Lavoro ed energia Lavoro di una forza Teorema dell energia cinetica Forze conservative Conservazione dell energia
Moto uniformemente accelerato 1) v=v 0 +a(t-t 0 ) 2) s=s 0 +v 0 (t-t 0 )+½a(t-t 0 ) 2 s=s 0 + v 0 (v - v 0 ) /a + ½ (v - v 0 ) 2 / a s=s 0 + (2 v 0 v 2 v 2 0 + v 2 2 v 0 v + v 02 )/2 a 3) s s 0 = (v 2 v 02 )/2a a(s s 0 )=1/2(v 2 v 02 )
Caduta di un grave h(t) = h 0 ½ g t 2
Lavoro di una forza Consideriamo una forza F applicata ad un punto materiale P che si sposti di una quantità s lungo una traiettoria rettilinea. Si definisce lavoro compiuto dalla forza F che sposta il suo punto di applicazione di una quantità s, il prodotto scalare: L = F s=f s cos θ F P θ s
L è massimo nel caso in cui forza e spostamento siano paralleli e concordi: L = F s cos 0 = F s L è nullo nel caso in cui forza e spostamento siano perpendicolari: L = F s cos π/2 = 0 Casi particolari L è minimo nel caso in cui forza e spostamento siano paralleli e discordi: L = F s cos π = - F s È la componente della forza lungo lo spostamento l unica a compiere lavoro!
Lavoro per un percorso generico L = L 1 +L 2 +L 3 + = Σ i L i
Unità di misura del lavoro Nel SI il lavoro si misura in Joule: 1 J=1 N m Nel CGS si misura in erg: 1 erg = 1 dina cm. Ne consegue che: 1 J = 1 N m = 10 5 dine 10 2 cm = 10 7 erg
Esempio
Concetto di energia Non è semplice definire il concetto di energia. L energia cinetica è una forma particolare di energia. Esprime l energia che un corpo possiede per il fatto che si muove. In generale per energia si intende la capacità di un corpo o di un sistema di compiere lavoro. Trattandosi di una grandezza omogenea al lavoro, si misura in J nel SI e in erg nel CGS.
Teorema dell energia cinetica Dato una particella di massa m e velocità v, si definisce energia cinetica la quantità scalare: K = ½mv 2 Secondo il teorema dell energia cinetica o delle forze vive il lavoro compiuto dalla risultante delle forze agenti su una particella che si muove di moto accelerato è uguale alla variazione di energia cinetica: L = K f - K i = ½ mv f 2 - ½ mv i 2
Teorema dell energia cinetica derivazione L = F Δs = ma v m Δt = = m(v f -v i /Δt) (v f +v i /2)Δt = = ½ m(v f -v i ) (v f +v i ) = = ½ mv f 2 - ½ mv i 2 = K f K i Diretta conseguenza della 2 a legge della dinamica.
Lavoro di una forza variabile
Esempio/problema Quando si trasporta qualcosa ad un altezza h si deve compiere lavoro contro la forza di gravità L = F d cos θ d cosθ = h Non importa il percorso compiuto ma solo il dislivello! θ 1 =π/3 θ 2 =π/6 m=15 Kg h=10 m θ 1 =π/3 d 1 =20 m L1=? θ 2 =π/6 d 2 =11.55 m L2=?
Forze conservative Mentre su un punto materiale agisce una forza il punto può percorrere traiettorie molto complicate. Il lavoro L dipende in generale da A, da B e dal percorso scelto per andare da A a B. Per le forze conservative, L dipende dai soli punti iniziali e finali e non dalla traiettoria seguita.
Forze conservative
Energia potenziale Per le forze conservative è possibile introdurre una grandezza scalare, che dipende dalla posizione, l energia potenziale U, tale che: L = U i - U f = - ΔU (teorema dell energia potenziale) L energia potenziale o posizionale di un corpo rappresenta l energia che questo possiede in virtù della sua posizione sotto l azione di una forza di tipo conservativo. Tale energia è potenzialmente convertibile in altre forme di energia (cinetica, calore, ecc.).
Conservazione dell energia meccanica Supponiamo che su un corpo agiscano esclusivamente delle forze conservative. Per il teorema dell energia cinetica: L = ΔK Dalla definizione di energia potenziale: L = -ΔU Per cui: -ΔU = ΔK cioè ΔU+ΔK = 0 Se indichiamo con E l energia meccanica totale del corpo, la precedente relazione diventa ΔE = 0 Principio di conservazione dell energia (meccanica): L energia si può trasformare da una forma all altra ma l energia totale di un sistema si conserva Non è dimostrabile ma al momento non ci sono casi in cui l energia non si sia conservata Vale per tutte le forme di energia!
Energia potenziale La forza di gravità è una forza conservativa, ad essa è associata una energia potenziale pari a U = m g h E l energia che il corpo possiede per il fatto che si trova ad una certa quota h. Energia meccanica del sistema: ½ mv 2 + m g h = costante gravitazionale
h=70 m m= 1 kg a=g=9.8 m/s 2 v 0 = 0 m/s v finale =? Esercizio
h=70 m m= 1 kg a=g=9.8 m/s 2 v 0 = 0 m/s v finale =? Esercizio s(t)=1/2 a t 2 s(t finale )=1/2 g t 2 finale = h=70 m 2h 140 t finale = s = s = 3. 78s g 9.8 v = a t = 9.8*3.78 m/s=37.04 m/s K=1/2 m v 2 =0.5 * 1 Kg * 37.04 2 m 2 /s 2= 686 J Il lavoro fatto si è trasformato in energia cinetica del corpo? U=mgh=1Kg*9.8 m/s 2 *70 m=686 J
Esercizio h=6 m (record mondiale) m=70 Kg Determinare la velocità di arrivo Cosa succede per un atleta di 50 kg? Velocità più grande o piccola?
Esercizio h=6 m (record mondiale) m=70 Kg Determinare la velocità di arrivo U=mgh=70 Kg*9.8m/ s 2 *6m = 4116 J Principio di conservazione K = U = 4116 J = ½ m v 2 => v=10.8 m/s=39 km/h v = 4116 2 70 m /s Cosa succede per un atleta di 50 kg? Velocità più grande o piccola? La stessa! mgh 2 v = = 2gh m
Energia potenziale elastica Per una forza di natura elastica esiste una proporzionalità diretta fra deformazione e forza deformante: F = k x (legge di Hooke). La forza elastica è una forza conservativa a cui è associata l energia potenziale U = ½ k x 2.
Potenza La potenza esprime la rapidità con cui un lavoro viene compiuto. E definita come il rapporto fra il lavoro compiuto e l intervallo di tempo impiegato: P = ΔL/Δt Potenza istantanea P = dl/dt = dk/dt = mv dv/dt = = ma v = F v Nel SI si misura in Watt (simbolo W): 1 W = 1 J /s. Nel CGS in erg/s. Da cui: 1 W = 1 J/s = 10 7 erg/s Il chilowattora (kwh) è un unità di misura di energia: 1 kwh = 10 3 W 3.6 10 3 s = 3.6 10 6 J
Esercizio Un atleta di 60 Kg sale una rampa di scale alta 4.5 m in 4.0 s Quanto lavoro compie? Quanta potenza ha impiegato?
Esercizio Un atleta di 60 Kg sale una rampa di scale alta 4.5 m in 4.0 s Quanto lavoro compie? Quanta potenza ha impiegato? L=mgh=60 Kg*9.8 m/s2*4.5 m=2646 J W=L/Δt=2646 J / 4 s = 661.5 W Cavallo vapore= potenza per sollevare 75 Kg per 1 metro in 1 secondo 1 cavallo- vapore=mgh/s=75*9.8 Js=735 W In Inghilterra 746 W!