I numeri decimali in problemi di misura. La rappresentazione sulla retta II.b Si acquisisce familiarità con i numeri decimali anche attraverso attività di misura concrete, ad esempio con il tradizionale metro di fettuccia o il righello graduato. Un adeguata esercitazione consente inoltre di tenere uno stretto collegamento tra numeri decimali e frazioni; utilissimo il ricorso alla linea dei numeri. La misura delle lunghez ze costituisce un ambiente part i c o l a r m e n t e adeguato per lavorare sui numeri decimali e sulle frazioni decimali: basta osservare un righello e le Il righello è un tacche segnate su di esso, e ci si rende conto che importante la distanza fra due tacche lunghe consecutive, sussidio didattico uguale a un centimetro, è divisa in parti uguali, ciascuna delle quali è un millimetro. Dunque il numeri decimali per lavorare sui m i l l i m e t ro è la decima parte del centimetro, è e sulle frazioni 1/ di centimetro. Un discorso analogo si applica al metro e alla sua suddivisione: si stabiliscono decimali così le varie relazioni fra metro, decimetro, centimetro, millimetro. Sempre con l aiuto del righello o di un metro, si osserva che 3 centimetri sono 30 millimetri, 3/ di decimetro, 3/0 di metro e così via. Le attività di misurazione favoriscono la costruzione del significato dei numeri decimali. Cerchiamo di analizzare in dettaglio i vari passi che si compiono per la misura di un segmento AB, ad esempio in metri. In primo luogo è evidente che, salvo casi fortunati, la misura di AB non è espressa da un 60
n u m e ro intero. Proprio questa circostanza, familiare già a priori ai bambini che conoscono la loro altezza (1 metro e 20 centimetri; non si passa direttamente da 1 metro a 2 metri!) rappresenta una motivazione teorica e didattica per l introduzione dei numeri decimali. A 1 m 1 m 6 dm C P B Se 1 metro, cioè l unità di misura che abbiamo scelto, è contenuto due volte in AB, allora nella misura di AB l unica cifra prima della virgola è 2. Poi, si confronta la parte restante del segmento AB (in figura il segmento CB) con 1/ di metro, cioè con un decimetro. Anche questa volta, non è detto che CB sia uguale ad un numero intero di decimetri: ad esempio, potrà essere 6 dm, con un resto PB. È chiaro che, almeno in astratto, il procedimento può continuare indefinitamente; solo in casi particolari troveremo, prima o poi, un numero intero rispetto ad un opportuno sottomultiplo decimale del metro. Naturalmente, lo ribadiamo, questo è un discorso astratto: in pratica, gli strumenti di cui disponiamo non ci permettono di proseguire a piacere e, d altra parte, lo stesso disegno iniziale del segmento AB presenta margini di imprecisione. Da un punto di vista matematico, il procedimento teorico descritto giustifica l introduzione di numeri decimali illimitati: si considerano via via sottomultipli decimali dell unità di misura e si determinano le successive cifre della lunghezza del segmento, senza che, in generale, il procedimento abbia termine. Ma anche restringendosi ai numeri decimali limitati, la situazione è didatticamente delicata. Da un lato, la suddivisione di una unità è un fatto spontaneo in molte circostanze; come abbiamo accennato, già verso i 6-7 anni i bambini vengono implicitamente avvicinati alle frazioni attraverso semplici espressioni di uso quotidiano, quali un quarto d ora, mezzo litro di latte, un etto e mezzo di prosciutto e, in futuro, anche dieci centesimi di euro; quando poi, negli anni successivi, si affrontano le misure di peso, di capacità, le frazioni decimali intervengono in modo sistematico. 61
D altro lato, il passaggio dai numeri naturali ai numeri decimali richiede nel bambino il superamento di un concetto elementare di numero, legato esclusivamente all operazione di contare. In p a rt i c o l a re, esempi ed esercizi con gli insiemi, senz altro utili per visualizzare i numeri naturali e le loro prime proprietà, non sono altre t t a n t o adatti per illustrare i numeri decimali. Con i decimali il bambino supera il concetto di numero legato esclusivamente al contare Per favorire la maturazione di un nuovo concetto di numero, è opportuno far lavorare gli alunni con la linea dei numeri e con unità di misura concrete, come i tradizionali metro e decimetro di carta o di fettuccia, in modo che esprimano le loro misurazioni attraverso più unità che sono una 1/ dell altra (tutte le misure ufficiali fanno oggi riferimento alla base ). Ad esempio, un lato di un tavolo che misura 1 metro e 25 centimetri sarà misurato dai bambini in più modi: 1 metro e 2 decimi di metro e 5 centesimi di metro (1 m 2 dm 5 cm), 1 metro e 25 centesimi di metro (1 m 25 cm), 12 decimi e 5 centesimi di metro (12 dm 5 cm), 125 centesimi di metro (125 cm). I diversi modi di leggere la stessa misura, se appoggiati al concreto, sono tutti ugualmente accettabili per i bambini e costituiscono un utile momento prima della scrittura usuale con la virgola e della fissazione del metro come unità di misura (per cui, poi, è spontaneo scrivere 1,25 metri). Agli esempi tradizionali è ora utile affiancare semplici situazioni legate all euro: un prezzo di 1,50 euro si può pagare con un euro e una moneta da 50 centesimi, o con tre monete da 50 centesimi, o con 15 monete da centesimi, Quando si usano numeri decimali, va sottolineato il valore di ogni cifra, tanto della parte intera quanto della parte decimale. Ma, tornando alle lunghezze, è importante che i bambini capiscano che il modo di esprimere la misura cambia al variare dell unità o delle unità che abbiamo fissato, pur rimanendo inalterata la lunghezza da misurare: la distanza tra Piombino e Portoferraio non varia se viene espressa in nodi, miglia marine, chilometri, e così via. Vale la pena di richiamare l attenzione sul fatto che la scelta d e l l unità di misura dipende dal contesto: il contachilometri di un a u- tomobile non registra valori inferiori agli ettometri, per determinare 62
La scelta dell unità di misura dipende dal contesto la larghezza dell aula si usano metri, decimetri e forse centimetri, la misura di un segmento disegnato sul quaderno si esprime con centimetri e millimetri. Con alunni degli ultimi anni si può i n i z i a re un discorso sulle approssimazioni: fino a quale sottomultiplo dell unità è significativo, nei vari casi concre t i, p ro s e g u i re la misura? In questo quadro si colloca anche un confronto fra l euro e la lira: con quest ultima sono sufficienti i numeri interi (anzi, le monete di valore inferiore a L. 50 sono in disuso da decenni), mentre l euro richiede i centesimi. Che cosa è un metro? Il metro nasce come il segmento uguale ad un quarantamilionesimo dell equatore terrestre. Nel 1889 la Conferenza generale di pesi e misure, preso atto che la definizione precedente non era sufficientemente precisa, fece costruire un campione (conservato nel Museo di Sèvres a Parigi) da intendere come metro per definizione. Più recentemente, in adeguamento alle direttive europee, il Decreto del Presidente della Repubblica 802 del 1982 ha ridefinito il metro con riferimento alla lunghezza d onda della radiazione del cripto 86. Infine, la legge 473 del 1988 (Gazzetta Ufficiale del 9.11.88) ha precisato la nuova definizione di metro come «tragitto percorso dalla luce nel vuoto in un intervallo di 1 / 299 792 458 di secondo». Dalla misura dei segmenti si ritorna con facilità alla linea dei numeri, che offre anche un occasione per avviare gli alunni al problema dell ordinamento: un bambino abituato a collocare i numeri decimali sulla retta si appoggerà a questo modello per mettere in ordine numeri decimali assegnati, senza cadere nel consueto fraintendimento in base al quale è più grande il numero che ha la parte decimale più lunga. Sulla linea dei numeri troveranno posto sia i numeri decimali sia le frazioni decimali. 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 63
Si può poi ingrandire il primo decimo: 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 0 È opportuno poi proporre esercizi in cui si chiede di collocare sulla linea dei numeri vari numeri decimali, come: 1,7 3,4 5,14 2,06 ecc. aiutandosi eventualmente con l abaco per capire come sono fatti i n u m e r i. Un esercizio analogo consiste nel porre, lungo una retta graduata, opportuni cartellini, nei quali il bambino deve scrivere la frazione decimale o il numero decimale corrispondente al punto indicato. Ad esempio, si tratta di completare lo schema seguente, scrivendo numeri decimali (o in particolare interi) nei cartellini circolari e frazioni nei cartellini rettangolari. 0 0,2 0,6 1,5 1 5 1 2 4 5 1 1 In questo contesto non vanno trascurati esercizi di confronto, come i seguenti: trova un numero compreso fra 2 e 3, trova un numero compreso fra 2 e 2,1. Si tratta di fare implicitamente capire che possiamo sempre trovare un numero decimale compreso fra due numeri assegnati (si veda il paragrafo I.c); naturalmente, la presenza dello zero come cifra decimale comporta difficoltà che non vanno assolutamente trascurate. È bene 64
operare sempre uno stretto collegamento tra numeri decimali e frazioni. Se gli alunni riconoscono nei numeri decimali le frazioni corrispondenti, riescono ad ordinarli più facilmente. Abituiamoci a scrivere in modo corretto: invece di m 12 o di 12 m. occorre scrivere 12 m (con il simbolo «m» senza punto e dopo il numero); invece di 12 mq occorre scrivere 12 m 2 ; invece di 12 Km occorre scrivere 12 km (k minuscola); invece di 3 quintali occorre scrivere 300 kg (il q u i n t a l e è stato abolito, anche se per ora l uso in Italia è talvolta tollerato). Nel caso di monete, si usa scrivere il simbolo prima del numero: invece di 500 è meglio scrivere L. 500; invece di 0 $ è meglio scrivere $ 0; invece di è meglio scrivere. Ricordiamo infine le unità di misura legali del Sistema Internazionale (SI) e i relativi simboli: metro m kilogrammo kg secondo s ampere A kelvin K mole mol candela cd 65