www.matefilia.it ORDINAMENTO 8 - SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO Si determini la distanza delle due rette parallele: 3x + y 3, 6x + y + 5 La distanza richiesta è data dalla distanza di un punto di una delle due rette dall altra retta. Scegliamo sulla prima retta il punto P ( ; ). La distanza di P dalla seconda retta è data da: d ax + by + c 6 + 5 a + b 36 + 4 La distanza tra due rette è dunque uguale a. QUESITO Un trapezio rettangolo è circoscritto ad una semicirconferenza di raggio r in modo che la base maggiore contenga il diametro. Si calcoli in gradi e primi (sessagesimali) l ampiezza x dell angolo acuto del trapezio, affinché il solido da esso generato in una rotazione completa attorno alla base maggiore abbia volume minimo. / 8
Il solido richiesto è formato dal cilindro con raggio di base ACAFr e altezza AH e dal cono con raggio di base DHr e altezza HE. Risulta: HE DH cotgx r cotgx, FE DE DH r, FH FE HE r r cotgx r cosx r( cosx) r, AH AF + FH r + r( cosx) r( + cosx) V(cilindro) π AC AH π r r( + cosx) πr 3 V(cono) 3 π DH HE 3 π r r cotgx 3 π r3 cotgx + cosx Il volume del solido è quindi: V πr 3 + cosx πr 3 ( 3+3 3cosx+cosx 3 + 3 π r3 cotgx πr 3 + cosx ( + cosx 3 ) ) πr 3 ( 3+3 cosx ) che è minimo se lo è: 3 y 3 + 3 cosx 3, con < x π y ( cos(x) + 3 ) (cosec(x)) se ( cos(x) + 3 ), cosx 3 / 8
Quindi la funzione è crescente se α < x < π, con α arccos(/3) ed è decrescente se < x < a : quindi α arccos(/3) è punto di minimo relativo (e assoluto). Il volume del solido è quindi minimo se: x arccos(/3).84 rad 48.9 48 QUESITO 3 Si determinino le equazioni degli asintoti della curva: f(x) x + + x + x + Poiché x + x + > x, il dominio della funzione è < x < + ; la curva non potrà avere asintoti obliqui (è continua in tutto il suo dominio). Analizziamo i limiti all infinito. lim x ( x + + x + x + ) + ; vediamo se ha asintoto obliquo: Per x risulta f(x)~ x + x x, quindi m ; lim x (f(x) mx) x ( x + + x + x + + x) (x + + (x + + x x + x + ) (x + x + x + ) + x + ) x x x + x + x + (x + ) (x + x + ) x x x x q. Quindi per x c è l asintoto obliquo di equazione y x. lim x + ( x + + x + x + ) [F. I. ] lim ( x + + ( x + + x x + x + )( x + x + x + ) + x + ) x + x + x + x + x + ( x + ) (x + x + ) 4x x + x x + x 3 / 8
Quindi per x + c è l asintoto orizzontale di equazione y. QUESITO 4 Si calcoli il limite della funzione: cosx cosx cosx, quando x tende a. cosx cosx lim [F. I. x cosx ] cosx cosx cosx cos x + (cosx + )( cosx) lim x cosx x cosx x cosx lim x (cosx + ) 3 QUESITO 5 Si calcoli il valore medio della funzione f(x) log(x + + x ) nell intervallo x. Il valor medio f(c) è dato da: Integrando per parti si ottiene: f(c) b a f(x)dx b a log (x + + x ) dx log (x + + x ) dx (x) log (x + + x ) dx 4 / 8
Quindi: log (x + + x ) dx [x log (x + + x ) + x ] (log( + ) ) ( ) log( + ) +.467 valor medio QUESITO 6 Si sechi il solido di una sfera con un piano, in modo che il circolo massimo sia medio proporzionale fra le superficie appianate delle calotte nelle quali rimane divisa la sfera. Ricordiamo che l area della calotta di altezza h della sfera di raggio r è uguale a: A πrh Le due calotte individuate dal piano secante hanno aree: A πrh e A π(r h), consideriamo h r Il circolo massimo ha area: πr. Dovrà essere: πrh: πr πr : πr(r h) π r 4 4π r h(r h) r 4h( r h) 4h 8rh + r h r(± 3), h r( 3).3 r, h r(+ 3).87 r Le due calotte hanno quindi altezze h r( 3).3 r e h r(+ 3).87 r. 5 / 8
QUESITO 7 La regione finita di piano delimitata dalla curva di equazione y e x (x + ) e dall asse x nell intervallo x è la base di un solido S le cui sezioni sono tutte esagoni regolari. Si calcoli il volume di S. Tracciamo un grafico qualitativo della funzione: y e x (x + ). Il volume richiesto è dato da: V A(x)dx, dove A(x) è l area dell esagono regolare di lato CD f(x). L apotema a dell esagono è data da: a f(x) 3, quindi: A(x) p a 3f(x) f(x) 3 3 3 (f(x)). Quindi: V A(x)dx V 3 3 (f(x)) dx 3 3 (ex (x + )) dx 3 3 ex (x + ) dx ; cerchiamo, integrando per parti, una primitiva di e x (x + ). e x (x + ) dx (e x ) (x + ) dx e x (x + ) e x ((x + ))dx e x (x + ) [ (e x ) (x + )dx] e x (x + ) [e x (x + ) e x dx] 6 / 8
e x (x + ) e x (x + ) + e x + k e x (x + ) + k Quindi: V 3 3 ex (x + ) dx 3 3[ex (x + )] 3 3(e ) u3.57 u 3 QUESITO 8 Si stabilisca per quali valori del parametro reale k esiste una piramide triangolare regolare tale che k sia il rapporto fra il suo apotema e lo spigolo di base. Il triangolo di base ABC è equilatero; sia l il suo lato. Risulta: HZ 3 AZ 3 (l 3 ) l 3 (H è anche baricentro, quindi AH HZ) 6 Il rapporto fra apotema è spigolo di base è dato da: VZ BC VZ BZ VZ BZ tg(vb Z) k L angolo è compreso fra 3 (quando VH, piramide di altezza nulla) e 9 (quando l altezza tende all infinito); quindi: 3 VB Z < 9 3 3 tg(vb Z) < + 3 6 tg(vb Z) < + Pertanto deve essere: k 3 6. QUESITO 9 Si scriva l equazione della tangente al diagramma della funzione: f(x) (x + ) nel punto P di ascissa x π/. La tangente richiesta ha equazione: y f ( π ) f (π ) (x π ) 7 / 8
Calcoliamo la derivata della funzione, che riscriviamo nel seguente modo: f(x) (x + ) e ln(x +) e ln (x +) f (x) e ln (x +) [(cosx) ln(x + ) + Pertanto: f ( π ) (π 4 x x + ] π + ) [ π ] π+4 4π π. 4 + 4 π +4 Essendo f ( π ) π +, la tangente ha equazione: 4 y π 4 π (x π π ) y πx + 4 QUESITO Dato un sistema di riferimento cartesiano (ortogonale monometrico) in un piano, si dica che cosa rappresenta l insieme dei punti P( + t, + t ), ottenuto al variare di t nei reali. Il luogo ha equazioni parametriche: { x + t y + t y x con x e y L insieme dei punti P( + t, + t ) rappresenta una semiretta: Con la collaborazione di Angela Santamaria, Simona Scoleri e Stefano Scoleri 8 / 8