Università di Bergamo Anno accademico 2008 2009 Primo anno di Ingegneria Algebra Lineare e Geometria Il teorema fondamentale dell algebra 1 Non c è un ordine totale sull insieme dei complessi Vogliamo mostrare che non c è nessuna possibilità di ordinare i complessi in modo utile. È chiaro che possiamo decidere un ordine dei complessi, ma qualunque sia la scelta fatta l ordine non avrà un certo numero di proprietà importanti. Che proprietà vogliamo che un ordine abbia? (1) Vogliamo innanzitutto che se a C valga a a (questa proprietà si chiama riflessività). (2) Vogliamo che se a e b verificano a b e b a allora a = b (questa proprietà si chiama antisimmetria). () Per finire vogliamo inoltre che se a, b e c verificano a b e b c allora a c (questa proprietà si chiama transitività). Una relazione è detta di ordine se verifica le tre proprietà precedenti. Inoltre siccome l insieme dei complessi ha una somma e un prodotto, vogliamo che l ordine abbia delle buone proprietà in merito a queste operazioni. (4) Vogliamo che se a b allora per ogni c abbiamo a + c b + c (questa proprietà è una regolarità rispetto alla somma). (5) Vogliamo che se a b allora per ogni c 0 abbiamo ac bc (questa proprietà è una regolarità rispetto al prodotto). (6) Per finire vogliamo che 0 1. Osserviamo che sappiamo dalla proprietà (6) che 0 1. Quindi dalla proprietà (4) risulta 0 + ( 1) 1 + ( 1) cioè 1 0. Vediamo allora il caso del complesso i. Se risultasse i 0, allora 1 = i 2 = i i 0 i = 0 e questo sarebbe possibile solo se 1 = 0. Se invece risultasse i 0 allora i 0 e quindi 1 = i 2 = ( i) 2 = ( i) ( i) 0 ( i) = 0 1
e questo sarebbe possibile solo se 1 = 0. Quindi non risulta né i 0 né i 0 (si dice che i e 0 non sono confrontabili). Si può definire un ordine su C, si può richiedere che abbia le proprietà (4) e (5) ma allora alcune coppie di elementi (tipo (0; i)) risultano non confrontabili. Si dice che l ordine non è totale (al contrario di R in cui per qualsiasi x e y R risulta x y o y x). non 2 Il teorema fondamentale dell algebra Sia P (z) = a n z n + a n 1 z n 1 + + a 1 z + a 0 un polinomio di grado n 1 (cioè con a n 0). Vogliamo mostrare che esiste z 0 C tale che P (z 0 ) = 0 (cioè che esiste una radice z 0 del polinomio P (z)). Possiamo supporre che in un punto α si abbia P (α) 0 (se no abbiamo finito perché allora α C, P (α) = 0). Sia P = 1 P. Abbiamo allora P (α) = P (α) P (α) P (α) che P (z 0 ) = 0 se e solo se P (z 0 ) = 0, perché per ogni z C, P (z) = P (z) P (α) ragione facciamo un cambiamento di notazione e poniamo P = P. = 1. È chiaro. Per questa Il polinomio P si scrive P (z) = a n z n + a n 1 z n 1 + + a 1 z + a 0 = n i=0 a iz i (abbiamo quindi cambiato la definizione degli a i rispetto all inizio, ( ma semplicemente dividendoli da una costante). Abbiamo a n 0 e poniamo S = max a) Vogliamo mostrare che esiste un M tale che n 2n a 0, n 1 a n 2n a 1, a n..., 2n z, z M P (z) 2 a 0. Per z 0, abbiamo P (z) = a n z (1 n + a n 1 a nz per z 0, a n 2 a n, 2n a n 1 a n ). + a n 2 a nz 2 + + a 1 a nz n 1 + a 0 a nz n ). Segue che P (z) = a n z n 1 + a n 1 a n z + a n 2 a n z + + a 1 2 a n z + a 0 n 1 a n z n. Per z S e per ogni i = 0,..., n 1, si ha z 2n n i a n i a n quindi e quindi z n i 2n a n i a n a zn i n a i 2n. 2
a Quindi per z S e per ogni i = 0,..., n 1 abbiamo i a nz 1. Dalla disuguaglianza triangolare, deduciamo che la somma degli n termini della forma i n i 2n a a nz ha n i modulo minore o uguale a 1 + + 1 = 1. Ricordiamo che la disuguaglianza triangolare ha come conseguenza che se a e b sono due numeri complessi, a+b a b. 2n 2n 2 Nel nostro caso, significa che 1 + a n 1 a n z + a n 2 a n z + + a 1 2 a n z + a 0 n 1 a n z n 1 1 2 = 1 2. Quindi il modulo di P (z) è almeno z n a n per z S. Scegliendo z M = ( ) 2 max S, n 4 a0 a n, si ha P (z) 2 a 0. b) Ci limitiamo quindi a studiare il polinomio sul disco chiuso (compreso il bordo) di centro 0 e raggio M. Enunciamo il teorema di Weierstrass limitato al nostro caso: Teorema: Qualunque sia il disco chiuso D e qualunque sia il polinomio P esistono due punti z m D e z M D tali che z D, P (z m ) P (z) P (z M ), cioè in z m (risp. z M ) la funzione P (z) raggiunge un minimo (risp. un massimo). Sul disco chiuso di centro 0 e raggio M, secondo il teorema di Weierstrass, P (z) ha un minimo. Supponiamo quindi che z 0 sia tale che z, z M P (z) P (z 0 ) (cioè P (z 0 ) è il minimo di P (z) sul disco 1 ). Se P (z 0 ) = 0 abbiamo finito. Se no, sia Q(z) = 1 P (z + z P (z 0 ) 0). Abbiamo Q(0) = 1 P (0 + z P (z 0 ) 0) = P (z 0) P (z 0 = 1. Il ) polinomio Q è una semplice modificazione di P e quindi Q(0) è il minimo di Q sul disco di centro z 0 e di raggio M. c) Mostriamo che ciò non è possibile. Siccome Q(0) = 1, abbiamo Q(z) = 1 + b k z k + + b n z n ove k è scelto in modo che b k 0 (e b n è necessariamente diverso da 0 perché P è di grado n e quindi anche Q). Consideriamo, per h reale positivo, la funzione f(h) = Q(hρ) con ρ una qualsiasi radice k-esima di 1 b k. Abbiamo allora: Possiamo riscriverlo f(h) = 1 h k + b k+1 ρ k+1 h k+1 + + b n ρ n h n. f(h) = 1 h k ( 1 + b k+1 ρ k+1 h + + b n ρ n h n k). 1 a dir la verità è il minimo su tutto C perché fuori dal disco il modulo è almeno 2 a 0, mentre P (0) = a 0 quindi il minimo sul disco è minore o uguale a a 0
Poniamo g(h) = 1 + b k+1 ρ k+1 h + + b n ρ n h n k (cioè la parte tra parentesi). Abbiamo allora f(h) = 1 h k g(h). Per h sufficientemente piccolo, g(h) è vicina ad 1. Per essere più precisi, prendiamo ( ) 1 ε = min 4(n k)b k+1 ρ k+1, 1 4(n k)b k+2 ρ k+2,..., 1 n k 4(n k)b n ρ n, dove si intende che se un b i = 0 allora scompare dal minimo (osservazione: se b i = 0, la frazione sarebbe infinita, quindi il termine che contiene b n sarebbe più piccolo di questo e quindi ha senso eliminarlo dal minimo). Per ragioni simili a quelle viste in precedenza per P, se 0 < h ε abbiamo g(h) 1 1. In altre parole, per 4 0 < h ε il complesso g(h) sta nel disco di centro 1 e raggio 1. 4 Ricordiamo che abbiamo P (hρ+z 0) = Q(hρ) = f(h) = 1 h k g(h). Cioè f(h) è P (z 0 ) la distanza tra 1 e h k g(h). Guardiamo allora il grafico seguente: centro 0 raggio 1 centro 1 raggio 1 00 11 0000 1111 000 111 000000 111111 000 111 00000000 11111111 0000 1111 00000000 11111111 0000 1111 00000000 11111111 0000 1111 0000000 1111111 0000 1111 00000 11111 000 111 000 111 000 111 C: centro 1 raggio 1 4 Il valore di g(h) sta all interno della circonferenza C di centro 1 e raggio 1 4. Allora per 0 < h min(1, ε), h k g(h) sta all interno della parte di piano che è delimitata a destra dalla circonferenza C, e sopra e sotto dai due segmenti che partono da 0 e sono tangenti alla circonferenza C (parte rappresentata sul grafico). Si vede che questa specie di triangolo (con la base circolare) è tutto all interno del disco di centro 1 e di raggio 1. Cioè tutti i punti di questo triangolo sono a distanza minore di 1 del punto 1. La distanza da 1 a h k g(h) deve quindi essere minore di 1 e ciò significa che f(h) < 1 per 0 < h min(1, ε). Di conseguenza 1 non è il minimo di Q(z) e siamo arrivati ad una contraddizione. Quindi Q(0) = 0 e di conseguenza P (z 0 ) = 0 e abbiamo finito 2. 2 La dimostrazione ci dice un po di più: ci dice che ogni minimo relativo di P (z) è uguale a 0, cioè se in z 0 c è un minimo relativo di P (z) allora P (z 0 ) = 0, cioè z 0 è una radice di P 4
Metodo di risoluzione delle equazioni del terzo grado Presentiamo il metodo di risoluzioni delle equazioni del terzo grado immaginato da Tartaglia e Cardano..1 Osservazione sulle equazioni del secondo grado Sia P (X) = X 2 + ax + b un polinomio (unitario) del secondo grado. Se z 0 e z 1 sono le soluzioni di P (X) = 0, allora P (X) = (X z 0 )(X z 1 ) e quindi X 2 +ax+b = X(X z 1 ) z 0 (X z 1 ) = X 2 z 1 X z 0 X+z 0 z 1 = X 2 (z 0 +z 1 )X+z 0 z 1. Segue che z 0 + z 1 = a e z 0 z 1 = b. Reciprocamente, se z 0 e z 1 sono due complessi di cui si conosce la somma S e il prodotto P allora (X z 0 )(X z 1 ) = = X 2 (z 0 + z 1 )X + z 0 z 1 = X 2 SX + P. Quindi z 0 e z 1 sono le due radici del polinomio Q(X) = X 2 SX + P. Si può procedere in modo diverso: abbiamo z 0 +z 1 = S quindi z 2 0 +z 0 z 1 = Sz 0 quindi z 2 0 + P = Sz 0 cioè z 2 0 Sz 0 + P = 0. Nello stesso modo z 2 1 Sz 1 + P = 0. Quindi z 0 e z 1 sono le due radici di Q(X) = X 2 SX + P..2 Le radici cubiche dell unità Denotiamo j = e 2iπ quindi Abbiamo j 2 = e 4iπ quindi j = 1 2 + i 2. j 2 = 1 2 i 2. Osserviamo che j 2iπ i = e = e 2iπ = 1. Da j = 1 segue j 4 = 1 j = j. Osserviamo inoltre che 1 + j + j 2 = 1 1 2 + i 2 1 2 i 2 = 0. Da 1 + j + j 2 = 0 segue j + j 2 = 1 (si può anche vedere direttamente calcolando la somma). Non è fondamentale per i nostri scopi ma val la pena osservare che j 2 = j. 5
. Le equazioni in forma ridotta Sia P (X) = X + px + q. Cerchiamo le radici di P sotto la forma z 0 = A+ B z 1 = ja+j 2 B z 2 =j 2 A+ jb Quindi z 0, z 1 e z 2 saranno le radici di P se e solo se Calcoliamo quindi P (X) = (X z 0 )(X z 1 )(X z 2 ) = ( X 2 (z 0 + z 1 )X + z 0 z 1 ) (X z2 ) = X (z 0 + z 1 )X 2 + z 0 z 1 X z 2 X 2 + (z 0 + z 1 )z 2 X z 0 z 1 z 2 = X (z 0 + z 1 + z 2 )X 2 + (z 0 z 1 + z 1 z 2 + z 2 z 0 )X z 0 z 1 z 2. z 0 + z 1 + z 2 = A + B + ja + j 2 B + j 2 A + jb = (1 + j + j 2 )A + (1 + j 2 + j)b = 0. z 0 z 1 + z 1 z 2 + z 2 z 0 = (A + B)(jA + j 2 B) + (ja + j 2 B)(j 2 A + jb) + (j 2 A + jb)(a + B) = ja 2 + j 2 AB + jab + j 2 B 2 + j A 2 + j 2 AB + j 4 AB + j B + j 2 A 2 + j 2 AB + jab + jb 2 = (j + 1 + j 2 )A 2 + (j 2 + j + j 2 + j + j 2 + j)ab + (j 2 + 1 + j)b 2 = 0A 2 + ( 1 1 1)AB + 0B 2 = AB. z 0 z 1 z 2 = (A + B)(jA + j 2 B)(j 2 A + jb) = (ja 2 + j 2 AB + jab + j 2 B 2 )(j 2 A + jb) = (ja 2 AB + j 2 B 2 )(j 2 A + jb) = j A + j 2 A 2 B j 2 A 2 B jab 2 + j 4 AB 2 + j B 2 = A + B. Quindi i complessi z 0, z 1 e z 2 saranno soluzioni se e solo se p = AB e q = (A + B ). Quindi la somma di A e B è q e il prodotto A B = (AB) = p. Dall osservazione 27 fatta nel.1, A e B sono le due radici del polinomio Il suo discriminante è Q(X) = X 2 + qx p 27. = q 2 + 4 27 p e quindi le soluzioni sono q ± q 2 + 4 27 p 2 = 9q ± (4p + 27q 2 ). 18 6
Chi si sceglie per A o per B non importa: scambiando A e B si scambiano z 1 e z 2. Scegliamo quindi A = 9q + (4p + 27q 2 ), 18 dove la radice quadrata è una qualsiasi delle due possibili, abbiamo cioè A = 9q + (4p + 27q 2 ). 18 La radice cubica di cui sopra significa una delle tre radici cubiche (non importa quale: infatti, le tre possibilità differiscono una dall altra per moltiplicazione da j o j 2, quindi se scegliamo una o l altra radice cubica facciamo una permutazione della terna (z 0, z 1, z 2 )). Ci sono allora due possibilità: se A 0, allora B = p A. Se A = 0 allora necessariamente p = 0 (perché il coefficiente costante di Q è p ), quindi 27 Q(X) = X 2 + qx e dobbiamo prendere sono dove Riassumendo le radici di B = q. P (X) = X + px + q z 0 = A+ B z 1 = ja+j 2 B z 2 =j 2 A+ jb Se p 0 Se p = 0 A = 9q+ (4p +27q 2 ) A = 0 18 B = p B = q. A Sia la radice quadrata che la radice cubica sono una delle possibili radici (la forma delle soluzioni assicura che le scelte fatte non cambiano l insieme delle soluzioni). Tali formule non devono essere imparate a memoria. La quantità = 4p 27q 2 si chiama discriminante dell equazione di terzo grado. Se p e q sono reali allora ci sono soluzioni reali se e solo se 4p 27q 2 è maggiore o uguale a 0 (come nel caso del discriminante di un equazione del secondo grado). Inoltre c è una soluzione doppia (o tripla) se e solo se = 0 (come nel caso del discriminante di un equazione del secondo grado). Si può verificare che = (z 0 z 1 ) 2 (z 1 z 2 ) 2 (z 2 z 0 ) 2. 7
.4 L equazione generica Consideriamo il polinomio P (X) = X + ax 2 + bx + c. Abbiamo visto sopra come trovare le sue radici nel caso in cui a = 0. Se non sappiamo che a = 0, possiamo considerare il polinomio P (X) = P ( X a ) ( = X a ) ( + a X a ) 2 ( + b X a ) + c. Calcoliamo parzialmente il polinomio P (X): P (X) = X a X2 + + ax 2 + = X + dove i puntini stanno per un polinomio di grado (al massimo) 1 (si può svolgere il conto fino in fondo per avere la scrittura esatta di P ). Cioè P (X) = X + px + q con p e q che dipendono da a, b e c (basta svolgere il conto per avere le espressioni esatte). Possiamo allora trovare le radici z 0, z 1 e z 2 di P utilizzando il metodo del paragrafo. e le radici di P saranno z 0 + a, z 1 + a, z 2 + a. 8