Corso di Laurea Ingegneria Civile e Ambientale - AA Corso di: Fondamenti di Trasporti Lezione: Analisi interazione domanda/offerta: modelli di assegnazione Giuseppe Inturri Università di Catania Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale ginturri@dica.unict.it
definizione Assegnare la domanda ad una rete di trasporto significa calcolare i flussi di utenti e le prestazioni per ciascun elemento del sistema di offerta (nodi e archi), come risultato dei flussi di domanda Origine-Destinazione, dei comportamenti di scelta del percorso e delle reciproche interazioni fra domanda e offerta I modelli di assegnazione sono i modelli matematici utilizzati per questo scopo
i modelli di assegnazione nella simulazione dei sistemi di trasporto
definizione ed ipotesi o nodo (zona) origine dello spostamento; d nodo (zona) destinazione dello spostamento; od coppia Origine-Destinazione; I od insieme dei percorsi rilevanti per gli utenti della coppia od A matrice di incidenza archi-percorsi complessiva c vettore dei costi di arco, c i ; C vettore complessivo dei costi di percorso, formato dai vettori dei costi di percorso C od relativi a ciascuna coppia od; C = A T c
esempio arco c O-D d (,) - 000 (,) - 500 (,) - 800 (,) (,) VETTORE COSTI DI ARCO VETTORE DOMANDA GRAFO
OD - OD - percorsi OD -
matrice A di incidenza archi-percorsi e vettore C dei costi di percorso Vettore costi di percorso C 6 A MATRICE INCIDENZA ARCHI-PERCORSI coppie O-D - - - percorsi 5 6 (,) 0 0 0 0 (,) 0 0 0 0 0 (,) 0 0 0 0 (,) 0 0 0 0 (,) 0 0 archi Vettore costi di arco arco c (,) (,) (,) (,) (,)
vettore F dei flussi di percorso per conoscere il vettore F dei flussi di percorso, bisogna calcolare come il generico flusso di domanda (d od ) del vettore domanda si divide tra i percorsi possibili bisogna dunque applicare un modello di scelta del percorso in generale il modello di scelta del percorso fornisce, per una data coppia O-D la probabilità p k che un percorso k sia scelto e il flusso di percorso F k = d od p(k/od) la probabilità p k dipende dai costi dei percorsi C od ; in termini vettoriali: F = P(C) d noto il vettore F dei flussi di percorso, il vettore f dei flussi di arco si calcola come: f = A F quindi l espressione del modello di assegnazione è: f = A F = A P (C) d = A P(A T c) d
reti congestionate e reti non congestionate una rete si dice non congestionata se il vettore dei costi di arco è costante c = cost congestionata se il vettore dei costi di arco dipende dal vettore dei f dei flussi di arco c = c(f) nel caso di reti non congestionate i modelli di assegnazione si chiamano modelli di carico della rete, in inglese Network Loading Models (NL) nel casi di reti congestionate i modelli di assegnazione si chiamano modelli di equilibrio dell utente, in inglese User Equilibrium Models (UE)
reti non congestionate (modelli di carico della rete) c = cost il modello di scelta del percorso può essere. deterministico. stocastico nel primo caso solo il percorso di costo minimo è scelto (p=), tutti gli altri restano scarichi (p=0) nel secondo caso ogni percorso viene scelto con probabilità diversa in funzione dell utilità associata a ciascun percorso
modello di carico della rete a costi costanti (Network Loading) c d A P(C)
modello di carico della rete deterministico (DNL) assegnazione tutto o niente AoN
modello di carico della rete deterministico (DNL) assegnazione tutto o niente AoN VETTORE FLUSSI DI ARCO - - f 5 6 F 0 0 0 0 0 0 000 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 000 500 0 0 0 0 0 800 0 0 500 800 - VETTORE FLUSSI DI PERCORSO
FLUSSI DI PERCORSO modello di carico della rete deterministico (DNL) assegnazione tutto o niente AoN 0 d_ = = 000 0 0 0 0 000 000 d_ = 500 500 0 5 0 500 0 0 6 d_ = 800 800 FLUSSI DI ARCO 000 - - 800 f 5 6 F 0 0 0 0 0 0 000 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 000 500 0 0 0 0 0 800 0 0 500 800 -
modello di carico della rete stocastico (SNL)
modello di carico della rete stocastico (SNL) - - f 5 6 F 0 0 0 0 6 867 = 0 0 0 0 0 7 95 0 0 0 0 867 9 0 0 0 0 79 86 0 0-800
FLUSSI DI PERCORSO modello di carico della rete stocastico (SNL) d_ = 000 6 7 7 6 6 867 867 d_ = 500 79 79 5 95 9 6 d_ = 800 800 FLUSSI DI ARCO 867 - - 86 0 0 800 86 f 5 6 F 0 0 0 0 6 867 = 0 0 0 0 0 7 95 0 0 0 0 867 9 0 0 0 0 79 -
reti congestionate (modelli di equilibrio UE) c = c(f) anche in questo caso possiamo avere modelli deterministici o modelli stocastici nel caso di modelli di equilibrio deterministici nessun utente può migliorare il costo di viaggio, modificando unilateralmente il suo percorso nel caso di modelli di equilibrio stocastici nessun utente può migliorare il costo di viaggio percepito, modificando unilateralmente il suo percorso Il costo percepito in generale è differente dal costo che gli utenti riscontrano sulla rete dopo la scelta, per effetto degli spostamenti degli utenti da un percorso ad un altro.
reti congestionate (modelli di equilibrio UE) Il sistema evolve fino a quando gli utenti riscontrano sulla rete proprio i costi in base ai quali hanno scelto. Pertanto la condizione di equilibrio genera la particolare configurazione di flussi cui corrispondono dei costi di arco che generano dei costi percepiti di percorso che l utente poi riscontra effettivamente sulla rete. Questa condizione può essere espressa matematicamente come un problema di punto fisso.
modelli di equilibrio a costi non costanti (UE) c(f) c d A P(C)
introduzione al problema dell equilibrio
introduzione al problema dell equilibrio
algoritmo delle Medie Mobili Successive (MSA) per la soluzione del problema di equilibrio
od k i k i k i k SNL d f c p f c c c c k i k i k i e e e e f c p i 0.0 esempio di MSA
O note sui modelli stocastici di carico della rete (SNL) una delle ragioni pratiche per l uso di modelli stocastici di carico della rete di tipo è la sensibilità dei flussi, nei modelli deterministici, a piccoli cambiamenti nella rete chiariamo con un esempio di una rete con una coppia OD, due percorsi ed una domanda d percorso percorso D se c =c +Δt, si ha f = 0; f = d anche per Δt 0, cioè tempi quasi uguali se d altra parte si commettesse un piccolo errore nel calcolo dei tempi potrebbe aversi c <c f = d; f = 0 i modelli stocastici evitano questi problemi e forniscono, nel caso di piccole differenze di costi, flussi vicino al 50% in entrambi i casi una piccola variazione di costo determina una piccola variazione dei flussi (più o meno a seconda della varianza della distribuzione del tempo percepito, che varia da caso a caso)
esempi 7