTC, CCT), (CCC) POSTULATI DEL CALCOLO DELLE PROBABILITA Siano E i, i = 1,2 eventi di Ω. POSTULATO 1. PR E i 0, E i Ω POSTULATO 2. PR Ω = 1 POSTULATO 3. E i E j = Ø, i j Pr i=1 E i = i=1 Pr E i PROBABILITA CONDIZIONATA E INDIPENDENZA STOCASTICA La probabilità condizionata di B dato A, Pr(B A), si definisce: Pr B A = Pr(A B), per Pr A > 0 Pr(A) Ciò implica l intersezione: Pr(A B) = Pr A Pr(B A) Inoltre Pr E Ω = Pr(E Ω) Pr(Ω) = Pr(E) Pr(Ω) = Pr(E) Due eventi si dicono indipendenti se Pr(B A) = Pr(A)Pr(B)

Probabilità dell unione di due eventi compatibili: Pr(A B) = Pr(A) + Pr(B) Pr(A B) Esercizio 4 Si consideri un urna contenente tre palline, una Rossa, una Bianca e una Verde. Si estraggono due palline in successione senza ripetizione. Si determini la probabilità che, per la coppia estratta a) la prima pallina estratta sia rossa (evento A) b) la seconda pallina estratta non sia bianca (evento B) c) la prima pallina sia rossa o la seconda non sia bianca (evento C) a) Lo spazio degli eventi è dato da {RB, RV, BR, BV, VR, VB} Il numero degli eventi possibili è quindi 6. Ciascuno di tali eventi ha probabilità 1/6 in quanto la probabilità di una qualunque pallina è 1/3 alla prima estrazione e 1/2 (estrazione senza ripetizione) alla seconda estrazione (1/3 1/2 = 1/6). Il numero degli eventi favorevoli è due, quindi la probabilità cercata è 2/6. Ovvero: Pr A = Pr (R 1 B 2 (R 1 V 2 )] = Pr(R 1 B 2 ) + Pr(R 1 V 2 ) = 1 3 1 2 + 1 3 1 2 = 1 6 + 1 6 = 2 6 b) Il numero degli eventi favorevoli è 4, la probabilità è 4/6. Ovvero: Pr B = Pr[(R 1 V 2 ) (B 1 R 2 ) (B 1 V 2 ) (V 1 R 2 )] = Pr(R 1 V 2 ) + Pr(B 1 R 2 ) + Pr(B 1 V 2 ) + Pr(V 1 R 2 ) = 1 3 1 2 + 1 3 1 2 + 1 3 1 2 + 1 3 1 2 = 1 6 + 1 6 + 1 6 + 1 6 = 4 6 c) Possiamo procedere usando la formula Pr(A B) = Pr(A) + Pr(B) Pr(A B)

dove A e B sono gli eventi di cui ai punti 1 e 2. A B è quindi l evento {RV} e Pr(A B) = 1/6. Quindi la probabilità cercata è 2/6 + 4/6 1/6 = 5/6. Ovvero: Pr A B = Pr A + Pr B Pr A B = 2 6 + 4 6 1 3 1 2 = 2 6 + 4 6 1 6 = 5 6 Esercizio 4 Supponiamo che dati i due eventi A e B, con Pr(A) = 1/2 e Pr(A B) = Pr(B A) = 1/4, calcolare la probabilità dell event0 condizionat0 A B. Sappiamo che Pr A B = Pr A Pr B A = Pr B Pr A B Da questa abbiamo Pr B = Pr(A) = 1/2 Dalla definizione di probabilità di evento complementare Pr(A B) Pr A Pr(B A) Pr A (1 Pr B A ) Pr A B = 1 P r A B = 1 = 1 = 1 Pr(B) Pr(B) Pr(B) = 1 = Pr B A 4 Con calcoli analoghi si ottiene Pr(A B) = 3/4 Esercizio 5 Il 15% degli studenti non supera l esame di matematica, il 20% non supera l esame di statistica e il 10% non supera né l esame di matematica né quello di statistica. Se scegliamo uno studente a caso. a) Se non ha superato l esame di statistica, qual è la probabilità che non abbia superato matematica? b) Se non ha superato l esame di matematica, qual è la probabilità che non abbia superato statistica? c) Qual è la probabilità che non abbia superato matematica o statistica?

Indichiamo con M ={studenti che non hanno superato matematica} e con S ={studenti che non hanno superato statistica}, abbiamo Pr M = 0,15 Pr S = 0,20 Pr M S = 0,10 a) La probabilità che uno studente non abbia superato matematica se non ha superato statistica è Pr M S = Pr(M S) Pr(S) = 0,10 0,20 = 0,5 b) La probabilità che uno studente non abbia superato statistica se non ha superato matematica è Pr S M = Pr(S M) Pr(M) c) La probabilità che non abbia superato matematica o statistica è = 0,10 0,15 = 0,66 Pr M S = Pr M + Pr S Pr M S = 0,15 + 0,20 0,10 = 0,25 Esercizio 6 La tabella seguente riporta i dati relativi a 100 studenti classificati secondo il voto ottenuto all esame di statistica a seconda se l esame di matematica è stato superato o meno. Superamento esame di matematica Voto SI NO 18 15 15 > 18 50 20 Si estrae a caso uno studente. Denotiamo con A: {Voto 18} e con B: {Superamento esame di matematica}. Calcoliamo: a) Pr(A), Pr(B) b) Pr(A B) c) Pr(B A) d) I due eventi sono indipendenti? a) Pr A = 30 65 = 0,30 Pr B = = 0,65 100 100 b) Pr A B = 15 100 = 0,15

Quindi Pr A B = Pr A + Pr B Pr A B = 0,30 + 0,65 0,15 = 0,8 c) Pr B A = Pr A B Pr A = 0,15 0,30 = 0,5 d) A e B non sono indipendenti poiché Pr(B A) Pr(B) 0,5 0,65 Teorema di Bayes Se H 1, H 2,, H M sono eventi che costituiscono partizioni di Ω, allora per qualsiasi evento E Ω la probabilità di H i dato E è: Pr H i E = Pr H i Pr(E H i ) M j =1 Pr(H j ) Pr(E H j ) Esercizio 7 Esempio 8.16, Domenico Piccolo Un azienda effettua controlli sui prodotti, si nota che il 12% presenta un difetto (evento A). Se il prodotto non presenta difetti supera il controllo (evento B) con probabilità 0,85, se, invece, il prodotto è difettoso supera il controllo con probabilità 0,4. Qual è la probabilità che il mattone non sia difettoso sapendo che ha superato il controllo? Pr A = 0,12 Pr B A = 0,85 Pr B A = 0,4 Dobbiamo calcolare: Pr(A B) Applichiamo il teorema di Bayes e otteniamo: Pr B A Pr(A ) Pr A B = Pr B A Pr A + Pr B A Pr(A) = Pr B A (1 Pr A ) Pr B A 1 Pr A + (1 Pr B A )Pr(A)

0,85 (1 0,12) = 0,9 1 0,12 + (1 0,4) 0,12 = 0,748 0,864 = 0,86 REGOLE DI CONTEGGIO Sequenze ordinate Sequenze non ordinate Estrazioni con ripetizione Estrazioni senza ripetizione Estrazioni con ripetizione Estrazioni senza ripetizione N = numero di prove n = numero di volte che si verifica l evento Sequenze ordinate con ripetizione N n Sequenze ordinate senza ripetizione N! N n! Sequenze non ordinate con ripetizione (N + n 1)! n! N 1! Sequenze non ordinate senza ripetizione N! n! N n! Esercizio 8 a) Se abbiamo un urna che contiene 4 palline (Rossa, Bianca, Verde, Gialla), per cui Ω = {R, B, V, G}, definiamo le sequenze ordinate con ripetizione di ampiezza n = 2. Le sequenze sono 4 2 = 16, ovvero: {RR, RB, RV, RG, BB, BR, BV, BG, VR, VB, VV, VG, GR, GB, GV, GG}

b) Ora definiamo le sequenze ordinate senza ripetizione di ampiezza n = 2. Le sequenze sono 4! 4 2! = 4 3 2 1 = 4 3 = 12 2 1 { RB, RV, RG, BR, BV, BG, VR, VB, VG, GR, GB, GV } c) Ora definiamo le sequenze non ordinate con ripetizione di ampiezza n = 2. Le sequenze sono (4 + 2 1)! 2! 4 1! { RR, RB, RV, RG, BB, BV, BG, VV, VG, GG} = 5 4 3 2 1 2 1 (3 2 1) = 20 2 = 10 d) Ora definiamo le sequenze non ordinate senza ripetizione di ampiezza n = 2. Le sequenze sono 4! 2! 4 2! = 4 3 2 1 2 1 (2 1) = 12 2 = 6 { RB, RV, RG, BV, BG, VG } Esercizio 9 Consideriamo il numero di terni possibili nelle estrazioni del Lotto. Calcoliamo il numero di possibili combinazioni di 90 numeri scelti a 3 a 3 senza ripetizione. In questo caso l ordinamento non è rilevante, dunque: N! n! N n! dove n = 3 e N = 90. 90! 3! 90 3! = 117480 Il numero di terni possibili è 117480.