UNIVERSITA DEGI STUDI DI CASSINO FACOTA DI INGEGNERIA ANTONIO RUSSO, ANGEO EOPARDI ANAISI DE ERRORE CONNESSO A APPROSSIMAZIONE DEE UNGHEZZE E DEE CEERITA NE METODO DI INTEGRAZIONE DEE CARATTERISTICHE (MOC) CON GRIGIA FISSA
INDICE INDICE... METODO DI APPROSSIMAZIONE DEE UNGHEZZE... 3 CONSIDERAZIONI SU INTERVAO TEMPORAE MASSIMO DI INTEGRAZIONE... 5 3 APPROSSIMAZIONE DEE CEERITA... 6 MINIMIZZAZIONE DE ERRORE... 7 5 APPICAZIONE CON METODO DEE UNGHEZZE... 9 6 PARAMETRO DI MISURA DE ERRORE (PME)... 3 6. PARAMETRO DI MISURA DE ERRORE PER I METODO DI CORREZIONE DEE UNGHEZZE... 3 6. IMITE SUPERIORE DEA FUNZIONE DI ERRORE... 5 6.3 PARAMETRO DI MISURA DE ERRORE PER I METODO DI CORREZIONE DEE CEERITA... 6 6. IMITI DEA FUNZIONE ERRORE... 9 7 CONCUSIONI... 0
METODO DI APPROSSIMAZIONE DEE UNGHEZZE a scelta de pass d ntegrazone spazale e temporale non può essere arbtrara, ma deve rspettare la condzone d vncolo mposta dalle equazon delle caratterstche. In partcolare deve essere: x t (.) c Nel caso d sngola condotta l applcazone della (.) condzona l solo ntervallo temporale d ntegrazone a partre da un prefssato numero d nod d dscretzzazone. Ben dverso è l caso d una rete che rchederebbe l medesmo ntervallo temporale n modo da sncronzzare le procedure numerche d ntegrazone su dfferent tratt. algortmo che s va a presentare mpone come vncolo della rete uno stesso t, adeguando d conseguenza la dscretzzazone del domno spazale n modo da mnmzzare l errore connesso alla procedura d nterpolazone. Sano T tratt della rete e c ed la loro celertà e lunghezza. Sa noltre No 3 un prefssato 0, l alquota della lunghezza che non può essere numero mnmo d nod fssat su tratt e k superata. Imponendo: s ha: N N... NT No (.) Sa po: x t No c x t No c......... x x T xt xt tt No c T (.3) t mn t, t..., t (.) O T l ntervallo temporale da applcare ad ogn tratto della rete. Noto t è possble determnare l numero d nod d ntegrazone per ogn tratto: O x t c N O nt x x t c N......... O nt x T xt to ct NT nt xt Not l numero d nod d dscretzzazone per ogn tratto è necessaro controllare la congrutà de rsultat delle (.5) n termn d massma approssmazone rchesta. In partcolare dovrà essere: 3 (.5)
k N () x k.. T (.6) Nel caso n cu una delle T condzon mposte nelle (.6) non fosse verfcata, sarà necessaro rpetere la procedura aumentando l valore No mposto all nzo del calcolo. S nota che le relazon (.5) sono tal da approssmare sempre per dfetto la lunghezza nzale del sngolo tratto. Infatt se n sono tratt d lunghezza x fssat sull -esmo tratto, s ha: n N nt n x x x (.7)
CONSIDERAZIONI SU INTERVAO TEMPORAE MASSIMO DI INTEGRAZIONE Come vsto n precedenza, l ntervallo temporale d ntegrazone è legato al passo spazale dalla relazone (.), che asscura valore untaro al numero d Courant: x t (.8) c Il valore d x non può essere qualsas, n quanto legato al numero mnmo d nod d dscretzzazone necessar per l ntegrazone numerca con l metodo delle caratterstche (MOC). In partcolare la grgla d ntegrazone deve contenere almeno due nod d dscretzzazone come mostrato n Fgura. t t X x Se No è l numero mnmo, dovrà dunque essere: Fgura : Grgla mnma d ntegrazone E qund: x xmax tmax No c MAX (.9) t MAX c No (.0) In termn assolut s ha: No tmax (.) c dove è l rtmo della condotta. Nel caso n una rete composta da T tratt d caratterstche dfferent, l tempo massmo d ntegrazone sarà determnato dalla condotta con rtmo mnore: t mn,,..., MAX T (.) 5
3 APPROSSIMAZIONE DEE CEERITA E possble effettuare una approssmazone sulle celertà nvece che sulle lunghezze. Una volta selezonato un certo passo d ntegrazone temporale t, s mposta che: e qund: N x c t (.3) nt 0.5 (.) x Passando alla celertà s ha che: dove: c N t (.5) t t mn,,..., MAX T (.6) Se kc 0, è l alquota della celertà c che non può essere superata, dovrà essere che: k c c () k c.. T (.7) c E mportatane osservare che una approssmazone d questo tpo può essere per eccesso o per dfetto, a seconda della (.) Infatt : c c dec 0.5 x nt 0.5 t t x x c c dec 0.5 x nt 0.5 t t x x (.8) 6
MINIMIZZAZIONE DE ERRORE S voglono confrontare le enttà degl error apportat applcando l metodo d approssmazone delle lunghezze e delle celertà. Sa t t l passo d ntegrazone unco per la rete. MAX METODO CORREZIONE DEE UNGHEZZE (MC) a condzone d Courant mpone che: x c t N nt x S not che N n quanto t tmax Poché non è multplo d x, s ha che: x N Per cu è possble defnre la funzone d errore con approssmazone sempre per dfetto: Sosttuendo: ERR t ERR t c t nt c t METODO CORREZIONE DEE CEERITA (MCC) a condzone d Courant mpone che: x c t N nt x S not che N n quanto t tmax Poché N è l approssmazone per dfetto o per eccesso al numero ntero pù vcno, s ha: c t N Per cu è possble defnre la funzone d errore: ERR C t c c Sosttuendo: c t nt c t ERRC t c c c ERR c t nt c t t (.9) ERRC t c c t nt c t (.0) Defnto po: 7
E sosttuta nelle (.9) e (.0) s ha: ERR ERR C c t t t nt t t nt 0.5 t (.) (.) (.3) s not che l termne / t è sempre maggore o al massmo uguale dell untà, per cu detto: s ha: P t ERR P nt P P (.) (.5) ERRC t P nt P 0.5 Rportando n un grafco due andament s ha: (.6) ECCESSO err[%] DIFETTO 55 50 5 0 35 30 5 CORREZONE DEE CEERITA' 0 5 0 5 0-5.5.5 3 3.5.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 0 0.5.5-0 -5 P -0-5 -30 CORREZONE DEE UNGHEZZE -35-0 -5-50 -55 Fgura : Andamento delle funzon d errore 8
5 APPICAZIONE CON METODO DEE UNGHEZZE Applchamo rsultat ottenut allo schema d Fgura 3 (forcella), costtuto da tre tratt d dfferent caratterstche geometrche e con valor d celertà confrontabl. T T T3 3 Fgura 3 In Tabella s rportano dat geometrc per ogn condotta costtuente la forcella. Tabella : Caratterstche geometrche della forcella Tratto D s E c t - [mm] [mm] [m] [kn/mq] [m/s] [s] T 300 5.00 300.0E+ 33.95 0.59 T 00 5.00 00.0E+ 09.935 0.33 T3 50 5.00 50.0E+ 5.9 0.39 Applchamo l metodo d approssmazone delle lunghezze. Rportamo n uno stesso grafco tmax (Fgura ) le funzon d errore ERR per tre tratt n funzone d t, tmax 00, dove: t mn,,..., 0.0598sec MAX T 9
00 90 80 Rappresentazone Errore nella Forcella - Approssmazone delle lunghezze T T T3 Dt rete 70 err [%] 60 50 0 30 0 0 0 0 0.005 0.0 0.05 0.0 0.05 0.03 0.035 0.0 0.05 0.05 0.055 0.06 0.065 0.07 Dt [s] Fgura E possble vedere come gl error tendo ad annullars per t 0, mentre tendono a raggungere l massmo per t tmax. Inoltre s può osservare come l valore d tmax corrsponda all ntervallo d ntegrazone che massmzza l errore per l tratto con rtmo mnore, ovvero quell ntervallo d tempo lmte che non garantsce almeno n un tratto due nod d dscretzzazone nella grgla d ntegrazone. Nell esempo rportato, con rfermento all algortmo presentato nel paragrafo e con valor mpost d k=0.65 ed N 3, s è ottenuto un valore d ntervallo temporale par ha: t 0.0667 sec In Tabella è rassunta la dscretzzazone ottenuta con l valore d t testé rportato. Nell ultma colonna è specfcato l valor d nod mnmo garantto per un ntervallo t t. MAX Tabella : Dscretzzazone del domno per t 0.0667 Tratto c Nod x Errore [%] Errore t () t MAX tmax - [m] [m/s] - [m] [%] [m] [s] [s] [s] Numero d Nod per t t MAX T 300 33.95 6 60 0.00 0.00 0.065 0.33 0.0598 3 T 00 09.935 5 6.06-3.93-7.86 0.065 0.086 0.0598 T3 50 5.9 66.03 -.63-7.95 0.065 0.0598 0.0598 In Fgura 5 s rporta grafcamente l lvello d errore connesso al valore suddetto d t. 0
err [%] 0 38 36 3 3 30 8 6 0 8 6 0 8 6 0 Rappresentazone Errore nella Forcella 0 0.00 0.00 0.006 0.008 0.0 0.0 0.0 0.06 0.08 0.0 0.0 0.0 0.06 0.08 0.03 Dt [s] T T T3 Dt rete Fgura 5 E utle osservare come le funzon d errore s propaghno come funzon dscontnue perodche. I punt n cu queste s annullano rappresentano le condzon d numero d Courant untaro per l sngolo tratto, mentre l ampezza della fase e l enttà de pcch d errore sono funzone del solo rtmo della condotta. Infatt: c t nt c t t ERR t ERR t nt t (.7) dove: Mentre per la (.6) s ha: (.8) t t con (.9) Sosttute le (.8), (.9) e nella (.7) s ottene: ERR con e 0 (.30) a (.30) offre una stma qualtatva dell enttà dell errore connesso all -esmo tratto nell ntervallo temporale 0 tmax. Nel caso n cu l rtmo dell -esmo tratto rsult essere molto pù grande del tempo massmo della rete tmax s avrebbe un elevato valore d e qund una enttà dell errore scuramente pù pccola rspetto a quella legata alla dscretzzazone degl altr tratt. Cò avvene n quanto l ntervallo d defnzone della funzone errore del tratto con rtmo maggore è molto pù ampo d quello relatvo agl altr tratt, per cu l campo d fluttuazone relatvo alla rete, n vrtù della (.6), rappresenterà solo la parte nzale d quello relatvo al tratto con rtmo maggore,
ovvero quella corrspondente alla zona d estnzone dell errore. Potremmo dre che l errore s propaga n un tempo proporzonale al rtmo della condotta. Con rfermento all esempo precedente, se l tratto T fosse costtuto d un materale d due ordn d grandezza mnore d quello relatvo agl altr due, avremmo rsultat rportat n Tabella 3, Tabella e Fgura 6: Tabella 3: Caratterstche della rete Tratto D s E c tau - [mm] [mm] [m] [kn/mq] [m/s] [s] T 300 3.00 300.0E+09.7.6 T 00.00 00.0E+ 05.97 0.39 T3 50.50 50.0E+ 05.97 0.95 Tabella Tratto c Nod x Errore [%] Errore t () t MAX tmax - [m] [m/s] - [m] [%] [m] [s] [s] [s] Numero d Nod per t t MAX T 300.7 6 0 0.00 0.00 0.069.00 0.0738 5 T 00 05.97 3 0.9-9.59-59.059 0.069 0.098 0.0738 T3 50 05.97 3 0.9-6.039-9.059 0.069 0.0738 0.0738 00 90 80 Rappresentazone Errore nella Forcella - Approssmazone delle lunghezze T T T3 70 err [%] 60 50 0 30 0 0 0 0.000 0.00 0.00 0.006 0.008 0.00 0.0 0.0 0.06 0.08 0.00 0.0 0.0 0.06 0.08 0.030 0.03 0.03 0.036 0.038 0.00 0.0 0.0 0.06 0.08 0.050 0.05 0.05 0.056 0.058 0.060 0.06 0.06 Dt [s] Fgura 6 Dal grafco d Fgura 6 è facle osservare come l tratto T sa caratterzzato da un margne d errore trascurable se rferto a quello relatvo agl altr tratt, per cu potrebbe essere omesso dalla procedura d dscretzzazone della rete.
6 PARAMETRO DI MISURA DE ERRORE (PME) S propone un metodo selettvo n grado d quantfcare, tramte la stma d un parametro, l errore massmo d approssmazone relatvo al generco tratto della rete che s genera applcando due metod d correzone. 6. PARAMETRO DI MISURA DE ERRORE PER I METODO DI CORREZIONE DEE UNGHEZZE Con rfermento alla (.7) s ha che: t ERR t nt t Dove: t MAX MIN t con k k k (.3) (.3) Detto Parametro d Msura dell Errore (PME) la quanttà: e sosttuta la (.33) nella (.3) s ha: (.33) MIN Potendo noltre affermare che: ERR, k nt k k (.3) nt k k con 0 (.35) S ha: Per cu: ERR, k k (.36) ERR, k nt k k k (.37) a (.37) rappresenta l equazone d una famgla d perbole n k d parametro pcch della funzone d errore (Fgura 7):, che nvluppa 3
50 8 6 0 38 36 3 3 30 err [%] 8 6 0 8 6 0 8 6 0 0.0.0 8.0.0 6.0 0.0.0 8.0 3.0 36.0 0.0.0 8.0 5.0 56.0 60.0 6.0 68.0 7.0 76.0 80.0 8.0 88.0 9.0 96.0 00.0 0.0 08.0.0 6.0 0.0.0 8.0 k Fgura 7: Andamento ed Invluppo della funzone d errore In Fgura 8 s rportano le perbole ottenute per,,5,50 : err [%] 50 8 6 0 38 36 3 3 30 8 6 0 8 6 0 8 6 0 = = =5 =50 5 9 3 7 5 9 33 37 5 9 53 57 6 65 69 73 77 8 85 89 93 97 0 05 k Fgura 8: famgla d perbole per =,, 5, 50
enttà dell errore cresce n modo nversamente proporzonale a k e al PME. Ne consegue che la condzone pù gravosa s realzza quando k assume valore untaro: MAX ERR (.38) Se qund s assume come sogla massma d errore trascurable quella relatva al 5 %, s ha che l valore lmte d PME è par a: O 0 (.39) Il PME è una grandezza relatva e non assoluta, n quanto è funzone delle caratterstche geometrche d tutt tratt costtuent la rete e non del sngolo tratto. In effett esso è msura del grado d omogenetà della rete n termn d tempo d percorrenza della perturbazone. Inoltre l PME è un parametro che msura la veloctà d estnzone dell errore: tanto pù esso è grande, tanto pù velocemente l errore s estngue per valor decrescent del tempo d ntegrazone. Infatt per valor d PME del generco tratto superor a 0 è garantto un errore massmo d approssmazone delle lunghezze del 5 % per qualsas valore d tempo d ntegrazone della rete. a funzone errore è una funzone perodca dscontnua smorzata n cu la condzone d Courant è rspettata con frequenza: n k con n N, n (.0) ovvero: Cr t con n N, n n 6. IMITE SUPERIORE DEA FUNZIONE DI ERRORE a funzone d errore (.3) è lmtata sa nferormente dal valore nullo (Cr=), sa superormente dal valore 0.5, ottenuto n corrspondenza d k (Fgura 9). err [%] 5 Massmo Errore 5 50 8 6 Invluppo 0 38 36 Funzone d errore 3 3 30 8 6 0 8 6 0 8 6 0...6.8...6.8 3 3. 3. 3.6 3.8...6.8 5 Fgura 9: Errore massmo k 5
Dre che k equvale ad affermare che la condzone d errore massmo s realzza per seguent valor d ntervallo temporale d ntegrazone: () tmax t (.) 8 In defntva s è dmostrato che: n una rete costtuta da T tratt d caratterstche geometrche dfferent, applcando l metodo d correzone delle lunghezze, è possble generare un errore per dfetto mnore o al massmo uguale al 50 % della lunghezza nzale del tratto. a condzone d errore massmo nel generco tratto d realzza per valor d ntervall temporal d ntegrazone par ad un ottavo del suo rtmo. In altr termn l metodo d approssmazone delle lunghezze asscura sempre una condzone d Courant Cr 0.5. 6.3 PARAMETRO DI MISURA DE ERRORE PER I METODO DI CORREZIONE DEE CEERITA Con rfermento alla (.0) s ha che: t ERRC t nt t Dove: t MAX MIN t con k k k e sosttuta la(.3) nella (.) s ha: (.) (.3) Potendo noltre affermare che: ERR, k k nt k 0.5 (.) nt k k con 0 (.5) S ha: 0.5 ERR, k (.6) k 0.5 Poché n questo caso è possble avere correzon per eccesso o per dfetto, la (.6) sarà lmtata superormente dalla famgla d perbole d equazone: 0.5 ERR, k (.7) k 0.5 e nferormente dalla famgla d equazone: 6
ERR 0.5, k k 0.5 (.8) In Fgura 0 s rportano gl andament degl nvlupp de pcch d errore: err [%] 50 8 6 0 38 36 3 3 30 8 6 0 8 6 0 8 6 0 - - -6-8 -0 - - -6-8 -0 - - -6-8 -30 0.0.0 8.0.0 6.0 0.0.0 8.0 3.0 36.0 0.0.0 8.0 5.0 56.0 60.0 6.0 68.0 7.0 76.0 80.0 8.0 88.0 9.0 96.0 00.0 0.0 08.0.0 6.0 0.0.0 8.0 k Fgura 0: Andamento ed Invluppo della funzone d errore In Fgura s rportano le perbole ottenute per,,5,50 : 7
err [%] 50 8 6 0 38 36 3 3 30 8 6 0 8 6 0 8 6 0 = = =5 =50 5 9 3 7 5 9 33 37 5 9 53 57 6 65 69 73 77 8 85 89 93 97 0 05 09 3 7 5 9 k Fgura : famgla d perbole per =,, 5, 50 enttà dell errore cresce n modo nversamente proporzonale a k e al PME. Ne consegue che la condzone pù gravosa s realzza quando k assume valore untaro: MAX 0.5 ERRC (.9) 0.5 Se qund s assume come sogla massma d errore trascurable quella relatva al 5 %, s ha che l valore lmte d PME è par a: 9.5 (.50) O Anche nel caso d correzone delle celertà, la funzone errore è una funzone perodca dscontnua smorzata n cu la condzone d Courant è rspettata con frequenza: n k con n N, n (.5) ovvero: Cr t con n N 0.5, n n 8
6. IMITI DEA FUNZIONE ERRORE a funzone d errore (.) è lmtata nferormente dal valore -0.5 n corrspondenza d k.5, ed superormente dal valore 0.5, ottenuto n corrspondenza d k.5 (Fgura Fgura 9). err [%] 5 5 50 8 6 0 38 36 3 3 30 8 6 0 8 6 0 8 6 0 - - -6-8 -0 - - -6-8 -0 - - -6 Massmo Errore per ECCESSO Invluppo Funzone d errore...6.8...6.8 3 3. 3. 3.6 3.8...6.8 5 Massmo Errore per DIFETTO Fgura : Errore massmo k Dre che k.5 equvale ad affermare che la condzone d errore massmo s realzza per seguent valor d ntervallo temporale d ntegrazone: () t t MAX (.5) 6 3 In defntva s è dmostrato che: n una rete costtuta da T tratt d caratterstche geometrche dfferent, applcando l metodo d correzone delle celertà, è possble generare un errore per dfetto mnore o al massmo uguale al 30 % della celertà nzale ed un errore per eccesso mnore o al massmo uguale al 50 % della celertà nzale del tratto. a condzone d errore massmo nel generco tratto d realzza per valor d ntervall temporal d ntegrazone par ad un sesto del suo rtmo. In altr termn l metodo d approssmazone delle celertà asscura sempre una condzone d Courant Cr 0.5. 9
7 CONCUSIONI Dall anals condotta s è potuto evncere che: - Nel metodo do correzone delle lunghezze, l errore massmo per dfetto è mnore o al massmo uguale al 50% della lunghezza nzale del tratto e s realzza per temp d ntegrazone par ad un ottavo del rtmo della condotta. - Nel metodo do correzone delle celertà, l errore massmo per dfetto è mnore o al massmo uguale al 5% della lunghezza nzale del tratto, mentre per eccesso è mnore o al massmo uguale al 50% della stessa e s realzza per temp d ntegrazone par ad un sesto del rtmo della condotta - S è ntrodotto l Parametro d Msura dell errore (PME) par al rapporto tra l rtmo del generco tratto e l rtmo mnmo della rete. Esso è nterpretable come un coeffcente d estnzone dell errore: tanto esso è maggore, tanto pù velocemente l errore tende ad annullars per temp d ntegrazone decrescent. - E stato fssato l valore lmte d PME O 0, defnto come quel valore sopra l quale l errore connesso all approssmazone spazale nella correzone delle lunghezze è sempre mnore del 5% della lunghezza nzale del tratto. - E stato fssato l valore lmte d PME O 0, defnto come quel valore sopra l quale l errore connesso all approssmazone spazale nella correzone delle celertà è sempre mnore del 5% della lunghezza nzale del tratto. - Nel metodo d correzone delle lunghezze l numero Courant è par all untà per ogn valore d tempo d ntegrazone par ad un sottomultplo d un quarto del rtmo della condotta. - Nel metodo d correzone delle celertà l numero Courant è par all untà per ogn valore d tempo d ntegrazone par ad un sottomultplo d un sesto del rtmo della condotta. FUNZIONE DI ERRORE Tabella 5: Tabella rassuntva metod MC e MCC ERR MCC c t nt c t t MC ERRC t c c t nt c t O 0 9.5 ERRORE MAX DIFETTO 50 % 5% ERRORE MAX ECCESSO - 50% CONDIZIONE DI ERRORE MASSIMO 8 t t 6 t con n N n FREQUENZA DEA.. CONDIZIONE Cr = t con n.. N n 0