Diagrammi polari, di Nyquist e di Nichols
Definizione (1/2) Il diagramma di Nichols (DdNic) di una fdt consiste nella rappresentazione grafica di G(s) s= jω = G(jω) = M( ω)e jϕ( ω), per ω (, ) sul piano cartesiano ϕ M gradi db 2
Definizione (2/2) Nel DdNic la variabile indipendente ω diventa la coordinata curvilinea (un punto sul piano ϕ M per ciascun valore di ω) Per ovvi motivi i valori dell ascissa possono essere limitati (ma non è obbligatorio) tra 18 e +18 oppure tra e +36 oppure tra 36 e ; nel prosieguo si opterà preferibilmente per l intervallo 36 3
Esempio 1 (1/2) Modulo (db) 6 4 2-2 -4-6 2(s +.1) G(s) = 2 s(s +.2s + 1)(s + 1) A D B C ω + ω -8-36 -315-27 -225-18 -135-9 -45 Fase ( ) 4
Esempio 1 in Matlab 5
1 1(s + 1) G(s) = 2 s (s + 2)(s + Esempio 2 (1/2) 4) 5 Modulo (db) -5-1 -36-315 -27-225 -18-135 -9-45 Fase ( ) 6
Esempio 2 in Matlab 7
Lettura di m G sul DdNic Il margine di guadagno può essere letto anche sul diagramma di Nichols di G a (jω), osservando che il punto A corrisponde all intersezione del diagramma con l asse verticale a fase -18 o 4 2 Nichols Chart n i,a = m G,dB Open-Loop Gain (db) -2-4 -6 A R -8-1 1/m G -12-27 -225-18 -135-9 Open-Loop Phase (deg) ω π 8
Lettura di m ϕ sul DdNic Il margine di fase può essere letto anche sul diagramma di Nichols di G a (jω), osservando che il punto C corrisponde all intersezione del diagramma con l asse orizzontale a db 4 2 Nichols Chart m ϕ n i,a = Open-Loop Gain (db) -2-4 -6 m ϕ R = 1-8 C R -1-12 -27-225 -18-135 -9 Open-Loop Phase (deg) ω c 9
Margini di stabilità
La carta di Nichols (1/2) I luoghi a M (modulo) costante e a N (fase) costante possono essere tracciati anche sul piano di Nichols: il loro insieme costituisce la carta di Nichols 4 Generata in Matlab con il comando: ngrid( new ) 3 2 1.25 db.5 db 1 db 3 db 6 db db -1 db -3 db -6 db -1-12 db -2-2 db 9 18 27 36 11
La carta di Nichols (2/2) Sovrapponendo alla carta di Nichols il diagramma di Nichols della funzione d anello G a (jω), è possibile ricavare il valore di modulo e fase di W y (jω) per ogni ω Sono di particolare interesse i luoghi a modulo costante, poiché permettono di trovare un legame fra M r e m ϕ e fra M r e m G 12
I luoghi a M costante sul piano di Nichols 2 M = -3dB M = 3dB M = 15 1 5-5 -1-15 -2-25 -36-345 -33-315 -3-285 -27-255 -24-225 -21-195 -18-165 -15-135 -12-15 -9-75 -6-45 -3-15 13
Legame fra M r e m ϕ (1/3) M r,lim M < M r,lim 2 15 1 DdNic di G a esterno alla curva M r,lim 2 db 3 db 1 db 5-5 -1-15 -2 G a 2 db < M r < 3 db -25-36 -345-33 -315-3 -285-27 -255-24 -225-21 -195-18 -165-15 -135-12 -15-9 -75-6 -45-3 -15 14
Legame fra M r e m ϕ (2/3) M < M r,lim 2 m ϕ > m ϕ,lim 15 M r,lim 1 5-5 -1-15 m ϕ,lim -2 G a -25-36 -345-33 -315-3 -285-27 -255-24 -225-21 -195-18 -165-15 -135-12 -15-9 -75-6 -45-3 -15 m ϕ 15
Legame fra M r e m ϕ (3/3) La condizione che il diagramma di Nichols di G a (jω) risulti esterno alla curva M = M r,lim è necessaria e sufficiente a garantire M r < M r,lim La condizione m ϕ > m ϕ,lim (ove m ϕ,lim è il margine di fase letto in corrispondenza della curva M = M r,lim ) è necessaria ma non sufficiente per garantire M r < M r,lim Se il DdNic di G a (jω) interseca la curva M = M r,lim a pulsazioni inferiori alla ω c (alla quale viene letto m ϕ ), la W y (jω) presenta M r > M r,lim anche quando m ϕ > m ϕ,lim 16
Un esempio (1/3) 2 2(s + 5)(s + 12) (1 +.7s) F(s) = ; C(s) = 1 s(s + 4)(s + 7.2s + 16) (1 +.175s) 2 2 Si vorrebbe ottenere in catena chiusa: M r < 2 db Magnitude (db) 1 8 6 4 2-2 -4-6 -8-1 -9 DdB della fdt d anello: G a (s) = C(s)F(s) Phase (deg) -135 o m ϕ 64-18 1-1 1 1 1 1 2 1 3 1 4 Frequency (rad/sec) 17
Un esempio (2/3) 2 2(s + 5)(s + 12) (1 +.7s) F(s) = ; C(s) = 1 s(s + 4)(s + 7.2s + 16) (1 +.175s) 2 2 m ϕ soddisfa la condizione necessaria per avere M r < 2 db: m ϕ > 48 o Nonostante ciò, il DdNic di Ga(jω) interseca la curva M = 2 db Open-Loop Gain (db) 2 15 1 5-5 -1-15 2 db -2-36 -315-27 -225-18 -135-9 -45 Open-Loop Phase (deg) m ϕ m ϕ,lim = 48 o G a 18
Un esempio (3/3) 2 2(s + 5)(s + 12) (1 +.7s) F(s) = ; C(s) = 1 s(s + 4)(s + 7.2s + 16) (1 +.175s) 2 2 Il picco di risonanza della fdt in catena chiusa è superiore a 2 db Magnitude (db) 1-1 -2-3 -4-5 -6-7 -8 M r = 2.23 db Bode Diagram -45 Phase (deg) -9-135 -18 1 1 1 1 2 1 3 1 4 Frequency (rad/sec) 19
Legame fra M r e m G (1/4) M < M r,lim 2 DdNic di G a esterno alla curva M r,lim 15 M r,lim 1 5-5 -1-15 -2 G a -25-36 -345-33 -315-3 -285-27 -255-24 -225-21 -195-18 -165-15 -135-12 -15-9 -75-6 -45-3 -15 2
Legame fra M r e m G (2/4) M < M r,lim 2 m G > m G,lim 15 M r,lim 1 5 m G,lim -5 m G -1-15 -2 G a -25-36 -345-33 -315-3 -285-27 -255-24 -225-21 -195-18 -165-15 -135-12 -15-9 -75-6 -45-3 -15 21
Legame fra M r e m G (3/4) La condizione m G > m G,lim (ove m G,lim è il margine di guadagno letto in corrispondenza della curva M = M r,lim ) è necessaria ma non sufficiente per garantire M r < M r,lim Se il DdNic di G a (jω) interseca la curva M = M r,lim a pulsazioni inferiori alla ω π (alla quale viene letto m G ), la W y (jω) presenta M r > M r,lim anche quando m G > m G,lim 22
Legame fra M r e m G (4/4) Poiché m G,lim risulta contenuto anche per piccoli valori di M r,lim, il soddisfacimento di m G > m G,lim risulta spesso insufficiente a garantire M r < M r,lim Nell esempio precedente il margine di guadagno era infinito e quindi superiore a qualunque m G,lim considerato, indipendentemente dall effettivo picco di risonanza N.B.: Nella pratica dinamiche di alta frequenza trascurate nel modello e vincoli tecnologici impediscono al margine di guadagno di essere infinito 23
Relazioni numeriche fra margini e M r I legami fra picco di risonanza e margini di stabilità ricavati dalla carta di Nichols possono essere espressi numericamente come: 2 4Mr,lim 1 Mr,lim mϕ,lim = arctan, m 2 G,lim = 2Mr,lim 1 Mr,lim + 1 con m ϕ,lim in rad, M r,lim e m G,lim in unità naturali o ( mϕ ) 6 5 gradi ( M ) ( mg,lim ) 6.4 ( Mr,lim ),lim r,lim db db db Approssimazioni valide per db < M r,lim <6dB 24
Osservazioni conclusive La condizione M r < M r,lim, se rispettata, garantisce una buona robustezza della stabilità, con soddisfacenti margini di fase e di guadagno (rispettivamente pari almeno a m ϕ,lim e m G,lim ) Le condizioni m ϕ > m ϕ,lim e m G > m G,lim non garantiscono con assoluta certezza che il picco di risonanza risulti inferiore a M r,lim, anche se il suo valore è comunque contenuto in presenza di buoni margini di stabilità 25