Rette e piani in R 3

Rette e piani in R 3 In questa dispensa vogliamo introdurre in modo elementare rette e piani nello spazio R 3 (si faccia riferimento anche al testo Algebra Lineare di S. Lang). 1 Rette in R 3 Vogliamo descrivere, tramite equazioni, il luogo geometrico dei punti corrispondenti ad una retta r passante per un punto P 0 = (x 0,y 0,z 0 ) con direzione data dal vettore v = (v 1,v 2,v 3 ) nello spazio R 3. In forma concisa, aiutandoci con un disegno, possiamo subito scrivere: (x,y,z) = (x 0,y 0,z 0 )+t(v 1,v 2,v 3 ) (1) (1) si dice l equazione vettoriale della retta r. In altre parole, il punto generico P su r differisce da P 0 per un multiplo del vettore v. Scriviamo PP 0 per indicare il vettore differenza tra P 0 e P e cioe PP 0 = P P 0. Piu estesamente abbiamo: x = x 0 +tv 1 y = y 0 +tv 2 (2) z = z 0 +tv 3 Le equazioni in (2) si dicono equazioni parametriche della retta r. Il vettore v si dice vettore direttore o direzione. Notiamo che il vettore v individua una direzione, cioe tutti i vettori multipli non nulli di v possono essere utilizzati equivalentemente per definire la stessa retta. Vediamo un esempio concreto. Esempio 1.1. Si scriva la forma parametrica della retta r per il punto P 0 = (1,0 1) con vettore direzione v = (2,1, 1) e si dica se r e parallela alla rettar datadalleequazioni parametriche (x,y,z) = (2,0, 3)+t ( 4, 2,2). Sostituendo nelle equazioni parametriche (2) abbiamo subito che i punti della retta r corrispondono alle soluzioni del sistema lineare: x = 1+2t y = t (3) z = 1 t 1

Ledueretteredr hannolastessa direzione, inquanto ilvettoredirettore di r, v = (2,1, 1) e un multiplo del vettore direttore di r, v = ( 4, 2,2). Quindi le due rette sono parallele o coincidenti. Per stabilire la loro posizione reciproca e sufficiente verificare se il punto P 0 appartiene o meno alla retta r, cioe se esiste un valore del parametro t tale che (1,0, 1) = (2,0, 3)+ t ( 4, 2,2). Lasciamo per esercizio la facile verifica che tale valore non esiste. Dunque le due rette date sono parallele e non coincidenti. Vediamo un altro esempio. Esempio 1.2. Si scriva la forma parametrica della retta ˆr per i punti P = (3,1, 2) e Q = (5,2, 3). Un vettore direttore di ˆr si ottiene facendo la differenza tra le coordinate di P e Q: v = (2,1, 1). Dunque ˆr e data da: x = 3+2ˆt y = 1+ˆt (4) z = 2 ˆt ove abbiamo scelto P 0 = P da sostituire nella formula (2) (avremmo benissimo potuto scegliere Q). Ci chiediamo ora se la retta ˆr sia parallela o coincidente con la retta r dell esempio precedente, dato che hanno lo stesso vettore direttore. Un rapido calcolo mostra che Q appartiene a r e dunque le due rette sono coincidenti. Questi esempi mostrano che la forma parametrica di una retta data non e unica: possiamo infatti cambiare il punto P 0 = (x 0,y 0,z 0 ) usato nella rappresentazione (2), scegliendolo arbitrariamente tra tutti i punti (infiniti) della retta, oppure possiamo moltiplicare il parametro t per una costante arbitraria non nulla: in entrambi i casi la retta descritta non cambia, anche se le sue equazioni parametriche possono assumere un aspetto diverso. Vediamo ora un modo equivalente di descrivere i punti di una retta in R 3 senza fare ricorso ad un parametro. Date le equazioni parametriche di una retta, e sempre possibile ricavare il parametro t da una delle equazioni e, sostituendolo nelle altre due, ottenere equazioni nelle sole incognite x, y, z. Tali equazioni si dicono le equazioni cartesiane della retta data. Vediamo un esempio. Esempio 1.3. Vogliamo scrivere in forma cartesiana la retta r dell Esempio 1.1. In questo caso e molto semplice; poiche t = y, basta sostituire t al posto di y direttamente nelle altre equazioni: 2

{ x = 1+2y z = 1 y Dunque x 2y 1 = 0 e y+z+1 = 0 sono le equazioni cartesiane della retta r. 2 Piani in R 3 In modo analogo a quanto abbiamo visto nella sezione precedente possiamo scrivere le equazioni che rappresentano il luogo geometrico dei punti appartenenti ad un piano individuato da un punto P 0 = (x 0,y 0,z 0 ) e con due vettori direttori u = (u 1,u 2,u 3 ) e v = (v 1,v 2,v 3 ) che non siano uno multiplo dell altro. Sinteticamente scriviamo: o piu estesamente: (x,y,z) = (x 0,y 0,z 0 )+t(u 1,u 2,u 3 )+s(v 1,v 2,v 3 ) (5) x = x 0 +tu 1 +sv 1 y = y 0 +tu 2 +sv 2 (6) z = z 0 +tu 3 +sv 3 Le equazioni in (6) si dicono equazioni parametriche del piano dato. Si noti che mentre le equazioni parametriche di una retta (vedi (2)) dipendono da un solo parametro t, le equazioni parametriche di un piano dipendono da due parametri t ed s. Intuitivamente cio corrisponde al fatto che mentre lungo una retta possiamo muoverci in una sola direzione (suggestivamente v si puo pensare come la velocita e t il tempo), nel piano abbiamo due gradi di liberta e quindi possiamo muoverci secondo tutte le combinazioni possibili dei due vettori direzione u e v attraverso i due parametri t ed s. In modo analogo a quanto abbiamo visto per le rette possiamo trasformare le equazioni parametriche di un piano ricavando t ed s da due equazioni e sostituendoli nella terza, ottenendo cosi una sola equazione. Invece che procedere direttamente alla sostituzione, vogliamo ragionare geometricamente, per arrivare ad ottenere una singola equazione quale descrizione di un piano dato. 3

Sia n = (a,b,c) un vettore applicato nell origine. Il luogo geometrico dei punti rappresentanti un piano per un dato punto P 0 = (x 0,y 0,z 0 ) e perpendicolare al vettore n si ottiene imponendo che il punto generico P = (x,y,z) del piano soddisfi l equazione: n P 0 P = 0 ove e il prodotto scalare tra il vettore n e il vettore P 0 P = (x x 0,y y 0,z z 0 ). Invitiamo il lettore a fare un disegno in R 3 per convincersi. Ricordiamo inoltre un fatto ben noto dalle scuole superiori: due vettori sono perpendicolari se e solo se il loro prodotto scalare e nullo. Piu estesamente scriviamo tale equazione come: a(x x 0 )+b(y y 0 )+c(z z 0 ) = 0 (7) L equazione (7) si dice l equazione cartesiana del piano dato e il vettore n si dice normale al piano. Vediamo qualche esempio. Esempio 2.1. Vogliamo determinare in forma parametrica e in forma cartesiana il piano passante per il punto P = (3,1,0) con vettore normale n = (3, 2, 5). Immediatamente dalla formula(7) otteniamo l equazione del piano in forma cartesiana: 3(x 3)+2(y 1) 5z = 0 = 3x+2y 5z = 11 Per ottenere le equazioni del piano in forma parametrica procediamo in modo simile a quanto abbiamo visto per le rette: assegniamo a due variabili (in modo arbitrario) i valori dei parametri t ed s e sostituiamo nell equazione cartesiana: x = 11 2t+3s y = t z = s Vediamo un altro esempio piu complicato. Esempio 2.2. Vogliamo determinare in forma parametrica e in forma cartesiana il piano passante per i tre punti: P = (1,0, 1), Q = (2,2,1), R = (4, 1, 2). Innanzitutto determiniamo due vettori direttori: PQ = Q P = (1,2,2), 4 PR = R P = (3,1,3)

Si noti che avremmo potuto benissimo scegliere PR, QR oppure ogni altra combinazione: il piano cosi ottenuto sarebbe lo stesso, invitiamo lo studente a verificare facendo i calcoli. A questo punto la forma parametrica e immediata: x = 1+t+3s y = 0+2t+s (8) z = 1+2t+3s Per calcolare la forma cartesiana potremmo certamente ricavare t ed s da due equazioni e sostituirli nella terza, tuttavia dalla formula (7) sappiamo che per determinare il piano e sufficiente conoscere un punto e un vettore normale al piano. Per determinare un vettore normale al piano, possiamo fare il prodotto vettoriale dei due vettori direzione. Tale prodotto e infatti sempre perpendicolare ad entrambi i vettori. Vediamo il calcolo: n = PQ PR = i j k 1 2 2 3 1 3 = (4,3, 5) Dunque il piano e dato immediatamente dall equazione cartesiana: cioe 4x+3y 5z = 9. 4(x 1)+3y 5(z +1) = 0 3 Esercizi svolti su rette e piani in R 3 In questa sezione vogliamo applicare quanto abbiamo introdotto nelle due sezioni precedenti per risolvere semplici problemi geometrici. Esempio 3.1. Consideriamoilpianoπ passanteperilpuntop = (1,0,1)con vettore normale n = (1, 2, 4). Tale piano e dato dall equazione cartesiana: x 2y +4z = 5 Vogliamo ora determinare la retta r perpendicolare a π e passante per il punto P = (1, 2,3). Tale retta ha per vettore direzione il vettore normale 5

al piano e pertanto possiamo subito scrivere le equazioni della retta r in forma parametrica: x = 1+t y = 2 2t (9) z = 3+4t che corrispondono alle equazioni in forma cartesiana: { 4x z = 1 2x+y = 0 (10) Prima di procedere con altri esempi, ricordiamo la formula della distanza d tra due punti in R 3 di coordinate (x 0,y 0,z 0 ) e (x 1,y 1,z 1 ): d = (x 0 x 1 ) 2 +(y 0 y 1 ) 2 +(z 0 z 1 ) 2. (11) Esempio 3.2. Vogliamo determinare la distanza del punto P = (2, 1,3) dal piano passante per Q = (0,1, 7) con vettore normale n = (2, 2, 1). Scriviamo subito l equazione cartesiana del piano: 2x 2y z = 9 e poi le equazioni parametriche della retta passante per P e con vettore direzione n: x = 2+2t y = 1 2t z = 3 t Calcoliamo poi il punto di intersezione R tra tale retta e il piano dato sostituendo il punto generico ottenuto dalle equazioni parametriche della retta nell equazione del piano: 2(2+2t) 2( 1 2t) (3 t) = 9 Utilizzando la formula della distanza (11) otteniamo che la distanza tra P ed R e 2. Vediamo ora un esercizio analogo, ma piu complesso. 6

Esempio 3.3. Consideriamo la retta r per i due punti P = (1,0, 2) e Q = ( 1,1, 1). Calcoliamo un vettore direzione: v = ( 2,1,1) e dunque tale retta ha equazioni parametriche: x = 1 2t y = 0+t z = 2+t Consideriamo ora la retta r per il punto R = (3,1, 5) con vettore direzione v = (0, 1,1). Ci chiediamo se la retta r sia perpendicolare ad r. Vediamo subito che v v = 0, tuttavia due rette sono perpendicolari se sono incidenti e se hanno vettori direzione perpendicolari. Dunque dobbiamo verificare se sono incidenti. Scriviamo le equazioni parametriche di r : x = 3 y = 1 t z = 5+t A questo punto, per verificare se siano o meno incidenti risolviamo il sistema: 3 = 1 2t 1 t = 0+t 5+t = 2+t Vediamo che tale sistema ammette soluzione per t = 1 e t = 2, cioe il punto S = (3, 1, 3) appartiene ad entrambe le rette. Quindi r ed r sono perpendicolari. Vogliamo ora calcolare la distanza tra Q ed r. Poiche le rette sono perpendicolari e si intersecano nel punto S tale distanza sara data dalla distanza tra i punti Q ed S che possiamo subito calcolare attraverso la formula (11): 16+4+4 = 2 6 Esempio 3.4. Vogliamo determinare la retta intersezione dei due piani: x+y z = 0, y +2z = 6 (12) Prima di procedere notiamo un fatto molto importante: l espressione di una retta in forma cartesiana e cioe attraverso un sistema di due equazioni nelle 7

incognite x, y, z, non e altro che la sua realizzazione come intersezione di due piani individuati ciascuno dalla propria equazione cartesiana. La direzione della retta e individuata univocamente in quanto perpendicolare ad entrambe le direzioni normali dei due piani. Quindi per trovare un vettore perpendicolare ad entrambi i vettori normali, ciascuno perpendicolare ad uno dei due piani, piani, calcoliamo il prodotto vettoriale dei due vettori normali: n 1 = (1,1, 1) e n 2 = (0,1,2): n 1 n 2 = (3, 2,1) Scegliamo ora un punto arbitrario sulla retta, cioe un punto che soddisfi entrambe le equazioni (12). Possiamo ad esempio porre z = 0 e ottenendo cosi dalle equazioni y = 6 e x = 6. Dunque le equazioni parametriche della retta intersezione dei due piani dati sono: x = 6+3t y = 6 2t z = t Terminiamo la sezione dando la definizione di rette sghembe. Definizione 3.5. Siano r ed r due rette distinte in R 3. r ed r si dicono sghembe se non sono ne parallele ne incidenti. 4 Esercizi Proposti 1. Considerare le seguenti rette a coppie e dire qual e la loro posizione reciproca (rette parallele, incidenti o sghembe). r 1 : x = 1+t, y = t, z = 2 5t r 2 : x+1 = y 2 = 1 z, r 4 : r 3 : x = 1+t, y = 4+t, z = 1 t x = 2+2t, y = 1+2t, z = 3 10t Si calcoli inoltre la distanza tra le coppie di rette parallele. 8

2. a) Sia dato il piano π: { x = 1+s+2t y = 3s z = 2+t Trovare la retta r perpendicolare a π e passante per il punto P = (2,1,0). b) Si trovi il piano π per Q = (1,0, 1) e r, sia in forma parametrica che in forma cartesiana. 3. Trovare le equazioni parametriche della retta intersezione dei piani x + y z = 2, 3x 4y+5z = 6. Si calcoli inoltre l angolo formato dai due piani. 4. In R 3, dato il piano π, x+y z = 0 e la retta r x = 2t, y = t, z = 2t+1 si calcoli (se esiste) la retta passante per (0,0,0), e per π r. 5. Date in R 3 le rette r,s di equazioni cartesiane r : x+y 1 = 0,z 1 = 0; s : x+y 2z 2 = 0,z +1 = 0; 1) Mostrare che r, s sono complanari. 2) Trovare l equazione del piano che contiene r, s. 3) Trovare la distanza tra r e s. 6. Dati in R 3 i piani π 1 : x y +1 = 0, π 2 : x+y +3z = 0 1) Trovare equazioni parametriche per la retta r intersezione di π 1 e π 2. 2) Trovare l equazione cartesiana del piano π contenente r e il punto P = (1,0,1). 3) Trovare equazioni parametriche per la retta s passante per P e ortogonale a π. 9

7. Dati in R 3 il piano π di equazione cartesiana π : x+y 2z +4 = 0 e la retta r di equazioni cartesiane r : x 2z +12 = 0,y 4 = 0 1) Trovare equazioni parametriche per r. 2) Stabilire la posizione relativa di π, r. 3) Trovare la distanza tra π e r. 10