Paolo Baroncini Roberto Manfredi MltiMath Matematica finanziaria LIBRO MISTO E-BOOK CONTENUTI INTEGRATIVI ZONA MATEMATICA
MltiMath Matematica finanziaria Ambiente edcativo Digitale Libro digitale sfogliabile (PDF) Testo del libro misto in formato elettronico Contenti Digitali Integrativi Esercizi, dimostrazioni, schemi, immagini, docmenti collegati al libro misto Libreria Digitale Archivio online dei libri digitali adottati ebook Fribile online e offline, integrato con ttte le risorse e i servizi LIM Risorse e sggerimenti per insegnare con la Lavagna Interattiva Mltimediale InClasse Piattaforma di e-learning per l insegnamento personalizzato Portali tematici Aree online per aggiornarsi, preparare lezioni, contattare atori ed esperti Minisiti di prodotto Contenti web collegati al libro misto RISORSE DIGITALI LIBRO MISTO STRUMENTI E SERVIZI Formazione e assistenza Corsi, eventi, seminari, assistenza online e sl territorio Competenze Risorse per organizzare la didattica per competenze Didattica inclsiva Strmenti per na didattica a misra dei singoli stdenti (DSA-BES) Estensioni mltimediali Risorse digitali offline s Pen Drive, Cd/Dvd Rom Invalsi Esercizi per prepararsi alle prove nazionali App Frasari lingistici, dizionari, lettre in italiano e in linga CLIL Materiali per la didattica in linga straniera Insegnare, imparare, crescere deascola.it
ebook Scopri e sa i nostri ebook s bsmart, l App realizzata per dare na marcia in più al to stdio. In classe, a casa o dove preferisci. È facile. È mltidevice. È online e offline! Con l App bsmart, consltare i toi ebook è facile e intitivo. Installa e apri l App s ttti i toi device. Scarica gli ebook nella versione integrale, in qella base senza risorse mltimediali (che potrai scegliere di scaricare qando ti servono), o a singoli capitoli e consltali qando e dove voi! È personalizzabile. È sincronizzabile. È sempre aggiornato! Scrivi note, evidenzia, ritaglia. Stdia con i contenti creati per te: mappe interattive, presentazioni, video, esercizi e link a pagine web di approfondimento. Poi salva le personalizzazioni fatte da te e dall insegnante na sola volta e le avrai disponibili s ttti i device che tilizzi di solito. Così l ebook sarà ancora più to e sempre aggiornato s ttti i toi dispositivi! Attiva il to ebook in tre semplici passaggi. >> 1 REGISTRATI A DEASCUOLA.IT o effetta il login se sei già registrato.
Stdia con na marcia in più! È ad alta leggibilità! Scegli carattere, spaziatra e sfondo della pagina più adatti a na lettra facilitata s compter o tablet. Ascolta i testi in formato adio, che per i corsi di linge straniere sono letti da madrelinga. Una proposta efficace per no stdio sempre più avvincente! È mltimediale. È interattivo. È perfetto per la LIM! Ogni ebook DeA Scola ti propone tante risorse adio, video e interattive, sempre attinenti ai diversi argomenti. Usale per lo stdio a casa, ma anche in classe, insieme ai toi compagni e ai toi insegnanti, con la LIM. La ta voglia di conoscere e sapere crescerà e ogni lezione diventerà più appassionante e coinvolgente che mai! 2 3 CLICCA SU ATTIVA LIBRO E INSERISCI IL CODICE che trovi slla seconda di copertina del to libro. SCARICA L APP di lettra bsmart e conslta il to ebook.
internet: deascola.it e-mail: info@deascola.it Redattore responsabile: Rachele Ambrosetti Tecnico responsabile: Gianligi Ronchetti Redazione: Alessandro Cattaneo; Edistdio, Milano Redattore mltimediale: Rachele Ambrosetti Impaginazione: Fotocomposizione Finotello Snc, Borgo San Dalmazzo (CN) Progetto grafico: Carlo Cibrario-Sent, Gianligi Ronchetti Copertina: Simona Corniola Art Director: Nadia Maestri L opera è stata realizzata con la collaborazione del prof. Daniele De Pieri. L Editore ringrazia le prof.sse Elisabetta Fabbri e Cinzia Grassi per i materiali di ci hanno concesso gentilmente l so. L Editore ringrazia Gaetanella Carso per gli esercizi di Mario Trovato, di ci ha concesso gentilmente l so. Contribti: problemi di apertra: Daniele De Pieri esercizi della rbrica Verso le competenze : Daniele De Pieri schede English for Maths : Anteo D Angiò schede Laboratorio di Matematica : Daniele De Pieri revisione delle schede Laboratorio di matematica : Alessandro Cattaneo indice analitico: Anteo D Angiò (stesra), Anna Aiello (revisione) revisione scientifica: Clelia Di Leo correzione degli esercizi: Cladio Corradi Excel è n marchio depositato di Microsoft Corporation. Proprietà letteraria riservata 2015 De Agostini Scola SpA Novara 1ª edizione: Gennaio 2015 Printed in Italy Le fotografie di qesto volme sono state fornite da: istockphoto, Thinkstock, Shtterstock Immagine in copertina: Shtterstock - elaborazione immagine Carlo Cibrario Ricerca iconografica per la copertina: Simona Corniola L Editore dichiara la propria disponibilità a regolarizzare eventali omissioni o errori di attribzione. Nel rispetto del DL 74/92 slla trasparenza nella pbblicità, le immagini escldono ogni e qalsiasi possibile intenzione o effetto promozionale verso i lettori. Ttti i diritti riservati. Nessna parte del materiale protetto da qesto copyright potrà essere riprodotta in alcna forma senza l atorizzazione scritta dell Editore. Il software è protetto dalle leggi italiane e internazionali. In base ad esse è qindi vietato decompilare, disassemblare, ricostrire il progetto originario, copiare, manipolare in qalsiasi modo i contenti di qesto software. Analogamente le leggi italiane e internazionali sl diritto d atore proteggono il contento di qesto software sia esso testo, soni e immagini (fisse o in movimento). Ne è qindi espressamente vietata la diffsione, anche parziale, con qalsiasi mezzo. Ogni tilizzo dei contenti di qesto software diverso da qello per so personale deve essere espressamente atorizzato per iscritto dall Editore, che non potrà in nessn caso essere ritento responsabile per eventali malfnzionamenti e/o danni di qalnqe natra. Eventali segnalazioni di errori, refsi, richieste di chiarimento/fnzionamento dei spporti mltimediali o spiegazioni slle scelte operate dagli atori e dalla Casa Editrice possono essere inviate all indirizzo di posta elettronica info@deascola.it.
Indice Matematica finanziaria Capitalizzazione, sconto ed eqivalenza finanziaria Le operazioni finanziarie... 4 1. Prestiti e debiti 4 2. Capitalizzazione, attalizzazione, interesse e sconto 5 3. Tasso d interesse e tasso di sconto 6 Capitalizzazione e attalizzazione semplice... 8 4. Interesse e montante semplice 8 5. Valore attale e sconto razionale 10 Capitalizzazione e attalizzazione composta... 11 6. Interesse e montante composto 11 7. Valore attale e sconto composto 14 L eqivalenza finanziaria... 15 8. Eqivalenza finanziaria e scindibilità 15 9. Capitalizzazione e attalizzazione di più importi 17 10. Tassi d interesse eqivalenti 20 11. Tassi nominali e tassi effettivi 21 12. Scadenza media e tasso medio 22 13. Grafici e confronto delle leggi finanziarie 23 Altre leggi finanziarie... 24 14. Lo sconto commerciale 24 Teoria.zip... 27 Esercizi... 31 Atovaltazione 53 Esercizi per il recpero 54 Rendite, piani di ammortamento e leasing Le rendite... 58 1. Generalità slle rendite 58 2. Montante e valore attale di na rendita immediata posticipata 60 3. Montante e valore attale di na rendita immediata anticipata 63 4. Montante e valore attale di na rendita differita 65 5. Problemi slle rendite 67 6. Un applicazione: calcolo di TAN e TAEG 71 7. Rendite perpete 72 8. Costitzione di n capitale 73 Piani di ammortamento... 75 9. Rimborso di n prestito 75 10. Ammortamento a rimborso nico 76 11. Ammortamento gradale 77 12. Varianti e ammortamento tedesco 79 Leasing... 80 Teoria.zip... 83 Esercizi... 86 Atovaltazione 113 Esercizi per il recpero 114 VERSO LE COMPETENZE... 116 LABORATORIO DI MATEMATICA... 118 ENGLISH FOR MATHS... 121 Indice analitico... 123 V
Legenda delle icone relative ai contenti digitali Schede Matematica e modelli Schede Matematica nella storia Laboratorio di matematica Foglio elettronico del Laboratorio di matematica Esercizi svolti aggintivi Esercizi aggintivi interattivi Solzioni INSIEMI NUMERICI N insieme dei nmeri natrali, zero compreso N insieme dei nmeri natrali, zero esclso Z insieme dei nmeri interi relativi Q insieme dei nmeri razionali R insieme dei nmeri reali R þ insieme dei nmeri reali positivi R insieme dei nmeri reali negativi R þ 0 insieme dei nmeri reali positivi e dello zero R 0 insieme dei nmeri reali negativi e dello zero C insieme dei nmeri complessi INSIEMI 2 appartiene 62 non appartiene j tale che 9 esiste 9 non esiste 8 per ogni [ insieme voto è contento è strettamente contento [ nione \ intersezione differenza insiemistica ða ; bþ coppia ordinata prodotto cartesiano A complementare dell insieme A LOGICA _ o, oppre ^ e, contemporaneamente! se..., allora... (implicazione)! se e solo se (doppia implicazione) ¼) dedzione logica () condizione necessaria e sfficiente FUNZIONI f : A! B fnzione da A a B f 1 fnzione inversa di f simbolo di composizione di fnzioni f g fnzione composta di f con g ALGEBRA ¼ gale 6¼ diverso circa gale < minore > maggiore minore o gale maggiore o gale più o meno jxj valore assolto di x a n termine generale di na sccessione nmerica Simboli tilizzati nel corso X n i¼1 a i sommatoria (a 1 þ a 2 þ ::: þ a n ) e nmero di Nepero ( 2;718) pi greco ( 3;14) i nità immaginaria (i 2 ¼ 1) log a logaritmo in base a log logaritmo decimale (log 10 ) ln logaritmo in base e (log e ) 1 infinito MATEMATICA FINANZIARIA C capitale I interesse M montante i tasso d interesse d tasso di sconto t tempo ð1 þ i tþ fattore di montante in capitalizzazione semplice ð1 þ iþ t fattore di montante in capitalizzazione composta i k tasso d interesse periodale riferito a 1 di anno k j k tasso d interesse nominale anno convertibile in i k, mltiplo di i k VA valore attale VF valore nominale o valore ftro S sconto ð1 dtþ fattore di sconto commerciale 1 fattore di sconto razionale 1 þ it 1 ð1 þ iþ t fattore di sconto composto fattore di capitalizzazione composta fattore di sconto composto R rata di na rendita s n i montante di na rendita nitaria immediata posticipata s n i montante di na rendita nitaria immediata anticipata t v t a n i valore attale di na rendita nitaria immediata posticipata a n i valore attale di na rendita nitaria a 1 i immediata anticipata valore attale di na rendita nitaria immediata posticipata perpeta a 1 i valore attale di na rendita nitaria immediata anticipata perpeta INTERVALLI LIMITATI ½a ; bš chiso ða ; bþ aperto ½a ; bþ chiso a sinistra e aperto a destra ða ; bš chiso a destra e aperto a sinistra VI
INTERVALLI ILLIMITATI ½a ; þ1þ chiso a sinistra, illimitato a destra ða ; þ1þ aperto a sinistra, illimitato a destra ð 1 ; aš chiso a destra, illimitato a sinistra ð 1 ; aþ aperto a destra, illimitato a sinistra GEOMETRIA k parallelo? perpendicolare coincidente ffi congrente ¼ : eqivalente, eqiesteso simile AB misra della lnghezza del segmento AB! v vettore TRASFORMAZIONI x simmetria rispetto all asse x O simmetria rispetto all origine P simmetria rispetto al pnto P y simmetria rispetto all asse y y¼x simmetria rispetto alla bisettrice del 1 o -3 o qadrante r simmetria rispetto alla retta r ða ; bþ traslazione di vettore! v ða ; bþ h;k dilatazione di coefficienti h e k! O;k omotetia di rapporto k con centro nell origine rotazione di centro C e ampiezza C; TRIGONOMETRIA rad radianti sen x seno di x cos x coseno di x tan x tangente di x sec x secante di x csc x cosecante di x cot x cotangente di x arc sen x arcoseno di x arc cos x arcocoseno di x arc tan x arcotangente di x ANALISI MATEMATICA lim f ðxþ limite di f ðxþ per x tendente a c x! c (finito o infinito) D½ f ðxþš derivata della fnzione f ðxþ f 0 ðxþ y 0 ¼ dy dx f 00 ðxþ f ðnþ ðxþ ð f ðxþ dx ð b a f ðxþdx (fnzione) derivata di f ðxþ derivata di y rispetto a x derivata seconda di f ðxþ derivata di ordine n di f ðxþ integrale indefinito di f ðxþ integrale definito da a a b di f ðxþ X þ1 a n n¼1 ð þ1 b ð b 1 ð þ1 1 serie nmerica (a 1 þ a 2 þ ::: þ a n þ :::) f ðxþdx integrale improprio da b a þ1 di f ðxþ f ðxþdx integrale improprio da 1 a b di f ðxþ f ðxþdx integrale improprio da 1 a þ1 di f ðxþ FUNZIONI ECONOMICHE " d coefficiente di elasticità della domanda " dpntale coefficiente di elasticità pntale della domanda DATI E PREVISIONI M, M G, media, media geometrica, media M A, M Q armonica, media qadratica 2 varianza scarto qadratico medio o deviazione standard 2 indice di contingenza (chi qadro) di Pearson XY covarianza errore standard E s n! fattoriale di n n coefficiente binomiale n s k k P n permtazioni semplici di n elementi distinti permtazioni con ripetizione di n elementi D n;k disposizioni semplici di classe k di n elementi distinti D 0 n;k disposizioni con ripetizione di classe k di n elementi distinti C n;k combinazioni semplici di classe k di n elementi distinti C 0 n;k combinazioni con ripetizione di classe k di n elementi distinti E evento contrario dell evento E pðeþ probabilità dell evento E f ðeþ freqenza dell evento ripetibile E pða=bþ probabilità dell evento A condizionata all evento B FðXÞ fnzione di ripartizione della variabile casale X MðXÞ valor medio della variabile casale X 2 ðxþ¼varðxþ varianza della variabile casale X ðxþ scarto qadratico medio della variabile casale X f ðzþ fnzione di densità della distribzione normale standardizzata P ðk 1;k 2 ; ::: k m Þ n VII
MATEMATICA FINANZIARIA CAPITOLO 1 Capitalizzazione, sconto ed eqivalenza finanziaria CAPITOLO 2 Rendite,pianidiammortamentoeleasing VERSO LE COMPETENZE LABORATORIO DI MATEMATICA ENGLISH FOR MATHS
OBIETTIVI Conoscenze Il rolo dei soggetti che operano in ambito finanziario. Il significato degli elementi fondamentali della matematica finanziaria. Le caratteristiche delle operazioni di capitalizzazione e di sconto. I regimi finanziari semplice e composto. Il significato finanziario di somme eqivalenti e di tassi d interesse eqivalenti. Le rendite e la loro classificazione. Metodi di costitzione di n capitale. Significato di rimborso di n prestito e differenze fra l ammortamento niforme e l ammortamento progressivo. Abilità Calcolare montante e interesse in capitalizzazione (regime) semplice e composta. Calcolare valore attale e sconto in regime semplice e composto. Risolvere problemi inversi. Risolvere problemi rigardanti lo sconto e la capitalizzazione. Confrontare somme disponibili a tempi diversi. Risolvere problemi diretti e inversi slle rendite. Redigere il piano di costitzione di n capitale e calcolarne il fondo a n epoca intermedia. Redigere il piano di ammortamento di n prestito secondo le diverse modalità. Competenze Impostare, anche attraverso modelli grafici, e risolvere, applicando le opportne tecniche di calcolo, problemi finanziari. Trasferire importi avanti e indietro nel tempo, applicando le formle della capitalizzazione e dello sconto. Analizzare operazioni finanziarie complesse rigardanti le rendite, la costitzione di n capitale e l ammortamento di n prestito.
Capitolo Capitalizzazione, sconto ed eqivalenza finanziaria 1 Le operazioni finanziarie Capitalizzazione e attalizzazione semplice Capitalizzazione e attalizzazione composta L eqivalenza finanziaria Altre leggi finanziarie Titoli all asta Per capirne di più slla matematica finanziaria, Pietro sta dando no sgardo ai siti che parlano di finanza e gli capita di leggere la segente notizia, riportata con n certo risalto: Bene l asta dei BOT semestrali, ma il rendimento torna sopra 0,50% La Banca d Italia ha comnicato che nell asta dei BOT semestrali 31 marzo - 30 settembre, il MEF ha collocato ttti i 7,5 miliardi di ero dell offerta. La domanda è stata bona: 12,48 miliardi, Bid to cover ratio in amento a 1,66. Il prezzo medio di aggidicazione però è diminito a 99,744 e i rendimenti lordi sono cresciti: 0,505% semplice, 0,506% composto. Pietro è perplesso: che cosa significa qesto annncio? Da dove vengono e come si calcolano ttti qei nmeri che contiene? (Fonte dei dati: http://www.dt.tesoro.it/) Solzione a pag. 26 FIGURA 1 3
TEORIA Le operazioni finanziarie 1. Prestiti e debiti Vediamo n esempio molto semplice di operazione finanziaria. ESEMPIO Il cliente di n negozio di elettronica vorrebbe acqistare n televisore LED 55 00, che costa E 1800, ma non ha abbastanza denaro liqido. Il negozio allora propone di consegnargli il televisore se accetta di versare E 800 sbito e tra 6 mesi altri E 1050, pagando così E 50 in più del prezzo. L operazione descritta in qesto esempio, oltre che l acqisto e vendita di n bene, è anche n operazione finanziaria. Il cliente, che porta a casa il televisore versando solo E 800, ottiene dal negozio n prestito di E 1000 per 6 mesi e diventa perciò debitore. Il negozio, a sa volta, in attesa di ricevere la somma concordata di E 1050, diventa creditore del so cliente. L essenza delle operazioni finanziarie sta ttta nello scambio di denaro in date differenti. Possiamo dare allora la segente definizione. OPERAZIONE FINANZIARIA Si dice operazione finanziaria lo scambio nel tempo di somme di denaro. Le operazioni finanziarie semplici sono il prestito eildebito. Esempi di operazioni finanziarie sono i depositi in banca, l acqisto di obbligazioni, i prestiti personali, i mti sgli immobili ecc. Un operazione finanziaria che scambia de somme di denaro si dice semplice. Se le somme di denaro sono più di de, l operazione si dice complessa. Qesto scambio è n prestito (credito) per chi attende di ricevere il rimborso, ed è invece n debito per chi si impegna a rimborsare la somma concordata entro la scadenza. Notiamo che nell esempio la somma da rimborsare è maggiore della somma prestata. Gli elementi fondamentali di n operazione finanziaria, cioè gli importi e le scadenze o le drate, possono essere riassnti da no scadenzario, che è na semplice tabella oppre n grafico. Nella forma grafica no scadenzario è composto da na retta orientata rappresentante l asse del tempo, s ci vengono posizionate le diverse scadenze o drate e le relative somme. Riprendendo i dati dell esempio si possono costrire gli scadenzari in FIGURA 2 e FIGURA 3: Prestito e debito sono de pnti di vista di na stessa operazione finanziaria. FIGURA 2 FIGURA 3 Qesti de schemi rappresentano la stessa operazione dai de pnti di vista opposti del creditore e del debitore. La FIGURA 2 rappresenta lo scadenzario del creditore, cioè l operazione di prestito o credito, che viene anche chiamata capitalizzazione. La FIGURA 3 rappresenta lo scadenzario del debitore, cioè l operazione di 4
debito che viene anche chiamata attalizzazione. Gli importi con segno negativo devono intendersi come esborsi, gli importi con segno positivo come introiti. La matematica finanziaria si occpa dei calcoli necessari a compilare scadenzari come qelli riprodotti sopra o più complicati e a confrontarli tra loro. In altre parole, la matematica finanziaria si occpa di ttti i problemi relativi al denaro e al so impiego. Il denaro è lo strmento con ci possiamo effettare operazioni commerciali, cioè scambi; infatti con il denaro compriamo e vendiamo merci. Possiamo, tttavia, considerare il denaro stesso come na merce che diventa fonte di gadagno ed è proprio in qesto senso che la matematica finanziaria interpreta il denaro. Le operazioni finanziarie qindi consistono nello scambio di denaro a na certa data con altro denaro a n altra data e i soggetti coinvolti in genere sono de, il creditore e il debitore. 1. Capitalizzazione, sconto ed eqivalenza finanziaria 2. Capitalizzazione, attalizzazione, interesse e sconto Possiamo generalizzare i de scadenzari del paragrafo precedente. Cominciamo dallo scadenzario del creditore. CAPITALIZZAZIONE La capitalizzazione è l operazione finanziaria che determina il valore di na somma di denaro (prestito o credito) in n tempo sccessivo (t 1 ) a qello di impiego (t 0 ) (FIGURA 4). FIGURA 4 CAPITALE La somma prestata dal creditore viene chiamata capitale e si indica con C. Matematica nella storia: il capitale MONTANTE La somma che il creditore riceverà come rimborso viene chiamata montante e si indica con M. INTERESSE La differenza tra montante e capitale viene chiamata interesse e si indica con I: I ¼ M C L interesse è interpretabile come il compenso che il creditore richiede al debitore per aver messo a disposizione, per n certo intervallo di tempo, na somma di denaro, rinnciando temporaneamente alla sa disponibilità. Se consideriamo solo operazioni certe e non teniamo conto del rischio di perdite, il montante avrà sempre valore maggiore del capitale e, natralmente, di qello dell interesse. Nel caso del negozio di elettronica dell esempio precedente l interesse pagato dal cliente è I ¼ 1050 1000 ¼ 50 ero. In modo del ttto analogo possiamo generalizzare lo scadenzario del debitore. Anche se gli importi coincidono con qelli del creditore, dato che l operazione è la stessa, è preferibile indicarli con simboli diversi. 5
TEORIA ATTUALIZZAZIONE L attalizzazione è l operazione finanziaria che determina il valore di na somma di denaro (debito) in n tempo (t 0 ) precedente a qello in ci la somma è disponibile (t 1 )(FIGURA 5). FIGURA 5 VALORE ATTUALE La somma ricevta dal debitore viene chiamata valore attale e si indica con VA. Se non consideriamo il rischio, il valore attale sarà sempre minore del valore ftro. VALORE FUTURO La somma che il debitore si impegna a rimborsare viene chiamata valore ftro e indicata con VF. Il valore ftro è anche detto valore di rimborso. Nell ambito del calcolo si titoli di credito, il valore ftro è detto anche valore nominale. ATTENZIONE! L operazione di sconto non deve essere confsa con lo sconto sl prezzo di na merce; infatti lo sconto slle operazioni di compravendita di merci è lo sconto mercantile, che ha motivazioni diverse da qella finanziaria (sconto per qantità ecc.). Elenchiamo le qantità del calcolo finanziario esaminate: t : drata C : capitale M : montante I ¼ M C : interesse VA: valore attale VF : valore ftro S ¼ VF VA: sconto SCONTO La differenza tra valore ftro e valore attale si chiama sconto e si indica con S: S ¼ VF VA Lo sconto è interpretabile come il compenso di chi paga n debito prima della scadenza. Nel caso del negozio di elettronica dell esempio precedente, è S ¼ I ¼ 50 ero. Una stessa operazione finanziaria pò essere considerata sotto i de pnti di vista contrapposti del creditore e del debitore: il creditore presta la somma C e riceve come rimborso M, comprensivo dell interesse I; dall altra parte il debitore promette la somma VF, di ci disporrà in ftro, e ottiene l anticipo del valore attale VA ridotto dello sconto S. Poiché si tratta della stessa operazione, considerata dai de diversi pnti di vista, deve essere: C ¼ VA M ¼ VF S ¼ I SOMME DI DENARO EQUIVALENTI De somme di denaro scambiate in na capitalizzazione o in na attalizzazione si dicono eqivalenti. 3. Tasso d interesse e tasso di sconto Poniamoci ora il segente problema: conviene prestare la somma di E 16 000 e ricevere dopo n anno l interesse di E 1400, oppre conviene prestare E 20 000 e ricevere dopo n anno E 1600 d interesse? L interesse è il compenso che il creditore riceve alla fine del prestito, in agginta al capitale prestato. È qindi il prezzo dello scambio finanziario. Se vogliamo confrontare de prestiti della stessa drata, ma di importo differente, come nel problema proposto, non basta confrontare gli interessi, conviene calcolare l interesse per nità di capitale, cioè il prezzo nitario delle de operazioni. Qesto interesse nitario viene chiamato tasso d interesse. 6
TASSO D INTERESSE Si dice tasso d interesse e si indica con i l interesse che compensa ogni ero capitalizzato (prestato) per n dato intervallo di tempo. Il tasso d interesse si calcola come rapporto tra l interesse e il capitale prestato ed è riferito all nità di tempo in ci è matrato l interesse: i ¼ I C Poiché si tratta normalmente di n valore piccolo, il tasso d interesse viene espresso di solito in forma percentale: i ¼ I C 100% Nell esempio precedente del negozio di elettronica, in ci il cliente paga E 50 per n prestito di E 1000, il tasso d interesse del prestito vale i ¼ 50 100% ¼ 5% 1000 ed è n tasso semestrale, perché l interesse di E 50 matra in 6 mesi. Torniamo al problema formlato all inizio del paragrafo. Poiché per la prima operazione il tasso d interesse vale i ¼ 1400 100% ¼ 8;75% 16 000 mentre per la seconda operazione si ottiene n tasso d interesse pari a i 0 ¼ 1600 100% ¼ 8% 20 000 allora l operazione di prestito che conviene di più al creditore è certamente la prima, anche se prodce n interesse I minore, perché viene pagato n prezzo nitario i più alto di i 0. Oltre al tasso d interesse i è possibile calcolare anche il tasso di sconto, che si ottiene rapportando lo sconto S al valore ftro VF, anziché al capitale. Matematica nella storia: i tassi d interesse In alcni testi il tasso percentale d interesse è indicato con r. 1. Capitalizzazione, sconto ed eqivalenza finanziaria TASSO DI SCONTO Si dice tasso di sconto, e si indica con d, lo sconto o l interesse che il debitore paga s ogni ero rimborsato alla scadenza del so debito, relativo a n dato intervallo di tempo: d ¼ S VF Il tasso di sconto viene tilizzato molto raramente nei calcoli finanziari. Qasi sempre si tilizza e si calcola il tasso d interesse. Anche il tasso di sconto si esprime solitamente in forma percentale: d ¼ S VF 100% Nell esempio precedente del negozio di elettronica, il tasso di sconto vale d ¼ 50 100% 4;76% 1050 Tenendo conto che S ¼ I e VF ¼ M ¼ C þ I, si ricava facilmente na relazione tra il tasso di sconto e il tasso d interesse: Infatti: d ¼ S VF! d ¼ I C þ I d ¼ i i þ 1! d ¼ i C C þ i C! d ¼ i i þ 1 7
TEORIA Capitalizzazione e attalizzazione semplice 4. Interesse e montante semplice Riprendiamo il problema del paragrafo precedente e immaginiamo di aver prestato E 16 000, concordando di ricevere dopo n anno l interesse di E 1400, cioè il montante di E 17 400. Spponiamo che prima della scadenza il debitore chieda la proroga, alle stesse condizioni, di n altro anno. Come calcoliamo l interesse e il novo rimborso, cioè il valore del montante M alla fine del secondo anno? Riportiamo lo scadenzario di qesta operazione in FIGURA 6. FIGURA 6 Il modo più semplice per rispondere al qesito del problema è qello di amentare l interesse proporzionalmente all amento della drata, nel nostro caso di raddoppiarlo: M ¼ 16 000 þ 1400 2 ¼ 18 800 ero Elaborando n po il calcolo precedente si ottiene la segente relazione: M ¼ 16 000 þ 16 000 1400 16 000 2 ¼ 16 000 þ 16 000 0;0875 2 ¼ ¼ 16 000 ð1 þ 0;0875 2Þ Le leggi di capitalizzazione e di sconto vengono chiamate anche regimi. M ¼ C þ I M ¼ C þ C i t M ¼ Cð1 þ i tþ dove 0,0875 è il tasso d interesse calcolato slla drata del primo anno. Generalizzando qesta formla per na drata t, n capitale C e n tasso d interesse i qalsiasi, si ottiene na relazione, chiamata legge di capitalizzazione semplice o regime di interesse semplice. CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE La capitalizzazione semplice è n operazione finanziaria in ci l interesse varia proporzionalmente alla drata e alla consistenza del capitale impiegato. Nella capitalizzazione semplice il montante si calcola con la segente legge o regime: M ¼ Cð1 þ i tþ dove C è il capitale, i è il tasso d interesse e t è la drata (espressa nell nità di tempo ci si riferisce il tasso i). ATTENZIONE! Per calcolare correttamente il fattore ð1 þ i tþ la drata t deve essere espressa nell nità di tempo ci si riferisce il tasso d interesse i. Se i è trimestrale, semestrale ecc. la drata t deve essere espressa in trimestri, semestri ecc. La drata t, in mancanza di date precise, si calcola come intervallo dell anno commerciale di 360 giorni, composto da mesi ttti di 30 giorni. 8
Il termine ð1 þ i tþ è chiamato fattore di capitalizzazione semplice o fattore di montante semplice. L interesse I, in regime di capitalizzazione semplice, è detto interesse semplice. Come affermato nella definizione, l interesse semplice rislta direttamente proporzionale al capitale e alla drata: ESEMPI I ¼ C i t 1 Determiniamo l importo da rimborsare dopo 3 anni, 4 mesi e 10 giorni per n prestito di E 1300 al tasso d interesse semplice del 3,60% anno. Calcoliamo anche l importo dell interesse. Calcoliamo prima la drata in anni t ¼ 3 þ 4 12 þ 10 360 ¼ 121 e applichiamo la legge della capitalizzazione semplice: 36 M ¼ Cð1 þ i tþ ¼1300 1 þ 3;60% 121 ¼ 1300ð1 þ 0;001 121Þ ¼1457;30 ero 36 Si noti che in mancanza di date precise si tilizza l anno commerciale di 360 giorni e la drata media di n mese di 30 giorni. L importo da rimborsare è di E 1457,30. Il calcolo dell interesse si ottiene come differenza: I ¼ M C ¼ 1457;30 1300 ¼ 157;30 ero oppre tilizzando la formla dell interesse semplice: L interesse semplice è di E 157,30. I ¼ C i t ¼ 1300 3;60% 121 36 ¼ 157;30 ero 2 Determiniamo l importo da rimborsare dopo 2 anni e 3 mesi per n prestito di E 4500 al tasso d interesse semplice dell 1,10% trimestrale. Calcoliamo la drata in trimestri perché il tasso è trimestrale, cioè riferito a n trimestre: t ¼ 2 þ 3 12 12 3 ¼ 2 4 þ 1 ¼ 9 trimestri Applichiamo la legge della capitalizzazione semplice: M ¼ Cð1 þ i tþ ¼4500 ð1 þ 1;10% 9Þ ¼4500ð1 þ 0;099Þ ¼4945;50 ero L importo da rimborsare è di E 4945,50. 3 Determinazione del tasso Per n prestito di E 10 000 si rimborsano dopo 2 anni e 6 mesi E 10 875. Calcoliamo qal è il tasso anno d interesse semplice di qesta operazione. Calcoliamo prima la drata in anni: t ¼ 2 þ 6 12 ¼ 5 2 ¼ 2;5. Possiamo procedere in de modi: a. calcolando il rapporto tra interesse e capitale, diviso la drata: i ¼ 875 10 000 2;5 ¼ 0;0875 2;5 ¼ 0;035 ¼ 3;5% b. risolvendo l eqazione che si ottiene dalla sostitzione dei dati del problema nella legge di capitalizzazione semplice M ¼ Cð1 þ i tþ: 10 875 ¼ 10 000ð1 þ i 2;5Þ! i ¼ 3;5% Il tasso d interesse semplice anno dell operazione è il 3,50%. I ¼ M C I ¼ Cð1 þ i tþ C I ¼ C þ C i t C I ¼ C i t Se la drata è espressa nella forma a anni, m mesi, g giorni allora t ¼ a þ m 12 þ g 360 anni La drata t espressa in anni pò essere convertita in nità di w mesi moltiplicando t per 12. Ad esempio, w t ¼ 3 anni 5 mesi 21 giorni eqivale alla drata in trimestri: t ¼ 3 þ 5 12 þ 21 360 ¼ 12 þ 5 3 þ 7 30 ¼ ¼ 13;9 trimestri i ¼ I ¼ C i t I C t ¼ 12 3 ¼ I C t 1. Capitalizzazione, sconto ed eqivalenza finanziaria 9
TEORIA 4 Determinazione della drata Un prestito di E 5700 è rimborsato con la somma di E 7125, calcolata al tasso d interesse semplice del 4% anno. Calcoliamo qal è stata la drata del prestito. Come nell esempio 3 sono possibili de modi di procedere: a. risolvendo l eqazione che si ottiene dalla sostitzione dei dati del problema nella legge di capitalizzazione semplice M ¼ Cð1 þ i tþ: 7125 ¼ 5700ð1 þ 4% tþ! t ¼ 6;25 ¼ 6 anni e 3 mesi b. calcolando l interesse I ¼ 7125 5700 ¼ 1425 e risolvendo l eqazione che si ricava dalla formla dell interesse semplice I ¼ C i t: 1425 ¼ 5700 4% t! t ¼ 1425 228 ¼ 6;25! t ¼ 6 anni e 3 mesi Il prestito è drato 6 anni e 3 mesi. 5. Valore attale e sconto razionale Dalla legge di calcolo del montante della capitalizzazione semplice M ¼ Cð1 þ i tþ, ponendo M ¼ VF e C ¼ VA si ricava na legge (o regime) chiamata legge di attalizzazione semplice o regime di sconto razionale. M ¼ Cð1 þ i tþ VF ¼ VAð1 þ i tþ VA ¼ VF 1 þ i t S ¼ VF VA S ¼ VAð1 þ i tþ VA S ¼ VAð1 þ i t 1Þ S ¼ VA i t ATTUALIZZAZIONE SEMPLICE L attalizzazione semplice è n operazione finanziaria in ci lo sconto varia proporzionalmente alla drata e alla consistenza del valore attale. Nell attalizzazione semplice il valore attale si calcola con la segente legge o regime: VA ¼ VF 1 þ i t dove VF è il valore ftro, i è il tasso d interesse e t è la drata (espressa nell nità di tempo a ci si riferisce il tasso i). Il termine 1 è chiamato fattore di sconto razionale. 1 þ i t Lo sconto S, in regime di attalizzazione semplice, è detto sconto razionale. Come affermato nella definizione, lo sconto razionale è direttamente proporzionale al valore attale e alla drata: S ¼ VA i t ESEMPIO È stato contratto n debito di E 30 000, da restitire dopo 2 anni, al tasso d interesse semplice del 6,75%. Lo si vole restitire 3 mesi prima della scadenza e si concorda col creditore no sconto razionale al 6% anno. Qanto si pagherà? Rappresentiamo lo scadenzario di qesta operazione in FIGURA 7. FIGURA 7 10
Prima di ttto calcoliamo il valore ftro, cioè il montante che dovrebbe essere versato alla scadenza dei 2 anni, tilizzando la legge di capitalizzazione semplice M ¼ Cð1 þ i tþ: VF ¼ M ¼ 30 000 ð1 þ 6;75% 2Þ ¼34 050 ero Calcoliamo ora il valore attale che pò essere versato 3 mesi prima, applicando la legge di attalizzazione semplice VA ¼ VF al tasso del 6% anno: 1 þ i t VA ¼ 34 050 ¼ 33 546;79802::: 33 546;80 ero 1 þ 6% 3 12 Per estingere il debito 3 mesi prima dovrà essere versata la somma di E 33 546;80. Capitalizzazione e attalizzazione composta 1. Capitalizzazione, sconto ed eqivalenza finanziaria 6. Interesse e montante composto Riprendiamo il problema iniziale del PARAGRAFO 4 in ci n debitore, che aveva ricevto il prestito di E 16 000 e doveva rimborsarne E 17 400 dopo n anno, chiedeva la proroga di n altro anno, alle stesse condizioni. Come calcolare il novo montante? Riportiamo novamente lo scadenzario in FIGURA 8. FIGURA 8 Nel PARAGRAFO 4 abbiamo determinato il montante M dopo la proroga del prestito, amentando l interesse proporzionalmente alla drata, cioè raddoppiandolo perché la drata era raddoppiata: M ¼ 16 000 þ 1400 2 ¼ 18 800 ero Abbiamo così ricavato la legge di capitalizzazione semplice. C è però n altro modo di risolvere il problema: calcolare l interesse sl montante matrato dopo il primo anno, allo stesso tasso d interesse del primo anno. Nel nostro caso il montante di E 17 400 deve essere sommato all interesse calcolato per il secondo anno s E 17 400, al tasso d interesse i ¼ 1400 ¼ 0;0875 che 16 000 rislta applicato nel primo anno: Tenendo conto che si ottiene M ¼ 17 400 þ 17 400 8;75% ¼ 18 922;50 ero 17 400 ¼ 16 000 þ 16 000 8;75% ¼ 16 000ð1 þ 8;75%Þ M ¼ 17 400 þ 17 400 8;75% ¼ 17 400ð1 þ 8;75%Þ ¼ ¼ 16 000ð1 þ 8;75%Þð1 þ 8;75%Þ ¼16 000ð1 þ 8;75%Þ 2 Notiamo che con qesto calcolo l interesse matrato nel primo anno prodce interesse nel secondo e qindi si determina n montante n po più grande. Con passaggi analoghi si ricava che se la drata del prestito viene prolngata a 3, 4,..., n periodi, il montante diventa: M ¼ 16 000ð1 þ 8;75%Þ 3 M ¼ 16 000ð1 þ 8;75%Þ 4... M ¼ 16 000ð1 þ 8;75%Þ n 11
TEORIA Generalizzando la formla precedente per na drata t, n capitale C e n tasso d interesse i qalsiasi (FIGURA 9), si ottiene na relazione, chiamata legge di capitalizzazione composta o regime di interesse composto. FIGURA 9 M ¼ Cð1 þ iþ 1 ð1 þ iþ 1 ::: ð1 þ iþ f M ¼ Cð1 þ iþ nþf t ¼ n þ f M ¼ Cð1 þ iþ t CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA La capitalizzazione composta è n operazione finanziaria in ci dopo ogni periodo nitario l interesse viene agginto al capitale e prodce a sa volta interesse. Nella capitalizzazione composta il montante si calcola con la segente legge o regime: M ¼ Cð1 þ iþ t dove C è il capitale, i è il tasso d interesse e t è la drata (espressa nell nità di tempo ci si riferisce il tasso i). ATTENZIONE! Per calcolare correttamente il fattore ð1 þ iþ t la drata t deve essere espressa nell nità di tempo ci si riferisce il tasso d interesse i. Se i è trimestrale, semestrale ecc. la drata t deve essere espressa in trimestri, semestri ecc. Se la drata non è intera, si sa di solito la convenzione esponenziale: M ¼ C ð1 þ iþ nþf dove n è n intero e f na frazione. Più raramente si sa la formla mista o convenzione lineare: M ¼ C ð1 þ iþ n ð1 þ i f Þ Il termine ð1 þ iþ t è chiamato fattore di capitalizzazione composta o fattore di montante composto. Il periodo nitario di tempo è detto periodo di capitalizzazione. Se indichiamo con il fattore di capitalizzazione nitario ð1 þ iþ, allora la legge di capitalizzazione composta pò essere scritta nella forma: M ¼ C t I ¼ M C I ¼ Cð1 þ iþ t C I ¼ C ½ð1 þ iþ t 1Š L interesse I, in regime di capitalizzazione composta, è detto interesse composto. Come affermato nella definizione, l interesse composto è agginto al capitale dopo ogni periodo nitario di tempo e prodce a sa volta interesse: I ¼ C ð1 þ iþ t 1 Di segito risolviamo gli stessi esempi del PARAGRAFO 4 tilizzando la legge di capitalizzazione composta. 12
ESEMPI 1 Determiniamo l importo da rimborsare dopo 3 anni, 4 mesi e 10 giorni per n prestito di E 1300 al tasso d interesse composto del 3,60% anno. Calcoliamo anche l importo dell interesse. Calcoliamo prima la drata in anni t ¼ 3 þ 4 12 þ 10 360 ¼ 121 e applichiamo la legge della ca- 36 pitalizzazione composta: M ¼ Cð1 þ iþ t ¼ 1300 ð1 þ 3;60%Þ 121 36 ¼ ¼ 1300 ð1;0360þ 121 36 ¼ 1464;094795::: 1464;09 ero L importo da rimborsare è di E 1464,09. Il calcolo dell interesse si ottiene come differenza: I ¼ M C ¼ 1464;09 1300 ¼ 164;09 ero oppre tilizzando la formla dell interesse composto: I ¼ C½ð1 þ iþ t 1Š ¼1300 ð1;036 121 36 1Þ ¼164;094795::: 164;09 ero L interesse composto è di E 164,09. 2 Determiniamo l importo da rimborsare dopo 2 anni e 3 mesi per n prestito di E 4500 al tasso d interesse composto dell 1,10% trimestrale. Calcoliamo la drata in trimestri perché il tasso è trimestrale: t ¼ 2 4 þ 1 ¼ 9 trimestri. Applichiamo la legge della capitalizzazione composta: M ¼ Cð1 þ iþ t ¼ 4500 ð1 þ 1;10%Þ 9 ¼ 4500ð1;011Þ 9 ¼ 4965;6135::: 4965;61 ero L importo da rimborsare è di E 4965,61. 3 Determinazione del tasso Per n prestito di E 10 000 si rimborsano dopo 2 anni e 6 mesi E 10 875. Calcoliamo qal è il tasso anno d interesse composto per qesta operazione. Calcoliamo prima la drata in anni: t ¼ 2 þ 6 12 ¼ 5 2 ¼ 2;5. Il problema si risolve sostitendo i dati nella legge di capitalizzazione composta M ¼ Cð1 þ iþ t e risolvendola rispetto all incognita i : 10 875 ¼ 10 000ð1 þ iþ 2;5 1! i ¼ 1;0875 2;5 1 ¼ 0;034121::: 0;03412! i ¼ 3;41% Il tasso d interesse composto anno dell operazione è il 3,41%. Il tasso d interesse pò essere approssimato con le sali regole a 4 cifre decimali. Talvolta, se il calcolo dev essere più preciso, si sano 5 o più cifre (ad esempio per calcoli s drate brevissime). 4 Determinazione della drata Un prestito di E 5700 è stato rimborsato con la somma di E 7125, calcolata al tasso d interesse composto del 4% anno. Calcoliamo qal è stata la drata del prestito. Come nell esempio 3, sostitiamo i dati nella legge di capitalizzazione composta M ¼ Cð1 þ iþ t e risolviamola, qesta volta rispetto alla drata incognita t. Si tratta evidentemente di n eqazione esponenziale che richiede l tilizzo dei logaritmi: 7125 ¼ 5700 ð1 þ 4%Þ t! ð 1 þ 4%Þ t ¼ 7125! 5700! log ð1 þ 4%Þ t ¼ log 7125! t log ð1 þ 4%Þ ¼log 7125 log 5700! 5700! t ¼ log 7125 log 5700 log ð1 þ 4%Þ 5;68943126 anni In capitalizzazione semplice, l importo da rimborsare era di E 1457;30 mentre qello calcolato in regime composto è maggiore, per effetto della capitalizzazione degli interessi che prodcono a loro volta interessi. In capitalizzazione semplice l interesse era di E 157;30, inferiore a qello composto per il motivo detto sopra. In capitalizzazione semplice, l importo da rimborsare era di E 4945;50. Come osservato per l esempio 1, rislta inferiore a qello composto. In capitalizzazione semplice, con gli stessi dati, si era ottento n tasso d interesse anno del 3,50%, maggiore qindi di qello trovato in regime composto. Qesto si spiega con il fatto che il regime composto capitalizza periodicamente gli interessi e prodce, a parità di capitale e drata, lo stesso montante del regime semplice con n tasso n po inferiore. 1. Capitalizzazione, sconto ed eqivalenza finanziaria 13
TEORIA In capitalizzazione semplice, con gli stessi dati, si era ottenta na drata di 6 anni e 3 mesi, speriore a qella del regime composto per lo stesso motivo detto prima, cioè la capitalizzazione periodica degli interessi, presente nel regime composto e assente in qello semplice. La solzione dell incognita t che abbiamo trovato è espressa in anni perché il tasso d interesse tilizzato è n tasso anno. La parte frazionaria della drata pò essere convertita in mesi e giorni compilando la TABELLA 1: TABELLA 1 decimale intero 5,68943126 1 5,689431256 5 anni 0,689431256 12 8,273175077 8 mesi 0,273175077 30 8,195252319 8 giorni Il prestito è drato 5 anni, 8 mesi e 8 giorni. 5 Cambio del tasso Un tale, 10 anni fa, versò na somma di denaro in n conto bancario remnerato ogni 6 mesi al tasso d interesse semestrale del 2,75%. Dopo 4 anni e 6 mesi il tasso venne diminito di mezzo pnto percentale. Se oggi il saldo del conto è E 35 872, a qanto ammontava il versamento fatto 10 anni fa? Possiamo rappresentare il problema con lo scadenzario in FIGURA 10. FIGURA 10 Notiamo che l operazione descritta è stata svolta interamente nel passato e che la data di oggi corrisponde alla drata di 10 anni nello scadenzario. Il montante di E 35 872 si ottiene con la capitalizzazione della somma versata 10 anni fa, di ci non si conosce invece l importo. Per tener conto dei cambiamenti nelle condizioni del prestito basta applicare la formla della legge di capitalizzazione composta de volte, sando i de tassi: la prima per 4 anni e mezzo al 2,75%, la seconda, sl montante della prima, per i rimanenti 5 anni e mezzo al 2,25%. Applicando la legge di capitalizzazione composta M ¼ Cð1 þ iþ t, possiamo scrivere l eqazione: da ci si ricava C ð1 þ 2;75%Þ 9 ð1 þ 2;25%Þ 11 ¼ 35 872 C ¼ 35 872 ð1 þ 2;75%Þ 9 ð1 þ 2;25%Þ 11 22 000 ero Il capitale versato 10 anni fa è stato di E 22 000. 7. Valore attale e sconto composto La legge di calcolo del montante della capitalizzazione composta M ¼ Cð1 þ iþ t pò essere risolta rispetto al capitale C: C ¼ M 1 ð1 þ iþ t! C ¼ M ð1 þ iþ t Ponendo C ¼ VA e M ¼ VF si ottiene la legge di attalizzazione composta o regime di sconto composto. 14
ATTUALIZZAZIONE COMPOSTA L attalizzazione composta è n operazione finanziaria in ci il valore attale VA impiegato per il tempo t in capitalizzazione composta al tasso i ha come montante il valore ftro VF. Nell attalizzazione composta il valore attale si calcola con la segente legge o regime: VA ¼ VFð1 þ iþ t dove VF è il valore ftro, i è il tasso d interesse e t è la drata (espressa nell nità di tempo a ci si riferisce il tasso i). Il termine ð1 þ iþ t è chiamato fattore di sconto composto. Se indichiamo con v il fattore di sconto nitario ð1 þ iþ 1, allora la legge di attalizzazione composta pò essere scritta nella forma: VA ¼ VF v t Lo sconto composto è dato da: S ¼ VF 1 ð1 þ iþ t ESEMPIO Una banca privata, insieme ad altre forme di finanziamento, decide di emettere E 1 000 000 di obbligazioni zero-copon con drata decennale. Le obbligazioni zero-copon sono titoli finanziari che non pagano interesse periodico; il gadagno per l investitore sta nella differenza tra prezzo d acqisto e valore di rimborso. Qanto pò incassare oggi la banca se deve offrire agli investitori n rendimento composto del 6,5% anno? Rappresentiamo lo scadenzario dell operazione in FIGURA 11. L incasso della banca corrisponde al valore attale calcolato con la legge di attalizzazione composta: VA ¼ VF ð1 þ iþ t ¼ 1 000 000 ð1 þ 6;5%Þ 10 ¼ 532 726;035520::: 532 700 ero La società, dnqe, emettendo debito per E 1 000 000 con titoli da rimborsare tra 10 anni, se vole o deve assicrare n rendimento del 6,5% anno composto, riesce a incassare E 532 700, poco più della metà di qanto si impegna a rimborsare. M ¼ Cð1 þ iþ t VF ¼ VAð1 þ iþ t VA ¼ VFð1 þ iþ t S ¼ VF VA S ¼ VF VFð1 þ iþ t S ¼ VF½1 ð1 þ iþ t Š FIGURA 11 1. Capitalizzazione, sconto ed eqivalenza finanziaria L eqivalenza finanziaria 8. Eqivalenza finanziaria e scindibilità Nel PARAGRAFO 2 abbiamo introdotto il concetto di eqivalenza finanziaria affermando che de somme di denaro sono eqivalenti se vengono scambiate in na capitalizzazione o in na attalizzazione. Dopo aver introdotto le leggi finanziarie possiamo esprimere lo stesso concetto con altre parole. SOMME DI DENARO EQUIVALENTI De o più somme di denaro, disponibili in tempi diversi, calcolate in no stesso istante e con la medesima legge finanziaria, sono eqivalenti se i loro valori monetari sono gali. Alternativamente, possiamo dire che de somme di denaro sono eqivalenti se soddisfano insieme, a date condizioni, na legge di capitalizzazione o na legge di attalizzazione. 15
TEORIA IMPORTANTE Se de somme o insiemi di somme sono eqivalenti in capitalizzazione composta applicando n certo tasso, allora coincidono i loro valori attali al tempo 0 e coincidono i loro valori attali o montanti calcolati in qalnqe epoca, sempre allo stesso tasso. L eqivalenza dipende dalla legge finanziaria che si sceglie. In generale, de somme di denaro eqivalenti per la capitalizzazione o l attalizzazione semplice non lo sono per la capitalizzazione o l attalizzazione composta. ESEMPIO 1 E 1000 sono eqivalenti a E 1200 corrisposti tra 2 anni, al tasso d interesse semplice del 10%, perché 1000 ð1 þ 10% 2Þ ¼1200 ero; se consideriamo invece il tasso del 10% composto, i de importi non sono più eqivalenti, perché 1000 ð1 þ 10%Þ 2 ¼ 1210 ero. In qesto caso l eqivalenza è tra E 1000 e E 1210. Non è detto che de somme di denaro eqivalenti, tilizzate nello stesso modo, prodcano alla fine lo stesso risltato finanziario. Dipende dalla legge di capitalizzazione (o attalizzazione) che si tilizza. ESEMPIO 2 Nella capitalizzazione semplice E 1000 sono eqivalenti a E 1200 corrisposti tra 2 anni, al tasso d interesse del 10%. Immaginiamo ora di prestare E 1000 per 5 anni, a partire da oggi, sempre al tasso del 10%. Alla scadenza dei 5 anni si ottiene la somma di E 1500: 1000 ð1 þ 10% 5Þ ¼1500 ero. Se invece prestiamo E 1200 disponibili tra 2 anni, per i sccessivi 3, al 10%, non otteniamo E 1500, come sopra, bensì E 1560: 1200 ð1 þ 10% 3Þ ¼1560 ero. In altre parole, tilizzando la legge di capitalizzazione semplice, l eqivalenza iniziale tra le de somme viene persa, nonostante l impiego finanziario sia lo stesso. La FIGURA 12 visalizza qesto risltato. FIGURA 12 Vediamo che cosa sccede con la capitalizzazione composta. La sitazione di partenza è qella di E 1000 eqivalenti a E 1210 corrisposti tra 2 anni, al tasso d interesse del 10%. In qesto caso, sia che prestiamo E 1000 per 5 anni, sia che prestiamo E 1210, disponibili tra 2 anni, per altri 3, otteniamo alla fine lo stesso ammontare di denaro (prché il tasso rimanga invariato): 1000 ð1 þ 10%Þ 5 ¼ 1610;51 ero e 1210 ð1 þ 10%Þ 3 ¼ 1610;51 ero L eqivalenza finanziaria dnqe si mantiene, con l interesse composto, se l impiego finanziario non viene cambiato (FIGURA 13). FIGURA 13 Qando l eqivalenza finanziaria tra de somme di denaro con scadenze diverse si mantiene, dopo no stesso tilizzo, si dice che la legge finanziaria, in base alla qale le de somme sono eqivalenti, è scindibile. 16
SCINDIBILITÀ Una legge finanziaria è scindibile se determina come montante (o valore attale) di na somma di denaro impiegata (o scontata) per na drata t al tasso i lo stesso importo del montante (o del valore attale) che si otterrebbe con la stessa somma dopo de o più impieghi (o anticipazioni) consectivi, al tasso i, di drata rispettivamente t 1, t 2,..., t n e drata complessiva t ¼ t 1 þ t 2 þ ::: þ t n. La scindibilità comporta che n operazione possa essere interrotta e immediatamente ripresa senza che qesto cambi il risltato, a parità di condizioni. Ennciamo la segente proposizione. PROPOSIZIONE SCINDIBILITÀ DELLA LEGGE DI CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA La legge di capitalizzazione composta è scindibile. La proposizione è presto dimostrata: infatti la seqenza di de capitalizzazioni composte, di drata rispettivamente t 1 e t 2, la prima sl capitale C, la seconda sl montante della prima, entrambi al tasso d interesse i, prodce lo stesso montante finale di n nica capitalizzazione di drata t ¼ t 1 þ t 2 sl capitale C al tasso i: t ¼ t 1 þ t 2! Cð1 þ iþ t 1 ð1 þ iþ t 2 ¼ Cð1 þ iþ t Analoga proposizione vale per la legge di attalizzazione composta. Delle leggi finanziarie che abbiamo introdotto, la capitalizzazione semplice e lo sconto razionale non sono scindibili. Si dimostra che tra le leggi finanziarie che hanno come argomento la drata t, le niche leggi scindibili sono la capitalizzazione composta e l attalizzazione composta. Per qesto motivo sono le più tilizzate nel calcolo finanziario. 1. Capitalizzazione, sconto ed eqivalenza finanziaria 9. Capitalizzazione e attalizzazione di più importi Possiamo estendere facilmente le definizioni delle leggi finanziarie e il concetto di eqivalenza al caso di più importi. MONTANTE DI DUE IMPORTI Si dice montante al tempo t di de importi di denaro C 1, C 2 disponibili alle scadenze t 1, t 2 (con t 1 < t 2 < t) la somma dei loro montanti disponibili in t, calcolati per la drata t t 1 e t t 2 (FIGURA 14). Nel caso del regime composto al tasso i, M è il montante degli importi C 1 e C 2 se vale l gaglianza M ¼ C 1 ð1 þ iþ t t 1 þ C 2 ð1 þ iþ t t 2 FIGURA 14 VALORE ATTUALE DI DUE IMPORTI Si dice valore attale al tempo t di de importi C 1, C 2 disponibili alle scadenze t 1, t 2 (con t < t 1 < t 2 ) la somma dei loro valori attali disponibili in t, calcolati per la drata t 1 t e t 2 t (FIGURA 15). Nel caso del regime composto al tasso i, VA è il valore attale degli importi C 1 e C 2 se vale l gaglianza VA ¼ C 1 ð1 þ iþ ðt 1 tþ þ C 2 ð1 þ iþ ðt 2 tþ FIGURA 15 Anziché solo de importi possiamo averne n nmero qalsiasi: C 1, C 2, C 3... C n. 17
TEORIA ESEMPI 1 Devo pagare E 5000 tra 5 anni e E 2500 tra 8 anni; mi accordo col creditore per estingere i debiti con n solo pagamento fra 4 anni, valtando sconti composti al 9%. Mi bastano E 6000 per estingere il debito? Schematizziamo il problema in FIGURA 16. Le de somme devono essere sostitite da n nico capitale che viene pagato all anno 4, qindi è necessario valtare i de debiti a qesta epoca e, poiché il pagamento è antecedente alle scadenze delle de somme, qeste devono essere scontate. FIGURA 16 Il capitale di E 5000 va scontato per 1 anno e qello di E 2500 per 4 anni; dnqe la somma da pagare sarà importo nico ¼ 5000ð1 þ 0;09Þ 1 þ 2500ð1 þ 0;09Þ 4 ¼ 6358;23 ero Poiché il valore dei de debiti è E 6358;23, la somma che ho a disposizione non è sfficiente. 2 Il signor Rossi deve riscotere i segenti importi: E 2500 fra 2 anni; E 4750 fra 7 anni; E 1750 fra 10 anni. Si accorda con il debitore per riscotere i soi crediti mediante n nico pagamento fra 12 anni, calcolando gli interessi al 7%. Qanto incasserà il signor Rossi? Riportiamo nello schema di FIGURA 17 i dati del problema. Il primo importo viene capitalizzato per 10 anni, il secondo importo viene capitalizzato per 5 anni e il terzo importo per 2 anni, dnqe FIGURA 17 importo nico ¼ 2500ð1;07Þ 10 þ 4750ð1;07Þ 5 þ 1750ð1;07Þ 2 ¼ 13 583;58 ero Il signor Rossi incasserà E 13 583;58. 3 Tizio deve pagare E 1500 fra 5 anni, E 2000 fra 8 anni e E 3500 fra 12 anni. Si consente a Tizio di esegire il pagamento nico di E 5000. Considerando il tasso del 5%, qando pagherà Tizio? Non sappiamo dove collocare la scadenza comne, però possiamo notare che il pagamento nico di E 5000 è minore della somma dei tre pagamenti (1500 þ 2000 þ 3500 ¼ 7000 ero), qindi sicramente la scadenza non sarà dopo l epoca 12, perché, se così fosse, l importo nico dovrebbe essere maggiore di E 7000. Qindi, sll asse dei tempi (FIGURA 18), la scadenza comne dovrebbe stare in n tempo intermedio tra 0 e 12, poniamola per esempio fra la seconda e la terza somma, e indichiamola con x. FIGURA 18 18