Contratti indicizzati a tassi di interesse

MEBS Lecture 1 Contratti indicizzati a tassi di interesse MEBS, lezioni Roberto Renò Università di Siena 1.1 Introduzione Abiente di lavoro: i contratti su tassi di interesse (bond arket). Contratti standard: zero coupon bond (BOT, corporate bond), contratti a cedola fissa (BPT). Questi contratti vengono valutati in assenza di arbitraggio con etodi standard. Gli iporti sono deterinistici su di uno scadenzario prefissato, non c e aleatorietà dei pagaenti. Nota bene. In realtà c è nascosta una fonte di aleatorietà: la possibilità di insolvenza (default). 1.2 Contratti indicizzati I contratti indicizzati si distinguono dalle tipologie precedenti per il fatto che, entre lo scadenzario resta prefissato, gli iporti sono aleatori. L aleatorietà degli iporti viene paraetrizzata ad un tasso di interesse contrattato sul ercato (eccaniso di indicizzazione). Esepi di questo tipo dei contratti, sui quali tornereo in seguito, sono i CCT, i utui a tasso variabile e gli interest rate swap. 1

Definiao con v(t,s) il prezzo di un TCN unitario eesso in t e pagato in s. 1.3 TCNi Il TCN è l oggetto fondaentale per la struttura a terine dei tassi di interesse. Ogni tipologia di contratto può essere espressa coe cobinazione lineare di TCN. Introduciao un concetto analogo per i contratti indicizzati: il TCNi (Titolo a Cedola Nulla indicizzato). Consideriao tre istanti di tepo, t < T < s. Il TCNi unitario eesso in t prevede il pagaento in s dell iporto onetario: X T,s = 1 v(t, s) Nota: il valore del contratto è aleatorio perché sarà noto solo in T. 1.4 TCNi Il TCNi corrisponde in s il capitale unitario rivalutato secondo gli interessi fra T e s; in pratica ci si ipegna a pagare antecedenteente un tasso di interesse incognito. Il periodo T, s prende il noe di periodo di indicizzazione. Nota bene: in sede contrattuale, occorre specificare con attenzione coe si intende isurare v(t,s) (BOT, Libor, ecc.). Nota: stiao trattando il caso di indicizzazione puntuale (l istante di inizio del periodo di indicizzazione coincide con la lettura del tasso di interesse) e sincrona (il pagaento dell iporto avviene alla fine del periodo di indicizzazione). 1.5 TCNi: un esepio Sia t = 0,T = 1,s = 2 anni. Si stabilisce contrattualente che j(t,s) = 1 1 è il rendiento del BOT a tre esi eesso in T ed espresso su v(t,s) base annua. Pertanto, se j(1, 2) = 4% il TCNi corrisponderà in s 1.04, se j(1, 2) = 5% il TCNi corrisponderà in s 1.05. Coe si valuta questo contratto in t? L iporto in s è aleatorio, pertanto non si possono usare risultati standard. 1.6 Roberto Renò, 2003 c 2

Valutazione dei TCNi Il problea della valutazione del TCNi è risolto dal seguente: Teorea: (di valutazione del TCNi unitario)sotto l ipotesi di assenza di arbitraggio, il TCNi contrattato in t, con periodo di indicizzazione T,s ha lo stesso valore del TCN di pari capitale noinale eesso in t e con scadenza in T. In forule, per il TCNi unitario: V (t,x T,s ) = v(t,t ) entre per un capitale noinale qualsiasi si ha: V (t,cx T,s ) = Cv(t,T ) che estende la proprietà di indipendenza dall iporto. Analogaente si estende la proprietà di linearità del prezzo. 1.7 Valutazione del TCNi Il TCNi è a tutti gli effetti un contratto derivato in cui il sottostante è il tasso di interesse. L acquisto di un TCNi unitario è equivalente all acquisto di un TCN che scade in T, più un progetto di reinvestiento futuro dell intero capitale. Per questo otivo il TCNi si chiaa anche titolo di reinvestiento. Nota infine che la proprietà di assenza di arbitraggio rende inutili ipotesi sulla distribuzione di v(t,s). 1.8 Soluzione dell esepio Riprendiao l esepio precedente. Sia t = 0, T = 1, s = 2 anni. Si stabilisce contrattualente che j(t,s) = 1 1 è il rendiento del BOT v(t,s) a tre esi eesso in T ed espresso su base annua. Pertanto, se j(1, 2) = 4% il TCNi corrisponderà in s 1.04, se j(1, 2) = 5% il TCNi corrisponderà in s 1.05. Se si osserva in t un BOT a un anno con j(0,1) = 5%, allora il valore del TCN è V (t,x T,s ) = 1 1.05 = 0.95238095, indipendenteente dal rendiento del BOT che si osserverà in T. 1.9 Roberto Renò, 2003 c 3

Cedola indicizzata Si chiaa cedola indicizzata unitaria l iporto: c T,s = X T,s 1 La cedola indicizzata è sicuraente positiva, perché pur se aleatorio siao sicuri che j(t,s) > 0, da cui X T,s > 1. La cedola indicizzata rappresenta la quota interesse (aleatoria) prodotta dal contratto indicizzato. La valutazione della cedola indicizzata è seplice: V (t,c T,s ) = v(t,t ) v(t,s) Il fatto che la cedola indicizzata è positiva esprie quindi in aniera diversa la proprietà di decrescenza rispetto alla scadenza. 1.10 Spread In sede contrattuale, può avvenire che alla cedola indicizzata venga aggiunto un iporto σ (percentuale) noto in t, detto spread. Lo spread può essere legato al preio per il rischio di falliento dell eettitore: ad esepio, rispetto allo stato italiano, un azienda che eette corporate bond aggiunge uno spread per preiare il rischio del contraente. La valutazione della cedola indicizzata con spread è: V (t,c T,s + σ) = v(t,t ) v(t,s) + σv(t,s) = = v(t,t ) (1 σ)v(t,s) 1.11 Esepio Riprendiao l esepio precedente. Sia t = 0, T = 1, s = 2 anni. Se si osserva in t un BOT a un anno con j(0,1) = 5%, allora il valore del TCN è V (t,x T,s ) = 1 1.05 = 0.95238095, indipendenteente dal rendiento del BOT che si osserverà in T. 1.12 Roberto Renò, 2003 c 4

Esepio Se, in t si osserva un BOT a due anni con j(0,2) = 9%, allora il valore della cedola indicizzata è: V (t,c T,s ) = 1 1.05 1 1.09 = 0.03494976 Se si aggiunge uno spread del 2%, allora il valore della cedola indicizzata con spread è: V (t,c T,s + σ) = 0.03494976 + 0.02 1 1.09 = 0.053298384 1.13 Titolo a Tasso Variabile Un titolo a tasso variabile (TTV) è il corrispettivo di un titolo a cedola fissa, nel quale le cedole siano indicizzate. Si parla di un titolo perfettaente indicizzato quando lo spread è nullo e tutte le cedole sono indicizzate in aniera puntuale e sincrona. Considero lo scadenzario {t 0,...,t } e sia C il capitale di riferiento. Il TTV è eesso in t 0 e scade in t. Ad ogni scadenza viene corrisposta una cedola I k pari a: I k = C j(t k 1,t k ) Alla data di scadenza viene riborsato C + I. 1.14 Valutazione del TTV Per valutare il TTV si segue la stessa strategia che porta alla valutazione dei titoli con cedola: espriere il TTV coe cobinazione dei TCNi. Sia t < t 0 la data nella quale vogliao valutare il TTV. Dalla proprietà di linearità del prezzo si ha: V T TV (t) = V (t,i k ) +Cv(t,t ) 1.15 Valutazione del TTV Utilizzando le forule di valutazione viste in precedenza abbiao: V T TV (t) = V (t,cc tk 1,t k ) +Cv(t,t ) = Roberto Renò, 2003 c 5

= C [v(t,t k 1 ) v(t,t k )] +Cv(t,t ) 1.16 Valutazione del TTV Ora è facile rendersi conto che nella soatoria i terini v(t,t k ) copaiono con segni opposti e pertanto si elidono. Riangono solo il prio e l ultio, pertanto: V T TV (t) = C [v(t,t 0 ) v(t,t )] +Cv(t,t ) = Cv(t,t 0 ) Pertanto il TTV perfettaente indicizzato, valutato pria dell eissione, è equivalente ad un TCN con lo stesso capitale noinale con scadenza pari alla data di eissione del TTV. In particolare vale il seguente iportante risultato: Il TTV perfettaente indicizzato quota alla pari all eissione. 1.17 Valutazione del TTV Il ragionaento nel caso che t > t 0 è analogo. Sia ad esepio t 0 < t < t 1. Si ha allora: V T TV (t) = I 1 v(t,t 1 ) + k=2 V (t,cc tk 1,t k ) +Cv(t,t ), in quanto la pria cedola è già nota entre le altre sono aleatorie. Il risultato finale è: V T TV (t) = (C + I 1 )v(t,t 1 ) Nel caso generale, basta rendersi conto che il TTV quota alla pari ad ogni data di stacco delle cedole. Basterà ripetere il ragionaento identificando con t 1 la data di pagaento della prossia cedola e t 0 quella della cedola precedente. 1.18 Esepio Consideriao un TTV su di uno scadenziario seestrale, con C = 100, e indicizzazione regolata al tasso BOT a sei esi. Il valore del TTV all eissione è 100. Roberto Renò, 2003 c 6

Il valore del TTV un anno pria dell eissione, dipende dal valore del BOT a un anno rilevato all istante della valutazione. Se ad esepio j(t,t 0 ) = 3%, allora: V T TV (t) = 100 1.03 = 97.087379 1.19 Esepio Tre esi dopo l eissione, se I 1 = 1.5, rilevando dal BOT a tre esi j(0.25, 0.5) = 3.5% si ha V T TV (t) = 101.5 1.035 = 98.067633 Analogaente si procede in istanti diversi. 1.20 TTV con spread Nel caso di TTV con spread ad ogni cedola, il ragionaento è analogo anche se più coplesso. Ogni cedola indicizzata diviene: I k = C(c tk 1,t k + σ k ) La valutazione si ottiene decoponendo il TTV nella sua parte aleatoria con quella deterinistica dovuto allo spread. Varrà quindi, per t t 0 e nel caso di spread costante ad ogni cedola e pari a σ: V T TV (t,σ) = Cv(t,t 0 ) +Cσ v(t,t k ) 1.21 TTV con spread Per istanti interedi varrà: V T TV (t,σ) = (C + I n )v(t,t n ) +Cσ v(t,t k ) k=n+1 dove t n è l istante precedente, nello scadenzario, al distacco della prossia cedola, con l accortezza di sosituire C a C+I n subito dopo lo stacco dell ultia cedola. 1.22 Roberto Renò, 2003 c 7

CCT e utui a tasso variabile Un esepio iportante di contratto indicizzato sono i Certificati di Credito del Tesoro (CCT). Nella loro più recente versione, essi sono TTV con spread, solitaente con vita a scadenza di sette anni. In genere vengono indicizzati ai rendienti dei BOT con vita a scadenza pari all intervallo fra cedole, rilevati alle aste. Un altro esepio rilevante è il Mutuo a Tasso Variabile (MTV), nel quale le quote interesse di ogni rata sono cedole indicizzate riferite ad un noinale pari al debito residuo dopo il pagaento della rata precedente. Il flusso di pagaenti è dato quindi da una parte nota (la quota capitale) e una aleatoria (la quota interesse). 1.23 Mutui a tasso variabile Sia S il debito iniziale. Ad ogni istante sia C k la quota capitale, prefissata, e I k la quota interesse, aleatoria. La rata è R k = C k + I k. Nella pratica bancaria, il piano di aortaento viene copilato definendo esogenaente le quote capitale, la cui soa coincide con S. In questo odo riangono fissati i debiti residui, che sono i noinali di riferiento per l indicizzazione. Esepio: Consideriao un utuo a cedola annuale e durata 10 anni, con S = 120. Supponiao che per i prii 4 anni si abbia C = 15 e poi C = 10. Il noinale all eissione è 100; dopo 4 anni è 60, al nono anno è 10. 1.24 Valutazione di utui a tasso variabile Per la valutazione si segue la stessa linea di ragionaento percorsa per il TTV. Se t < t 0 V MTV (t) = V (t,r k ) = V (t,c k + M k 1 c tk 1,t k ) = = {C k v(t,t k ) + M k 1 [v(t,t k 1 ) v(t,t k )]} Raccogliendo si ottiene: V MTV (t) = Sv(t,t 0 ) 1.25 Roberto Renò, 2003 c 8

Valutazione di utui a tasso variabile Se invece t 0 < t < t 1, ragionando coe pria si ha: V MTV (t) = (S + I 1 )v(t,t 1 ) Quindi alla data di eissione il valore del flusso rateale di un MTV perfettaente indicizato è uguale al debito contratto. In un istante interedio, t k t < t k+1, si ha invece: V MTV (t) = (M k + I k+1 )v(t,t k+1 ) 1.26 Duration di contratti indicizzati Nel caso di contratti indicizzati la definizione di duration classica (di Macaulay) non può essere applicata tout court per via dell aleatorietà del contratto. Tuttavia, la duration può essere definita con coerenza utilizzando i teorei di valutazione che forniscono delle relazioni fra contratti indicizzati e contratti con pagaenti prefissati. Definiao quindi la duration di un contratto indicizzato pari alla duration del contratto non indicizzato che ha lo stesso valore. 1.27 Duration di un TCNi Un TCNi, eesso in t e con periodo di indicizzazione T,s, è equivalente ad un TCN che scade in T ; pertanto definiao la sua duration pari a T. Nel caso di un TTV perfettaente indicizzato, la duration è data dal tepo che intercorre fra l istante di valutazione e lo stacco della cedola più vicina. Questo risultato non dipende dalla durata effettiva del titolo: allo stacco della cedola il TTV quota alla pari e quindi il rischio è liitato al periodo precedente. Allo stacco, la duration di un contratto perfettaente indicizzato è nulla: è quindi nullo il rischio per uno shift additivo della curva dei tassi, che è esattaente la proprietà richiesta ad un contratto perfettaente indicizzato. 1.28 Duration in presenza di spread Roberto Renò, 2003 c 9

In presenza di spread, la duration si può definire dalla decoposizione in un contratto indicizzato e in uno a pagaenti noti. In generale, se t 0 t < t 1 si ha: D(t) = (t 1 t)(c + I 1 )v(t,t 1 ) +Cσ V (t) k=2 (t k t)v(t,t k ) La duration di un contratto con spread è più elevata di quella di un analogo contratto senza spread, coe l intuizione suggerisce. Analoghi ragionaenti possono essere ripetuti per i oenti di ordine superiore. 1.29 Gli interest rate swap Gli interest rate swap costituiscono una particolare tipologia di contratti indicizzati. Trattereo solo il caso più seplice, denoinato plain vanilla. Il contratto prevede lo scabio, da parte di due controparti, di cedole fisse e di cedole indicizzate rispetto allo stesso capitale noinale. Tipicaente questo contratto è periodico e a periodicità annuale. 1.30 Tassi swap Il tasso delle cedole fisse prende il noe di tasso swap, il suo corrispettivo flusso di pagaenti si chiaa fixed leg. Il tasso delle cedole indicizzate viene rilevato secondo un eccaniso stabilito contrattualente, coe per i contratti indicizzati. Il suo flusso di pagaenti si chiaa variable leg. Il ercato dei tassi swap è il ercato più liquido su tassi di interesse per aturità superiori ad un anno. 1.31 Il contratto di swap L attivazione di un contratto swap non richiede costi iniziali per le controparti. Chi decide di corrispondere il tasso fisso crede in una salita dei tassi e viceversa. Roberto Renò, 2003 c 10

L equità del contratto viene garantita calibrando il tasso swap. In tale calibrazione, si tiene in genere anche conto della qualità creditizia della controparte. La calibrazione del tasso swap avviene iponendo l uguaglianza in valore della gaba fissa e della gaba variabile. 1.32 Valutazione di uno swap È utile notare coe un contratto swap sia equivalente allo scabio di un TTV con un TCF di pari capitale noinale C. Il valore in t 0 del TTV è C, entre quello del TCF è: V TCF (t 0 ) = ic v(t 0,t 0 + k) +Cv(t 0,t 0 + ) 1.33 Valutazione di uno swap Iponendo l uguaglianza si ottiene: i = 1 v(t 0,t 0 + ) v(t 0,t 0 + k) i=1 che esprie il tasso swap di parità in funzione della struttura per scadenza osservata. Esso non dipende né dal noinale, né dalla periodicità di pagaento delle cedole. Indichereo perciò il tasso swap con i sw (t 0 ;). 1.34 Struttura per scadenza Nel ercato, è più coune rilevare la struttura per scadenza dai tassi swap che, per esepio, dai tassi zero coupon, per i otivi di liquidità di tale contratto. I tassi a tutte le scadenze sono ipliciti nel tasso swap dalla relazione: i = 1 v(t 0,t 0 + ) v(t 0,t 0 + k) i=1 = 1 [1 + i(t,t + )] [1 + i(t,t + k)] k i=1 1.35 Roberto Renò, 2003 c 11

Struttura per scadenza Supponendo di conoscere tutti i tassi swap, i tassi ipliciti possono essere calcolati ricorsivaente. Nota: in genere i tassi così ricavati sono più alti dei tassi zero coupon. Perché? 1.36 Roberto Renò, 2003 c 12