Linee di trasmissione

Capiolo 1 Linee di rasmissione 1.1 Circuii a cosani concenrae e disribuie Nei circuii a cosani concenrae le proprieà eleriche del circuio (resisenza, induanza, capacià ecc.) si considerano ue conenue nei relaivi componeni circuiali; i collegameni ra un componene e l alro si suppongono fai con conduori ideali, cioè privi di resisenza, induanza o capacià. Quesa schemaizzazione è valida fino a che le dimensioni geomeriche dei componeni e le lunghezze dei collegameni rimangono piccole rispeo alle lunghezze d onda associae ai segnali preseni nel circuio, come definio più avani. 1.2 Linee di rasmissione Una linea di rasmissione è invece un sisema di conduori idealmene paralleli con sezione e caraerisiche cosani su ua la lunghezza, le cui proprieà eleriche rilevani sono proprio quelle disribuie sulla lunghezza. Due esempi di linee di rasmissione molo diffuse e uilizzae sono la linea bifilare ed il cavo coassiale: 1) linea bifilare: due conduori reilinei, di solio a sezione cilindrica, enui separai e paralleli da un supporo isolane (fig. 1.1) 2) cavo coassiale: un conduore cenrale cilindrico che corre coassiale ad un secondo conduore ubolare eserno, deo schermo; lo spazio ra i due conduori è riempio da un maeriale isolane (ipicamene polieilene o eflon) (fig. 1.2). 1.3 Circuio equivalene di una linea di rasmissione Ogni linea di rasmissione può essere consideraa composa da infinii elemeni di lunghezza infiniesima x, ciascuno equivalene ad un circuio conenene una induanza, capacià, resisenza e conduanza infiniesime, come illusrao in fig. 1.3. I simboli L, C, R, G, Z e Y indicano in quesa figura (ed in queso capiolo) rispeivamene induanza, capacià, resisenza, conduanza, impedenza ed ammeenza per unià di lunghezza del sisema di conduori che cosiuiscono la linea. In alernaiva, l impedenza Z x propria di ognuno degli elemeni infiniesimi della linea può essere associaa per meà (Z x/2) al conduore superiore e per l alra 1

2 CAPITOLO 1. LINEE DI TRASMISSIONE Figura 1.1: Linea bifilare. Figura 1.2: Cavo coassiale. mea al conduore inferiore. I calcoli svoli nei paragrafi segueni sono idenici e porano agli sessi risulai in enrambi i casi. La siuazione riporaa in fig. 1.3 corrisponde meglio al caso del cavo coassiale, almeno nel caso del cavo ideale, in cui i campi elerici e magneici sono confinai compleamene all inerno della cavia cilindrica del conduore di schermo. Di conseguenza queso conduore rimane esernamene una superficie equipoenziale ed e possibile collegarne insieme le due esremia senza influire in alcun modo sul comporameno dei segnali. La descrizione alernaiva rispecchia invece la simmeria della linea di rasmissione bifilare e fa risalare il fao che il campo elerico e disribuio sulla lunghezza di enrambi i conduori. Non e possibile collegare insieme le due esremia di uno dei conduori di una linea bifilare senza alerarne il funzionameno. 1.4 Correni e ensioni lungo la linea Per scrivere le equazioni per le ensioni e le correni lungo la linea si uilizzano le convenzioni riporae in fig. 1.3: la coordinaa x individua la posizione lungo la linea ed ha direzione posiiva verso desra; una correne e posiiva quando scorre verso desra nel conduore superiore (e verso sinisra in quello inferiore); le ensioni indicano il poenziale del conduore superiore rispeo a quello inferiore. Con quese convenzioni, applicando la legge di Ohm generalizzaa ai circuii in

1.4. CORRENTI E TENSIONI LUNGO LA LINEA 3 x R x L x C x G x I I+ I Z x V Y x V+ V x Figura 1.3: Circuio equivalene di una linea di rasmissione. L, C, R, G sono induanza, capacià, resisenza e conduanza per unià di lunghezza. Z = R + jωl e Y = G + jωc sono impedenza e ammeenza per unià di lunghezza. La correne I è posiiva quando scorre verso desra nel conduore superiore; la ensione V è quella del conduore superiore rispeo a quello inferiore. correne alernaa, si possono scrivere per ciascuna cella infiniesima che compone la linea due equazioni: V x = IZ I = V Y (1.1) x dove Z = R + jωl e Y = G + jωc. V ed I sono due quanià complesse che rappresenano ampiezza e fase di ensione e correne lungo la linea per una componene alernaa di frequenza angolare ω. Derivando enrambe le equazioni rispeo alla x e sosiuendo si oiene 2 V x 2 I = Z x 2 I V = Y x2 x (1.2) 2 V x 2 ZY V = 2 I ZY I = (1.3) x2 Le (1.3) sono equazioni differenziali lineari del secondo ordine ed hanno soluzioni: V (x) = V 1 e +γx + V 2 e γx (1.4) I(x) = I 1 e +γx + I 2 e γx (1.5)

4 CAPITOLO 1. LINEE DI TRASMISSIONE con γ = ZY = (R + jωl)(g + jωc) (1.6) e V 1,2, I 1,2 cosani deerminae dalle condizioni alle esremià della linea. 1.5 Cavo coassiale Nel caso del cavo coassiale L e C possono essere calcolai con relaiva facilià: C = 2πɛ log(d 2 /D 1 ) (1.7) L = µ 2π log(d 2/D 1 ) 1 (1.8) Le quanià D 1 e D 2 reppresenano rispeivamene il raggio eserno del conduore inerno ed il raggio inerno del conduore eserno; ɛ e µ sono la permeabilià dielerica e magneica del maeriale isolane che riempie lo spazio ra i due conduori. Nel caso di una linea con geomeria diversa da quella del cavo coassiale, lo schema di figura 1.3 coninuerà ad essere valido, ma i valori dei parameri L e C saranno dai da espressioni diverse dalle (1.7) e (1.8). 1.6 Linea senza perdie Nel caso ideale di una linea senza perdie si avrà R = e G = e quindi γ = jβ = jω LC (1.9) Sosiuendo in quesa espressione il valore di C ed L per il cavo coassiale (eq. 1.7 e 1.8) si oiene: β = ω µɛ (1.1) Nel caso che il maeriale isolane sia il vuoo: β = ω µ ɛ = ω c (1.11) dove µ, ɛ e c sono la permeabilià dielerica e magneica e la velocià della luce nel vuoo. 2 L espressione complea della ensione lungo la linea, inserendo espliciamene anche la dipendenza dal empo, è quindi: e analogamene per la correne: V (x, ) = V 1 e j(ω+βx) + V 2 e j(ω βx) (1.12) I(x, ) = I 1 e j(ω+βx) + I 2 e j(ω βx) (1.13) 1 A rigore ques ulima espressione vale solo per il caso di due conduori ubolari coassiali di spessore molo soile. 2 È possibile realizzare un ale cavo inserendo ra i due conduori coassiali una sriscia elicoidale di maeriale isolane di spessore molo soile, in modo che il dielerico sia formao praicamene quasi solo da aria.

1.7. LUNGHEZZA D ONDA 5 Quese due espressioni rappresenano la ensione e la correne di due segnali con andameno sinusoidale in funzione del empo e dello spazio, che si propagano lungo la linea con velocià v = dx d = ±ω (1.14) β Il primo ermine (V 1, I 1 ), con velocià negaiva, prende il nome di onda regressiva, o riflessa, e si propaga da desra verso sinisra; il secondo ermine (V 2, I 2 ), con velocià posiiva, prende il nome di onda progressiva, o direa e si propaga da sinisra verso desra. Nel caso di una linea ideale senza perdie si ha v = ω β = 1 µɛ (1.15) cioè la sessa velocià di un onda eleromagneica che si propagasse nel mezzo dielerico che riempie lo spazio ra i due conduori. In un dielerico ideale µ ed ɛ sono cosani, in paricolare non dipendono da ω. In queso caso in un segnale composo dalla sovrapposizione di più componeni di frequenze diverse ciascuna componene avrà la sessa velocià v, dando luogo ad una propagazione senza dispersione. In quese condizioni velocià di fase e velocià di gruppo coincidono e la velocià daa dalla (1.15) sarà valida per qualsiasi ipo di segnale. 1.7 Lunghezza d onda Un segnale con andameno sinusoidale si ripee lungo la linea con periodicià βx = 2π. La quanià λ = 2π/β = 2πv/ω prende il nome di lunghezza d onda. Per un elemeno circuiale di lunghezza l << λ si poranno considerare le ensioni e le correni uniformi su uo l elemeno e ignorare le variazioni ra un puno ed un alro. Si porà cioè considerare l elemeno come puniforme e supporre le proprieà eleriche concenrae ue nel puno. La condizione l << λ equivale alla condizione << τ, dove τ = 2π/ω è il periodo del segnale e = l/v è il empo necessario a percorrere la lunghezza l: un circuio può essere considerao a cosani concenrae fino a che il empo di propagazione dei segnali da un puno ad un alro è rascurabile rispeo ai periodi propri delle componeni di frequenza più ala nei segnali sessi. 1.8 Linea con perdie. Condizioni di Heaviside Nel caso di una linea con perdie (R, G ) si ha: γ = (R + jωl)(g + jωc) = α + jβ. (1.16) In generale quesa condizione compora che la velocià di propagazione sia funzione della frequenza, e quindi si abbia dispersione. Nel caso paricolare che le due quanià complesse R + jωl e G + jωc abbiano lo sesso argomeno, cioè si abbia L/R = C/G (condizioni di Heaviside), si oiene α = RG e β = ω LC e quindi ancora velocià cosane e propagazione non dispersiva, anche se si raa di una linea non ideale.

6 CAPITOLO 1. LINEE DI TRASMISSIONE Il ermine α descrive l aenuazione del segnale lungo la linea per effeo delle perdie: V (x, ) = V 1 e αx e j(ω+βx) + V 2 e αx e j(ω βx). (1.17) Il primo ermine rappresena un segnale che si propaga da desra verso sinisra e che si aenua quindi procedendo verso la direzione negaiva delle x. Indicando con V l ampiezza del segnale nell origine, si ha rispeivamene, per le componeni di onda regressiva e progressiva: V (x) V = e±αx. (1.18) Volendo esprimere l aenuazione A in decibel: A = 2 log 1 ( e ±αx ) = ±2 αx log 1 (e) ±8.6 αx. (1.19) La quanià 8.6 α rappresena l aenuazione della linea di rasmissione in db/m (decibel per mero). 1.9 Impedenza caraerisica della linea. Dalle eq. (1.4) e (1.5) si può calcolare il rapporo ra ensione e correne in ogni puno della linea: V (x) I(x) = V 1e γx + V 2 e γx I 1 e γx. (1.2) + I 2 e γx I valori di I 1 e I 2 si oengono dalla prima delle eq. (1.1): I(x) = 1 Z V (x) x = γ Z V 1e +γx + γ Z V 2e γx. (1.21) e confronando queso risulao con l eq. 1.5 (enendo anche cono della 1.6): Y Y I 1 = Z V 1 I 2 = Z V 2 (1.22) Sosiuendo quesi coefficieni nella (1.2): V (x) Z I(x) = V 1 e γx + V 2 e γx Y V 1 e γx. (1.23) + V 2 e γx Per una linea senza perdie: V (x) I(x) = Z Y V 1 e jβx + V 2 e jβx V 1 e jβx. (1.24) + V 2 e jβx Nel caso sulla linea sia presene una sola onda, ad esempio l onda direa, il rapporo ra ensione e correne è: V 2 (x) Z I 2 (x) = Y = Z. (1.25) Queso rapporo è cosane su ua la linea, ha le dimensioni di una resisenza e prende il nome di resisenza o impedenza caraerisica della linea. Nel caso di linea

1.1. LINEA DI TRASMISSIONE CHIUSA SULLA SUA RESISTENZA CARATTERISTICA7 ideale senza perdie, o di linea con perdie, ma nelle condizioni di Heaviside, Z è reale, cioè è una resisenza pura senza componene reaiva e non dipende dalla frequenza: L Z = C = R. (1.26) Facendo il rapporo ra ensione e correne per un onda riflessa, si oiene: V 1 (x) I 1 (x) = Z Y = Z. (1.27) Il segno meno in queso risulao indica che ad uno sesso valore di ensione in un generico puno lungo la linea è associaa, nel caso di un onda riflessa, una correne di valore opposo rispeo a quella di un onda direa. Per il cavo coassiale L R = C = 1 µ µ R log D 2 µr log D 2 6Ω (1.28) 2π ɛ ɛ R D 1 ɛ R D 1 Per i cavi coassiali comunemene in uso nella srumenazione di laboraorio ed in radioecnica log(d 2 /D 1 ) è dell ordine dell unià, µ R = 1 ed ɛ R 2 (isolane polieilene o eflon). I valori di R che si oengono sono dell ordine di 5... 1Ω. Per oenere valori di R di un ordine di grandezza diverso, a causa della dipendenza logarimica che compare nell espressione (1.28), occorrerebbero valori di D 2 /D 1 di difficile realizzazione praica. 1.1 Linea di rasmissione chiusa sulla sua resisenza caraerisica I(x) A V(x) R L l A x Figura 1.4: Linea erminaa sulla sua resisenza caraerisica. Nella figura (1.4) è riporao un rao di linea di rasmissione alimenaa a sinisra da un generaore e collegaa a desra ad una resisenza (erminazione) di valore R L = R. Durane la propagazione del segnale inviao dal generaore, considerando la sola onda direa, si ha in ogni puno della linea V (x)/i(x) = R ; queso vale anche alla erminazione A A della linea, dove però deve valere anche l uleriore condizione V/I = R L (che però è ancora eguale ad R ). Si vede quindi che le condizioni al conorno impose dalla resisenza di erminazione sono soddisfae da una soluzione composa dalla sola onda direa.

8 CAPITOLO 1. LINEE DI TRASMISSIONE 1.11 Linea di rasmissione chiusa su una resisenza diversa dalla resisenza caraerisica. Coefficiene di riflessione. Riferendosi sempre alla figura (1.4), supponiamo di avere R L R ; in presenza della sola onda direa il rapporo V/I vale R in ui i puni della linea a sinisra e fino ad A A, menre deve valere R L in A A. La presenza della sola onda direa non è quindi in grado in queso caso di soddisfare alle condizioni al conorno impose dalla resisenza di erminazione R L R ; il segnale che si propaga da sinisra verso desra non può essere ineramene assorbio dalla resisenza R L, ma viene in pare riflesso. In presenza di enrambe le onde, direa e riflessa, il rapporo V/I è quello dao dalla eq. (1.24): V (x) I(x) = R V 1 e jβx + V 2 e jβx V 1 e jβx + V 2 e jβx (1.29) Conviene porre l origine della coordinaa x in A A ; il generaore verrà ad avere coordinaa x = l, con l lunghezza della linea. Quindi, in A A : Da quesa V () I() = R V 1 + V 2 = R L (1.3) V 1 + V 2 V 1 V 2 = R L R R L + R = ρ v (1.31) La quanià ρ v prende il nome di coefficiene di riflessione di ensione ed esprime il rapporo ra l ampiezza dell onda riflessa da una erminazione e l ampiezza dell onda direa. Viceversa, dalla conoscenza del coefficiene di riflessione ρ v è possibile deerminare il rapporo R L = 1 + ρ v (1.32) R 1 ρ v Nel caso più generale che la erminazione sia una impedenza complessa Z L invece di una resisenza pura R L, anche il coefficiene di riflessione ρ v sarà una quanià complessa. 1.12 Onde sazionarie. La sovrapposizione lungo la linea delle onde direa e riflessa da origine ad un fenomeno di inerferenza. Supponendo che la linea abbia perdie nulle, o comunque rascurabili (α ): V (x, ) = V 1 e j(ω+βx) + V 2 e j(ω βx) (1.33) Sposandosi lungo la linea, ad esempio verso desra, l onda direa arriva con un riardo di fase via via maggiore, menre la fase dell onda riflessa risula anicipaa: si araversano una serie di regioni in cui le due onde si sovrappongono dando luogo alernaivamene ad inerferenza cosruiva e disruiva. Per vedere quaniaivamene queso effeo, calcoliamo

1.13. TRASFORMAZIONE DI IMPEDENZA. 9 V (x, ) 2 = e jω ( 2 V 1 e jβx + V 2 e jβx) (V 1 e jβx + V 2 e jβx) (1.34) Scrivendo V 1 e V 2 in noazione polare si oiene: V 1 = V 1 e jϕ, V 2 = V 2 e jψ (1.35) V (x, ) 2 = (1.36) ( = V 1 e j(βx+ϕ) + V 2 e j(βx+ψ)) (1.37) ( V 1 e j(βx+ϕ) + V 2 e j(βx+ψ)) (1.38) = V 1 2 + V 2 2 + 2 V 1 V 2 cos(2βx + ϕ + ψ) (1.39) Si vede che il modulo di V (x, ) oscilla ra un massimo V max = V 2 + V 1 ed un minimo V min = V 2 V 1, corrispondeni rispeivamene ad inerferenza massimamene cosruiva e disruiva. Nel caso di riflessione complea V max = 2 V 2 e V min =. La quanià SW R = V 2 + V 1 (1.4) V 2 V 1 prende il nome di rapporo di onde sazionarie (Sanding Wave Raio). La disanza ra due massimi e due minimi consecuivi di V si ha quando la differenza di fase ra onda direa e riflessa compie una variazione complessiva di 2π, cioè quando x = π/β = λ/2. 1.13 Trasformazione di impedenza. Per effeo dell inerferenza ra onda direa ed onda riflessa descria al par. 1.12 il rapporo ra ensione e correne varia da puno a puno lungo la linea. Dalla eq. (1.24) si ha: Z(x) = V (x) I(x) = R e poichè V 1 = V 2 (Z L R )/(Z L + R ) V 1 e jβx + V 2 e jβx V 1 e jβx + V 2 e jβx (1.41) Z(x) = R Z L (e jβx + e jβx ) R (e jβx e jβx ) Z L (e jβx e jβx ) + R (e jβx + e jβx ) = R Z L cos(βx) jr sin(βx) jz L sin(βx) + R cos(βx) = R Z L jr an(βx) R jz L an(βx) (1.42) Queso risulao ci dice che un generaore collegao ad un rao di linea di rasmissione di resisenza caraerisica R e chiusa su una impedenza Z L vede una impedenza Z l = Z( l) che dipende dalla lunghezza l della linea. Alcuni esempi:

1 CAPITOLO 1. LINEE DI TRASMISSIONE 1. La linea è chiusa in corocircuio (Z L = ): Z l = jr an(βl). L impedenza è una reaanza pura, che per valori di l piccoli è di ipo induivo; per βl = π/2 si ha Z l = : il generaore vede araverso un pezzo di linea di lunghezza l = π/2β = λ/4 il corocircuio rasformao in un circuio apero. Per λ > λ/4 la reaanza divena negaiva, cioè di ipo capaciivo fino a l = λ/2, ecc. 2. La linea è apera (Z L = ): Z l = jr / an βl. La siuazione è complemenare a quella descria al puno (1): un pezzo di linea cora si compora come un condensaore; per l = λ/4 la erminazione a circuio apero viene rasformaa in un corocircuio ecc. 3. La linea è lunga esaamene l = λ/2 o un suo muliplo inero: Z l = Z L. Negli esempi (1) e (2), nel caso che la linea sia molo cora (l << λ) si può sosiuire a an(βl) il suo sviluppo in serie arresao al primo ordine. Si oiene: 1. Z l = jr βl = j L/C ω LC l = jωl l 2. Z l = jr /(βl) = j L/C /(ω LC l) = 1/jωC l Quindi un rao di linea molo cora equivale ad un elemeno circuiale concenrao : se la linea è apera si compora come un condensaore, se è chiusa in corocircuio come una induanza, con i valori di capacià e induanza propri del rao di linea considerao. 1.14 Segnali a banda larga e a banda srea. Quano deo nei paragrafi precedeni si riferisce a segnali di ipo monocromaico, cioè segnali il cui spero di Fourier coniene una singola componene di frequenza f = ω/2π. Moli segnali di ineresse fisico sono invece caraerizzai da uno spero di Fourier ricco di componeni aveni frequenze diverse. L inervallo nello spero di un segnale compreso ra la componene di frequenza più bassa (f min ) e quella di frequenza più ala (f max ) cosiuisce la larghezza di banda (o occupazione di banda) del segnale. In figura (1.5) sono riporae le bande di frequenza caraerisiche di vari ipi di segnale: 1. Segnale audio: 2Hz 2kHz. Larghezza di banda 2kHz; rapporo f max / f min = 1 3 2. Impulsi generai da un foomoliplicaore: 2kHz 5M Hz. Larghezza di banda 5MHz; rapporo f max /f min = 2.5 1 4 3. Segnale elevisivo in banda UHF, canale 61: 79 798M Hz. Larghezza di banda = 8MHz; rapporo f max /f min = 1.1 Il primo ed il secondo di quesi esempi rappresenano segnali dei a banda larga; il erzo rappresena un segnale a banda srea. In quesa classificazione l aspeo imporane non è la larghezza di banda in Hz o in khz, ma il rapporo ra frequenza

1.15. RIFLESSIONE DI UN SEGNALE A BANDA LARGA 11 Segnale audio: 2 khz Segnale video: 8 MHz Impulsi da foomoliplicaore: 5 MHz 1 1 1 1 1 1 Hz khz MHz 1 1 1 GHz Figura 1.5: Occupazione di banda per vari ipi di segnali. massima e minima dello spero del segnale. Un segnale in cui queso rapporo è molo vicino ad uno, come nel erzo esempio, può essere considerao come un segnale per moli aspei monocromaico. Le equazioni (1.33), (1.41) e (1.42) riporae nei paragrafi (1.12) e (1.13) si possono applicare al segnale del erzo esempio, a condizione che βx vari solo di poco nella banda di frequenze ineressae. Prendendo come valore di x ua la lunghezza l della linea e ricordando che β = ω/v (eq. 1.15), la condizione richiesa divena ωl/v << 2π, cioè ω << 2πv/l = ωλ/l e quindi ω ω = f f << λ l (1.43) Se si considera una linea lunga anche solo poche lunghezze d onda, si vede che solo il segnale riporao nel erzo esempio può soddisfare alla condizione richiesa. Le equazioni (1.33), (1.41) e (1.42) applicae ai segnali degli esempi (1) e (2) danno risulai che sono funzione di ω, cioè diversi per ogni componene dello spero e in genere di scarsa uilià. 1.15 Riflessione di un segnale a banda larga Consideriamo come segnale a banda larga un breve impulso (fig. 1.6). Se l impulso τ Figura 1.6: Impulso di duraa τ si ripee nel empo con cadenza f il suo spero di Fourier coniene la frequenza fondamenale f e le armoniche 2f, 3f ecc., di inensià via via decrescene. Nel caso limie di un impulso infiniamene sreo, cioè di una δ di Dirac, ue le frequenze armoniche hanno la sessa ampiezza. Riducendo via via la frequenza f le componeni

12 CAPITOLO 1. LINEE DI TRASMISSIONE armoniche dello spero divenano sempre più fie e nel caso limie di una singola δ di Dirac, corrispondene a f =, si ha uno spero coninuo che coniene ue le frequenze, ue con la sessa ampiezza. Supponendo che la linea sia ideale o almeno soddisfi alle condizioni di Heaviside, la propagazione avverrà senza dispersione e quindi ue le componeni armoniche si propagheranno con la sessa velocià v; anche l impulso quindi si propagherà lungo la linea con velocià v senza deformarsi. Al ermine della linea ognuna delle componeni armoniche subirà una riflessione, come previso dall equazione (1.31). Se la resisenza R L di erminazione della linea è una resisenza pura, cioè non coniene reaanza induiva o capaciiva, allora il coefficiene di riflessione ρ v non dipenderà dalla frequenza: ue le armoniche verranno riflesse nella sessa misura e la loro combinazione nell onda riflessa darà un impulso di forma eguale a quello originario, ma scalao in ampiezza per il coefficiene ρ v. Negli esempi che seguono si considerano alcuni casi di riflessione di impulsi in una linea che abbia perdie rascurabili e sia erminaa su una resisenza pura. Si suppone anche che gli impulsi si susseguano con una cadenza lena abbasanza perchè ui i fenomeni prodoi da un impulso lungo la linea siano scomparsi prima dell inizio dell impulso successivo. R R L =R l x =l/v =2l/v =l/v Figura 1.7: Propagazione di un impulso in una linea erminaa sulla sua resisenza caraerisica. L impulso pare dall esremià sinisra al empo = e raggiunge l esremià desra dopo un empo = l/v. 1) R L = R ; ρ v = : non si ha onda riflessa. L impulso viene emesso dal generaore al empo = ; viaggia lungo la linea da sinisra verso desra e dopo un empo = l/v raggiunge la resisenza di erminazione R L dove la sua energia viene ineramene assorbia. (fig. 1.7). 2) R L > R ; ρ v > : quando l impulso arriva alla resisenza di erminazione viene in pare assorbio ed in pare riflesso, generando un impulso che orna indiero verso il generaore. L impulso riflesso ha la sessa forma ed una ampiezza pari alla frazione ρ v dell impulso originale. Nel caso limie R L =, si ha ρ v = 1 e l impulso viene ineramene riflesso, riporando indiero ua l energia verso il generaore (una resisenza di valore infinio non può assorbire alcuna energia dalla linea) (fig. 1.8).

1.16. RESISTENZA INTERNA DEL GENERATORE 13 R R L >R l x risulane direo riflesso =l/v =2l/v =l/v Figura 1.8: Propagazione di un impulso in una linea erminaa su una resisenza R L > R. R R L <R l x direo =l/v =2l/v =l/v risulane riflesso Figura 1.9: Propagazione di un impulso in una linea erminaa su una resisenza R L < R. 3) R L < R ; ρ v < : valgono le sesse considerazioni del puno 2, con la sola differenza che l impulso riflesso ha polarià opposa a quella dell impulso originale. Nel caso limie R L =, si ha ρ v = 1 e quindi ancora riflessione oale, ma con l inversione della polarià dell impulso (anche una resisenza di valore zero non può assorbire alcuna energia) (fig. 1.9). 1.16 Resisenza inerna del generaore Nelle figure (1.7 1.9) è sao indicao un generaore di ensione ideale, con in serie una resisenza inerna pari alla resisenza caraerisica della linea; queso accorgimeno è imporane, anche nella praica di laboraorio, se si vuole eviare che un impulso riflesso, una vola ornao all inizio della linea di rasmissione, venga riflesso nuovamene, dando luogo al fenomeno delle riflessioni muliple.

14 CAPITOLO 1. LINEE DI TRASMISSIONE In ui e re i casi se il generaore invia un impulso di ampiezza V G, si ha una ampiezza V i = V G /2 all esremià sinisra della linea. Infai in presenza della sola onda direa la linea si presena come una resisenza di valore R, che forma un pariore con rapporo 1/2 con la rsisenza R del generaore. All esremià desra, al ermine della linea, il segnale ha ampiezza V e = V i (1 + ρ v ) = V ( G 2 1 + R ) L R R L = V G (1.44) R L + R R L + R secondo la legge del normale pariore resisivo. Quindi un generaore con impedenza inerna R collegao ad una linea di rasmissione con impedenza caraerisica R appare al suo carico come se la linea non ci fosse, a pare il riardo nella propagazione del segnale ed evenuali aenuazioni nel caso di linea con perdie. Quesa è la ragione per cui nella srumenazione di laboraorio le impedenze inerne degli apparecchi sono per lo più normalizzae al valore 5 Ω e si usano per i collegameni cavi coassiali con impedenze caraerisiche di 5 Ω. 1.17 Riflessione di un segnale a gradino R R L <R x l =l/v =2l/v =l/v Figura 1.1: Riflessione di un segnale a gradino. I due grafici in rao nero coninuo indicano V () all inizio e alla fine della linea. I grafici in rosso rappresenano l andameno di V () se non ci fosse riflessione; il graficio in blu rappresena il segnale riflesso. È ineressane riesaminare le siuazioni descrie nel paragrafo (1.15) nel caso che il generaore invii un segnale a gradino : V = per <, V = V + per (Fig. 1.1). All isane = e negli isani immediaamene successivi il rapporo ra ensione e correne all inizio della linea è V/I = R e sulla linea è presene la sola onda direa. La correne erogaa dal generaore non può dipendere da quello che è collegao all alra esremià della linea prima che sia rascorso un empo = 2l/v. Il frone del segnale a gradino viaggia lungo la linea per il empo l/v, giunge all alra esremià, viene riflesso a seconda delle condizioni della erminazione e dopo un alro empo l/v riorna al generaore.

1.17. RIFLESSIONE DI UN SEGNALE A GRADINO 15 A queso puno all inizio della linea si ha la sovrapposizione dei due segnali direo e riflesso: V () I() = V + + ρ v V + 1 + ρ v V + /R ρ v V + = R = R L. (1.45) /R 1 ρ v Quindi una resisenza R L collegaa alla fine di un rao di linea di rasmissione ideale viene visa (ovviamene) come una resisenza di valore R L dal generaore collegao all inizio della linea, ma solo dopo il empo = 2l/v. Prima di queso empo il generaore vede la resisenza R. In queso esempio l analisi della sovrapposizione dei segnali direo e riflesso risula paricolarmene semplice perchè i segnali sono cosani nel empo, a pare la variazione all isane = da a V + ; in praica, per si raa di una correne coninua.

16 CAPITOLO 1. LINEE DI TRASMISSIONE