Studi di funzione D. Barbieri Esercizi Esercizio Esercizio Studiare comportamento asintotico e monotonia di f(x) = x + x4 + 4x Studiare il comportamento asintotico di f(x) = + x x + + e x Esercizio 3 Determinare il numero di zeri, il numero di estremanti locali ed il comportamento asintotico di f(x) = x3 3x + x 4 + 8 Esercizio 4 Studiare dominio ed eventuale prolungabilità continua della seguante funzione. Determinarne inoltre il comportamento asintotico, gli intervalli di monotonia ed eventuali estremanti locali ( f(x) = x 4 ) x e x Esercizio 5 Determinare estremanti locali, monotonia, flessi e convessità di f(x) = x x e x+ Esercizio 6 Determinare zeri, monotonia e convessità di f(x) = log(x 4 x + ) Esercizio 7 Determinare dominio, comportamento agli estremi del dominio, intervalli di monotonia, numero di massimi e minimi relativi e loro posizione approssimativa della funzione f(x) = x + log(x ). Esercizio 8 ( f(x) = arctan log 5 ) x
Esercizio 9 f(x) = ( x + x ) (x ) x
Soluzioni Esercizio La funzione in esame è definita sul dominio D = {x R x 0} ed è sempre negativa, infatti x4 + 4x = (x + ) 4 < x + x + x4 + 4x < 0. Studiamo prima il comportamento asintotico vicino alla singolarità in x = 0, e all infinito, notando che la funzione è pari, ovvero f(x) = f( x), dunque ci è sufficiente studiarla per x > 0. f(x) = (x + ) ( + x x>0 ) x 0 + = + o() x = x + + o() ( f(x) = x + ) ( x x + 4 ) x x 4 + o(x ) x x + = x ( x + 4 x 4 + o ( x 4 ) + x 6 x 4 + o ( x 4 )) = x 6 + o ( x 6 ) dove per x + abbiamo sviluppato ( + ɛ) α = + αɛ + α(α ) ɛ + o(ɛ ). Dunque in x = 0 la f va verso come x, mentre per x + f tende a 0 dal basso come x. La derivata prima di f è 6 f x (x) = (x + ) + 4x 3 ( + 8x = x (x 4 + 4x ) 3 (x + ) + x ) + (x 4 + 4x ) 3 ed il suo segno è determinato da x: quando x > 0, infatti f (x) > 0 x + (x 4 + 4x ) 3 > (x + ) ( x + x4 + 4x ) 3 > x che è sempre soddisfatta poiché, come è già stato osservato, + x >. Si ha 4 +4x quindi monotonia decrescente per x < 0 e monotonia crescente per x > 0. Esercizio : f(x) = x + x 4 +4x 3
Esercizio funzioni La funzione in esame è definita su D = R, ed è somma di due f (x) = + x x, f (x) = + e x entrambe sempre positive: f (x) > 0 ed f (x) > 0 per ogni x R. Osserviamone separatamente il comportamento asintotico all infinito, cominciando con f. ) ( x>0 f (x) = x ( + x x + = x + ( ) ) x + o x = ( ) x + o x f (x) x<0 = x ( + x + ) x = x + ( ) x + o x dunque f ha un asintoto orizzontale y = 0 per x +, a cui si avvicina da sopra in quanto funzione positiva, ed un asintoto obliquo y = x per x a cui di nuovo si avvicina da sopra, in quanto la sua distanza da tale retta è determinata da f (x) ( x) = x + o ( x). Per quanto riguarda f, invece f (x) = ( + e x ) x + = e x + o(e x ) f (x) = e x ( + e x ) = ex ( + e x ) x = e x e x + o(e x ) usando lo sviluppo ( + ɛ) α = + αɛ + o(ɛ) con ɛ = e x quando x + ed ɛ = e x quando x. La funzione f ha dunque un asintoto orizzontale y = per x +, a cui si avvicina da sotto, ed un asintoto orizzontale y = 0 per x a cui si avvicina da sopra. Per la somma f = f + f, accorpando gli infinitesimi esponenziali dentro gli o piccoli polinomiali, f(x) f(x) x + = + x + o x = x + x + o ( ) x ) dunque il comportamento asintotico della f verso x + è di un asintoto orizzontale y = dato dalla f a cui f si avvicina da sopra con la velocità, data dalla f, di x. Verso x il comportamento asintotico di f è invece lo stesso di quello di f, perché f risulta trascurabile. ( x Esercizio : f(x) = + x x + +e x 4
Esercizio 3 La funzione consiste di un rapporto fra un polinomio di grado 3 al numeratore ed uno di grado 4 al denominatore. Poichè il polinomio al denominatore non ha zeri reali, essendo sempre positivo, f è definita su D = R, dominio sul quale è continua e derivabile infinite volte. All infinito il suo comportamento sarà f(x) x ± = ( ) x + o x dunque f avrà un asintoto orizzontale y = 0 a cui si avvicina da sopra per x + e da sotto per x. Per determinare gli zeri della funzione occorrerebbe trovare gli zeri del numeratore, ovvero risolvere l equazione di terzo grado p(x) = x 3 3x + = 0 ma questo non è richiesto dall esercizio: è sufficiente determinare quanti sono, e sappiamo che una equazione di terzo grado ha sempre da un minimo di ad un massimo di 3 zeri reali. Un polinomio di grado 3 infatti è una funzione continua con limite + per x + e limite per x, dunque scelto M sufficientemente grande si avrà f(m)f( M) < 0 e, per il teorema degli zeri (o teorema di Bolzano) avrà almeno uno zero. Per il teorema fondamentale dell algebra, inoltre, questi zeri possono essere al più 3. Nello specifico, in questo caso possiamo osservare che p( ) = 3, p(0) =, p() =, p(3) =, dunque di nuovo per il teorema degli zeri f avrà almeno 3 zeri x (, 0), x (0, ), x 3 (, 3), e questi per quanto detto sono tutti gli zeri della f. In questo caso il segno della f sarà quindi f(x) > 0 x (, x ) (x, x 3 ), f(x) > 0 x (x, x ) (x 3, + ). Per determinare il numero di massimi e minimi locali possiamo cominciare notando che f avrà almeno un estremante locale nell intervallo fra due zeri consecutivi. Infatti in [x, x 3 ], dove la f è non negativa (e continua), per il teorema di Weierstrass ci sarà almeno un punto di massimo interno, che sarà dunque estremante locale per f su R, poiché gli estremi sono entrambi punti di minimo assoluto per f su [x, x 3 ], e analogamente in (x, x ) ci sarà almeno un punto di minimo locale. Possiamo inoltre dire che f avrà almeno un punto minimo locale in (, x ), ed almeno un punto di massimo locale in (x 3, + ): vediamo come. Poiché f(x) 0 quando x, per ogni ɛ piccolo a piacere si potrà sempre scegliere M > 0 in modo da ottenere f( M) < ɛ. Nell intervallo [ M, x ] si avranno perciò un massimo ed un minimo, ed il massimo sarà all estremo x, in cui f(x ) = 0. Il minimo invece, per M sufficientemente grande, sarà interno: se infatti dato un M > 0 il minimo di f in [ M, x ] si avesse in corrispondenza di x = M, potremmo scegliere M = M +, e di nuovo se questo non bastasse potremmo scegliere M = M +. Andando avanti in questo modo siamo certi che prima o poi otterremo un M sufficiente ad avere il minimo all interno, perché se così non fosse non si potrebbe avere f 0 per x. Lo stesso discorso vale per (x 3, + ), in cui f avrà almeno un massimo locale. Abbiamo quindi che f ha almeno massimi locali e minimi locali. Sulla base di cosa si può stabilire che questi sono anche gli unici estremanti locali della funzione? [Suggerimento: osservare separatamente numeratore e denominatore] 5
Esercizio 3: f(x) = x3 3x + x 4 +8 Esercizio 4 Il dominio D della funzione è dato semplicemente da D = R \ {0} = {x R x 0} poiché in x = 0 la funzione non è definita. Studiamone dunque il comportamento nell avvicinarsi ad x = 0, notando che la funzione è pari: f(x) = f( x), dunque non occorre distinguere 0 + da 0 ( lim x 0 x 4 ) x e x ( = lim y 4 y ) e y = 0. y La funzione ammette dunque limite finito in x = 0, ed in particolare ammette un prolungamento continuo ( f(x) = x 4 ) x e x x 0 0 x = 0. Gli zeri della f sono dati da: x = ±, x = 0 e poiché il termine e x sempre 0, il segno della funzione è è f(x) 0 x ; f(x) < 0 x < oppure x >. Il comportamento asintotico all infinito (±) della funzione si ottiene da ( x 4 ) x e x x = ( x ) x ( + o()) = ( + o()) x dunque la f all infinito tende a 0 dal basso, come x. Per quanto visto finora possiamo già dire che la funzione f deve avere almeno massimi locali e 3 minimi locali. Infatti nell intervallo [, ] la funzione è non negativa, e si annulla solo agli estremi ed in x = 0, quindi x = 0 sarà un minimo locale. Per il teorema di Weierstrass, sappiamo anche che sia in [, 0] che in [0, ] la funzione continua f avrà massimo e minimo: poiché f si annulla agli estremi di questi intervalli mentre all interno è sempre positiva, il minimo si otterrà agli estremi mentre il massimo si otterrà all interno: possiamo quindi dire che nell intervallo (, ) sono presenti due massimi ed un minimo locali. Inoltre, poiché f 0 per x +, si avrà che f sarà piccola a piacere per x sufficientemente grande: ɛ > 0 M ɛ > 0 tale che f(x) ɛ x M ɛ. Scelto 6
dunque M ɛ, e considerando l intervallo [, M ɛ ], nel quale la f è sempre negativa e mai nulla tranne in x =, di nuovo per il teorema di Weierstrass avremo che ci sarà un massimo ed un minimo, e mentre il massimo si otterrà all estremo x =, il minimo sarà invece interno, per M ɛ sufficientemente grande, dunque sarà anche minimo locale per f su D. Andiamo ad osservare più in dettaglio il comportamento della funzione attraverso lo studio della sua derivata: f (x) = ( 4x 5 + x ) 3 e x + ( x 3 x 4 ) x e x = x 7 (x4 3x + )e x. Questa è ancora definita su R \ {0}, continua su tale dominio ed ha limite 0 per x 0, dunque è prolungabile con continuità in x = 0, ed analogamente a quanto detto sopra possiamo scrivere f (x) = x 7 (x4 3x + )e x x 0 0 x = 0 notando che questo è il prolungamento continuo di f e non la derivata del prolungamento f (che non sarebbe definita in x = 0). La f si annulla dunque in x = 0 e negli x tali che x 4 3x + = 0. Questa è una equazione biquadratica, che si risolve ponendo y = x, e y 3y + = 0 y = y = 3 + 5 oppure y = y = 3 5 dunque abbiamo 4 soluzioni: x = y, x = y, x 3 = y, x 4 = y. Gli zeri del prolungamento continuo della derivata, disposti in ordine crescente, sono dunque x < x < 0 < x 3 < x 4, e per quanto detto sopra, si avrà che x, 0, x 4 sono punti di minimo locale per f, mentre x, x 3 sono punti di massimo locale. Alternativamente, ciò si può vedere studiando il segno della derivata prima. Per x > 0 questo corrisponde al segno del polinomio di quarto grado p(x) = x 4 3x +, mentre per x < 0 il segno della derivata è l opposto del segno di tale polinomio a causa del fattore x, che cambia segno in x = 0. Il 7 polinomio p(x) = x 4 3x + ha grado 4, coefficiente del termine di grado massimo positivo, e ne conosciamo le 4 radici reali distinte, dunque il suo segno sarà p(x) > 0 in x < x, x > x 4 ed x (x, x 3 ), mentre sarà p(x) < 0 in (x, x ) ed (x 3, x 4 ). Il segno di f sarà perciò f > 0 x (x, x ) (0, x 3 ) (x 4, + ) f < 0 x (, x ) (x, 0) (x 3, x 4 ) e in particolare ciascuno di questi 6 intervalli, preso singolarmente, sarà un intervallo di monotonia della funzione. Può essere interessante osservare che in x = 0 hanno limite 0 non solo la funzione, ma anche tutte le sue derivate: derivando si ottengono infatti dei termini del tipo x che moltiplicano e n x, ma quest ultima si annulla in x = 0 più rapidamente di qualsiasi potenza. Come si può vedere dal grafico in Figura 4, ciò comporta un forte appiattimento locale della funzione. 7
Esercizio 4: f(x) = ( x 4 x ) e x Esercizio 5 Il dominio di f è D = R. Indichiamo con σ(x) la funzione segno σ(x) = In questo modo la derivata di f si scrive { x > 0 x < 0. f (x) = e x+ ( x + x σ(x ) x x σ(x + )) dunque f non è definita in x = né in x =, punti in cui gli argomenti dei valori assoluti si annullano. La derivata seconda di f, ricordando che la funzione segno, laddove definita, è una funzione costante e dunque a derivata nulla, è data da f (x) = e x+ ( σ(x ) x σ(x + ) x σ(x ) σ(x + ) + σ(x + ) ( x + x σ(x ) x x σ(x + ) )). Esercizio 5: f(x) = x x e x+ 8
Esercizio 6 Il dominio della funzione in esame è D = R, poiché il polinomio p(x) = x 4 x + non ha zeri reali. Gli zeri della funzione si trovano in corrispondenza degli x tali che p(x) =, ovvero f(x) = 0 x = 0, x = ± e analogamente il segno di f è determinato dal segno di p(x) : f(x) > 0 x (, + ) (, ), f(x) 0 x (, ). Massimi e minimi locali e intervalli di monotonia della funzione possono essere determinati a partire dal fatto che la funzione logaritmo è una funzione monotona crescente del suo argomento, dunque i punti di massimo e minimo di f(x) = log(p(x)) saranno gli stessi punti di massimo e minimo di p(x) e lo stesso si puó dire per la monotonia. Dagli zeri della derivata di p p (x) = x( x )( x + ) = 0 x = 0, ± si può così sapere che f è monotona decrescente per x <, ha un minimo locale in x =, è poi monotona crescente fino ad x = 0 dove ha un massimo locale e, poiché f(x) = f( x), avrà un comportamento speculare per x > 0. Per quanto riguarda la concavità/convessità, questa non si presenterà nello stesso modo per f(x) e per p(x), perchè la funzione logaritmo è una funzione concava, dunque ad esempio per x grande p(x) sarà una funzione convessa mentre f(x) sarà una funzione concava p(x) x + = x 4 ( + o()) f(x) x + = 4 log(x)( + o()). È quindi utile studiare la monotonia della derivata prima f (x) = x( x )( x + ) x 4 x + la quale è costituita dal rapporto fra un polinomio di terzo grado con 3 radici reali distinte ed un polinomio di quarto grado che non si annulla mai. Lo studio qualitativo della monotonia di questa funzione è perciò analogo a quello svolto nell Esercizio 3. Esercizio 6: f(x) = log(x 4 x + ) 9
Esercizio 7 D(f) = R \ {, 0, }. Comportamento agli estremi del dominio f(x) per x f(x) per x + f(x) 0 per x 0 f(x) per x f(x) + per x + f(x) + per x ± Studio della derivata prima: f (x) = σ(x + ) log(x ) x + x log (x ) ( ) = σ(x + ) log(x ) x + x log (x ) dunque D(f ) = D(f) e f (x) = 0 quando x log(x ) = (x + ), cioè quando log( x ) = + x x = ee x. Per x > 0 questa equazione ha una unica soluzione che diciamo x, lo si può provare graficamente, e per verifica diretta si vede che x >. Per x < 0 invece non ha nessuna soluzione diversa da x =, e lo si può provare con il seguente argomento.. Detta g(x) = ee x +x, allora per x gli zeri di f nel semiasse negativo sono gli stessi di quelli di g.. Dal grafico della funzione e x, si vede che gli zeri possibili della g sono: nessuno, se y = x sta sempre sopra a y = ee x ; uno, se y = x è tangente in un punto a y = ee x ; due, se y = x interseca y = ee x. 3. Per ispezione diretta, si vede che in x = la g si annulla: questo punto non appartiene al dominio di f, dunque f può avere al più uno zero. 4. Poiché per x 0 si ha che g(x) tende a 0 dal basso, allora g(x) sarà negativa in un intorno sinistro di zero; inoltre g(x) per x. Per la continuità della g, ciò comporta che se g si annulla in un punto x 0 < 0, allora deve esistere un massimo locale della g in un punto x x 0 e tale che g(x ) 0. 5. Per la regolarità della g, questo massimo deve corrispondere a un punto di annullamento della sua derivata g (x) = e x e x che si annulla se x = ee x. 6. Di nuovo dal grafico della funzione e x, si vede che l equazione x = ee x può avere zero, una o due soluzioni. Per ispezione diretta si ha che x = risolve anche questa equazione. 0
7. Poiché x = è uno zero della g in cui si annulla la sua derivata, e poiché questa non può annullarsi in più di un altro punto, allora x = rappresenta l unico massimo della g, e dunque il suo unico zero. Ciò comporta che la f non si annulla mai nella parte di semiasse negativo del suo dominio. Dal comportamento agli estremi del dominio, dal fatto che il dominio della derivata prima coincide con il dominio della funzione, e dalla conoscenza degli zeri della derivata prima, possiamo dedurre gli intervalli di monotonia, che sono - monotona decrescente in ], [ ]0, [ ], x ] - monotona crescente in ], 0[ [x, + [ e l unico estremante locale di f è in x = x, punto critico di minimo. f può inoltre essere prolungata con continuità in x = 0, che è punto di massimo locale per tale prolungamento. Esercizio 7: f(x) = x+ log(x )
Esercizio 8: A sinistra la funzione y = arctan(x), al centro y = log 5, x a destra f(x) = arctan ( log ) 5 x. Esercizio 9: In blu f(x) = ( x + x ) (x ) x. A destra, in rosso la funzione y = (x ) x = e x ln x e in verde la funzione y = x + x.