Gilda Flaccavento Romano Quaderno per lo studente
indice esercizi di recupero I numeri relativi 6 Il calcolo letterale 8 Equazioni e disequazioni 11 La risoluzione algebrica dei problemi 13 La statistica 14 La probabilità 16 La logica matematica 18 Gli insiemi 20 Corrispondenze e relazioni 21 La geometria analitica 22 Lunghezza della circonferenza e area del cerchio 24 La geometria a tre dimensioni 27 Superficie laterale e totale dei poliedri 28 La superficie dei solidi di rotazione 30 Il volume dei solidi 32 esercizi di consolidamento I numeri relativi 36 Dati e previsioni 44 Relazioni e logica 47 Dal cerchio ai solidi 52 esercizi Numero-Pensiero razionale-dati e previsioni 62 Geometria e misura 76 simulazione Simulazione 1 92 Simulazione 2 98 Simulazione 3 104 Simulazione 4 110 Simulazione 5 116
sercizi di recupero
I numeri relativi 1. Considera i punti assegnati sulla retta orientata r e completa le affermazioni date. u r D E B O C A F a. Il punto C è l immagine del numero d. L immagine del numero -3/4 è il punto b. Il punto D è l immagine del numero e. L immagine del numero +3 è il punto c. Il punto A è l immagine del numero f. L immagine del numero -3/2 è il punto 2. Completa. a. Due numeri relativi concordi hanno segno b. Due numeri relativi discordi hanno segno c. Due numeri relativi opposti hanno 3. Indica con una crocetta il sottoinsieme a cui appartiene ciascuno dei seguenti numeri relativi. a. Z Q I ; c. Z Q I ; e. Z Q I ; b. Z Q I ; d. Z Q I ; f. Z Q I ; 4. Nella seguente tabella ciascuna operazione è stata risolta commettendo un errore. Individualo e scrivi il risultato corretto. Operazione Correzione Operazione Correzione (+10) + (-16) = +6 (+10) + (-16) = (-25) 2 = +5 (-25) 2 = (-4) - (-6) = -10 (-4) - (-6) = Confronta le seguenti coppie di numeri relativi inserendo sui puntini il simbolo giusto (>, <, =). Ricorda: Tra due numeri positivi è maggiore quello che ha valore assoluto maggiore. Tra due numeri negativi è maggiore quello che ha valore assoluto minore. 5. -4... -15; 0... -7 7. -45... -54; +21... -23 +12... -14; 0... +18-8,2... -0,2; -44... +40-6,5... -7,5; -30... 0-12... +16; +70... -80 6. 8. 6 Il numero
ª 3 classe 9. Disponi i seguenti numeri relativi in ordine crescente. a. +11; -17; -2,5; -18; +0,4; +8; 0; +14 b. -32; -27; +35; -31; +38; +40; -49; +45 10. Disponi i seguenti numeri relativi in ordine decrescente. a. +1,2; 0; -5,5; +2,6; +4,3; -4,9; +1,8 b. +50; -72; -30; -10; +36; -44; +90; +20 11. Completa la tabella inserendo il risultato delle operazioni indicate. a b +5-9 -12 +15-8 -32 a+b a-b a b a:b a2 Risolvi le seguenti espressioni. 12. (+2-3 + 11) - (16-4 +3) - (-6 + 10-8) + (-5 + 20) 13. [-2 + (-3 + 6 + 2) + (+9-13)] + [+4 + (-10 + 2-7) + 11] 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. Il numero 7
Il calcolo letterale 1. Segna il completamento esatto. a. L espressione letterale a 2-7a per a = 3 vale: +30-12 +12 b. L espressione letterale per a = -4 vale: 0-1 perde significato c. L espressione letterale perde significato per: a = +3 a = 0 a = +5 2. Calcola il valore delle seguenti espressioni letterali. Ricorda: Devi sostituire alle lettere i valori numerici assegnati. 3a - 5b per a = +2, b = -1... per... 3. Completa la tabella. Monomio Coefficiente Parte letterale Grado rispetto ad a Grado rispetto a b Grado complessivo -3a 2 b 5 Esegui le seguenti somme algebriche di monomi. 4. 5. Esegui le seguenti moltiplicazioni, divisioni e potenze di monomi. Ricorda: Applica la regola dei segni per il coefficiente e le proprietà delle potenze per la parte letterale. 6. 7. 8. Risolvi le seguenti espressioni. 9. 10. 11. 8 Il numero
classe 3ª 12. 13. 14. Indica quali delle seguenti espressioni letterali sono polinomi. a. b. c. d. e. 15. Indica quali fra i seguenti polinomi sono frazionari. a. b. c. d. e. 16. Indica quali fra i seguenti polinomi sono omogenei. a. b. c. d. 17. Ordina i seguenti polinomi secondo le potenze crescenti della lettera a. a. b. 18. Indica il grado dei seguenti polinomi rispetto alle singole lettere. a. b. 19. Stabilisci qual è il grado complessivo dei seguenti polinomi. a. c. b. d. Calcola il valore delle seguenti somme algebriche. Ricorda: Quando elimini una parentesi preceduta dal segno meno devi cambiare il segno a tutti i termini contenuti in essa. 20. (2a 2 + 4ab + 2) - (5a 2-2ab - 3) + (8a 2-6ab - 4) 21. (7x 2-2y 2 + 10xy 2 ) - (12xy 2-5y 2 + 6x 2 ) - (4y 2 + xy 2 ) 22. (12a 2 b + 3ab 2 ) - (8ab 2-2) + (ab 2-4a 2 b) 23. 24. 25. 26. Il numero 9
Esegui le seguenti moltiplicazioni tra un polinomio e un monomio. 27. 28. Esegui le seguenti moltiplicazioni tra due polinomi. Ricorda: Per moltiplicare due polinomi devi moltiplicare ciascun termine del primo polinomio per tutti i termini del secondo e ridurre gli eventuali termini simili. 29. 30. 31. 32. Esegui le seguenti divisioni tra un polinomio e un monomio. 33. 34. 35. 36. Indica la soluzione corretta. Ricorda: (a + b) (a - b) = (a 2 - b 2 ) e (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 a. b. c. a. b. c. a. b. c. Risolvi le seguenti espressioni con i polinomi. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 10 Il numero
classe 3ª Equazioni e disequazioni 1. Quali tra le seguenti uguaglianze sono delle identità? a. 6x + 5x = 12x - 2x b. 9x + 2x = 7x + 4x c. 12x - 18x = -6 d. e. 16x + 4x = 28x - 8x f. 5x - 20x = - 15 g. 6x + 2x = 7x + 1 h. 2. Verifica se il valore dell incognita assegnato è la soluzione delle equazioni date. Ricorda: Per effettuare la verifica di un equazione devi sostituire nell equazione il valore dell incognita. a. 2x - 10 + 2x = 3x -13 (x = -4); d. 5x - 2x + 7 = 10 (x = +1) b. 3x + 2(x + 2) = x - 2x - 8 (x = -2); e. 20x + 5x = 2x - 14x (x = 0) c. x - 3(x - 2) = 4(1 + x) - 3x + 5 (x = +1); f. 6(x + 4) - 8x = 2(x - 16) - 12x (x = -6) 3. In base a quale principio di equivalenza le seguenti coppie di equazioni sono equivalenti? Ricorda: Due equazioni sono equivalenti se hanno la stessa soluzione. a. 8x - 2 + 4x = 5x + 15 e 7x = 15 + 2 b. 3x - 10 = 5x e 6x - 20 = 10x c. 4x + 2 = e 20x + 10 = 5x - 2 Risolvi le seguenti equazioni ridotte in forma normale. 4. 5x = 10; 4x = -12; 7x = 35 7. -5x = 15; -x = -2; 20x = -25 5. 15x = -60; 16x = 24; 18x = -6 8. -x = 6; 55x = -11; 8x = -32 6. 45x = -27; 13x = -13; 21x = 14 9. -2x = -10; 3x = -36; 27x = -45 Risolvi le seguenti equazioni. Ricorda: Devi applicare la regola del trasporto spostando i termini incogniti al primo membro e i termini noti al secondo; poi devi ridurre i termini simili, scrivere l equazione nella sua forma normale e quindi calcolare la soluzione. 10. 4x + 3 = 6-2x - 9; 12x + 6 = 6x - 4; 5x + 5 = 15-3x 11. 2x - 17 = 6x -1; 5x - 9 = -6x + 2; x + 3 = 10 + 22x 12. 10 x - 4 + 5x = 14 + x; 8x + 2 + 5x = -15-4x; 21-5x + 9x = + 7x 13. 13x + 4 = 15-5x +1; 18-11x - 6 = 6x - 16x; x + 25 = 15-6x + 2x 14. 3-4x -1 = 6-2 + 6x; 19x + 7 = 3x + 5-2x; 33x - 12-2x = 15x + x 15. Riduci in forma normale ciascuna delle seguenti equazioni e stabilisci se sono determinate, indeterminate o impossibili. a. 5x - 3 = 5x b. 9x + 3 + 4 = 3x + 6 + 1 c. 12x -2 = 12x + 1-3 d. 8x + 15 = 3x + 5 + 5x e. 11x - 12 + 2 = 16x - 5x -10 f. 6x - 9 = 4x - 6-3 Risolvi le seguenti equazioni. Ricorda: Per prima cosa devi eliminare le parentesi... 16. 19. 17. 20. 18. 21. Il numero 11
22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. Risolvi le seguenti equazioni. Ricorda: Per eliminare i denominatori devi trovare i loro m.c.m. e poi moltiplicarlo per tutti i termini dell equazione. Otterrai, così, una equazione a termini interi, equivalente a quella data, che sai risolvere. 30. 36. 31. 37. 32. 38. 33. 39. 34. 40. 35. 41. Risolvi le seguenti disequazioni ridotte in forma normale. Ricorda: Se il coefficiente della x è negativo devi moltiplicare entrambi i membri per -1 e cambiare verso alla disequazione. 42. 2x < 8; 4x > 20 44. 15x > 30; 6x < 42 46. 5x > 25; 55x < 11 43. -15x < 5; -4x < -2 45. 2x > -2; 35x < -7 47. -12x > -8; 42x > -36 Risolvi le seguenti disequazioni ridotte in forma normale. Ricorda: Devi applicare la regola del trasporto termini incogniti al primo membro e termini noti al secondo poi devi ridurre i termini simili, scrivere la disequazione nella sua forma normale e calcolarne la soluzione. 48. 2x + 2 < 6x - 9; 10x + 4 > 5x - 2 6x - 11 > 8x -1; 5x - 9 < - 6x + 2 49. 7x - 5 + 5x < 21-2; 33x - 2-3x < 15-4x 17x - 6 > 15-3x + 4; 25-12x - 5 > - 6x - 4 Risolvi le seguenti disequazioni con termini frazionari. 50. 51. 12 Il numero
classe 3ª La risoluzione algebrica dei problemi 1. Metti in ordine le fasi relative alla risoluzione algebrica di un problema. Individuazione dei dati Risoluzione dell equazione Lettura e analisi del testo Discussione della soluzione Traduzione del problema in equazione Scelta dell incognita Traduci in un equazione le affermazioni date e rispondi. 2. La somma tra un numero e i suoi 5. Determina il numero il cui doppio 2/5 è uguale al numero stesso aumentato di 12 è uguale al suo triplo aumentato di 1. Qual è il numero? diminuito di 8. 3. Aggiungendo 4 a un numero si 6. La metà di un numero diminuito di 6 ottiene il doppio del numero stesso è uguale alla terza parte del numero diminuito di 2. Qual è il numero? diminuita di 2. Qual è il numero? 4. Sottraendo 5 al triplo di un numero 7. Determina il numero che aumentato si ottiene il doppio del numero del suo quarto è uguale al doppio della diminuito di 3. Qual è il numero? differenza tra il numero stesso e 1. 8. La differenza di due numeri è 16 e il secondo è1/3 del primo. Determina i due numeri. (Indica con x un numero e con l altro numero ) 9. Due amici devono dividersi la una vincita di 140 euro in modo che uno riceva i 2/3 dell altro. Quanto riceve ciascuno? (Indica con x la vincita di un amico e con la vincita dell altro amico ) 10. Due magliette costano complessivamente 42 euro e una costa 8 euro più dell altra. Quanto costa ciascuna maglietta? (Indica con x il costo di una maglietta e con x + 8 il costo dell altra ) 11. In un sacchetto ci sono 24 biglie, rosse e blu. Se le biglie rosse sono il doppio di quelle blu, quante sono le biglie di ciascun colore? 12. Una corda, lunga 210 cm viene divisa in tre parti, in modo che ciascuna di esse sia 30 cm più lunga dell altra. (Indica con x il primo pezzo di corda; il secondo sarà x + 30; il terzo x + 30 + 30 ) Risolvi i seguenti problemi geometrici, impostando un equazione. 13. Due angoli sono supplementari e uno è i 5/4 dell altro. Determina l ampiezza di ciascun angolo. 14. In un triangolo l angolo A è congruente all angolo B e l angolo C è il doppio dell angolo B. Calcola l ampiezza dei tre angoli. (Indica con x l angolo A e poi ricorda che in ogni triangolo la somma degli angoli interni misura 180 ). 15. Il perimetro di un rettangolo misura 210 cm e l altezza è i 2/5 della base. Determina l area del rettangolo. (Indica con x la base del rettangolo e con l altezza e ricorda che il perimetro è la somma dei lati ) 16. Determina il perimetro di un triangolo rettangolo sapendo che l ipotenusa è congruente ai 5/3 del cateto minore e che la loro somma misura 48 cm. (Indica con x il cateto minore e con l ipotenusa ) Il numero 13
La statistica 1. Completa. a. I dati relativi ad una variabile quantitativa possono essere e b. Il campo di variazione è l intervallo numerico tra il di una serie di dati. c. L intervallo di raggruppamento è d. La frequenza cumulata di un certo valore x della variabile considerata si ottiene le frequenze assolute di x e di tutti i dati che lo... 2. I dati riportati nella tabella si riferiscono all età di alcuni giovani che frequentano un corso di paracadutismo. 20 28 26 20 21 24 25 23 24 20 30 30 23 22 25 31 28 20 26 25 a. Stabilisci il campo di variazione e l ampiezza del raggruppamento: campo di variazione b. Compila la tabella con la distribuzione di frequenza e calcola la frequenza percentuale. c. Rappresenta le frequenze con un istogramma. ampiezza del raggruppamento Classe di età Frequenza Frequenza % 20 22 23 25 26 28 29 31 3. I dati riportati nella tabella si riferiscono all altezza (in cm) di un gruppo di ragazze che frequentano un corso di danza moderna. 155 144 147 132 153 155 150 146 160 158 150 142 140 160 156 152 138 166 145 146 14 a. Compila la tabella con la distribuzione di frequenza e calcola la frequenza percentuale. b. Rappresenta le frequenze con un istogramma. Dati e previsioni Classe di altezza Frequenza Frequenza % 132 138 139 145 146 152 153 159 160 166
classe 3ª 4. La seguente tabella è riferita al numero di pagine di un libro della biblioteca che gli alunni hanno letto nell arco di una settimana. Completa la tabella con la frequenza percentuale e la frequenza cumulata. Ricorda: La frequenza cumulata di una classe si ottiene sommando la sua frequenza con la frequenza di tutte le classi che la precedono. Pagine lette in una settimana Frequenza Frequenza % Frequenza cumulata 7 15 5 16 24 10 25 33 15 34 42 20 a. Rappresenta i dati con un istogramma. b. Qual è la classe modale? c. Quanti sono i ragazzi che hanno letto meno di 25 pagine? d. Quanti sono i ragazzi che hanno letto più di 33 pagine? 5. La seguente tabella è riferita ai goal realizzati da una squadra di calcio in sei stagioni. Stagione 04-05 05-06 06-07 07-08 08-09 09-10 Goal realizzati 45 58 60 68 42 56 a. Rappresenta i dati con un istogramma. b. Calcola la moda e la media aritmetica. Moda... Media aritmetica... c. Ponendo la stagione 06-07 come stagione base, completa la tabella dei numeri indice. Stagione 04-05 05-06 06-07 07-08 08-09 09-10 Goal realizzati Numeri indice 100 Ricorda: Per calcolare i numeri indice devi dividere il numero dei goal di ciascuna stagione per il numero di goal della base stagione 06-07 e moltiplicare il risultato per 100. 6. La seguente tabella fa riferimento al numero di piantine vendute da un vivaio negli ultimi sei mesi dello scorso anno. Mese Luglio Agosto Settembre Ottobre Novembre Dicembre Piantine vendute 8000 6500 5500 6000 4500 4000 a. Rappresenta i dati con un ideogramma. b. Ponendo Ottobre come mese base, completa la seguente tabella dei numeri indice con la variazione percentuale rispetto al mese base. Mese Luglio Agosto Settembre Ottobre Novembre Dicembre Piantine vendute 8000 6500 5500 5000 4500 4000 Numeri indice 100 Variazione percentuale Dati e previsioni 15
La probabilità 1. Scegli il completamento esatto. a. Estrarre un numero multiplo di due alla tombola è: un evento certo un evento semplice un evento composto b. Estrarre il 15 o il 30 alla tombola è: un evento semplice un evento impossibile un evento composto 2. Dal sacchetto sottostante vengono estratte successivamente due palline, rimettendo la prima estratta nel sacchetto. La probabilità dell evento escono nell ordine una pallina nera e una bianca è: p(e) = p(e 1 ) p(e 2 ) = Attenzione: i due eventi sono indipendenti 3. Dal sacchetto sottostante vengono estratte successivamente due palline, senza rimettere la prima estratta nel sacchetto. La probabilità dell evento escono due palline bianche è: p(e) = p(e 1 ) p(e 2 ) = Attenzione: i due eventi sono dipendenti 4. Da ciascuna delle seguenti scatole si estrae una pallina. Costruisci un grafo ad albero e rispondi. a. Tutti i casi possibili sono b. La probabilità che escano due palline bianche è c. La probabilità che escano due palline, una bianca e l altra nera è 5. Dalla scatola sottostante vengono estratte successivamente due biglie e la prima biglia estratta non viene rimessa nella scatola. Attenzione: i due eventi sono dipendenti Calcola la probabilità dei seguenti eventi composti. a. La probabilità dell evento E escono due biglie nere. b. La probabilità dell evento E escono due biglie bianche. c. La probabilità dell evento E escono nell ordine una biglia nera e una bianca. 6. Anna, Marco e Sara frequentano un corso di inglese e Mara, Vincenzo e Piero un corso di tedesco. Rappresenta con un grafo ad albero tutti i casi possibili nell estrazione a caso di due ragazzi, uno per ciascun gruppo, e determina la probabilità che: a. escano due femmine b. escano due maschi c. escano un maschio e una femmina 16 7. Da un mazzo di carte napoletane (40 carte) si estraggono successivamente tre carte, rimettendo ogni volta la carta estratta nel mazzo Determina probabilità che escano, nell ordine, tre carte: una di bastoni, una di denari e una di coppe. Dati e previsioni
classe 3ª 8. Sette gettoni numerati sono stati sistemati in due sacchetti. Nel primo ci sono i numeri 8, 15 e 3 e nel secondo i numeri 20, 11, 15 e 8. Rappresenta con un grafo ad albero tutti i casi possibili nell estrazione di un numero dai due sacchetti e poi rispondi. a. Quanti sono tutti i casi possibili? b. Qual è la probabilità che escano due numeri uguali? c. Qual è la probabilità che escano due numeri dispari? 9. Dal sacchetto rappresentato si estraggono successivamente, a caso, due gettoni e il primo gettone viene sempre rimesso nel sacchetto. Completa la frase e calcola la probabilità degli eventi composti elencati. a. Gli eventi semplici considerati sono perché il verificarsi del primo il verificarsi del secondo. b. Si estraggono due gettoni neri : p(n,n) = c. Si estraggono nell ordine un gettone nero e uno bianco : p(n,b) =... d. Si estraggono nell ordine un gettone grigio e uno bianco : p(g,b) =... 10. Dal sacchetto rappresentato si estraggono successivamente, a caso, due gettoni e il primo gettone non viene rimesso nel sacchetto. Completa la frase e calcola la probabilità degli eventi composti elencati. a. Gli eventi semplici considerati sono perché il verificarsi del primo il verificarsi del secondo. b. Si estraggono due gettoni bianchi : p(b,b) = c. Si estraggono nell ordine un gettone nero e uno grigio : p(n,g) =... d. Si estraggono nell ordine un gettone nero e uno bianco : p(n,b) =... 11. Marco lancia due dadi. Considera gli eventi semplici indicati e rispondi. a. Qual è la probabilità dell evento E escono il 4 e il 6? p(e 1 ) = p(e 2 ) = p(e) = b. Qual è la probabilità dell evento E escono il 5 e un numero minore di 5? p(e 1 ) = p(e 2 ) = p(e) = 12. Disegna un grafo ad albero di tutti i casi possibili ottenuti estraendo una lettera da ciascuna delle scatole sottostanti e poi rispondi. A B P E U D S a. Qual è la probabilità che escano tre consonanti? b. Qual è la probabilità che escano, nell ordine, una consonante e due vocali? c. Qual è la probabilità che escano una vocale e due consonanti? 13. Calcola la probabilità che nel lancio di due dadi si ottengano due numeri primi. P(E 1 ) = P(E 2 ) = P(E) = Dati e previsioni 17
La logica matematica 1. Indica quali delle seguenti frasi sono proposizioni. Ricorda: Sono proposizioni quelle frasi a cui si può attribuire inequivocabilmente un valore di verità. Non sono proposizioni le frasi che esprimono valutazioni soggettive, le esclamazioni a. Il triangolo è un poligono con tre lati. d. Non fare tardi. b. Che tempo fa? e. 8 è un numero pari. c. Il Piemonte è una regione italiana. f. Torino è in Veneto. 2. Stabilisci quali delle seguenti proposizioni sono vere e quali false. a. L Italia è un continente. d. Il rettangolo è un parallelogramma. b. Il numero 2 è un divisore di 12. e. Il gatto è un mammifero. c. 2 è l unico numero primo che è pari. f. Tutti i triangoli equilateri sono isosceli. Per ogni coppia di proposizioni p e q scrivi la proposizione p q e, in base al valore di verità delle proposizioni assegnate, stabilisci il suo valore di verità. Ricorda: Una proposizione composta p q è vera solo se sono vere entrambe le proposizioni che la compongono. 3. p: Un poligono regolare ha i lati congruenti. q: Un poligono regolare ha gli angoli congruenti. p q: Un poligono regolare ha i lati e... p è e q è p q è 4. p: 3 è una cifra del numero 123. q: 3 è una cifra del numero 420. p q: p è e q è p q è 5. p: 20 è un multiplo di 3. q: 20 è un multiplo di 5. p q: p è e q è p q è Per ogni coppia di proposizioni p e q scrivi la proposizione p q e, in base al valore di verità delle proposizioni assegnate, stabilisci il suo valore di verità. Ricorda: Una proposizione composta p q è vera solo se è vera una delle due proposizioni che la compongono. 6. p: Antonio dorme. q: Antonio gioca con la playstation. p q: Antonio dorme o... p è vera e q è falsa p q è 7. p: Guardo la TV. q: Passeggio nel parco. p q: p è falsa e q è falsa p q è 8. p: Stasera alle 21:00 vado al cinema. q: Stasera alle 21:00 vado a ballare. p q: p è vera e q è falsa p q è 18 9. p: 36 è un numero primo. q: 36 è un numero composto. p q: p è e q è p q è Relazioni e logica
classe 3ª Per ogni coppia di proposizioni p e q scrivi la proposizione p q e il suo valore di verità. Ricorda: Una proposizione composta p q è falsa solo se sono false entrambe le proposizioni che la compongono. 10. p: Mangio un biscotto. q: Leggo un libro. p q: Mangio un biscotto o......... p è vera e q è falsa p q è 11. p: Luisa passeggia. q: Luisa ascolta la musica. p q:... p è vera e q è vera p q è 12. p: Vado a trovare la nonna. q: Esco con la mia migliore amica. p q:...... p è falsa e q è falsa p q è 13. p: 12 è un numero pari. q: 12 è divisibile per 4. p q:... p è e q è p q è Indica il valore di verità di ciascuna delle proposizioni assegnate, scrivi la negazione logica e attribuisci il valore di verità a quest ultima. Ricorda: La negazione cambia il valore di verità di una proposizione: se questa è vera, la sua negazione è 14. p: Il triangolo è un poligono convesso. p è p: p è 15. p: 20 è minore di 5. p è p: p è 16. p: La balena è un pesce. p è p: p è 17. p: 100 è un quadrato perfetto. p è p: p è Date le due proposizioni p e q, scrivi l implicazione p q e, supponendo vera p, stabilisci il suo valore di verità. Ricorda: Un implicazione è falsa solo se è falsa la conseguenza. 18. p: ABC è un triangolo è isoscele. q: ABC ha gli angoli alla base congruenti. p q:......... p q è 19. p: Un numero è primo. q: Il numero non è divisibile per 3. p q:......... p q è 20. p: Un poligono ABCD ha i lati congruenti. q: ABCD ha gli angoli congruenti. p q:...... p q è 21. p: x è un numero pari. q: x + 1 è un numero dispari. p q:......... p q è Relazioni e logica 19
Gli insiemi 1. Stabilisci a quali operazioni si riferiscono le seguenti frasi. a. L insieme formato da tutti i sottoinsiemi propri e impropri di A: b. L insieme formato dagli elementi comuni ad A e a B: c. L insieme formato dagli elementi che appartengono almeno ad A, a B o ad entrambi: d. L insieme formato da tutti gli elementi di A che non appartengono a B: e. L insieme formato da tutte le coppie ordinate che hanno come primo elemento un elemento di A e come secondo elemento un elemento di B: 2. Dati gli insiemi A = {x x è lettera della parola controllore } e B = {x x è lettera della parola malore } rappresenta per elencazione gli insiemi: C = A B = { } C = A B = { } 3. Dati gli insiemi A = {x x è lettera della parola triangolo } e B = {x x è lettera della parola gola } rappresenta per elencazione gli insiemi: C = A B = { } C = A B = { } 4. Dati gli insiemi A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} e B = {1, 3, 5, 7, 9} rappresenta per elencazione gli insiemi: C = A B = { } C = A B = { } 5. Dati gli insiemi A = {x x è una lettera della parola orologiaio } e B = {x x è una lettera della parola mostra }, rappresenta per elencazione gli insiemi A - B e B - A. (Scrivi prima i due insiemi per elencazione, poi ) A - B = { } B - A = { } 6. Dati gli insiemi A = {x x N e 10 < x 20} e B = {x x N e 12 < x < 15}, rappresentali graficamente e rappresenta per elencazione l insieme complementare di B rispetto ad A. (Scrivi prima i due insiemi per elencazione, poi ) A B = { } 7. Rappresenta per elencazione l insieme delle parti del seguente insieme. A = {x x è consonante della parola mare } A = { } 8. Dati gli insiemi A = {3, 6, 9} e B = {a, b, c}, determina il prodotto cartesiano A B e danne una rappresentazione sagittale. Ricorda: Le coppie che formano gli elementi dell insieme A B sono coppie ordinate, il primo elemento deve appartenere ad A e... A B = { } 20 9. Dato l insieme A = {pane, pasta, brodo, sedano, pera, salsa, carota, sugo, carne, pesce}, esegui la partizione dell insieme A in base al numero di lettere che formano le parole e rappresentala graficamente. Il pensiero razionale
classe 3ª Corrispondenze e relazioni Considera gli insiemi A e B, individua la corrispondenza fra gli insiemi dati e rappresentala in forma sagittale. Stabilisci, poi, se si tratta di una corrispondenza biunivoca o no. 1. A = {2, 5, 6, 7, 9} B = {27, 18, 15, 21, 6, 12} 2. A = {Roma, Torino, Firenze, Verona} B = {Adige, Po, Arno, Tevere} 3. A = {c, t, s, a, } B = {albero, cantina, stufa, candela, tavolo} Considera gli insiemi assegnati nei seguenti esercizi e le relazioni in essi stabilite. Scrivi tutte le coppie di elementi in relazione e rappresenta la relazione in forma sagittale. 4. A = {123, 245, 1421, 765, 2628, 963, 549} =... ha la stessa cifra delle decine di... 5. A = {asola, barca, segmento, lieve, tramonto, sogno, termometro, casolare} =... ha lo stesso numero di sillabe di... 6. A = {Milano, Bologna, Venezia, Monza, Modena, Vicenza} =... è nella stessa regione di... Considera gli insiemi assegnati nei seguenti esercizi e le relazioni in essi stabilite. Scrivi le proprietà di cui gode ciascuna relazione e rappresentala con una tabella a doppia entrata. Ricorda: Se un elemento a è in relazione con se stesso, allora è verificata la proprietà riflessiva; se un elemento a è in relazione con un elemento b e questo con un elemento c, allora è verificata la proprietà transitiva; se un elemento a è in relazione con un elemento b e l elemento b è in relazione con a, allora è verificata la proprietà simmetrica. 7. A = {14, 18, 20, 24, 12} e la relazione è un precedente di, 8. A = {76, 143, 356, 586, 93} e la relazione termina con la stessa cifra di 9. A = {+3, -5, -7, +10, -2} e la relazione è concorde con 10. Rappresenta in forma sagittale la relazione è più alto di sapendo che: Marco è alto 1,40 m; Giorgio è alto 1,60 m; Luca è alto 1,56 m; Leonardo è alto 1,48 m; Massimo è alto 1,52 m. Rappresenta con una tabella a doppia entrata la relazione stabilita all interno di ciascuno degli insiemi assegnati e stabilisci se è una relazione di equivalenza, di ordine largo o di ordine stretto. Ricorda: Una relazione di equivalenza gode della proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. Una relazione di ordine largo gode della proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva. Una relazione di ordine stretto gode della proprietà antisimmetrica e transitiva. 11. A = {5; 7; 13; 15; 17} e la relazione è minore o uguale a, 12. A = {5; 10; 15; 20; 30} e la relazione è multiplo di, 13. A = {Sara, Laura, Gabriella, Daniela, Mariella} e la relazione abita nella stessa regione di sapendo che: Sara abita a Varese, Laura abita a Ferrara, Gabriella abita a Monza, Daniela abita a Milano, Mariella abita a Rimini. Relazioni e logica 21
La geometria analitica 1. Scrivi le coordinate dei punti rappresentati nel seguente piano cartesiano. y H u A ( ; ) A B ( ; ) B E C ( ; ) D ( ; ) E ( ; ) G x F ( ; ) F D G ( ; ) C H ( ; ) 2. Rappresenta in un piano cartesiano i punti assegnati. A (-7; +5) B (+6; -2) C (-4; -8) D (-12; +9) E (+7; +2) 3. Considera le equazioni assegnate e, dopo aver compilato per ciascuna di esse una tabella di valori, disegnane il diagramma cartesiano. a ESEMPIO: y = -2x x -2-1 0 +1 +2 y +4 +2 0-2 -4 a. y = -3x; d. y = 3/2 x b. y = -2/5 x; e. y = -x c. y = -3/4 x; f. y = x 6 y 5 4 3 2 1 0 x 6 5 4 3 2 1 0 1 1 2 3 4 5 6 2 3 4 4. Considera le equazioni assegnate e, dopo aver compilato per ciascuna di esse una tabella di valori, disegnane il diagramma cartesiano. 6 5 y 22 a ESEMPIO: y = x - 1 x -2-1 0 +1 +2 y -3-2 -1 0 +1 a. y = -2x + 1; d. b. y = x + 2; e. y = -3x + 2 c. f. Relazioni e logica 4 3 2 1 6 0 5 4 3 2 1 1 0 1 2 3 4 5 x 6 2 3 4
classe 3ª Determina graficamente il punto di intersezione delle due rette assegnate. a ESEMPIO: a. y = x + 4 b. y = 3x a. x -2-1 0 +1 +2 b. y +2 +3 +4 +5 +7 x -2-1 0 +1 +2 y -6-3 0 +3 +6 5. a. y = -x + 3 6. a. y = 3x - 3 b. y = 2x b. y = x + 1 7 y 6 A (2, 6) 5 4 3 2 1 0 x 5 4 3 2 1 1 0 1 2 3 4 5 6 2 3 Scrivi l equazione di una retta parallela a ciascuna delle rette assegnate. Rappresenta poi nel piano cartesiano ciascuna coppia di rette. Ricorda: Due rette sono parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare. 7. y = -2x + 3 8. 9. 10. y = 4x - 2 Scrivi l equazione di una retta perpendicolare a ciascuna delle rette assegnate. Rappresenta poi nel piano cartesiano ciascuna coppia di rette. Ricorda: Due rette sono perpendicolari se il coefficiente di una è l opposto dell inverso del coefficiente dell altra. 11. y = 3x + 1 13. 12. y = 4x - 5 14. y = x + 6 15. Rappresenta nel piano cartesiano le seguenti iperboli. a ESEMPIO: a. c. b. d. x -3-1 +1 +3 y -1-3 3 1 y 6 5 4 3 2 1 0 x 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 16. Rappresenta nel piano cartesiano le seguenti parabole. a ESEMPIO: y = x 2 a. c. y = 2x 2 b. y = -3x 2 d. x -2-1 +1 +2 y +4 +1 +1 +4 8 y 7 6 5 4 3 2 1 0 x 7 6 5 4 3 2 1 0 1 1 2 3 4 5 6 2 Relazioni e logica 23
Lunghezza della circonferenza e area del cerchio 1. Segna il completamento corretto. a. Se r = 10 cm A = 100 p cm 2 20 p cm 2 b. Se r = 15 cm C = 15 p cm 30 p cm c. Se C = 70 p cm r = 35 cm 70 cm d. Se A = 256 p cm 2 r = 8 cm 16 cm 2. Completa la seguente tabella riferita ad alcune circonferenze di cui si conosce il raggio. r (in cm) 6 12 14 30 34 C (in cm) 3. Completa la seguente tabella riferita ad alcuni cerchi di cui si conosce l area. A (in cm 2 ) 36p 1017,36 121p 529p 615,44 r (in cm) Risolvi i seguenti problemi. 4. Il diametro di una circonferenza misura 26 cm. Calcola la misura della circonferenza e l area del cerchio che essa delimita. 5. Il raggio di una circonferenza misura 24 cm. Calcola la misura della circonferenza e l area del cerchio che essa delimita. 6. Una circonferenza è lunga 175,84 cm. Calcola l area del cerchio che essa delimita. 7. Un cerchio ha l area di 153,86 cm 2. Calcola la misura del suo diametro. 8. L area di un cerchio misura 1024p cm 2. Calcola la lunghezza della circonferenza che lo delimita. 9. L area di un cerchio misura 706,5 cm 2. Calcola l area di un cerchio avente il raggio congruente ai 4/5 del raggio del cerchio dato. 10. Una circonferenza misura 72 p cm. Calcola l area di un cerchio che ha il raggio congruente ai 5/9 del raggio della circonferenza data. 24 11. Una circonferenza è lunga 251,2 cm. Calcola la lunghezza della circonferenza e l area del cerchio avente il raggio congruente ai 7/8 del raggio della circonferenza data. Geometria e misura
classe 3ª 12. Il raggio di una circonferenza misura 32 cm. Calcola il diametro di una circonferenza congruente ai 13/16 della circonferenza data. 13. Calcola la lunghezza di due circonferenze sapendo che la somma e la differenza dei loro raggi misurano rispettivamente 37 cm e 13 cm. 14. I 5/8 di una circonferenza misurano 94,2 cm. Calcola il raggio della circonferenza. 15. La somma delle lunghezze di due circonferenze misura 88p cm e una è i 5/6 dell altra. Calcola l area dei due cerchi che esse delimitano. 16. Le aree di due cerchi misurano rispettivamente 113,04 cm 2 e 200,96 cm 2. Calcola l area di un cerchio avente il raggio congruente alla somma dei raggi dei due cerchi dati. 17. Una corda di una circonferenza è lunga 27 cm e dista dal centro 18 cm. Calcola la lunghezza della circonferenza e l area del cerchio che essa delimita. 18. Calcola la lunghezza di una corda di una circonferenza lunga 34p cm sapendo che la sua distanza dal centro misura 15 cm. 19. Da un punto P esterno ad una circonferenza è stata tracciata una retta tangente alla circonferenza stessa. Sapendo che la circonferenza è lunga 30p cm e che il segmento di tangenza PT misura 36 cm, calcola la distanza del punto P dal centro O della circonferenza. O T P 20. Due circonferenze misurano rispettivamente 42p cm e 56p cm. Sapendo che la distanza tra i loro centri misura 41 cm, stabilisci la loro posizione reciproca. 21. L area di un cerchio misura 729p cm 2. Calcola la lunghezza di una circonferenza avente il raggio doppio del raggio del cerchio dato. 22. Calcola il raggio di una circonferenza sapendo che un suo arco lungo 9,42 cm ha l ampiezza di 45. Risolvi i seguenti problemi riguardanti la lunghezza l di un arco di circonferenza, ricordando che: l = C a : 360 ; C = l 360 : a ; a = l 360 : C 23. Calcola la lunghezza di un arco di circonferenza sapendo che il raggio della circonferenza misura 24 cm e che l angolo al centro corrispondente misura 45. Geometria e misura 25
24. Calcola la lunghezza di un arco appartenente ad una circonferenza il cui diametro misura 21 cm, sapendo che l angolo al centro corrispondente misura 120. 25. Un arco di circonferenza misura 12,7 cm e l angolo al centro corrispondente misura 60. Calcola la misura della circonferenza a cui l arco appartiene. 26. Calcola la misura della lunghezza di una circonferenza a cui appartiene un arco lungo 30 cm, sapendo che l angolo al centro corrispondente misura 80. 27. La lunghezza di una circonferenza misura 288p cm. Calcola l ampiezza dell angolo al centro corrispondente ad un arco di 36p cm. 28. Un arco lungo 63p cm appartiene ad una circonferenza lunga 324p cm. Calcola l ampiezza dell angolo al centro corrispondente. Risolvi i seguenti problemi riguardanti l area di un settore circolare, ricordando che: A S = A C a : 360 ; A C = A S 360 : a; a = A S 360 : A C 29. Calcola l area di un settore circolare corrispondente ad un angolo al centro di 40, sapendo che appartiene ad un cerchio avente l area di 2304p cm 2. 30. Calcola l area di un settore circolare corrispondente ad un angolo al centro di 60 e appartenente ad un cerchio il cui raggio misura 24 cm. 31. Calcola l area di un cerchio a cui appartiene un settore circolare avente l area di 36p cm 2 e corrispondente ad un angolo al centro di 30. 32. Un settore circolare ha l area di 135p cm 2. Sapendo che l angolo al centro corrispondente è ampio 150, calcola il raggio del cerchio a cui il settore appartiene. 33. Calcola l ampiezza dell angolo al centro corrispondente ad un settore circolare avente l area di 64p cm 2, sapendo che l area del cerchio a cui appartiene misura 240p cm 2. 34. Un settore circolare avente l area di 25,12 cm 2 appartiene ad un cerchio il cui raggio misura 6 cm. Calcola l ampiezza dell angolo al centro corrispondente. Risolvi il seguente problema, ricordando che: A S = l r : 2 l = lunghezza dell arco 26 35. Calcola l area di un settore circolare che appartiene ad un cerchio la cui area misura 153,86 cm 2, sapendo che l arco che lo delimita è lungo 16 cm. Geometria e misura
classe 3ª La geometria a tre dimensioni 1. Osserva l immagine e completa. a b c d a. La retta a e la retta d sono b. La retta b e la retta c sono c. La retta d è al piano Osserva le immagini e risolvi i problemi. 2. Calcola la distanza del punto P dal piano a sapendo che i segmenti AB e PB misurano rispettivamente 5 cm e 13 cm. B P A F 3. Calcola la misura della proiezione del segmento PB sul piano a sapendo che i segmenti PB e PA misurano rispettivamente 34 cm e 16 cm. F B P A 4. Calcola la distanza del punto P dal piano a sapendo che la somma e la differenza dei segmenti PB e AB misurano rispettivamente 49 cm e 9 cm. P F B A 5. Calcola l ampiezza di due diedri, sapendo che la somma delle loro ampiezze misura 132 e che uno è il doppio dell altro. 6. Calcola l ampiezza di due diedri sapendo che la loro differenza misura 24 e che uno è i 2/5 dell altro. 7. Calcola l ampiezza dell angolo diedro supplementare di un diedro ampio 102 30. 8. Quale delle seguenti terne si riferisce alle ampiezze di tre facce di un angoloide? a. 125 ; 75 ; 140 b. 90 ; 120 ; 150 c. 180 ; 98 ; 110 Geometria e misura 27
Superficie laterale e totale dei poliedri Risolvi i seguenti problemi relativi all area della superficie del prisma. Ricorda: S l = p b h S t = S l + 2 A b 1. Un prisma regolare ha per base un quadrato il cui lato misura 8 cm. Sapendo che l altezza del solido misura 15 cm, calcola l area della superficie laterale e totale del prisma. Ae De Ce 2. Un prisma retto ha per base un quadrato la cui area misura 729 cm 2. Sapendo che l altezza è congruente ai 5/9 dello spigolo di base, calcola l area della superficie laterale e totale del prisma. D C A B 3. Il perimetro di base di un prisma regolare quadrangolare misura 56 cm. Sapendo che l altezza del prisma è doppia dello spigolo di base, calcola l area della superficie laterale e totale del prisma. 4. L altezza di un prisma esagonale regolare misura 24 cm. Sapendo che lo spigolo di base è congruente ai 2/3 dell altezza, calcola l area della superficie laterale e totale del prisma. Ricorda: L area di un poligono regolare si calcola l 2 j e che per l esagono j = 2,598. 5. Un prisma retto ha per base un triangolo rettangolo avente i cateti lunghi rispettivamente 15 cm e 20 cm. Sapendo che l altezza del prisma è congruente all ipotenusa del triangolo di base, calcola l area della superficie laterale e totale del prisma. Ricorda: Applica prima il teorema di Pitagora per calcolare l ipotenusa. 6. Un prisma retto ha per base un triangolo rettangolo avente l ipotenusa e un cateto che misurano rispettivamente 26 cm e 10 cm. Sapendo che l area laterale del prisma misura 1920 cm 2, calcola l altezza del prisma. 7. L area della superficie laterale di un prisma pentagonale regolare misura 1365 cm 2. Sapendo che l altezza del prisma misura 21 cm, calcola la misura dello spigolo di base. 8. L area laterale di un prisma quadrangolare regolare misura 1700 cm 2. Sapendo che l altezza del prisma misura 25 cm, calcola l area della sua superficie totale. Risolvi i seguenti problemi relativi all area della superficie laterale e totale di un parallelepipedo. Ricorda: Puoi applicare le stesse formule che hai utilizzato per il prisma. 9. Un parallelepipedo rettangolo ha la tre dimensioni lunghe rispettivamente 20 cm, 27 cm e 18 cm. Calcola l area della superficie laterale e totale del solido. Ae De D Ce C A B 28 10. Il perimetro di base e l area laterale di un parallelepipedo rettangolo misurano 45 cm e 990 cm 2. Calcola la misura dell altezza. Geometria e misura
classe 3ª 11. L area totale di un parallelepipedo rettangolo è di 846 cm 2. Sapendo che le dimensioni di base misurano rispettivamente 15 cm e 12 cm, calcola la misura dell altezza. 12. La somma delle dimensioni di base di un parallelepipedo rettangolo misura 72 cm e una è i 3/5 dell altra. Sapendo che l altezza è lunga 36 cm, calcola l area della superficie laterale e totale. 13. Calcola l area della superficie laterale e totale di un parallelepipedo rettangolo sapendo che le dimensioni di base misurano rispettivamente 16 cm e 26 cm e che l altezza è 1/3 del perimetro di base. 14. L area della superficie laterale di un parallelepipedo rettangolo misura 198,36 cm 2. Calcola l area della superficie totale sapendo che l altezza e una delle dimensioni di base misurano rispettivamente 5,8 cm e 9,6 cm. Risolvi i seguenti problemi relativi all area della superficie laterale e totale di un cubo. De Ricorda: S l = 4l 2 S t = 6l 2 Ae Ce D 15. Calcola l area della superficie laterale e totale di un cubo il cui spigolo misura 15 cm. A B 16. Calcola l area della superficie laterale e totale di un cubo il cui spigolo misura 7 cm. 17. Calcola la misura dello spigolo di un cubo la cui area totale misura 73,5 cm 2. 18. Un parallelepipedo rettangolo e un cubo hanno la stessa area della superficie totale. Sapendo che le dimensioni del parallelepipedo misurano rispettivamente 12 cm, 4 cm e 9 cm, calcola la lunghezza dello spigolo del cubo. Risolvi i seguenti problemi relativi all area della superficie laterale e totale di una piramide. Ricorda: S l = (p b a) : 2 S t = S l + A b p b = S l 2 : a a = S l 2 : p b S l = S t - A b A b = S t - S l C 19. Il lato di base e l altezza di una piramide quadrangolare regolare misurano rispettivamente 16 cm e 15 cm. Calcola l area della superficie laterale e totale della piramide. V 20. Una piramide quadrangolare regolare ha l apotema e l altezza D lunghe rispettivamente 26 cm e 24 cm. Calcola l area della superficie laterale e totale della piramide. A B C 21. L apotema e lo spigolo di base di una piramide esagonale regolare misurano rispettivamente 12 cm e 10 cm. Calcola l area della superficie laterale e totale del solido. 22. Una piramide quadrangolare regolare ha l altezza e il perimetro di base lunghi rispettivamente 24 cm e 56 cm. Calcola l area della superficie laterale e totale del solido. 23. L area laterale e l apotema di una piramide quadrangolare regolare misurano rispettivamente 2320 cm 2 e 29 cm. Calcola l area della superficie totale del solido. 24. Una piramide quadrangolare regolare ha il perimetro di base e l altezza lunghi rispettivamente 120 cm e 20 cm. Calcola l area della superficie laterale e totale del solido. Geometria e misura 29
La superficie dei solidi di rotazione 1. Disegna il cilindro o il cono che si ottengono dalla rotazione completa delle figure assegnate attorno all asse di rotazione individuato dalla retta r. In base al valore dell unità di misura dato, calcolane poi l area della superficie laterale e totale. Ricorda: Le formule per calcolare l area della superficie laterale e totale di cilindro e cono sono: Cilindro: S l = 2p r h S t = S l + 2 A b h = S l : 2p r r = S l : 2ph Cono: S l = p r a S t = S l + A b a = S l : p r r = S l : p a u " 6 u " 10 r r 2. Completa la seguente tabella riferita al cilindro (lascia indicata la costante p). r h C A b S l S t 50 cm 225p cm 2 25 cm 500p cm 2 3. Completa la seguente tabella riferita al cono (lascia indicata la costante p). r a C A b S l S t 8 cm 17 cm 25p cm 2 90p cm 2 4. Scegli la risposta esatta. a. Il raggio di base di un cilindro, alto 18 cm, è di 5 cm. La sua superficie laterale è di: 90p cm 2 180p cm 180p cm 2 b. Il raggio di base di un cilindro, alto 44 cm, è di 14 cm. La sua superficie totale è di: 1232p cm 2 1624p cm 2 1428p cm 2 c. Il raggio di base di un cilindro equilatero è lungo 50 cm. La sua altezza è di: 50 cm 25 cm 100 cm d. Il diametro di base di un cono equilatero è lungo 18 cm. Il suo apotema è di: 18 cm 8 cm 36 cm e. Il raggio di base di un cono, il cui apotema è lungo 50 cm, è di 30 cm. La sua superficie laterale è di: 150p cm 2 1500p cm 1500p cm 2 f. Il raggio di base di un cono, il cui apotema è lungo 26 cm, è di 10 cm. La sua superficie totale è di: 360p cm 2 260p cm 2 180p cm 2 5. Osserva la figura e disegna il solido composto che si ottiene facendo ruotare il trapezio intorno alla sua base maggiore. 30 Geometria e misura