Università di Bari - Dipartimento di Economia - Prova scritta di Matematica per l Economia L-Z- 9 Dicembre 06 - Traccia A Cognome e nome................................ Numero di matricola............ Studiare e tracciare il grafico della seguente funzione: f(x) = ln ( ) x + 3x 4 Dominio: D = ], [ ] 4 f(x) > 0 : 3, 5 [ f(x) < 0 : ], [ ] [ 4 3, + ] [ 5, + f(x) = 0 : x = 5 ( ) lim f(x) = ln lim f(x) = x ± 3 lim x f(x) = + x 4 + 3 f (x) = 7 3x x 4 f (x) > 0 MAI f (x) = 0 MAI f (x) < 0 x D f (x) = f (x) > 0 : f (x) < 0 : f (x) = 0 : 7(6x ) (3x x 4) ] 4 3, + [ ], [ MAI f(d) = R {ln( )} f biunivoca? SI. 3. Determinare un approssimazione dell equazione e x +5x = 0 con la precisione ɛ = 0 nell intervallo [0, ].. n a n b n c n f(a n ) f(b n ) f(c n ) 0 0 0.5 5.7 +.4 0 0.5 0.5.4 0.53 0 0.5 0.5 0.53 0.4 3 0.5 0.5 0.875
Quindi c 3 = 0.875 é una soluzione dell equazione con la precisione ɛ = 0. 3. Calcolare il seguente integrale: x arctan ( ) x + dx x : ( ) I = x x + arctan x x + arctan x + c 4. Data la seguente matrice: A = 4 h + h + 0 h 0 h Determinare i valori di h per cui la matrice A abbia rango pari a 3 Posto h = deteminare gli autovalori e i corrispondenti autovettori La matrice A é diagonalizzabile? Se si, determinare la matrice D e P che realizzano la diagonalizzazione della matrice A. det(a) = 4h. Se h 0 allora car(a) = 3. Gli autovalori di A sono: λ = λ = λ 3 = 4 Gli autovettori corrispondenti: x = (0, t 3, t) x = (0, t, 0) x 3 = (t, t 9, t 3 ) La matrice è diagonalizzabile perchè gli autovalori sono distinti. 5. Trovare e classificare i punti stazionari della funzione f definita dall espressione: : Le derivate parziali sono: f(x, y) = x 3 x y + y f x = 3x xy f y = x + y f xx = 6x y f xy = x f yy = I punti critici sono P = (0, 0) P (3, 9 ) La matrice Hessiana calcolata in P è semidefinita positiva e quindi P è di minimo relativo La matrice Hessiana calcolata in P ìndefinita e quindi P è un punto di sella.
Università di Bari - Dipartimento di Economia - Prova scritta di Matematica per l Economia L-Z- 9 Dicembre 06 - Traccia B Cognome e nome................................ Numero di matricola............ Studiare e tracciare il grafico della seguente funzione: f(x) = ln ( ) x + 3 x Dominio: D = ], 3 [ ], + [ f(x) > 0 : f(x) < 0 : ], 4[ ], + [ ] 4, 3 [ f(x) = 0 : x = 4 lim f(x) = ln () lim x ± f(x) = + lim x + f(x) = x 3 f (x) = 5 x +x 3 f (x) > 0 MAI f (x) = 0 MAI f (x) < 0 x D f (x) = f (x) > 0 : f (x) < 0 : f (x) = 0 : 5(4x+) (x +x 3) ], + [ ], 3 [ MAI f(d) = R {ln()} f biunivoca? SI.. Determinare un approssimazione dell equazione x 4x + x = 0 con la precisione ɛ = nell intervallo [0, ]. 0. n a n b n c n f(a n ) f(b n ) f(c n ) 0 0 0.5 3 0.835 0 0.5 0.5 0.835 0.6 0.5 0.50 0.375 0.6 0.8357 0.343 3 0.5 0.375 0.35
Quindi c 3 = 0.35 é una soluzione dell equazione con la precisione ɛ = 0. 3. Calcolare il seguente integrale: x arctan ( ) x dx x + : ( ) I = x x arctan x x + + arctan x + c 4. Data la seguente matrice: A = h h 0 h + 0 h Determinare i valori di h per cui la matrice A abbia rango pari a 3 Posto h = 0 deteminare gli autovalori e i corrispondenti autovettori La matrice A é diagonalizzabile? Se si, determinare la matrice D e P che realizzano la diagonalizzazione della matrice A. det(a) = (h ). Se h allora car(a) = 3. Gli autovalori di A sono: λ = λ = λ 3 = Gli autovettori corrispondenti: x = (0, t, t) x = (0, t, 0) x 3 = (t, t 3, t 3 ) La matrice è diagonalizzabile perchè gli autovalori sono distinti. 5. Trovare e classificare i punti stazionari della funzione f definita dall espressione: : Le derivate parziali sono: f(x, y) = x y xy x 3 f x = x y 3x f y = y x f xx = 6x f xy = f yy = I punti critici sono P = (0, 0) P ( 5 6, 5 ) La matrice Hessiana calcolata in P è indefinita e quindi P è un punto di sella. La matrice Hessiana calcolata in P `definita negativa e quindi P è un punto massimo relativo. La soluzione proposta ha il solo scopo didattico di confrontare i risultati. Ovviamente tutti i passaggi analitici che sono importanti nel compito sono stati omessi.
Università di Bari - Dipartimento di Economia - Prova scritta di Matematica per l Economia L-Z- Gennaio 07 Cognome e nome................................ Numero di matricola............ Studiare e tracciare il grafico della seguente funzione: f(x) = e x ln x Dominio: D = ]0, + [ f(x) > 0 : x D f(x) < 0 : MAI f(x) = 0 : MAI lim f(x) = + lim f(x) = + x 0 + x + ( ) f (x) = e x ln x x x ] [ f (x) > 0, + f (x) = 0 x = (min. rel.) f (x) < 0 f (x) = ex ln x (x 4 x + ) x f (x) > 0 : x D f (x) < 0 : MAI f (x) = 0 : MAI ] [ f(d) = f( ), + biunivoca? NO x = (min. ass.) ] 0, [. Approssimare la funzione f(x) = + x x con il polinomio di Taylor di ordine n = e punto iniziale x 0 = 0. f (x) = + x + x f (x) = 4 f(0) = 0 f (0) = f (0) = 0 f(x) x 3 ( + x) + 4 3 ( x) 3. Calcolare il seguente integrale:
x 3 + 3 x + dx : 4. Siano: A = I = x + 3 arctan x ln( + x ) + c 4 k 3 0 b = 0 x = x x x 3 Studiare, al variare di k R, il sistema Ax = b. det(a) = 4k. Se k 4 soluzione: Se k = 4 allora car(a) = car(b) = 3 e il sistema ammette un unica x = k + 0 4k x = k + 3 4k x 3 = 7 4k allora car(a) = e car(b) = 3 e quindi il sistema è incompatibile. 5. Trovare e classificare i punti stazionari della funzione f definita dall espressione: : Le derivate parziali sono: f x = f(x, y) = y ln(x 3) xy x 3 f y = ln(x 3) f xx = y(x + 3) (x 3) f xy = x x 3 f yy = 0 I punti critici sono P = (, 0) P (, 0) La matrice Hessiana calcolata sia in P e in P è indefinita poichè gli autovalori risultano essere di segno opposto, ossia: λ = 4 e λ = 4. Quindi P e P sono punti di sella.
Università di Bari - Dipartimento di Economia - Prova scritta di Matematica per l Economia L-Z- 5 Gennaio 07 Cognome e nome................................ Numero di matricola............ Studiare e tracciare il grafico della seguente funzione: f(x) = f(x) = arctan ( ) ln x Dominio: D = R {0, +, } f(x) > 0 : f(x) < 0 :], +[ {0} f(x) = 0 : lim x 0 f(x) = 0 x ], [ ] +, + [ MAI lim f(x) = π x lim x ± f (x) = x(ln x + ) f(x) = 0 lim f(x) = π x lim f(x) = π x + lim f(x) = π x + f (x) > 0 ]0, [ ], + [ f (x) < 0], [ ], 0[ f (x) = 0 MAI f (x) = (ln x + ) x [ln x + ] f (x) > 0 : x D {± e } f (x) < 0 : MAI f (x) = 0 : x = ± e f(d) = ] π, + π [ {0} f biunivoca? NO Non esistono massimi e minimi assoluti e relativi. Determinare un approssimazione dell equazione e x + 3x 3 = 0 con la precisione ɛ = 0 nell intervallo [, 0].. n a n b n c n f(a n ) f(b n ) f(c n ) 0 0 0.5 0.8.7 0.5 0.75 0.8.7 0.85 0.75 0.875 0.8 0.85 0.38 3 0.875 0.9375
Quindi c 3 = 0.9375 é una soluzione dell equazione con la precisione ɛ = 0. 3. Calcolare il seguente integrale: x 3 x 3x + dx x x 3 : I = x + 4 ln x 3 x + + c 4. Determinare gli autovalori ed i corrispondenti autovettori della matrice: 3 0 A = 0 0 Autovalori: λ = λ = λ = 3 Autovettori associati: x = (0, 0, t) x = (t, t, t) x 3 = (t, t, t) t 0 3 3 5. Studiare il segno della forma quadratica Q(x, y) = tx xy + ( + t)y al variare di t R. ( ) t La matrice A risulta essere: A = mentre l equazione caratteristica t + risulta: λ + λ( t) + t + t = 0 dove otteniamo: Possimo concludere che: λ = t + + 5 λ = t + 5 Se t > 5 allora λ > 0 λ > 0 e la forma quadratica é definita positiva Se t = 5 allora λ > 0 λ = 0 e la forma quadratica é semidefinita positiva Se t ] 5+, 5 [ allora λ > 0 e λ < 0 e la forma quadratica é indefinita Se t = 5+ allora λ = 0 e λ < 0 e la forma quadratica é semidefinita negativa Se t < 5+ allora λ < 0 e λ < 0 e la forma quadratica é definita negativa
Università di Bari - Dipartimento di Economia - Prova scritta di Matematica per l Economia L-Z- 08 Febbraio 07 Cognome e nome................................ Numero di matricola............ Studiare e tracciare il grafico della seguente funzione: f(x) = (6 x)e x Dominio: D = R {0} f(x) > 0 : x ], 6[ {0} f(x) < 0 : x ]6, + [ f(x) = 0 : x = 6 lim f(x) = 0 lim x 0 + f(x) = + lim x 0 f(x) = lim x + f(x) = + x f (x) = e x (x + x 6) x f (x) > 0 x ] 3, [ {0} f (x) < 0 x ], 3[ ], + [ f (x) = 0 x = 3, x = 3 (min relativo) x = (max relativo) f (x) = e x (3x 6) x 4 f (x) > 0 : x ], 6 [ 3 f (x) < 0 : x ] 6, + [ MAI 3 f (x) = 0 : x = 6 (Punto di flesso) 3 f(d) = ], 4e ] [9e, + [ f biunivoca? NO Non esistono massimi e minimi assoluti. Determinare un approssimazione dell equazione (x ) + ln(x) = 0 con la precisione ɛ = nell intervallo [, ]. 0. n a n b n c n f(a n ) f(b n ) f(c n ) 0.5 0.4 0.47.5.75 0.47 0.4 0.004.75.875 0.004 0.4 0. 3.75.875.85
Quindi c 3 = 0.9375 é una soluzione dell equazione con la precisione ɛ = 0. 3. Calcolare il seguente integrale: x(ln x ) dx : I = ln ln x ln x + + c 4. Risolvere il sistema (A kb)x = 0 al variare del parametro k R: 3 0 0 0 0 x A = 0 B = 0 0 x = x 3 0 0 x 3 La matrice (A kb) = 3 0 k 0 3 + k. Il det(a kb) = k 4 Se k 4 allora il sistema omogeneo ammette un unica soluzione, ossia quella banale x = 0 x = 0 x 3 = 0. Se k = 4 allora il sistema ammette soluzioni del tipo ( 3t, t, t) 7 7 5. Un azienda produce due beni, A e B. La funzione di costo per produrre x unitá di A e y unitá di B é la seguente: C(x, y) = 0.04x + 0.0xy + 0.0y + 4x + y + 500 Sapendo che il prezzo di vendita del bene A é di 5 mentre del bene B é di 9, determinare il livello di produzione x e y che massimizzano il profitto. Il profitto é Π(x, y) = 5x + 9y C(x, y) e quindi: Π(x, y) = 5x + 9y 0.04x 0.0xy 0.0y 4x y 500 Le derivate parziali sono: Π x (x, y) = 0.08x 0.0y Π y (x, y) = 7 0.0x 0.0y Π xx = 0.08 Π xy = 0 Π yy = 0.0 L unico punto critico é P 0 = (00, 300). Poiché la matrice Hessiana é definita negativa allora il punto P 0 é un punto di massimo.
Università di Bari - Dipartimento di Economia - Prova scritta di Matematica per l Economia L-Z- 05 Aprile 07 Cognome e nome................................ Numero di matricola............ Studiare e tracciare il grafico della seguente funzione: f(x) = ln ( x ) x + Dominio: D =], [ ] +, + [ f(x) > 0 : MAI f(x) < 0 : x D f(x) = 0 : lim f(x) = 0 lim x ± f (x) = MAI 4x (x + )(x ) f(x) = lim x f(x) = x + f (x) > 0 x ] +, + [ f (x) < 0 x ], [ f (x) = 0 MAI f 4(3x + ) (x) = (x + ) (x ) f (x) > 0 : MAI f (x) < 0 : x D f (x) = 0 : MAI f(d) = ], 0[ f biunivoca? NO Non esistono massimi e minimi assoluti. Determinare un approssimazione dell equazione e x 3x = 0 con la precisione ɛ = 0 nell intervallo [0, ].. n a n b n c n f(a n ) f(b n ) f(c n ) 0 0 0.5 0.36.0 0 0.5 0.5 0.36.0 0.35 0 0.5 0.5 0.36 0.35 0.003 3 0 0.5 0.065 Quindi c 3 = 0.065 é una soluzione dell equazione con la precisione ɛ = 0.
3. Calcolare il seguente integrale: 4 ( ) x + x ln dx x : ( ) I = x x + ln + x x ln(x + ) 4 ( ) x + Quindi x ln dx = I(4) I() = 5 x ln(5) 6 ln() + 3 4. Determinare gli autovalori, i corrispondenti autovettori della seguente matrice A: 0 0 A = 0 Dire se matrice A é diagonalizzabile. Se si, determinare inoltre la matrice D e P che realizzano la diagonalizzazione D = P AP Gli autovalori sono: λ = λ = λ 3 = I corrispondenti autovettori sono: La matrice D = x = (0, 0, t) x = ( t, t, t) x 3 = 0 0 0 0 0 0 ( t 4, t ) 4, t mentre la matrice P = il valore t = agli autovettori x e x e il valore t = 4 a x 3. t 0 0 0 4 attribuendo 5. Consideriamo un azienda con una funzione di produzione Cobb-Douglas f(x, y) = x y 3, nei fattori produttivi x (capitale) e y (lavoro). Il prezzo unitario del bene prodotto é, mentre i costi unitari dei fattori x e y sono rispettivamente e. Determinare le 3 quantitá da produrre per massimizzare il profitto dell azienda: Π(x, y) = RicaviT otali CostiT otali = x y 3 x 3 y Le derivate parziali sono: Π x (x, y) = x y 3 Π y (x, y) = 3 x y 3 3
Per determinare i punti critici dobbiamo risolvere il sistema: che diventa: e pertanto x y 3 = 3 x y 3 = 3 x y 3 = x y 3 = x y 3 = x y 3 da cui y x = e quindi y = x. Sostituendo y = x nella x y 3 = si ottiene y = e quindi x =. Quindi il punto critico é P = (, ). Le derivata parziali seconde sono: Π xx (x, y) = 4 x 3 y 3 Πxy (x, y) = 6 x y 3 Πyy (x, y) = 9 x y 5 3 Poiché la matrice Hessiana é definita negativa nel punto P, allora P é un punto di massimo. Quindi impiegando x = come primo fattore produttivo e y = come secondo fattore produttivo si ottiene il massimo profitto che é Π(,, ) = 6
Università di Bari - Dipartimento di Economia - Prova scritta di Matematica per l Economia L-Z- 07 GIUGNO 07 Cognome e nome................................ Numero di matricola............ Studiare e tracciare il grafico della seguente funzione: f(x) = x ln x ln x Dominio: D =]0, + [ {e } f(x) > 0 : x ]0, [ ]e, + [ f(x) < 0 : x ], e [ f(x) = 0 : x = lim f(x) = 0 lim x 0 + f(x) = + lim x + f (x) = ln (x) ln(x) ( ln(x) ) x e + f(x) = + lim x e f (x) > 0 x ]0, e [ ]e, + [ f (x) < 0 x ]e, e[ {e } f (x) = 0 x = e massimo relativo x = e minimo relativo f (x) = ln(x) 5 x( ln(x) ) 3 f(x) = f (x) > 0 : x ]e, e 5 [ f (x) < 0 : x ]0, e [ ]e 5, + [ f (x) = e 5 punto di flesso f(d) = ], 4 e [ ]e, + [ f biunivoca? NO Non esistono massimi e minimi assoluti. Determinare un approssimazione dell equazione x 5 3x + = 0 con la precisione ɛ = nell intervallo [0, ]. 0 3. Calcolare il seguente integrale: x 3 e x dx
: x 3 e x dx = x xe x Integrando per parti e ponendo g = x g = x f = xe x f = e x otteniamo: x xe x = [ ] x e x xe x = [ ] x e x e x 4. Studiare al variare del parametro k il sistema Ax = b dove: 0 ( A = k b = x x = x 0 5. Studiare e classificare i punti critici della funzione: f(x, y) = x + 3xy y 3 ) Le derivate parziali prime sono: f x (x, y) = x + 3y f y (x, y) = 3x 6y I punti critici sono A = (0, 0) e B = ( 9, 3 8 4). Le derivate parziali seconde sono: f xx (x, y) = f xy = 3 f yy = y Calcolando la matrice Hessiana risulta che il punto A é un punto di sella mentre B é un punto di massimo.
Università di Bari - Dipartimento di Economia - Prova scritta di Matematica per l Economia L-Z- Giugno 07 Cognome e nome................................ Numero di matricola............ Studiare e tracciare il grafico della seguente funzione: f(x) = arctan + 3x 3x Dominio: D = R { } 3 f(x) < 0 : x ], 3 [ ] 3, + [ f(x) > 0 : x ] 3, + 3 [ f(x) = 0 : x = 3 lim f(x) = π x + lim f(x) = +π x 3 3 f 3 (x) = + 9x lim x ± f(x) = +π 4 f (x) > 0 x D f (x) < 0 MAI f (x) = 0 MAI f (x) = 54x ( + 9x ) f (x) > 0 : x ], 0[ f (x) < 0 : x ]0, + [ { 3} f (x) = 0 : x = 0 punto di flesso f(d) = ] π, π { } π [ f biunivoca? SI Non esistono massimi e minimi 4 assoluti. Determinare un approssimazione dell equazione e x 3x 4 = 0 con la precisione ɛ = 0 nell intervallo [0, ]. : c 3 = 0.6875 3. Calcolare il seguente integrale: ln( x + ) x dx
: Per sostituzione x = t otteniamo: ln( x + ) dx = ln(t + ) dt x 4. t Integrando per parti: ln(t + ) dt = [t ln(t + ) dt] = [t ln(t + ) ( t + ) dt] = [t ln(t+) t+ln(t+)] = [ x ln( x+) x+ln( x+)]+c t + 5. Data la seguente matrice: A = h 0 0 h Determinare i valori di h per cui la matrice A abbia rango pari a 3 Posto h = 0 deteminare gli autovalori e i corrispondenti autovettori : Se h ± 6 allora car(a) = 3 altrimenti car(a) = Gli autovalori sono λ = λ = λ 3 = I relativi autovettori sono: x = (3t, 0, t) x = (0, t, t) x 3 = (0, 0, t) con t 0. 6. Data la funzione: f(x, y) = x arctan(x) + ycos(x) calcolare le derivata parziali prime e seconde. : f x = x arctan x + x + x y sin x f y = cosx f xx = arctan x + x( + x ) ( + x ) y cos(x) f xy = sin(x) f yy = 0
Università di Bari - Dipartimento di Economia - Prova scritta di Matematica per l Economia L-Z- Luglio 07 Cognome e nome................................ Numero di matricola............ Studiare e tracciare il grafico della seguente funzione: f(x) = ln(x 4x + 5) Dominio: D = R f(x) > 0 : x R {} f(x) < 0 : MAI f(x) = 0 : x = lim f(x) = + x ± f (x) = x 4 x 4x + 5 f (x) > 0 x ], + [ f (x) < 0 x ], [ f (x) = 0 x = (punto di minimo relativo e assoluto). f (x) = (x 4x + 3) (x 4x + 5) f (x) > 0 : x ], 3[ f (x) < 0 : x ], [ ]3, + [ f (x) = 0 : x = x = 3 punti di flesso f(d) = [0, + [ F biunivoca? NO. Determinare il polinomio di Taylor della funzione f(x) = 3 x di punto iniziale x 0 = e di ordine n =. : f() = f (x) = 3 x 3 f () = f (x) = 3 9 x 5 3 f () =. 9 Si ottiene che: f(x) + 3 (x ) (x ) 9 3. Calcolare il seguente integrale: x x x + x dx
: Per sostituzione x = t otteniamo: x x t x + x dx = t t + dt = t + t + dt = t 4t + 4 ln t + + c Ritornando alla variabile x avremo: x x x + x dx = x 4 x + 4 ln( x + ) + c 4. Studiare al variare del parametro k il sistema Ax = b dove: k ( A = b = 3 x x = x 4 5. Un azienda produce due beni A e B. Il costo giornaliero di produzione delle quantitá Q A di A e Q B di B é C(Q A, Q B ) = 0.(Q A + Q AQ B + Q B ). Ipotizzando che l azienda venda tutta la produzione di A al prezzo P A = 0 e B al prezzo P B = 90, calcolare i livelli di produzione che massimizzano il profitto. : Π(Q A, Q B ) = 0Q A + 90Q B 0.(Q A + Q A Q B + Q B) Dalle condizione di primo ordine Π = 0 0.Q A 0.0Q B = 0 Q A Π Q B = 90 0.Q B 0.0Q A = 0 otteniamo che (Q A = 500, Q B = 00). Calcolando la matrice Hessiana: ) Π Q A = 0.0 Π Q B = 0.0 Π Q A Q B = 0.0 avremo che H(500, 00) = ( 0.0 0.0 0.0 0.0 ) det(h ) = 0.0 < 0 det(h) = 0.03 > 0 la matrice Hessiana é definita positiva e quindi (Q A = 500, Q B massimo. = 00) é un punto di
Università di Bari - Dipartimento di Economia - Prova scritta di Matematica per l Economia L-Z- 06 Settembre 07 Cognome e nome................................ Numero di matricola............ Studiare e tracciare il grafico della seguente funzione: f(x) = xe ln(x) Dominio: D =]0, + [ {+} f(x) > 0 : x D f(x) < 0 : MAI f(x) = 0 : MAI lim f(x) = + lim x + f (x) = e ln x ln (x) ln (x) f(x) = 0 lim x 0 + f(x) = + lim x + + f(x) = 0 x + f (x) > 0 x ]0, e [ ]e, + [ f (x) < 0 x ] e, e[ {} f (x) = 0 x = e x = e. x = (max relativo) x = e (min relativo) e ( f (x) = e ln ) (x) ln(x) ln x x ln 4 (x) f (x) > 0 : x ]e, e + [ f (x) < 0 : x ]0, e [ ]e +, + [ f (x) = 0 : x = e x = e + punti di flesso f(d) =]0, e ] [e, + [ f biunivoca? NO. Determinare un approssimazione dell equazione x 4 e 5x = 0 con la precisione ɛ = 0 nell intervallo [, 0]. : c 3 = 0.565 3. Calcolare il seguente integrale: 3x + x dx
3x : + x dx = 3 ln( + x ) arctan x + c 3x + x dx+ + x dx = 3 x + x dx 4. Determinare gli autovalori e i corrispondenti autovettori della matrice A: 3 3 A = 0 6 0 3 + x dx = : Autovalori sono: λ = 0 λ = 3 λ 3 = 5. Corrispondenti autovettori: x = (t, 3t, t) x = (t, 0, 0) x 3 = ( 7 t, t, t), t 0 5. Calcolare le derivate parziali prime e seconde della funzione: : f x f +y = ex (x 4 + 5x + ) x f(x, y) = x e x +y +y = xex (x + ) f x y f y = x x +y ye +y = 4xyex (x + ) f y = x x +y e (y + )
Università di Bari - Dipartimento di Economia - Prova scritta di Matematica per l Economia L-Z- 0 Novembre 07 Cognome e nome................................ Numero di matricola............ Studiare e tracciare il grafico della seguente funzione: f(x) = arctan + e x Dominio: D = R f(x) > 0 : x D f(x) < 0 : MAI f(x) = 0 : MAI lim f(x) = 0 lim f(x) = π x + x 4 f e x (x) = (e x + e x + ) f (x) > 0 MAI f (x) < 0 x D f (x) = 0 MAI. f (x) = ex (e x ) (e x + e x + ) f (x) > 0 : x ] ln, + [ f (x) < 0 : x ], ln [ f (x) = 0 : x = ln punto di flesso f(d) =]0, π 4 [ f biunivoca? SI Non esistono massimi e minimi assoluti.. Determinare il polinomio di grado n =, punto iniziale x 0 = 0 della funzione f(x) = ln(x + ) x. : f(0) = 0 f + ) (x) = ln(x (x )(x + ) (x ) f (0) = f (x) = 4 (x + ) (x ) 4 ln(x + ) + f (0) = 0. Quindi: (x + )(x ) (x ) 3 3. Calcolare il seguente integrale: f(x) x
: x5 3x 4 + x + 3 x x 5 3x 4 + x + 3 dx = x x 5 3x 4 + x + 3 dx x = x 3 3x + x 3 + x x Quindi (x 3 3x +x 3) dx+ 4. Risolvere il sistema Ax = b al variare del parametro k, R dove: 0 x A = 3 x = x b = 6 x 3 k x x4 dx = x 4 x3 + x 3x+ln x +c : ( Il) determinante di A é nullo, ma considerando un matrice estratta del tipo 0 A = il det(a ) = e quindi car(a) =. Mentre se si estrae dalla matrice 0 0 completa B = 3 un minore di ordine tre del tipo B = 6 k k risulta che det(b ) = k e quindi se k allora car(b) = 3 e il sistema é incompatibile. Se k = il sistema ammette soluzioni ponendo x 3 = t e scegliendo le prime due equazioni: x = t x = t x 3 = t 5. Studiare il segno della seguente forma quadratica utilizzando i determinanti di Nord Ovest: Q(x, y, z) = x 3y + 4xy + xz 5yz : La matrice A = < 0 3 5 5 0 e quindi det(a ) = det(a ) = det(a) = 3 < 0 e quindi la forma quadratica é indefinita. 4