L anello delle matrici Esempio. Siano A = [ ] 0 1 3 0 2 1, B = 1 2 0 0 1 2 3 4, 1 0 calcolare AB e BA. Osservazioni Siano A Mat m,n (K) e B Mat p,q (K). Il prodotto AB è definito se n = p. Si ha AB Mat m,q (K). Il prodotto BA è definito se m = q. Si ha BA Mat p,n (K). Il prodotto tra matrici non è commutativo. Nelle notazioni precedenti, ponendo n = p e m = q si hanno: AB Mat m (K) e BA Mat n (K).
L anello delle matrici Esempio. Siano A = [ ] 0 1 3 0 2 1, B = 1 2 0 0 1 2 3 4, 1 0 calcolare AB e BA. Osservazioni Siano A Mat m,n (K) e B Mat p,q (K). Il prodotto AB è definito se n = p. Si ha AB Mat m,q (K). Il prodotto BA è definito se m = q. Si ha BA Mat p,n (K). Il prodotto tra matrici non è commutativo. Nelle notazioni precedenti, ponendo n = p e m = q si hanno: AB Mat m (K) e BA Mat n (K).
L anello delle matrici Proprietà relative al prodotto tra matrici Siano A, B Mat m,n (K), C, D Mat n,p (K), E Mat p,q (K). Allora: (AC)E = A(CE); (A + B)C = AC + BC e B(C + D) = BC + BD; per ogni α K, si ha α(ac) = (αa)c = A(αC); AI n = A e I n C = C; se è definito il prodotto di matrici XY, allora lo è anche Y T X T ed equivale a (XY ) T.
Esercizio 4. Siano A = C = Calcolare/verificare: a) (A B) C = A (B C) b) (A + D) B = A B + D B [ ] 2 1 0, B = 3 1 1 [ ] 1 0, D = 1 1 c) 3(A B) = (3A) B = A (3B) (compito) d) C I 2 = I 2 C = C e) A D T f) (CD) T = D T C T (compito) g) (C B T ) T = B C T (compito). 1 0 1 0, 1 2 [ ] 2 2 1. 1 1 2
L anello delle matrici Proposizione La terna (Mat n (K), +, ) è un anello, rispetto alle operazioni righe per colonne precedentemente definite. [Significa che (Mat n (K), +, ) è un gruppo abeliano rispetto alla somma; il prodotto ha l unità ed è associativo; valgono le proprietà distributive.] Definizione Una matrice A Mat n (K) è detta invertibile se esiste una matrice B Mat n (K) tale che AB = BA = I n. Osservazione. Tale matrice, se esiste è unica. Definizione Nelle notazioni precedenti, la matrice B si dice inversa di A e si indica con A 1.
L anello delle matrici Proposizione La terna (Mat n (K), +, ) è un anello, rispetto alle operazioni righe per colonne precedentemente definite. [Significa che (Mat n (K), +, ) è un gruppo abeliano rispetto alla somma; il prodotto ha l unità ed è associativo; valgono le proprietà distributive.] Definizione Una matrice A Mat n (K) è detta invertibile se esiste una matrice B Mat n (K) tale che AB = BA = I n. Osservazione. Tale matrice, se esiste è unica. Definizione Nelle notazioni precedenti, la matrice B si dice inversa di A e si indica con A 1.
L anello delle matrici Proposizione La terna (Mat n (K), +, ) è un anello, rispetto alle operazioni righe per colonne precedentemente definite. [Significa che (Mat n (K), +, ) è un gruppo abeliano rispetto alla somma; il prodotto ha l unità ed è associativo; valgono le proprietà distributive.] Definizione Una matrice A Mat n (K) è detta invertibile se esiste una matrice B Mat n (K) tale che AB = BA = I n. Osservazione. Tale matrice, se esiste è unica. Definizione Nelle notazioni precedenti, la matrice B si dice inversa di A e si indica con A 1.
L anello delle matrici Proposizione Siano A, B Mat n (K) invertibili. Allora a) A 1 è invertibile e ( A 1) 1 = A; b) A T è invertibile e ( A ) T 1 ( ) = A 1 T ; c) AB è invertibile e (AB) 1 = B 1 A 1. Notazione. Gl n (K) := {A Mat n (K) : A è invertibile} (gruppo moltiplicativo).
L anello delle matrici Proposizione Siano A, B Mat n (K) invertibili. Allora a) A 1 è invertibile e ( A 1) 1 = A; b) A T è invertibile e ( A ) T 1 ( ) = A 1 T ; c) AB è invertibile e (AB) 1 = B 1 A 1. Notazione. Gl n (K) := {A Mat n (K) : A è invertibile} (gruppo moltiplicativo).
Sia A Mat n (K) una matrice. Indichiamo con A ij la matrice di Mat n 1 (K) ottenuta eliminando da A la i-esima riga e la j-esima colonna. Definizione Chiamiamo determinante di A = [a ij ] Mat n (K) rispetto alla prima riga lo scalare definito come segue: { a11 se n = 1 det A := j I n ( 1) 1+j a 1j det A 1 j se n 2 Il determinante si indica anche con A o d(a). Esempio. Calcolare il determinante delle seguenti matrici: [ ] 2 1 0 1 2 A = [2], B =, C = 1 2 6. 3 4 1 2 3
Sia A Mat n (K) una matrice. Indichiamo con A ij la matrice di Mat n 1 (K) ottenuta eliminando da A la i-esima riga e la j-esima colonna. Definizione Chiamiamo determinante di A = [a ij ] Mat n (K) rispetto alla prima riga lo scalare definito come segue: { a11 se n = 1 det A := j I n ( 1) 1+j a 1j det A 1 j se n 2 Il determinante si indica anche con A o d(a). Esempio. Calcolare il determinante delle seguenti matrici: [ ] 2 1 0 1 2 A = [2], B =, C = 1 2 6. 3 4 1 2 3
Teorema (I Teorema di Laplace) Il determinante di una matrice può essere sviluppato rispetto a qualunque riga o colonna: rispetto alla i-esima riga: det A = j I n ( 1) i+j a ij det A ij, rispetto alla j-esima colonna: det A = i I n ( 1) i+j a ij det A ij. Definizione Chiamiamo complemento algebrico dell elemento a ij lo scalare ( 1) i+j det A ij. Esempio. Data la matrice A = 2 1 0 0 0 6, 1 2 3 calcolarne il determinante.
Teorema (I Teorema di Laplace) Il determinante di una matrice può essere sviluppato rispetto a qualunque riga o colonna: rispetto alla i-esima riga: det A = j I n ( 1) i+j a ij det A ij, rispetto alla j-esima colonna: det A = i I n ( 1) i+j a ij det A ij. Definizione Chiamiamo complemento algebrico dell elemento a ij lo scalare ( 1) i+j det A ij. Esempio. Data la matrice A = 2 1 0 0 0 6, 1 2 3 calcolarne il determinante.
Esercizio 5. Siano Calcolare: 2 4 1 0 0 1 2 A = 0 3 3, B = 2 1 2 1 2 1 0 0 3, 4 1 2 1 2 2 1 1 2 1 6 1 3 2 5 C = 3 2 1, D = 0 1 2 2 0 0 3 1. 1 2 3 2 3 7 1 a) il determinante di A e di B; b) tutti i complementi algebrici di A. Compito. Calcolare i determinanti delle matrici C e D.
Calcolo del determinante di matrici particolari matrici di ordine 2: sia allora Esempio. [ ] a11 a A = 12, a 21 a 22 det A = a 11 a 22 a 21 a 12. Calcolare il determinante di [ ] 1 2 A =. 3 4 matrici di ordine 3: sia a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23, a 31 a 32 a 33 allora det A = a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31.
Calcolo del determinante di matrici particolari matrici di ordine 2: sia allora Esempio. [ ] a11 a A = 12, a 21 a 22 det A = a 11 a 22 a 21 a 12. Calcolare il determinante di [ ] 1 2 A =. 3 4 matrici di ordine 3: sia a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23, a 31 a 32 a 33 allora det A = a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31.
Regola di Sarrus A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 21 a 22, a 31 a 32
Regola di Sarrus A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 21 a 22, a 31 a 32
Regola di Sarrus A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 21 a 22, a 31 a 32
Regola di Sarrus A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 21 a 22, a 31 a 32
Regola di Sarrus A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 21 a 22, a 31 a 32
Regola di Sarrus A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 21 a 22, a 31 a 32
Regola di Sarrus A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 21 a 22, a 31 a 32
Esercizio 6. Calcolare il determinante di ciascuna delle seguenti matrici: 0 0 1 2 0 1 A = 2 2 5, B = 2 2 1 2. 1 1 2 3 2 3 Compito. Svolgere lo stesso esercizio per le matrici: 2 0 1 0 1 1 C = 2 3 0, D = 3 1 2 1 3. 4 1 2 0 2 0 E = [ ] 0 0, F = 1 2 [ ] 2 1. 6 3
Esercizio 6. Calcolare il determinante di ciascuna delle seguenti matrici: 0 0 1 2 0 1 A = 2 2 5, B = 2 2 1 2. 1 1 2 3 2 3 Compito. Svolgere lo stesso esercizio per le matrici: 2 0 1 0 1 1 C = 2 3 0, D = 3 1 2 1 3. 4 1 2 0 2 0 E = [ ] 0 0, F = 1 2 [ ] 2 1. 6 3
Calcolo del determinante di matrici particolari matrici diagonali di ordine n: prodotto degli elementi sulla diagonale, matrici triangolari di ordine n: prodotto degli elementi sulla diagonale. Esempio. Calcolare il determinante delle matrici: 3 0 0 0 0 0 0 0 A = 0 1 0 0 0 0 2 0, B = 0 7 0 0 0 0 12 0, 0 0 0 1 0 0 0 1 3 2 3 1 2 0 0 0 C = 0 1 0 4 0 0 2 2, D = 1 4 0 0 1 2 3 0. 0 0 0 1 0 0 0 4
Calcolo del determinante di matrici particolari matrici diagonali di ordine n: prodotto degli elementi sulla diagonale, matrici triangolari di ordine n: prodotto degli elementi sulla diagonale. Esempio. Calcolare il determinante delle matrici: 3 0 0 0 0 0 0 0 A = 0 1 0 0 0 0 2 0, B = 0 7 0 0 0 0 12 0, 0 0 0 1 0 0 0 1 3 2 3 1 2 0 0 0 C = 0 1 0 4 0 0 2 2, D = 1 4 0 0 1 2 3 0. 0 0 0 1 0 0 0 4
Calcolo del determinante di matrici particolari matrici diagonali di ordine n: prodotto degli elementi sulla diagonale, matrici triangolari di ordine n: prodotto degli elementi sulla diagonale. Esempio. Calcolare il determinante delle matrici: 3 0 0 0 0 0 0 0 A = 0 1 0 0 0 0 2 0, B = 0 7 0 0 0 0 12 0, 0 0 0 1 0 0 0 1 3 2 3 1 2 0 0 0 C = 0 1 0 4 0 0 2 2, D = 1 4 0 0 1 2 3 0. 0 0 0 1 0 0 0 4
Proprietà del determinante Sia A = [a ij ] Mat n (K). Allora: det A = det A T ; se B è la matrice ottenuta moltiplicando una riga o una colonna di A per α K, si ha det B = α det A; se A = [A 1... A n ] e C Mat n,1 (K), si ha det[a 1... A i + C... A n ] = = det[a 1... A i... A n ] + det[a 1... C... A n ], e analogamente se viene sommato un vettore riga; se A ha una riga (o una colonna) nulla, si ha det A = 0; se B è la matrice ottenuta scambiando di posto due righe (o due colonne) di A, allora det B = det A; se A ha due righe (o due colonne) uguali o proporzionali: det A = 0; det I n = 1.
Esempi. Date le matrici 2 0 1 0 2 2 A = 2 1 0, B = 3 1 2 1 3. 4 1 2 0 2 0 [ ] 0 2 C =, D = 1 2 [ ] 4 2, 6 3 a) calcolare det A e det A T e verificarne l uguaglianza; b) calcolare det B e calcolarlo estraendo il fattore 2 dalla prima e dalla terza riga; c) sommare alla seconda colonna di C il vettore [3 2] T e calcolare il determinante; d) verificare che det D = 0; e) scambiare di posto due colonne di A e calcolarne il determinante.