Meccanica dei Fluidi Fisica con Elementi di Matematica 1
Alcuni concetti di base: Vi sono fenomeni fisici per i quali una descrizione in termini di forza, massa ed accelerazione non è la più adeguata. Pensiamo, ad esempio ad una persona che cammina su un terreno cedevole (sabbia, terreno, ) La forza esercitata dalla persona sul terreno è F = mg. Ci sono situazioni in cui la persona cammina agevolmente, ad esempio se indossa scarpe da ginnastica, e situazioni in cui affonda, ad esempio se indossa scarpe con i tacchi a spillo. Cosa cambia nei due casi? Fisica con Elementi di Matematica 2
Primo caso: la forza ha modulo mg, superficie di appoggio S 1. Secondo caso: la forza ha modulo mg, superficie di appoggio S 2 (con S 2 < S 1 ). Posso definire una grandezza che nel secondo caso è maggiore che nel primo? Fisica con Elementi di Matematica 3
Definizione di pressione Definiamo: F F perpendicolare p = F perpendicolare S S Fisica con Elementi di Matematica 4
Unità di misura della pressione 1 N/m 2 =1 Pa (pascal) F perpendicolare p = F perpendicolare S S Fisica con Elementi di Matematica 5
Altre Unità di misura della pressione 1 N/m 2 =1 Pa (pascal) F perpendicolare S 1) 1 atmosfera è circa = 100000 Pascal 2) 1 millibar è circa = 100 Pascal 3) 1 atmosfera è circa = 1000 millibar Fisica con Elementi di Matematica 6
Altre Grandezze Fisiche utili Densità (assoluta) ρ = massa/volume (nel S.I. si misura in kg/m 3 ) Peso Specifico assoluto σ = peso/volume (nel S.I. si misura in N/m 3 ) Importante: la densità dei corpi non è necessariamente costante in tutti i punti del corpo Fisica con Elementi di Matematica 7
Definizione di Fluido Un fluido è un mezzo continuo senza FORMA propria (quindi i fluidi si adattano alla forma del contenitore). Fluidi liquidi: hanno volume proprio Fluidi aeriformi: NON hanno volume proprio A livello microscopico: diverso cammino libero medio Fisica con Elementi di Matematica 8
Le Leggi Fondamentali dell Idrostatica - Legge di Stevino e sue applicazioni - Legge di Pascal e sue applicazioni - Principio di Archimede Nel nostro studio della idrostatica, prenderemo in esame Fluidi OMOGENEI caratteristiche fisiche costanti in tutto il volume Fisica con Elementi di Matematica 9
La Legge di Stevino La differenza di pressione tra due punti, in un fluido in equilibrio, è pari alla pressione esercitata alla base da una colonna di fluido di altezza h, pari al dislivello tra i due punti: p p o = ρgh Fisica con Elementi di Matematica 10
Legge di Stevino Data una massa di liquido omogeneo in quiete: 0 aria si consideri una porzione del fluido y in quiete, ad esempio di forma 1 A y 2 acqua cilindrica, all interno del fluido. Siano A le basi del cilindro. A L immagine ne mostra la sezione verticale. y Fisica con Elementi di Matematica 11
Legge di Stevino Data una massa di liquido omogeneo in quiete: aria 0 acqua y 1 y 2 F 2 F 1 F x - F x - F x F x Mg Mg F 1 y F 2 Fisica con Elementi di Matematica 12
Legge di Stevino F 1 +Mg=F 2 p 1 A+ρA(y 2 -y 1 )g=p 2 A F 2 p 1 +ρ(y 2 -y 1 )g=p 2 p 2 -p 1 =ρ(y 2 -y 1 )g Poiché (y 2 -y 1 )>0 p 2 >p 1 cioè la pressione di un liquido in quiete aumenta con la profondità Mg F 1 Inoltre: una colonna di fluido liquido in quiete di altezza h esercita alla base una pressione pari a ρgh. y Fisica con Elementi di Matematica 13
Legge di Stevino Una colonna di fluido liquido in quiete di altezza h esercita alla base una pressione pari a ρgh. p=p o +ρgh, aria acqua Y=0 p 0 pressione esterna (al pelo dell acqua) Con p 0 pressione esterna (alla superficie libera dell acqua) h Nella situazione qui descritta p 0 è la pressione atmosferica (1 atm) Fisica con Elementi di Matematica 14
Vasi Comunicanti Rispetto alla loro superficie di separazione due liquidi immiscibili raggiungono, in vasi comunicanti, altezze inversamente proporzionali alla rispettive densità. Fisica con Elementi di Matematica 15
Legge di Stevino p=p o +ρgh Vasi Comunicanti Rispetto alla loro superficie di separazione due liquidi immiscibili raggiungono, in vasi comunicanti, altezze inversamente proporzionali alla rispettive densità, cioè: ρ 1 h 1 =ρ 2 h 2. aria olio h 1 h 2 aria Calcoliamo la pressione nel livello generico in due modi diversi. Dal lato olio+acqua p o +ρ olio gh 1 +ρ acqua gh h acqua livello generico acqua acqua h Dal lato tutta acqua p o +ρ acqua gh 2 +ρ acqua gh Fisica con Elementi di Matematica 16
Vasi Comunicanti Eguagliamo le due pressioni: p o +ρ olio gh 1 +ρ acqua gh = p o +ρ acqua gh 2 +ρ acqua gh olio h 1 h 2 ρ olio gh 1 = ρ acqua gh 2 h acqua livello generico acqua acqua h ρ olio h 1 = ρ acqua h 2 Fisica con Elementi di Matematica 17
Vasi Comunicanti (caso particolare) Densità eguali (cioè stesso liquido) altezze eguali: ρ 1 =ρ 2 h 1 =h 2. Principio dei vasi comunicanti acqua acqua Fisica con Elementi di Matematica 18
Manometro a tubo aperto Fisica con Elementi di Matematica 19
Esperienza di Torricelli p ATM = ρ MERCURIO gh = 13.5 10 3 9.8 0.76 N/m 2 ~ 10 5 Pascal = 1 atm Fisica con Elementi di Matematica 20
Esperienza di Torricelli eseguita da Pascal p ATM = ρ VINO gh = 10 3 9.8 X ~ 10 5 Pascal = 1 atm Si può calcolare l incognita X. Fisica con Elementi di Matematica 21
Principio di Pascal (1652) Enunciato: Un cambiamento di pressione esterna applicato ad un fluido incomprimibile confinato viene trasmesso inalterato a ogni porzione di fluido e alle pareti del recipiente che lo contiene. Dimostrazione: In condizioni normali: p A = p est +ρgh Peso = mg, sovrapressione p =mg/sezione h A Applicano una sovrapressione p: p A = p+p est +ρgh Calcoliamo la variazione di pressione in A: p A - p A = p+p est +ρgh-(p est +ρgh )= p Fisica con Elementi di Matematica 22
Applicazioni: martinetto idraulico (crick) e freno Fisica con Elementi di Matematica 23
Un manometro a tubo aperto sia riempito di alcool etilico (densità 0.79*10 3 kg/m 3 ). Se ad uno dei capi viene applicata una pressione pari a 1.3 atm, quanto vale il dislivello tra i livelli di liquido nei due rami? Un recipiente cilindrico ha diametro interno pari a 10 cm ed è inizialmente riempito con acqua sino all altezza di 20 cm. Calcolare il volume di olio ( densità pari a 0.92 g/cm 3 ) da versare sull acqua perché sul fondo del recipiente sia applicata una pressione idrostatica complessiva pari a 6*10 3 Pa. La superficie superiore del recipiente è chiusa. Un meccanico utilizza un torchio idraulico per sollevare una macchina. Egli esercita una forza su un piccolo pistone di area S 1 e il fluido compresso trasmette tale pressione ad un secondo pistone di area maggiore S 2. Il rapporto tra le due sezioni è di 1:20. - Quale forza deve essere esercitata per sollevare un auto di 1100 kg? - Se il meccanico esercita la sua forza spingendo per 0.4 m, di quanto si alza la macchina? Fisica con Elementi di Matematica 24
Principio di Archimede 1 Enunciato: un corpo immerso (totalmente o parzialmente) in un fluido è soggetto ad una spinta verso l alto pari al peso del fluido spostato dal corpo stesso. Supponiamo di avere un sottile palloncino D di plastica (e massa trascurabile) pieno di acqua. Esso è in equilibrio statico, pertanto la forza di gravità agente su di esso è bilanciata da una forza verso l alto esercitata dall acqua circostante sulla porzione di fluido delimitata dal palloncino, cioè mg = F A. Cosa succede se si sostituisce lo spazio occupato da D con un oggetto della stessa forma, ad esempio: con una pietra o un sughero? Fisica con Elementi di Matematica 25
Principio di Archimede 2 Enunciato: un corpo immerso (totalmente o parzialmente) in un fluido è soggetto ad una spinta verso l alto pari al peso del fluido spostato dal corpo stesso. a) La pietra affonda; b) Il sughero galleggia. Perché? La spinta F A è rimasta inalterata, mentre è cambiata la forza peso: a) Pietra: m P g>f A b) Sughero: m S g< F A La spinta di Archimede F A vale sempre: F A =m fluido g, con m fluido pari alla massa del fluido spostato dal corpo. Fisica con Elementi di Matematica 26
Principio di Archimede 3 Galleggiamento: quando un corpo galleggia in un fluido il modulo della spinta di galleggiamento (spinta di Archimede) è pari al modulo della forza gravitazionale. Fisica con Elementi di Matematica 27
Principio di Archimede 4 Caso della Pietra Peso Apparente P app =P-F A Fisica con Elementi di Matematica 28
Una sfera di raggio 10 cm e massa 500 g, parzialmente immersa in acqua, sostiene con un filo un corpo di volume 5.2*10-4 m 3 e massa 3 kg. Calcolare la tensione del filo e il volume della parte della sfera che emerge dall acqua.
Quale frazione di un pezzo di alluminio sarà sommersa se esso galleggia nel Mercurio? Densità alluminio: 2.7*10 3 kg/m 3 Densità mercurio: 13.6*10 3 kg/m 3
Un pescatore subacqueo per immergersi in acqua dolce (1 gr/cm 3 ) deve usare una zavorra di 1.3 kg mentre in acqua di mare (1.03 gr/cm 3 ) utilizza una zavorra di 3kg. Supponendo che il volume della zavorra sia trascurabile rispetto a quello dell uomo, determinare volume e massa dell uomo.