I regoli di Bombelli. La risoluzione delle equazioni di terzo grado

La risoluzione delle euazioni di terzo grado

La risoluzione delle euazioni di terzo grado: le varie tappe Già i Babilonesi sapevano risolvere, oltre alle euazioni di grado con Δ > 0, anche le euazioni di terzo grado in forma x = a x + x = a risolte consultando direttamente le tavole dei cubi e delle radici cubiche. Quando il valore cercato non risultava nelle tavole il risultato era interpolato risolte attraverso delle tavole che registravano i valori della combinazione n +n con n=1, 0 Erano in grado di risolvere anche le euazioni in forma ax + bx = c, riducendole alla forma precedente moltiplicando entrambi i membri dell euazione per a /b e così ottenendo ax b ax b ca b euazione di terzo grado nell incognita ax/b

L algebra del 500 Nel febbraio del 155 vi fu una disfida tra Antonio Maria Del Fiore e Niccolò Fontana da Brescia (1499-1557), meglio noto come Tartaglia, per risolvere trenta euazioni cubiche, del tipo x + px =.

Del Fiore si faceva forte della formula risolutiva trasmessagli dal suo maestro, Scipione dal Ferro, mentre Tartaglia si mise a cercare autonomamente la soluzione ai problemi proposti, giungendo a conoscere il metodo generale di risoluzione di ueste euazioni e vincendo la gara. Niccolò Tartaglia* (Brescia 1499 - Venezia 1557), raggiunse presto grande fama per la sua notevole cultura algebrica. Celebre è il Triangolo di Tartaglia, che fornisce una regola pratica per il calcolo dei coefficienti delle potenze successive di un binomio. * il suo vero cognome era Fontana. Gli fu attribuito il soprannome di Tartaglia poiché * divenne balbuziente in seguito alle ferite al * volto riportate durante il saccheggio di Brescia. Scipione Dal Ferro (1465-156), trovata nel 1515 la formula risolutiva delle euazioni di terzo grado mancanti del termine di secondo grado (ax +cx+d=0), decise di non pubblicarla e la trasmise ai suoi allievi (tra i uali Fiore). Dal Ferro giunse alla conclusione che un euazione di terzo grado potesse avere soluzioni esprimibili tramite radicali cubici (e non ua-dratici, come si credeva fino alla fine del Quattrocento).

Gli echi della disputa giunsero fino a Milano a Gerolamo Cardano, Gerolamo Cardano (Pavia 1501 - Roma 1576), conseguì a Padova i gradi di maestro di arti e dottore in medicina. Esercitò la professione di medico raggiungendo molta fama, finché nel 154 ottenne la cattedra di matematica presso le Scuole Palatine di Milano. Si dedicò allo studio delle euazioni algebriche di ualsiasi grado e pubblicò alcune opere relative a tale argomento tra le uali l Ars Magna, dove vi è enunciata anche la formula risolutiva delle euazioni di terzo grado, dovuta a Scipione dal Ferro e riottenuta da Tartaglia. che inizialmente intercedette con Tartaglia per mezzo del suo libraio di fiducia, chiedendo di rivelargli la regola scoperta. In cambio Cardano la avrebbe pubblicata nel Practica ed avrebbe citato Tartaglia.

Solo dopo avergli fatto credere che avrebbe potuto intercedere per lui presso il Governatore di Milano, Cardano riuscì a convincere il matematico bresciano. Così Tartaglia, ancora diffidente, gli comunicò la regola, seppure vincolando Cardano alla promessa di mantenerla segreta e sotto forma di poesia

I caso: x + px = Quando che cubo con le cose appresso Se agguaglia à ualche numero discreto x + px = trouan dui altri differenti in esso u - v = Dapoi terrai uesto per consueto che l lor producto sempre sia eguale al terzo cubo delle cose u v = p el residuo poi suo genere delli lor lati cubi ben sottratti varrà la sua cosa principale u v = x

7 p uv v u 7 ) ( p v v v u 0 7 p v v v u 7 4 1, p v 7 4 7 4 p p v 7 4 7 4 1 p p v 7 4 1 p u 7 4 p u 7 4 7 4 p p x Sostituendo i valori ottenuti nell euazione v u x

II caso: x + px = In el secondo de cotesti atti Quando che'l cubo restasse lui solo x = px + Tu osservarai uest'altri contratti Del numero farai due tal part'a volo u + v = Che l'una in l'altra si produca schietto El terzo cubo delle cose in stolo u v = p Delle ual poi, per comun precetto Terrai li lati cubi insieme gionti Et cotal somma sara il tuo concetto u + v = x

Procedendo in modo analogo al primo caso si ottiene che x 4 p 7 4 p 7 Tartaglia, osservando il terzo caso x + = px, conclude che esso dipende dal secondo caso. Cambiano però i segni.

Cardano si rese però conto che nel secondo e nel terzo caso la formula risolutiva non funziona uando (p^)/7 > (^)/4. In tal caso si dovrebbe estrarre la radice uadrata di un numero negativo. Ma ciò non era ritenuto possibile. Da ui l espressione CASO IRRIDUCIBILE. Intanto Del Fiore, umiliato da Tartaglia, rivela a Cardano che in realtà la formula di Tartaglia era stata precedentemente scoperta da Scipione Dal Ferro. Ricevuta conferma dal suo allievo, Ludovico Ferrari, che aveva avuto modo di vedere un uadernino di Dal Ferro nel uale era riportata la formula, Cardano si considerò libero dall obbligo di segretezza. Ampliata e generalizzata, inserì la formula nell Ars Magna.

Ars Magna Volume che avrebbe dovuto far parte dell enciclopedia Opus Perfectum, ma che poi fu l unico ad essere stampato. Capitoli XI, XII, XIII: dedicati alla risoluzione delle euazioni di terzo grado Capitolo XXXIX: de regula ua pluribus positionibus invenimus ignotam uantitatem è introdotta la formula risolutiva delle euazioni di uarto grado (attribuendo la paternità di essa a Ludovico Ferrari) Per trovare la formula generale in grado di risolvere ualsiasi euazione di terzo e uarto grado bisognava affrontare il cosiddetto caso irriducibile e stabilire perciò delle regole per manipolare le radices sophisticae (=le radici uadrate dei numeri negativi)

A trovare una soluzione a uesto problema sarà Rafael Bombelli (Bologna 156 Roma 157)

Le notizie riguardo la Vita di Bombelli non sono sufficienti e sicure Secondo lo storico della matematica Ettore Bortolotti la famiglia Mazzoli (che in seguito cambiò il suo cognome in Bombelli), appartenente alla nobiltà contadina bolognese, giunse a Bologna agli inizi del XIII secolo. I Mazzoli, ghibellini, erano schierati dalla parte dei signori della città, i Bentivoglio, che governarono Bologna dal 144. Quando papa Giulio II, nel 1506, riprese il controllo della città, i Bentivoglio furono isolati. Gli stessi Mazzoli videro confiscate le loro proprietà (che in seguito riottennero). Ritornato a Bologna, ualche anno dopo la cacciata dei Bentivoglio, Antonio Mazzoli sposò Diamante Scudieri, figlia di un sarto, e si dedicò al commercio della lana. I due ebbero sei figli, di cui Rafael fu il più grande.

Secondo altre documentazioni Nel corso del 500 vissero Domenico e Filippo Bombelli, due giuristi, di cui il secondo capostipite di una grande famiglia di notai, proveniente da Borgo Panigale. Da uesto Ettore Bortolotti ipotizzò anche l appartenenza di Bombelli a uesta famiglia. Ciò spiegherebbe il motivo per il uale il suo nome e uello della sua famiglia non sono presenti negli archivi; infatti uelli di Borgo Panigale furono distrutti da un incendio.

Nella prefazione dell Algebra Bombelli stesso ci informa di aver avuto come precettore Francesco Maria Clementi da Corinaldo, ingegnere idraulico che bonificò le paludi di Foligno in Umbria e che istruì Bombelli riguardo le problematiche idrauliche, tanto che il vescovo Ruffini affidò al matematico di lavorare alla bonifica delle paludi della Chiana in Toscana. Ed è proprio attorno al 1550, durante un interruzione dei lavori di bonifica, che Bombelli si dedicò alla stesura della sua opera in volgare italiano; la composizione dell Algebra, come lui stesso riporta, avvenne all hora che uasi era abbandonata l impresa della essicatione della palude

L Algebra Il manoscritto è un volume composto da 60 carte. 1. 16 carte contengono il frontespizio e l indice. 1 carte di testo numerate. carte di testo non numerate Per suddividere i capitoli o i libri differenti tra loro sono presenti delle carte totalmente bianche

Nella prefazione dell Algebra lo stesso Bombelli dichiara lo scopo dell opera: riordinare il materiale già esistente nel campo dell algebra in modo che chiunue potesse usufruirne facilmente, evitando così euivoci, che si sarebbero potuti creare a causa della difficoltà della disciplina o degli scritti troppo caotici già esistenti. I primi tre libri dell Algebra furono fatti stampare da Bombelli nel 1575. La sezione di algebra geometrica - uarto e uinto libro si ritenne perduta fino a uando Bortolotti la rinvenne nella biblioteca comunale dell Archiginnasio di Bologna nel 199. L intera opera fu pubblicata nel 1966.

Bombelli, durante la scrittura, si avvale di alcuni lavori anteriori: Il libretto dello scienziato persiano Muhammad ibn Musa, dal uale riprende degli elementi per stabilire l etimologia del vocabolo algebra La Summa di Pacioli Scritti di Cardano, Tartaglia e Ferrari I primi cinue libri dell Aritmetica di Diofanto, che Bombelli ebbe modo di studiare e tradurre durante un viaggio a Roma. Portò così alla luce le opere del matematico greco, riportando alcuni suoi problemi tradotti in italiano nel terzo libro dell Algebra.

Nel libro primo per uanto riguarda l estrazione di radice cubica Bombelli prevede una costruzione in linea corrispondente a uella attribuita a Platone. Questa prevede l uso di suadri materiali. Si tracci il segmento unitario cd perpendicolarmente al segmento dato de (del uale si deve trovare il lato cubico). Si disponga il primo suadro in modo che uno dei lati passi per il punto c ed il vertice appartenga al prolungamento di de e il secondo suadro tale che un lato passi per e ed il vertice giaccia sul prolungamento di cd. Si ottengono così due triangoli rettangoli gfc e gfe. Osserviamo che gd e df sono medi proporzionali tra cd e de. fd rappresenta il lato cubico di de

Nell ambito dei binomi e dei residui cubici, espressioni del tipo ( a) ( b ), compaiono le radici cubiche di numeri complessi, allora definite da Bombelli un altra sorte di radici cubiche legate. Bombelli non specifica la natura delle radici cubiche legate a b, con b>0, ma osserva che per i radicandi a b non possono valere le usuali regole di calcolo, perché radici uadrate di uantità negative che non possono dirsi né positive né negative, ma un terzo genere di cosa, come definite da Cardano

Bombelli necessita dunue, di inventare dei nuovi segni e di stabilire delle appropriate leggi di composizione per essi, al fine di manipolare le radici cubiche complesse e risolvere il caso irriducibile, come si può ben vedere dal seguente passo: la ual sorte di Radici uadrate ha nel suo Algorismo diversa operatione dall altre e diverso nome; perché uando il cubato del terzo de li tanti è maggiore del uadrato della metà del numero esempio: x= px + se p lo eccesso loro non si può chiamare né più né meno,però lo chiamerò più di meno uando egli si dovrà aggiongere, e uando si doverà cavare lo chiamerò men di meno [ ] e prima tratterò del moltiplicare ponendo la regola del più e del meno

Più via più di meno, fa più di meno; [(+ 1 ) (+ i) = + i] Meno via più di meno, fa meno di meno; [(-1 ) (+ i) = - i] Più via meno di meno, fa meno di meno; [(+ 1 ) (- i) = - i] Meno via meno di meno, fa più di meno; [(-1 ) (- i) = + i] Più di meno via più di meno, fa meno; [(+ i ) (+ i) = - 1] Più di meno via men di meno, fa più; [(+ i ) (- i) = + 1] Meno di meno via più di meno, fa più; [(- i ) (+ i) = + 1] Meno di meno via men di meno, fa meno. [(- i ) (- i) = - 1]

Al fine di ridurre il caso irriducibile, Bombelli deve però ridurre le redices sophisticae ad espressioni manipolabili facilmente. Per prima cosa nota che soddisfatte le condizioni sottoriportate: x y a b purchè siano a a b x x xy y

Da ueste condizioni preliminari Bombelli introduce la trattazione vera e propria delle euazioni di terzo grado nel libro secondo, sviluppata secondo lo schema espositivo: Esposizione della regola in forma retorica Esempi numerici Costruzione geometrica della soluzione Già Cardano, nell Ars Magna, seguì uesto schema: visibile uesto nella rilettura dell algoritmo risolutivo di Tartaglia attraverso la decomposizione delle euazioni cubiche in cubi e parallelepipedi

Dovendo affrontare il problema della rappresentazione geometrica, Bombelli prende come spunto l Ars Magna e realizza due costruzioni fornite per il caso x +px= prima costruzione: ricalca il metodo cardaniano di ++decomposizione in cubi e parallelepipedi, utilizzando anche ++lo stesso esempio guida x +6x=0 seconda costruzione (proposta ui di seguito): riprende il ++metodo grafico precedentemente proposto per l estrazione ++della radice cubica ed è dunue anch esso in linea ed ++utilizza due suadri materiali che vengono disposti per ++tentativi

Data l euazione x +6x=0 si costruisce il uadrato lhi di lato hi= 0 ed il segmento hc di lunghezza 6 (con hc hi). Fissato il segmento dc come unità di misura, si posizionano gli suadri e in modo tale che il vertice di uno suadro scorra sul segmento hi e l altro sul segmento ac (ac dc) ed in modo tale che bc = mh. Tramite teoremi euclidei si dimostra che bc e mh rappresentano la soluzione della cubica data.

La trattazione del secondo caso (irriducibile), con euazione px + = x inizia con l enunciazione della regola scritta seguita dall esempio numerico x = 1x + 9 alla uale era applicabile la regola esposta da Cardano; infatti aggiungendo ad entrambi i membri 7 essi risultano divisibili per x +. Ciò porta all euazione di secondo grado x x = 0. In uesti casi è possibile elaborare una rappresentazione geometrica di un euazione cubica attraverso cubi e parallelepipedi.

Nel caso in cui non sia possibile fare una manipolazione per giungere ad un euazione di secondo grado, Bombelli afferma che è comunue possibile elaborare una rappresentazione grafica in linea, come dice nel seguente estratto: Et benché a molti parerà uesta cosa stravagante, perché di uesta opinione fui ancho già un tempo, parendomi più tosto fosse sofistica che vera, nondimeno tanto cercai che trovai la soluzione, la uale sarà ui sotto notata, sì che uesta ancora si può mostrare in linea

Data l euazione x = 6x + 4, assunto ml come segmento unitario e lf = 6, costruisco il rettangolo abfl di area uguale a 4. Dispongo uno suadro con il vertice vincolato a scorrere su li e a passare per il punto m. L altro in modo tale che un braccio possa scorrere sulla retta ad. Quando i due bracci si intersecano nel punto g li rappresenta la radice dell euazione cubica data. Grazie a uesta tipologia di costruzioni Bombelli viene convinto dell utilità delle radices sophisticae cardaniane, sollecitandolo alla costruzione di opportune regole di calcolo.

Tuttavia la diffusione dell Algebra nella comunità scientifica fu molto limitata e i nuovi segni inventati da Bombelli, nonché le particolari radici cubiche legate, non videro uno sviluppo reale. I numeri complessi vengono concepiti come una sorta di soluzioni di problemi. Dovranno dunue imporsi altri problemi per portare i numeri complessi all attenzione dei matematici, e renderli così oggetto di studio, acuistando un oggettiva esistenza matematica.

Presentazione e strumento a cura di: Anna Attanasio Arianna Galanti Morgana Magalotti Sofia Santilli

... e dopo tanto lavoro, fatica, inconvenienti, api e divertimento