Applicazioni statistiche al controllo della qualità e della produttività

14 Applicazioni statistiche al controllo della qualità e della produttività Introduzione 118 14.1 Qualità e produttività: una prospettiva storica 118 14.2 I 14 punti di Deming e la teoria del management 119 14.3 La teoria delle carte di controllo 121 14.4 Carte di controllo per la proporzione di pezzi defettosi: la carta p 124 14.5 L esperimento della pallina rossa: il significato di variabilità 130 14.6 Carte di controllo per il range (R) e per la media ( ) 132 X 14.7 La capacità del processo 139 Riepilogo del capitolo 141 A14.1 Utilizzo di Microsoft Excel per le carte di controllo 145 17

OBIETTIVI DEL CAPITOLO Introdurre la storia del controllo della qualità Presentare i 14 punti di Deming relativi al management Spiegare la differenza fra cause di variazione ordinarie e straordinarie Discutere le carte di controllo per la proporzione di articoli difettosi Discutere le carte di controllo per il range e la media Presentare il concetto di capacità di un processo Introduzione In questo capitolo ci concentreremo sui processi di controllo della qualità e della produzione industriale. La qualità è da sempre un fattore cruciale in diverse aree economiche, ad esempio: la progettazione, la fabbricazione e il controllo della sicurezza di un automobile le telecomunicazioni, dal telefono fisso, al servizio fax, ai cellulari le tecnologie informatiche la fornitura di servizi nell area bancaria, turistica, sanitaria, ecc la disponibilità di nuove tecnologie di supporto diagnostico Nella prima parte del capitolo faremo un breve excursus storico per comprendere le origini del controllo della qualità e, conseguentemente, della produttività. In seguito, dopo aver introdotto i 14 punti di Deming per il management, presenteremo diverse carte di controllo e impareremo a distinguere i tipi di variazioni che si osservano nei dati.5 APPLICAZIONE Servizio qualità in un albergo Il ramo alberghiero è sicuramente uno dei settori in cui la qualità riveste un ruolo determinante. L albergatore deve sempre cercare di soddisfare il cliente, nel tentativo di farlo diventare fedele all albergo. A tal fine ci si preoccuperà di far trovare nella stanza tutto quello che il cliente si aspetta che ci sia: dal sapone e dagli asciugamani nei bagni alla televisione, radio e telefono perfettamente funzionanti. Un altro aspetto molto importante è dato dalla rapidità del servizio, per esempio la soddisfazione del cliente può dipendere anche dal tempo impiegato dagli addetti per consegnare i bagagli nella camera. 14.1 QUALITÀ E PRODUTTIVITÀ: UNA PROSPETTIVA STORICA A partire dagli anni Ottanta le imprese hanno dovuto accettare la globalizzazione e l idea che la concorrenza non è solo sul piano nazionale, ma anche a livello internazionale. L economia globale entro cui si muovono gli attori è il risultato della diffusione delle tecnologie informatiche e di comunicazione. La globalizzazione dell economia ha contribuito al riemergere dell interesse per la qualità. Già a partire dagli anni Cinquanta, periodo in cui si assiste allo straordinario sviluppo dell industria giapponese, nasce una teoria della qualità che potremmo chiamare sistemica, 58 CAPITOLO 14 APPLICAZIONI STATISTICHE AL CONTROLLO DELLA QUALITÀ E DELLA PRODUTTIVITÀ

finalizzata al miglioramento dei processi produttivi e all ottimizzazione del sistema totale. Questo approccio è solitamente indicato con l espressione di qualità totale e può essere sintetizzato nel modo seguente: Riquadro 14.1 La qualità totale 1. L attenzione si concentra sul miglioramento dei processi produttivi. 2. La variabilità del processo è da imputare per la maggior parte al sistema nel suo complesso piuttosto che ai singoli individui. 3. L organizzazione dei processi produttivi è affidata essenzialmente al lavoro di gruppo. 4. L obiettivo principale dell azienda deve essere la soddisfazione del consumatore. 5. L organizzazione deve essere mirata a migliorare la qualità del prodotto. 6. L organizzazione deve rispettare regole democratiche. 7. Una qualità più elevata non comporta costi maggiori, ma richiede un investimento in programmi di formazione e addestramento professionale degli addetti. 14.2 Il controllo di qualità ha un forte fondamento statistico, in quanto richiede la conoscenza della variabilità e dei processi, l adozione di una prospettiva di insieme, e una forte tensione verso il miglioramento. Inoltre coinvolge strumenti statistici in parte già discussi nei capitoli precedenti di questo libro e in parte oggetto del presente capitolo, quali il diagramma di Pareto, l istogramma e le carte di controllo. I 14 PUNTI DI DEMING E LA TEORIA DEL MANAGEMENT W. Edward Deming fu tra gli economisti americani che negli anni Cinquanta si inserirono nella realtà giapponese e furono in grado di studiare le origini e le motivazioni dello straordinario sviluppo economico e miglioramento produttivo che in quegli anni interessò il paese. Anche grazie a questa esperienza, Deming elaborò un importante teoria del management e dell organizzazione aziendale, che può riassumersi nei seguenti 14 punti: Riquadro 14.2 I 14 punti di Deming relativi al management 1. Adottate il proposito del miglioramento del prodotto e del servizio. 2. Adottate la nuova filosofia. 3. Il miglioramento della qualità non deve basarsi sul metodo dei controlli e delle ispezioni. 4. Minimizzate i costi totali lavorando con un singolo fornitore, anziché scegliendo di volta in volta quello che pratica i prezzi più bassi. 5. I processi devono essere migliorati attraverso la pianificazione. 6. Introducete la formazione e l addestramento della forza lavoro. 7. Istituite una leadership. 8. Adottate metodi organizzativi democratici. 9. Eliminate le barriere esistenti fra le aree della produzione. (continua) I 14 PUNTI DI DEMING E LA TEORIA DEL MANAGEMENT 59

10. Non basatevi su slogan per istruire la forza lavoro. 11. Non adottate quote di produzione per la forza lavoro. 12. Non derubate gli addetti dell orgoglio di lavorare: eliminate la valutazione annuale del merito e il sistema degli indici di performance. 13. Istituite un robusto programma di apprendimento e auto-miglioramento a cui tutti possano accedere. 14. Fate in modo che ciascuno nella società sia coinvolto nel processo di cambiamento. Punto 1: adottate il proposito del miglioramento del prodotto e del servizio. Nel risolvere i problemi che sorgono nel corso dell attività aziendale l attenzione deve sempre essere rivolta al miglioramento. Il processo di miglioramento può essere sintetizzato nel ciclo di Shewart-Deming (Figura 14.1) che rappresenta il ciclo di plan, do, study, act. Nella prima fase il cambiamento viene pianificato attraverso un lavoro di gruppo mirato; nella seconda si tenta una sua applicazione preferibilmente su piccola scala; nella terza fase (study) vengono studiati e analizzati con strumenti statistici gli effetti del cambiamento introdotto; quindi, nella quarta fase (act) si passa all implementazione vera e propria, la quale tuttavia non rappresenta il punto di arrivo, in quanto il ciclo si chiude per riprendere con la fase 1 di pianificazione di un nuovo cambiamento. FIGURA 14.1 Ciclo di Shewhart-Deming. Act Plan Study Do Punto 2: adottate la nuova filosofia. Si riferisce all urgenza con cui le società devono realizzare il fatto che si trovano ad agire in una competizione economica globale. I problemi devono essere anticipati, piuttosto che affrontati quando ormai si sono presentati. Punto 3: il miglioramento della qualità non deve basarsi sul metodo dei controlli e delle ispezioni. Qualsiasi ispezione finalizzata al controllo della qualità di un prodotto è per sua natura tardiva perché effettuata quando il prodotto è già stato completato. Molto meglio affidare il conseguimento della qualità alla pianificazione, piuttosto che a un controllo ex post. Punto 4: minimizzate i costi totali lavorando con un singolo fornitore anziché scegliendo di volta in volta quello che pratica i costi più bassi. Non bisogna sottovalutare l importanza del rapporto di lungo periodo con un fornitore; tale rapporto infatti, non solo riduce la variabilità, ma permette anche di creare una collaborazione vincente fra fornitore e acquirente. Punto 5: i processi devono essere migliorati attraverso la pianificazione. La qualità deve essere ricercata proprio in questa fase del processo produttivo e intesa come il risultato di piccole e continue variazioni alla ricerca dell ottimalità. Punto 6: introducete la formazione e l addestramento della forza lavoro. L importanza della formazione si esplica a tutti i livelli della catena produttiva, dall operaio all ingegnere, al tecnico che deve essere in grado di comprendere la differenza fra variazioni casuali e variazioni sistematiche nel processo produttivo (vedi paragrafo 14.3). 60 CAPITOLO 14 APPLICAZIONI STATISTICHE AL CONTROLLO DELLA QUALITÀ E DELLA PRODUTTIVITÀ

Punto 7: istituite una leadership. La leadership differisce dalla supervisione, in quanto il suo compito è di supportare il processo produttivo nella fase dello svolgimento del processo stesso e non il controllo del lavoro una volta eseguito. Punti 8-12: adottate metodi organizzativi democratici, eliminate le barriere esistenti fra le aree della produzione, non basatevi su slogan per istruire la forza lavoro, non adottate quote di produzione per la forza lavoro, non derubate gli addetti dell orgoglio di lavorare; eliminate la valutazione annuale del merito e il sistema degli indici di performance. La valutazione degli addetti non si deve basare su forme psicologicamente repressive. In particolare, l istituzione di quote di produzione è altamente controproducente. Infatti può indurre il supervisore a far passare per buoni degli articoli difettosi se questi si rivelano necessari al raggiungimento della quota. Inoltre il sistema delle quote non incentiva il lavoratore a operare con originalità (tutto è controllato dall alto) e quindi ha come conseguenza la staticità del processo produttivo. Anche il sistema degli indici di performance non favorisce l innovazione, premiando soprattutto i lavoratori che operano all interno del sistema anziché quelli che cercano in qualche modo di migliorarlo. Si tratta quindi di un metodo conservativo incapace di incoraggiare la necessaria evoluzione del sistema produttivo. Punto 13: istituite un robusto programma di apprendimento e auto-miglioramento a cui tutti possano accedere. La più importante risorsa di qualsiasi organizzazione è naturalmente rappresentata dalle persone che ne fanno parte. Per questo motivo, risulta fondamentale la formazione che la società offre ai suoi dipendenti. Punto 14: fate in modo che ciascuno nella società sia coinvolto nel processo di cambiamento. Il cambiamento, inteso in senso circolare come evidenziato nella Figura 14.1, rappresenta quindi il momento centrale del processo produttivo e una fase dello stesso a cui tutti devono partecipare. Dopo aver brevemente accennato alla filosofia del management elaborata da Deming, siamo pronti per introdurre un importante strumento statistico per il miglioramento della qualità: le carte di controllo, che ci aiuteranno a studiare la variabilità del sistema e fungeranno da supporto alle scelte del manager che vuole migliorare il processo produttivo. 14.3 LA TEORIA DELLE CARTE DI CONTROLLO Una carta di controllo è un grafico, proposto originariamente da Shewhart (riferimenti bibliografici 15, 16 e 17), in cui vengono rappresentati dei valori raccolti nel tempo. Attraverso le carte di controllo è possibile monitorare la variazione nelle caratteristiche di un bene o di un servizio e studiare nel tempo la natura della variabilità del processo produttivo. Alla base si ha quindi la raccolta delle osservazioni, le quali possono avere differente natura: può trattarsi di dati categorici, ad esempio la proporzione di voli di una certa compagnia aerea che hanno viaggiato con più di 15 minuti di ritardo in un dato giorno; quantitativi discreti, come il numero di pezzi difettosi in un lotto; quantitativi continui, ad esempio la quantità esatta di succo di frutta contenuto in bottiglie da un litro. Una carta di controllo ha il compito di monitorare l output di un processo. Un processo è un insieme di fasi finalizzate a uno specifico risultato. Oltre a visualizzare i dati che sintetizzano le fasi del processo, attraverso una carta di controllo l analista è in grado di distinguere le cause straordinarie dalle cause comuni di variazione nel processo. LA TEORIA DELLE CARTE DI CONTROLLO 61

Le cause straordinarie di variazione rappresentano grosse fluttuazioni nei dati, che non sono imputabili al processo oggetto di analisi. Queste fluttuazioni sono il risultato di cambiamenti nel processo, che possono indicare il verificarsi di problemi oppure, al contrario, l insorgere di novità interessanti da esplorare. Le cause ordinarie di variazione rappresentano le fluttuazioni intrinseche nel processo e sono il risultato di numerose piccole cause che operano casualmente. 1 Si ricorda (paragrafo 6.2) che, se i dati seguono una distribuzione normale, l intervallo 3 include il 99.73% delle osservazioni. Saper distinguere fra le due cause di variabilità è essenziale, in quanto mentre le cause straordinarie di variazione possono essere corrette (se necessario) senza modificare il processo, le cause ordinarie di variazione, essendo fluttuazioni intrinseche al processo produttivo, possono essere ridotte solo cambiando il processo medesimo. La carta di controllo, supportando l analista nel riconoscimento della causa di variazione, consente di evitare due errori tipici. Il primo consiste nell interpretare una causa comune di variazione come una causa straordinaria. In questo caso si potrebbe esercitare un azione correttiva eccessiva che può a sua volta aumentare la variabilità del processo. Il secondo è l errore speculare, e si commette quando una variazione straordinaria viene trattata come una variazione comune. In questo caso, si rischia di non intervenire prontamente e adeguatamente per correggere il sistema. Tipicamente una carta di controllo stabilisce dei limiti, uno inferiore e uno superiore, che si collocano a ± 3 scarti quadratici medi 1 dalla misura statistica di interesse (media, proporzione, range, ecc.). Quindi in generale per costruire una carta possiamo seguire la seguente semplice regola: I limiti di controllo Media del processo 3 scarti quadratici medi (14.1)6 Di conseguenza: Limite superiore di controllo (UCL) media del processo 3 scarti quadratici medi Limite inferiore di controllo (LCL) media del processo 3 scarti quadratici medi Una volta definiti i limiti di controllo, la carta ci consente (1) di individuare eventuali andamenti sistematici (pattern) dei valori che rappresentano il processo nel tempo e (2) di stabilire se ciascun punto cade all interno o all esterno dei limiti imposti. Nella Figura 14.2 sono esemplificate tre differenti situazioni. Nel riquadro A della Figura 14.2 è rappresentata una carta di controllo in cui non si riconosce nessun pattern dei valori nel corso del tempo e non si osservano valori esterni ai limiti di controllo. Nel riquadro B, al contrario, è rappresentata una serie con due valori esterni ai limiti di controllo, che devono quindi essere interpretati come il risultato di cause straordinarie di variazione. La carta di controllo rappresentata nel riquadro C mostra invece un evidente tendenza a una diminuzione dei valori, anche se nessuno di questi va a cadere all esterno dei limiti di controllo. In questo caso il processo deve essere valutato nel suo complesso e, se necessario, modificato, una volta individuate le cause alla base del trend decrescente. L individuazione di un trend non è sempre così immediata. È possibile tuttavia dare due semplici regole (riferimento bibliografico 7) che possono essere di supporto all analista. 62 CAPITOLO 14 APPLICAZIONI STATISTICHE AL CONTROLLO DELLA QUALITÀ E DELLA PRODUTTIVITÀ

UCL X Solo cause comuni di variazione: nessun punto all esterno dei limiti di controllo. Nessun andamento X nel tempo Causa straordinaria di variazione X Andamento sistematico nel tempo Valore centrale LCL Tempo Riquadro A Causa straordinaria di variazione Tempo Riquadro B Tempo Riquadro C FIGURA 14.2 Tre carte di controllo. Sono buoni indizi a favore dell esistenza di un trend la presenza di otto valori consecutivi al di sopra o al di sotto del valore centrale della carta, oppure l individuazione di otto valori consecutivi crescenti o decrescente. Un processo la cui carta di controllo indica la presenza di valori all esterno dei limiti di controllo si considera fuori controllo. Un processo fuori controllo è un processo che ha sia delle cause comuni sia delle cause straordinarie di variazione. Per la presenza di queste ultime, che come si è visto sono da considerare estrinseche al processo medesimo, il processo fuori controllo non è prevedibile. Nel caso di processi fuori controllo, compito dell analista è di identificare le cause straordinarie di variazione. Se questi fattori determinano un peggioramento del prodotto, l esperto deve pianificare strategie volte a eliminarli; se al contrario i fattori straordinari di variazione occorsi hanno portato a un miglioramento della qualità, il processo deve essere modificato in modo da incorporarli al suo interno. In questo modo, la causa straordinaria di variazione del vecchio processo diventa nel processo modificato una causa comune di variazione. Il processo è andato incontro a un miglioramento strutturale. Un processo la cui carta di controllo non indica la presenza di valori all esterno dei limiti di controllo si considera sotto controllo. Un processo sotto controllo è un processo che contiene solo cause ordinarie di variazione. Poiché queste fonti di variazione sono intrinseche al processo stesso, un processo sotto controllo è prevedibile. Si parla di processi in stato di controllo statistico. Nel caso di processi sotto controllo, l analista deve stabilire se l ammontare di variabilità intrinseca non sia eccessivo per la soddisfazione del consumatore del bene o del servizio (vedi Paragrafo 14.7). In caso contrario il processo deve essere in qualche modo modificato. LA TEORIA DELLE CARTE DI CONTROLLO 63

14.4 CARTE DI CONTROLLO PER LA PROPORZIONE DI PEZZI DIFETTOSI: LA CARTA p Vediamo ora vari tipi di carte di controllo utilizzate nella pratica per monitorare l andamento del processo produttivo nel tempo e per distinguere le cause ordinarie dalle cause straordinarie di variazione. Una delle carte di controllo più comuni è la carta di controllo per attributi (Carta p), utilizzata nel caso di dati categorici del tipo: conforme/non conforme. L attenzione, con dati di questo tipo, si concentra sulla proporzione di pezzi difettosi. Per ottenere la carta di controllo relativa alla proporzione di pezzi difettosi è necessario ricordare l espressione della deviazione standard di una proporzione campionaria X/n (paragrafo 4.5): p p) p(1 n6 Quindi, applicando l equazione (14.1), possiamo facilmente calcolare i limiti di controllo superiore e inferiore per una proporzione campionaria di pezzi difettosi. Calcolo dei limiti di controllo per una proporzione p) p 3 p(1 n (14.2) così come Calcolo dei limiti di controllo superiore e inferiore per una proporzione p) UCL p 3 p(1 n p) LCL p 3 p(1 n (14.3a) (14.3b) dove X i numero di pezzi difettosi nel sottogruppo i n i ampiezza campionaria del sottogruppo i p i X i / n i k numero di sottogruppi considerati n ampiezza media dei sottogruppi p proporzione media di pezzi difettosi Per uguali n i, k p i i 1 n n i e p k 64 CAPITOLO 14 APPLICAZIONI STATISTICHE AL CONTROLLO DELLA QUALITÀ E DELLA PRODUTTIVITÀ

In generale DATASET HOTEL1 n k n i i 1 k e Se nel calcolo del limite di controllo inferiore otteniamo un valore negativo, possiamo affermare che il limite inferiore non esiste. Riprendiamo l esempio della qualità del servizio presso un albergo. Il management dell albergo decide di monitorare un campione di 200 stanze per un periodo di 28 giorni (4 settimane), valutando per ciascuna stanza la presenza o meno di oggetti difettosi (dagli apparecchi televisivi o radiofonici, ai telefoni, agli asciugamani e ai saponi nei bagni). Nella Tabella 14.1 sono riportati i numeri e le proporzioni di stanze non conformi per ciascuno dei 28 giorni considerati. p k X i i 1 k n i i 1 Tabella 14.1 Monitoraggio di 200 camere di albergo per un periodo di 28 giorni STANZE STANZE STANZE STANZE GIORNO MONITORATE NON CONFORMI PROPORZIONI GIORNO MONITORATE NON CONFORMI PROPORZIONI 1 200 16 0.080 15 200 18 0.090 2 200 7 0.035 16 200 13 0.065 3 200 21 0.105 17 200 15 0.075 4 200 17 0.085 18 200 10 0.050 5 200 25 0.125 19 200 14 0.070 6 200 19 0.095 20 200 25 0.125 7 200 16 0.080 21 200 19 0.095 8 200 15 0.075 22 200 12 0.060 9 200 11 0.060 24 200 12 0.060 10 200 12 0.060 24 200 12 0.060 11 200 22 0.110 25 200 18 0.090 12 200 20 0.100 26 200 15 0.075 13 200 17 0.085 27 200 20 0.100 14 200 26 0.130 28 200 22 0.110 Per questi dati, k 28, k i 1 p i 2.315, e n i n 200. Quindi abbiamo, p 2.315 28 0.0827 Quindi, applicando l equazione (14.2) si ottiene: 0.0827 3 (0.0827)(0.9173) 200 E di conseguenza i limiti di controllo saranno dati da: UCL 0.0827 0.0584 0.1411 CARTE DI CONTROLLO PER LA PROPORZIONE DI PEZZI DIFETTOSI: LA CARTA p 65

e LCL 0.0827 0.0584 0.02436 Nella Figura 14.3 è riportata la carta di controllo relativa al nostro esempio. Osserviamo che la carta descrive un sistema in stato di controllo statistico (nessun valore esterno ai limiti di controllo) e non evidenzia nessun andamento sistematico delle osservazioni, le quali sembrano oscillare casualmente intorno alla media p In questo caso, come si è visto, non serve agire sui singoli valori: se le oscillazioni sembrano comunque eccessive, il management dovrà intervenire sull intero processo modificandolo radicalmente. FIGURA 14.3 Carta p ottenuta con Microsoft Excel sulla proporzione di stanze non conformi in un albergo. Vediamo ora l applicazione della Carta p a un caso più generale, in cui le proporzioni campionarie nei successivi istanti dell indagine non sono uguali. DATASET SPONGE Esempio 14.1 Utilizzo della Carta p con ampiezze campionarie differenti Nella tabella a pagina seguente è riportato il numero di spugne prodotte in 32 giorni consecutivi da una fabbrica e, per ciascun giorno, anche il numero di spugne difettose. Costruite una carta di controllo sui dati della tabella. SOLUZIONE Nel nostro caso: k k 32, n i 19 926 e k X i 679 i 1 i 1 66 CAPITOLO 14 APPLICAZIONI STATISTICHE AL CONTROLLO DELLA QUALITÀ E DELLA PRODUTTIVITÀ

SPUGNE SPUGNE SPUGNE SPUGNE GIORNO PRODOTTE DIFETTOSE PROPORZIONE GIORNO PRODOTTE DIFETTOSE PROPORZIONE 1 690 21 0.030 17 575 20 0.035 2 580 22 0.038 18 610 16 0.026 3 685 20 0.029 19 596 15 0.025 4 595 21 0.035 20 630 24 0.038 5 665 23 0.035 21 625 25 0.040 6 596 19 0.032 22 615 21 0.034 7 600 18 0.030 23 575 23 0.040 8 620 24 0.039 24 572 20 0.035 9 610 20 0.033 25 645 24 0.037 10 595 22 0.037 26 651 39 0.060 11 645 19 0.029 27 660 21 0.032 12 675 23 0.034 28 685 19 0.028 13 670 22 0.033 29 671 17 0.025 14 590 26 0.044 30 660 22 0.033 15 585 17 0.029 31 595 24 0.040 16 560 16 0.029 32 600 16 0.027 Quindi, n 19 926 32 622.69 e p 679 19 926 0.034 Di conseguenza abbiamo: Cioè: e 0.034) 0.034 3 (0.034)(1 622.69 UCL 0.034 0.022 0.056 LCL 0.034 0.022 0.012 Nella Figura 14.4 è riportata la carta di controllo relativa ai dati dell esempio. Osserviamo che il processo non è perfettamente sotto controllo, poiché, in corrispondenza del giorno 26, il valore eccede il limite superiore di controllo. Compito del management in questo caso sarà quello di indagare le cause di variazione straordinaria che hanno determinato il fuori controllo del sistema e introdurre delle azioni correttive per modificare i risultati nel caso che la causa straordinaria di variazione si verifichi un altra volta. CARTE DI CONTROLLO PER LA PROPORZIONE DI PEZZI DIFETTOSI: LA CARTA p 67

FIGURA 14.4 Carta p ottenuta con Microsoft Excel sulla proporzione di spugne difettose. Esercizi del Paragrafo 14.4 14.1 I seguenti valori rappresentano l incidenza di pezzi difettosi sulla produzione per un periodo di 10 giorni. AMPIEZZA PEZZI AMPIEZZA PEZZI GIORNO CAMPIONARIA DIFETTOSI GIORNO CAMPIONARIA DIFETTOSI 1 100 12 6 100 14 2 100 14 7 100 15 3 100 10 8 100 13 4 100 18 9 100 14 5 100 22 10 100 16 (a) In quale giorno la produzione di pezzi difettosi risulta maggiore, in quale giorno risulta minore? (b) Calcolate i limiti di controllo superiore e inferiore. (c) Si osservano cause straordinarie di variazione? 14.2 I seguenti valori rappresentano l incidenza di pezzi difettosi sulla produzione per un periodo di 10 giorni. AMPIEZZA PEZZI AMPIEZZA PEZZI GIORNO CAMPIONARIA DIFETTOSI GIORNO CAMPIONARIA DIFETTOSI 1 111 12 6 88 14 2 93 14 7 117 15 3 105 10 8 87 13 4 92 18 9 119 14 5 117 22 10 107 16 68 CAPITOLO 12 APPLICAZIONI STATISTICHE AL CONTROLLO DELLA QUALITÀ E DELLA PRODUTTIVITÀ

DATASET RRSPC 14.3 (a) In quale giorno la produzione di pezzi difettosi risulta maggiore, in quale giorno risulta minore? (b) Calcolate i limiti di controllo superiore e inferiore. (c) Si osservano cause straordinarie di variazione? Si vuole monitorare la puntualità di una linea ferroviaria durante l ora di punta. A tal fine ogni mattina per un periodo di 4 settimane vengono considerati 235 treni e valutata la puntualità di ciascuno. Supponendo di considerare in ritardo il treno quando questo arriva a destinazione più di 5 minuti dopo l ora stabilita, si ottengono i seguenti dati: GIORNO RITARDI GIORNO RITARDI GIORNO RITARDI GIORNO RITARDI 1 17 6 23 11 21 16 18 2 25 7 16 12 23 17 23 3 22 8 24 13 67 18 24 4 27 9 20 14 24 19 26 5 32 10 36 15 35 20 35 DATASET MAILSPC 14.4 (a) Costruite una carta di controllo per la proporzione di treni in ritardo e dite se il processo si trova in stato di controllo statistico durante il periodo considerato. (b) Quali sarebbero le vostre conclusioni sapendo che la mattina del tredicesimo giorno si è verificata una grossa nevicata? (c) Come si modificherebbe la risposta data al punto (a) se il numero di treni in ritardo registrato nel tredicesimo giorno fosse 47 anziché 67? I seguenti dati riguardano una società privata di consegna postale. La società, che promette ai suoi clienti una consegna tempestiva (entro le ore 10.30), vuole monitorare l effettiva puntualità delle consegne effettuate in un periodo di 20 giorni. PACCHI PACCHI PACCHI ARRIVATI PACCHI ARRIVATI GIORNO CONSEGNATI DOPO LE 10:30 GIORNO CONSEGNATI DOPO LE 10:30 1 136 4 11 157 6 2 153 6 12 150 9 3 127 2 13 142 8 4 157 7 14 137 10 5 144 5 15 147 8 6 122 5 16 132 7 7 154 6 17 136 6 8 132 3 18 137 7 9 160 8 19 153 11 10 142 7 20 141 7 DATASET COLASPC (a) Costruite una carta di controllo per la proporzione di pacchi consegnati dopo il termine pattuito (ore 10.30). (b) Il processo deve essere considerato sotto controllo oppure fuori controllo? 14.5 Una società che fabbrica lattine di una bevanda analcolica ha registrato quotidianamente per il periodo di un mese il numero di lattine prodotte e il numero di lattine difettose. (a) Costruite una carta di controllo per la proporzione di lattine difettose e dite se il processo si trova in stato di controllo statistico durante il periodo considerato. (b) In quali direzioni dovrebbe muoversi il management volendo ridurre la proporzione di lattine difettose? CARTE DI CONTROLLO PER LA PROPORZIONE DI PEZZI DIFETTOSI: LA CARTA p 69

LATTINE PEZZI LATTINE PEZZI GIORNO PROPOSTE DIFETTOSI GIORNO PROPOSTE DIFETTOSI 1 5043 47 12 5314 70 2 4852 51 13 5097 64 3 4908 43 14 4932 59 4 4756 37 15 5023 75 5 4901 78 16 5117 71 6 4892 66 17 5099 68 7 5354 51 18 5345 78 8 5321 66 19 5456 88 9 5045 61 20 5554 83 10 5113 72 21 5421 82 11 5247 63 22 5555 87 DATASET TELESPC 14.6 Il responsabile di una società telefonica locale vuole monitorare il processo di raccolta delle richieste dei clienti per cambiamenti nelle tariffe e in generale nelle condizioni del contratto. GIORNO ORDINI ERRORI GIORNO ORDINI ERRORI GIORNO ORDINI ERRORI 1 690 80 2 676 88 3 896 74 4 707 94 5 694 70 6 765 95 7 788 73 8 794 103 9 694 100 10 784 103 11 812 70 12 759 83 13 781 64 14 682 64 15 802 72 16 831 91 17 816 80 18 701 96 19 761 78 20 851 85 21 678 65 22 915 74 23 698 68 24 821 72 25 750 101 26 600 91 27 744 64 28 698 67 29 820 105 30 732 1127 (a) Costruite una carta di controllo per la proporzione di ordini interpretati erroneamente dalla società e dite se il processo di accoglimento delle richieste si trova in stato di controllo statistico durante il periodo considerato. (b) Cosa proporreste al manager che voglia migliorare il servizio? 14.5 L ESPERIMENTO DELLA PALLINA ROSSA: IL SIGNIFICATO DI VARIABILITÀ Nella prima parte di questo capitolo si è cercato di spiegare la differenza fra fonti ordinarie e straordinarie di variabilità. Vediamo ora di esemplificare il concetto di variabilità con un esperimento diventato un classico del controllo di qualità: l esperimento della pallina rossa. Supponiamo di avere una scatola che contiene 4000 palline, di cui 3200 (80%) sono bianche e 800 (20%) sono rosse. I partecipanti all esperimento in questione tuttavia non conoscono la composizione della scatola. Una specie di deus ex machina spiega ai partecipanti lo scopo del gioco: ciascuno dovrà estrarre 50 palline dalla scatola, servendosi di una pala che contiene né più né meno 50 palline, e queste palline devono essere bianche, poiché quelle rosse sono considerate alla stregua di pezzi difettosi. Supponiamo che i lavoratori siano quattro e che si ottengano i seguenti numeri e percentuali di pezzi difettosi (palline rosse) in tre giorni consecutivi. 70 CAPITOLO 14 APPLICAZIONI STATISTICHE AL CONTROLLO DELLA QUALITÀ E DELLA PRODUTTIVITÀ

Tabella 14.2 Risultati dell esperimento della pallina rossa condotto su 4 lavoratori per 3 giorni GIORNO NOME 1 2 3 TOTALE NEI 3 GIORNI Alyson 9 (18%) 11 (22%) 6 (12%) 26 (17.33%) David 12 (24%) 12 (24%) 8 (16%) 32 (21.33%) Peter 13 (26%) 6 (12%) 12 (24%) 31 (20.67%) Sharyn 07 (14%) 09 (18%) 08 (16%) 024 (16.0%) Tot. per i quattro lavoratori Media ( X) 41 10.25 38 9.5 34 8.5 113 9.42 Proporzione 20.5% 19.0% 17.0% 18.83% Dalla tabella possiamo trarre subito un informazione cruciale, anche se può sembrare evidente: in ognuno dei 3 giorni si hanno lavoratori al di sopra e al di sotto della media. Il primo giorno il risultato migliore è ottenuto da Sharin e il peggiore da Peter, che nel giorno successivo si rivela il migliore ( produce solo 6 pezzi difettosi). Nel terzo e ultimo giorno la performance più elevata è ottenuta da Alyson. Come può essere spiegata questa variabilità? Proviamo a costruire una carta di controllo (Carta p in questo caso) utilizzando gli strumenti appresi nel paragrafo precedente. Applicando l equazione (14.2) ai dati della tabella si ha: Quindi: Di conseguenza abbiamo: Cioè: e k 4 lavoratori 3 giorni 12, n 50, e k p 113 (50)12 0.1883 p) p 3 p(1 n 0.1883) 0.1883 3 0.1883(1 50 0.1883 0.1659 UCL 0.1883 0.1659 0.3542 LCL 0.1883 0.1659 0.0224 Una semplice osservazione della carta di controllo ci assicura che la variabilità osservata è del tutto intrinseca al processo e quindi il risultato di cause ordinarie (o fattori casuali) di variazione. i 1 X i 113 L ESPERIMENTO DELLA PALLINA ROSSA: IL SIGNIFICATO DI VARIABILITÀ 71

UCL.30 Proporzione a pallina rossa.20.10 p.1883 LCL 0 Alyson Peter Alyson Peter Alyson Peter David Sharyn David Sharyn David Sharyn FIGURA 14.4 Carta p per l esperimento della pallina rossa. Insegnamenti tratti dall esperimento della pallina rossa 1. Ciascun processo ha una variabilità intrinseca. 2. I lavoratori operano all interno di un sistema sul quale hanno pochissimo controllo. È proprio il sistema a determinare per la maggior parte la performance dei lavoratori. 3. Solo il management può cambiare radicalmente il sistema. 4. Si avranno sempre lavoratori sotto la media e lavoratori sopra la media. 14.6 CARTE DI CONTROLLO PER IL RANGE (R) E PER LA MEDIA (X) In questo paragrafo svilupperemo carte di controllo per processi rappresentati da dati quantitativi. Tale carte vengono dette carte di controllo per variabile e sono sicuramente più complete e accurate rispetto a quelle presentate per l analisi di dati categorici. Tipicamente, le carte di controllo per dati quantitativi vengono sviluppate in coppia: una ha lo scopo di monitorare la variabilità del processo (e deve essere analizzata per prima se si vogliono evitare errori) e l altra riguarda la media del processo. Perché un processo possa essere considerato sotto controllo è necessario che entrambe le carte non presentino valori esterni ai limiti di controllo. La letteratura ha sviluppato diversi tipi di carte di controllo per dati quantitativi (riferimenti bibliografici 7, 10 e 13); fra queste si è scelto di presentare le due carte più tipiche, per lo studio del range (o intervallo di variazione, cfr. paragrafo 3.1) e della media del processo. 72 CAPITOLO 14 APPLICAZIONI STATISTICHE AL CONTROLLO DELLA QUALITÀ E DELLA PRODUTTIVITÀ

La Carta R: una carta di controllo per la dispersione La carta di controllo sul range del processo permette di effettuare un analisi preliminare delle cause di variabilità: la presenza di valori esterni ai limiti di controllo in questa carta segnala l esistenza di fonti straordinarie di variabilità, le quali devono essere identificate ed eliminate prima di continuare nell analisi. In caso contrario, se cioè la carta R non presenta situazioni fuori controllo, è possibile procedere alla costruzione della carta di controllo intorno alla media. Per costruire i limiti di controllo intorno al range occorre stimare il range medio e lo scarto quadratico medio del range. Come è possibile osservare nell equazione (14.4), tali limiti di controllo dipendono da due fattori: il fattore d 2, che rappresenta la relazione fra lo scarto quadratico medio e il range nel caso di ampiezze campionarie variabili, e il fattore d 3, che rappresenta la relazione tra lo scarto quadratico medio e lo standard error del range nel caso di campioni di ampiezza variabile. Potete trovare i valori specifici di questi fattori nella Tabella E.8. Si hanno così i seguenti limiti di controllo per il range calcolati su un intervallo di tempo di k periodi. Limiti di controllo per il range R 3R d 3 d 2 (14.4) E quindi si ha: Limiti di controllo superiore e inferiore per il range UCL R 3R d 3 d 2 LCL R 3R d 3 d 2 (14.5a) (14.5b) dove: R i range di n osservazioni per il sottogruppo i k numero di sottogruppi nell'intervallo di tempo, ciascuno di ampiezza n R k R i i 1 k I calcoli possono essere semplificati con l introduzione dei fattori D 4 = 1 + 3(d 3 /d 2 ) e D 3 = 1 3(d 3 /d 2 ): Limiti di controllo superiore e inferiore per il range UCL D 4 R LCL D 3 R (14.6a) (14.6b) CARTE DI CONTROLLO PER IL RANGE (R) E PER LA MEDIA (X _ ) 73

Come applicazione della Carta R, riprendiamo l esempio relativo al controllo di qualità presso un albergo. Consideriamo ora la variabile tempo necessario per consegnare il bagaglio in camera. Tale variabile viene registrata per un periodo di 4 settimane e in relazione a campioni di 5 consegne per ogni giorno dell analisi (Tabella 14.3). DATASET HOTEL 2 Tabella 14.3 Media e range campionari sulla variabile tempo di consegna calcolati per un periodo di 4 settimane MEDIA RANGE MEDIA RANGE CAMPIONARIA CAMPIONARIO CAMPIONARIA CAMPIONARIO GIORNO Xi (IN MINUTI) R i (IN MINUTI) GIORNO Xi (IN MINUTI) R i (IN MINUTI) 1 5.32 3.85 15 5.21 3.26 2 6.59 4.27 16 4.68 2.92 3 4.88 3.28 17 5.32 3.37 4 5.70 2.99 18 4.90 3.55 5 4.07 3.61 19 4.44 3.73 6 7.34 5.04 20 5.80 3.86 7 6.79 4.22 21 5.61 3.65 8 4.93 3.69 22 4.77 3.38 9 5.01 3.33 23 4.37 3.02 10 3.92 2.96 24 4.79 3.80 11 5.66 3.77 25 5.03 4.11 12 4.98 3.09 26 5.11 3.75 13 6.83 5.21 27 6.94 4.57 14 5.27 3.84 28 5.71 4.29 Sui nostri dati: Quindi, Dalla Tabella E.8 n 5, otteniamo d 2 2.326 e d 3 0.864. Applicando le equazioni (14.4) e (14.5) si ha: 3.729 3 (0.864)(3.729) 2.326 3.729 4.155 Quindi: ma k 28 e k R 104.41 28 3.729 UCL 3.729 4.155 7.884 LCL 3.729 4.155 0.426 Poiché quest ultimo valore è negativo possiamo affermare che il limite inferiore di controllo non esiste. Alternativamente, applicando le equazioni (14.6a) e (14.6b) e consultando la Tabella E.8, otteniamo i valori: D 4 2.114 e D 3 0. Quindi: UCL (2.114)(3.729) 7.883 i 1 R i 104.417 74 CAPITOLO 14 APPLICAZIONI STATISTICHE AL CONTROLLO DELLA QUALITÀ E DELLA PRODUTTIVITÀ

FIGURA 14.6 Carta R ottenuta in Microsoft Excel sui tempi di consegna dei bagagli in un albergo. e LCL non esiste. Notiamo che il limite di controllo inferiore per il range non esiste in quanto il range non può assumere valori negativi. Nella Figura 14.6 è rappresentata la Carta R. Osserviamo che, dal punto di vista della variabilità, il sistema può definirsi sotto controllo : nessun range è esterno ai limiti di controllo. La carta X Una volta appurato che il processo è sotto controllo dal punto di vista della Carta R, è possibile passare alla valutazione del processo dal punto di vista della media. La carta di controllo per la media del processo (Carta ) è costruita sulla base di k sottogruppi (ciascuno per ogni istante temporale), ognuno composto da n unità. Per calcolare i limiti di controllo della media, è necessario determinare la media delle medie relative ai sottogruppi (che indicheremo con X) e la deviazione standard delle medie dei sottogruppi medesimi X. Tali limiti di controllo dipenderanno dal fattore d 2 che rappresenta la relazione fra la deviazione standard e il range al variare delle ampiezze campionarie dei sottogruppi. Infine, come stima della deviazione standard si è soliti considerare il range quando l ampiezza dei sottogruppi è minore o uguale a 10 (riferimenti bibliografici 7, 10 e 13). Si hanno quindi i seguenti limiti di controllo per la Carta X. Limiti di controllo per la media dove X 3 R d 2 n (14.7) X k X i i 1 k R k R i i 1 k X i media campionaria delle n osservazioni nel sottogruppo i R i range delle n osservazioni nel sottogruppo i k numero di sottogruppi CARTE DI CONTROLLO PER IL RANGE (R) E PER LA MEDIA (X _ ) 75

E quindi si ha: Limiti di controllo superiore e inferiore per la media R UCL X 3 d 2 n R LCL X 3 d 2 n (14.8a) (14.8b) I calcoli possono essere semplificati con l introduzione del fattore A 2 = 3/(d 2 n). 7 UCL X A 2 R LCL X A 2 R (14.9a) (14.9b) Ritornando all esempio relativo ai tempi di consegna dei bagagli in un albergo, abbiamo: Di conseguenza: Dalla Tabella E.8 n 5, otteniamo d 2 2.326. Quindi, applicando l equazione (14.7), si ha: 3729 5356 3 (2326) 5 5356 2151 e infine: e k 28, X 149.97 28 k X i 149.97, e k R i 104.41 i 1 i 1 5356 e R 104.41 28 UCL 5356 2151 7507 LCL 5356 2151 3205 3729 Alternativamente, applicando le equazioni (14.9a) e (14.9b) e consultando la Tavola E.8, otteniamo A 2 0.577 e UCL 5356 (0.577)(3729) 5356 2152 7508 LCL 5356 (0.577)(3729) 5356 2152 3204 I risultati, a parte gli arrotondamenti, sono del tutto analoghi. A questo punto è possibile affermare che il sistema è sotto controllo, visto che le carte di controllo intorno al range e intorno alla media non presentano valori esterni ai limiti calcolati. Il sistema è comunque soggetto a una variabilità intrinseca e l unico modo per ridurla è modificare radicalmente il processo medesimo, mentre agire sui singoli valori si rivelerebbe inefficace. 76 CAPITOLO 14 APPLICAZIONI STATISTICHE AL CONTROLLO DELLA QUALITÀ E DELLA PRODUTTIVITÀ

FIGURA 14.7 Carta X ottenuta in Microsoft Excel sui tempi di consegna dei bagagli in un albergo. Esercizi del paragrafo 14.6 DATASET BULBLIFE 14.7 Considerati sottogruppi di ampiezza n 4, dire qual è il valore (a) del fattore d 2 (d) del fattore D 4 (b) del fattore d 3 (e) del fattore A 2 (c) del fattore D 3 14.8 Nella Tabella seguente si riportano la media e il range della durata di un gruppo di 150 lampadine divise in 30 sottogruppi di 5 lampadine ciascuno. MEDIA PER RANGE MEDIA PER RANGE SOTTOGRUPPO R i PER SOTTOGRUPPO R i PER SOTTOGRUPPO X i SOTTOGRUPPO SOTTOGRUPPO X i SOTTOGRUPPO 1 790 52 16 845 42 2 845 56 17 891 38 3 857 116 18 859 65 4 846 89 19 826 70 5 843 65 20 828 37 6 877 73 21 854 52 7 861 38 22 847 49 8 891 84 23 868 40 9 866 76 24 851 43 10 816 72 25 870 64 11 806 61 26 857 53 12 835 55 27 851 59 13 797 59 28 834 68 14 803 47 29 842 57 15 818 69 30 825 74 CARTE DI CONTROLLO PER IL RANGE (R) E PER LA MEDIA (X _ ) 77

DATASET WAREHSE 14.9 (a) Costruite la carta di controllo per il range. (b) Costruite la carta di controllo per la durata media (c) Sulla base dei risultati dei punti (a) e (b) quali conclusioni potete trarre sul processo? Il responsabile del magazzino di una azienda sovrintende a un processo consistente nella ricezione di costose componenti e nella restituzione al magazzino centrale La velocità nella ricezione e nel rinvio è un elemento cruciale per la buona riuscita del processo e per il contenimento delle spese. Di seguito si riportano i dati relativi al numero di unità gestite da sottogruppi di 5 impiegati per un periodo di 30 giorni. IMPIEGATO IMPIEGATO GIORNO 1 2 3 4 5 GIORNO 1 2 3 4 5 1 114 499 106 342 55 16 181 191 182 444 124 2 219 319 162 44 87 17 52 190 310 245 156 3 64 302 38 83 93 18 90 538 277 308 171 4 258 110 98 78 154 19 78 587 147 172 299 5 127 140 298 518 275 20 45 265 126 137 151 6 151 176 188 268 77 21 410 227 179 298 342 7 24 183 202 81 104 22 68 375 195 67 72 8 41 249 342 338 69 23 140 266 157 92 140 9 93 189 209 444 151 24 145 170 231 60 191 10 111 207 143 318 129 25 129 74 148 119 139 11 205 281 250 468 79 26 143 384 263 147 131 12 121 261 183 606 287 27 86 229 474 181 40 13 225 83 198 223 180 28 164 313 295 297 280 14 235 439 102 330 190 29 257 310 217 152 351 15 91 32 190 70 150 30 106 134 175 153 69 DATASET AUTOREP 14.10 (a) Costruite i diagrammi di controllo del range e della media. (b) Alla luce dei risultati ottenuti in (a) stabilite se il processo è sotto controllo. Il manager di una grande concessionaria di automobili intende analizzare il tempo impiegato per effettuare un tipo di riparazione. Si seleziona un sottogruppo di 10 automobili che necessitano di tale riparazione ogni giorno per un periodo di 4 settimane. Si riportano di seguito i dati rilevati relativi al tempo di riparazione. SOTTOGRUPPO SOTTOGRUPPO X i GIORNO MEDIA RANGE R i GIORNO MEDIA RANGE R i 1 3.73 5.23 11 3.64 5.37 2 3.16 4.82 12 3.27 4.42 3 3.56 4.98 13 3.16 4.85 4 3.01 4.28 14 3.39 4.44 5 3.87 5.74 15 3.85 5.06 6 3.90 5.42 16 3.90 4.99 7 3.54 4.08 17 3.72 4.67 8 3.32 4.55 18 3.51 4.37 9 3.29 4.48 19 3.34 4.53 10 3.83 5.09 20 3.99 5.28 X i (a) (b) Costruite gli opportuni diagrammi di controllo e stabilite se il processo del tempo di riparazione è sotto controllo. Cosa si dovrebbe fare se si volesse ridurre il tempo di riparazione? 78 CAPITOLO 14 APPLICAZIONI STATISTICHE AL CONTROLLO DELLA QUALITÀ E DELLA PRODUTTIVITÀ

14.7 LA CAPACITÀ DEL PROCESSO Dopo aver introdotto i diagrammi di controllo possiamo passare ad analizzare le cause ordinarie di variazione presenti in un processo sotto controllo. Più precisamente ci domandiamo se le cause ordinarie di variazione sono tanto piccole da poter ritenere che la maggior parte dei nostri clienti sia soddisfatta. Per poter rispondere a questa domanda è necessario analizzare la capacità di un processo. Sebbene i metodi che consentono di procedere a tale analisi siano molteplici (riferimenti bibliografici 2 e 13) ci limiteremo in questa sede a considerarne uno solo che, tuttavia, consente di valutare facilmente la percentuale di prodotti e servizi che possono soddisfare la nostra clientela. A tale scopo useremo i risultati relativi ai diagrammi di controllo introdotti del paragrafo precedente e i risultati relativi alla distribuzione normale standardizzata presentati nel Capitolo 6. Customer satisfaction e specificazione dei limiti È il cliente a stabilire la qualità di un servizio o di un prodotto. Il management di un azienda deve prestare ascolto al cliente per poterne tradurre i bisogni e le aspettative in caratteristiche facilmente misurabili. Il management determina poi i limiti della specificazione di queste caratteristiche. I limiti di specificazione rappresentano le specificazioni tecniche che il management fissa in risposta ai bisogni e alle aspettative dei consumatori. Il limite di specificazione superiore (USL) è il più grande dei valori che una caratteristica oggetto di analisi può assumere conformemente alle aspettative del consumatore. Il limite di specificazione inferiore (LSL) è il più piccolo dei valori che una caratteristica di interesse può assumere conformemente alle aspettative del consumatore. Ad esempio un produttore di sapone sa che il consumatore desidera che il sapone produca della schiuma, ma sa anche che il consumatore non sarebbe soddisfatto se il sapone ne producesse troppa o troppo poca. I tecnici della produzione sanno che l ammontare di schiuma prodotta da un sapone dipende dal livello di acidi grassi liberi contenuti. Pertanto il manager addetto al processo di produzione stabilisce, grazie alle informazioni fornite dai tecnici, il limite superiore e il limite inferiore per l ammontare di acidi grassi che il sapone prodotto dovrà contenere. Torniamo all Applicazione relativa alla qualità del servizio alberghiero. Sappiamo che i clienti desiderano che i propri bagagli siano consegnati il più presto possibile e pertanto il management dell albergo fissa un limite superiore (USL) per il tempo di consegna. In questo caso il limite inferiore (LSL) non è rilevante. Se un processo soddisfa i limiti superiori e inferiori si dice che è capace di soddisfare il cliente. La capacità del processo si riferisce alla capacità che lo stesso ha di soddisfare le richieste dei clienti. La capacità di un processo può essere valutata stimando la percentuale di prodotti le cui caratteristiche rientrano nei limiti superiore e inferiore. A tale scopo è necessario che il processo in esame sia sotto controllo. Se il processo in considerazione non è sotto controllo dobbiamo prima identificare e eliminare le cause di variabilità e solo successivamente possiamo passare a valutarne la capacità. LA CAPACITÀ DEL PROCESSO 79

Per stimare la percentuale di prodotti o servizi che rientrano nelle specificazioni, dobbiamo in primo luogo poter stimare la media e lo scarto quadratico medio della popolazione di tutti i valori della caratteristica del prodotto, X, oggetto di analisi. Lo stimatore della media della popolazione X, è la media di tutte le medie campionarie (come specificato nell equazione (14.7)). Per stimare lo scarto quadratico medio della popolazione useremo R diviso per d 2. X e R si possono ottenere rispettivamente dalla carta X e dalla carta R mentre d 2 si ricava dalla Tavola E.8. Noi supporremo che la popolazione dei valori X abbia una distribuzione normale (riferimento bibliografico 2 per il caso in cui i dati non hanno una distribuzione approssimativamente normale). Se il processo è sotto controllo e la popolazione X ha una distribuzione normale, possiamo stimare la probabilità che il risultato di un processo rientri nelle specificazioni. Stima della Capacità di un processo Per una caratteristica di cui si possa individuare un limite inferiore di specificazione e un limite superiore si ha: P(il risultato di un processo rientra nelle specificazioni) P(LSL X USL) P LSL X R/d 2 Z USL X R/d 2 (14.10a) Per una caratteristica di cui si possa individuare solo un limite superiore di specificazione: P(il risultato di un processo rientra nelle specificazioni) P(X USL) P Z USL X (14.10b) R/d 2 Per una caratteristica di cui si possa individuare solo un limite inferiore di specificazione: P(il risultato di un processo rientra nelle specificazioni) P(LSL X) P LSL X Z (14.10c) R/d 2 dove Z è una variabile normale standardizzata. Nel Paragrafo 14.6 abbiamo stabilito che il processo di consegna dei bagagli è sotto controllo. Supponete ora che il direttore dell albergo stabilisca che il 99% delle consegne devono essere completate al massimo in 10 minuti. In questo caso: n 5 X 5.356 R 3.729 and d 2 2.326 Pertanto P(la consegna rientri nelle specificazioni) (P(X 10) P Z P(Z 2.90) 0.9981 10 5356 3729/2326 80 CAPITOLO 14 APPLICAZIONI STATISTICHE AL CONTROLLO DELLA QUALITÀ E DELLA PRODUTTIVITÀ

Riteniamo che il 99.81% delle consegne dei bagagli sarà realizzato entro i limiti di tempo specificati. Il processo è capace di soddisfare l obiettivo del 99% delle consegne fissato dal manager. Esercizi del paragrafo 14.7 DATASET TENSILE 14.11 Prendete in considerazione un processo sotto controllo caratterizzato dai seguenti valori: n 3, X 100, e R 3386, Calcolate la percentuale di risultati che rientrano nelle specificazioni se: (a) LSL 98 e USL 102. (b) LSL 93 e USL 107.5. (c) LSL 93.8 e non vi è USL. (d) USL 110 e non vi è LSL. 14.12 I dati riportati nella seguente tabella si riferiscono alla resistenza alla tensione di tessuti per abiti. I dati sono divisi in sottogruppi di dimensione 3. Non vi è USL, mentre LSL è 13. TESSUTO TESSUTO ORA 1 2 3 ORA 1 2 3 1 15.06 14.62 15.10 14 16.29 14.61 15.67 2 17.58 15.75 16.72 15 15.84 12.16 15.40 3 13.83 14.83 15.61 16 15.12 15.60 13.83 4 17.19 15.75 15.42 17 18.48 16.07 16.31 5 14.56 15.37 15.67 18 17.55 14.73 16.95 6 14.82 17.25 15.73 19 13.57 17.55 15.81 7 17.92 14.76 14.40 20 16.23 16.92 16.45 8 16.53 14.52 17.31 21 14.60 16.83 15.34 9 13.83 14.53 15.32 22 16.73 18.60 16.76 10 16.45 13.85 16.32 23 18.03 14.55 13.87 11 15.20 14.61 18.45 24 16.61 16.45 16.95 12 14.49 16.15 17.80 25 15.86 17.00 18.28 13 15.89 15.04 16.67 RIEPILOGO DEL CAPITOLO (a) Costruite la carta di controllo del range. (b) Costruite la carta di controllo della media. (c) Il processo è sotto controllo? (d) Se il processo è sotto controllo, stimate la percentuale di tessuti che rientra nelle specificazioni. Come potete osservare dalla tabella riassuntiva, in questo capitolo abbiamo affrontato i temi del controllo di qualità e della produzione alla luce dell approccio di Deming e mediante l introduzione di diversi tipi di diagrammi di controllo. Rimandiamo ai riferimenti bibliografici 1, 3, 4, 6 10, 14, 20 e 21 i lettori interessati all approccio di Deming e ai riferimenti bibliografici 7, 10 e 13 coloro che sono interessati alle procedure che si avvalgono delle carte di controllo. RIEPILOGO DEL CAPITOLO 81