s (p) Quindi il piano tangente in Ψ(s, t) può esser espresso agevolmente in forma cartesiana dall equazione = 0. (x φ(s,t),y ψ(s,t),z ζ(s,t)) Ψ

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1 Analisi Matematica II, Anno Accademico Ingegneria Edile e Architettura Vincenzo M. Tortorelli FOGLIO DI TEORIA n. 6bis VARIETÀ, TEOREMA DEL RANGO E SUPERFICIE PARAMETRICA Sottovarietà Avendo dato una nozione precisa di tangenza a sottoinsiemi degli spazi cartesiani solo per i grafici di funzioni differenziabili è naturale considerare questa nozione per sottoinsiemi che vicino ad ogni loro punto (localmente) possono esser visti come grafici. Il teoremi del Dini delle funzioni implicite e il teorema del rango permetteranno, in ipotesi di matrice Jacobiana di rango massimo, di usare questa nozione rispettivamente per luoghi di zeri e immagini di restrizioni di funzioni vettoriali. Sottovarietà: denotando le variabili coordinate (x 1,...x N ) in R N, dato 0 < M < N, un sottoinsieme E di R N si dice sottovarietà M dimensionale di classe C K se: per ogni q E vi è un intorno W aperto in R N di q per cui W E coincide con il grafico su un aperto A R M di una funzione f = (f j1,...,f jn M ) = (x j1,...,x jn M ) ( C K (A) ) N M, delle rimanenti M coordinate x i1,...,x im. Osservazione: precisamente {j 1,...,j N M } e {i 1,...,i M } sono una partizione di {1,...,N}, e la loro scelta dipende da q e da W. Quindi se e 1,...,e N è la base canonica di R N, si intende che per (x i1,...,x im ) A si identifica ((x i1,...,x im ), (f(x i1,...,x im )) x ih e ih + f jk (x i1,...,x im )e jk, e 1 h M 1 k N M questi sono tutti e soli gli elementi di W E. In questo senso si ha q (p,f(p)) per qulache p A. Osservazione: - volendo estendere al caso M = N, una sottovarietà di dimensione N di R N non sarebbe altro che un aperto di R n stesso. In un certo senso la funzione f sarebbe la funzione vuota senza alcuna componente. - Volendo estendere al caso M = 0, una sottovarietà di dimensione 0 di R N non sarebbe altro che un insieme E di punti isolati in E. Osservazione: per M = 1 grazie al teorema del rango baby, cfr. FT.4, la nozione ora data viene a coincidere con quella di insieme che localmente è sostegno di una cammino regolare. Osservazione: per avre un surrogato di sottovarietà regolare a tratti per M > 1 cfr. FT9. Punti di frontiera regolari: sia A R M aperto si dice che p A è C K regolare se: vi è un intorno U aperto in R M di p per cui U A e U A sono rispettivamente - l intersezione di U con il sottografico chiuso, e con il grafico, di una funzione reale ψ di M 1 tra le coordinate y 1,...,y M di R M, - definita su un aperto B di tale R M 1, ψ C K (B). Osservazione: - tale nozione permette di riconoscere le direzioni che, vicino a p, escono da A. - Per M = 2 è semplice estendere la definzione di C k a tratti richiedendo che il grafico sia di una funzione continua e C k a tratti (segmenti aperti), cfr. FT Appendice 2 e FT 9. Aperti regolari: un aperto A di R M si dice C K regolare (ovvero sottovarietà M-dimensionale con bordo C K di R M ) se ogni suo punto di frontiera è C k regolare. Osservazione: - in particolare A è una sottovarietà M 1-dimensionale di R M. - La condizione è più impegnativa: per esempio A = R 2 \ {(x, 0) : x R} è un aperto di R 2, la sua frontiera, la retta {(x, 0) : x R}, è regolare. Ma per ogni intorno U di un punto (x, 0) della frontiera di A, U A = U R 2 = U non è intersezione tra se stesso e il sottografico di alcuna funzione ψ per cui (x, 0) = (s,ψ(s)) o (x, 0) = (ψ(t),t).

2 Sottovarietà con bordo: un sottoinsieme E di R N si dice sottovarietà, M dimensionale di classe C K, con bordo se: per ogni q E - o vale la condizione di definizione di varietà, nel qual caso q si dirà interno relativamente ad E, q ie; - - oppure vi è un intorno W aperto in R N di q per cui W E coincide con - il grafico di una funzione f ( C K (U A) ) N M, di M variabili tra le coordinate x1,...,x N di R N, a valori nell R N M R N ortogonale individuato dalle rimanenti coordinate, - definita su U A, con A aperto C K -regolare di tale R M, e U aperto di R M per cui U A e U A sono le intersezioni con il sottografico e con il grafico di una funzione. - Infine q Graf f U A cioè q (p,f(p)) (s,ψ(s),f(s,ψ(s))), p = (s,ψ(s)) A. In tal caso q si dirà di bordo per E, q be. Osservazione: - per definzione il bordo di una varietà M dimensionale con bordo, è una varietà M 1 dimensionale (... senza bordo). -L unione tra il semipiano aperto {(x, y) : y < 0} e la semiretta aperta {(x, 0) : x < 0} è una varietà con bordo. Mentre l unione tra {(x,y) : y < 0} con la semiretta chiusa {(x, 0) : x 0} non è una varietà con bordo. Osservazione: anche quando E non sia sottovarietà, si dirà che q E è punto regolare interno o punto di bordo regolare qualora soddisfi le rispettive condizioni. Osservazione: per M = 2 è semplice estendere la definzione e precisare quando q sia punto di bordo regolare a tratti C k : q (s,ψ(s),f(s,ψ(s)) con ψ continua C k a tratti. Con ciò si da la definizione di 2-varietà con bordo regolare a tratti. Per M > 2 cfr.ft 9. Piano tangente. Sia E una sottovarietà M-dimensionale, almeno C 1, di R N, con bordo o meno. Sia q E. Il tangente a E in q è il piano tangente, M dimensionale, in q al grafico che coincide, nell intorno di q, con E. Vettori tangenti esterni nei punti di bordo. Sia q be. - Un vettore H tangente a E in q si dice esterno se, detta H la sua componente ortogonale al piano tangente a bσ, si ha: H 0, e per ogni curva regolare γ : [0;ε[ E tale che γ(0) = q si ha γ (0) H N 0. - La è equivalente a: ϕ : ϕ(0) = q, ϕ (0) = H vi è δ per cui se 0 < t < δ allora γ(t) E. Con questa si estende la definizione quando q sia punto di bordo regolare a tratti, M = 2. - Un vettore J tangente a E in q bσ si dirà normale esterno se è normale al tangente a be e se per γ : [0;ε[ E, γ(0) = q si ha γ (0) J N 0. Teorema del rango Teorema del rango Siano p A = A o R M, Ψ : A R m, m > M, Ψ ( C K (A) ) m. Se D p Ψ JΨ(p) ha rango massimo, allora esiste un intorno U A aperto in R M di p per cui i - JΨ(s) ha rango massimo per ogni s = (s 1,...,s M ) U, - Ψ U =: Φ è iniettiva, - ha inversa continua. ii - Im U Ψ è il grafico di una funzione di M variabili tra le coordinate x 1,...x m in R m a valori nello spazio ortogonale R m M R m individuato dalle rimanenti m M coordinate. - Come variabili indipendenti x i1,...,x im si sceglono quelle per cui det ( ih s k (p) - Quindi Im U Ψ è una sottovarietà M dimensionale C K di R m. iii - Si può pertanto definire il piano tangente M dimensionale in Ψ(p) a Im U Ψ. - Esso coincide con il piano M dimensionale in R m dato da ImD P Ψ + Ψ(p), ovvero - dato in forma parametrica da Ψ(p) + JΨ(p)s = Ψ(p) + s 1 (p) s M (p) t 1 t M al variare di s R M. ) 0.

3 Osservazione: la condizione D p Ψ di rango massimo equivale a (p),..., (p) sono linearmente indipendenti in R m, ovvero det t JΨ(p)JΨ(p) 0. s 1 s M Osservazione: in particolare una base della giacitura piano tangente è proprio data dalle velocità dei cammini immagine (mediante Ψ) degli M assi coordinati passanti per p, cioè le derivate parziali (p),..., (p). s 1 s M Osservazione: nel caso bidimensionale Ψ(p) = (φ(p),ψ(p),ζ(p)), nello spazio tridimensionale (M = 2, p = (s,t) R 2, ed m = 3, X = (x,y,z) R 3 ) la condizione di rango massimo di D p Ψ è equivalente a (p) (p) (0, 0, 0). s t Quindi il piano tangente in Ψ(s, t) può esser espresso agevolmente in forma cartesiana dall equazione (x φ(s,t),y ψ(s,t),z ζ(s,t)) (s,t) s t (s,t) ovvero l annullarsi del determinante della matrice 3 3 ( ) det X Ψ(p) s (p) t (p) = 0. Osservazione: la novità non è tanto nell asserire che (p),..., (p) sono vettori tangenti, essendo velocità dei cammini regolari Ψ(p + tε i ), ε 1,...,ε M base canonica di R M, ma s 1 s M nell asserire che Im U Ψ ha piano tangente! Dimostrazione, un cenno: la dimostrazione segue la falsariga del teorema del rango baby per sostegni di cammini regolari e il teorema di invertibilità locale: Teorema di invertibilità locale: se la matrice jacobiana JΓ(p) di una funzione Γ da A R M in R M che sia C K, K 1, è invertibile, allora una restrizione di Γ ad un intorno aperto U di p ha immagine un intorno aperto V di Γ(p), è invertibile su V, con inversa continua anzi C K e quindi differenziabile. Quindi ( poichè) il rango della matrice jacobiana JΨ(p) è massimo vi sono x i1,...,x im per cui ih det (p) 0. s k Per( continuità ) di tale determinante e permanenza del segno vi è un intorno Ũ di p per cui ih det (s) 0 per s s Ũ. k Alla funzione Γ = Ψ i1 e i Ψ im e im (essendo e 1,...,e m la base canonica di R m ) definita su Ũ a valori nell R M R m generato da e i1,...,e im si applica quindi il teorema di invertibilità locale. Ristretta ad un opportuno U ha inversa Θ regolare su un intorno aperto V di Γ(p). Pertanto, dette x j1,...,x jm M le rimanenti coordinate di R m, si ha per t = Γ(s) V, s U: Ψ jk (s) = Ψ jk (Θ(t)) = Ψ jk (Θ(t 1 e i t M e im )), cioè l immagine di Ψ su U è grafico della funzione Ψ j1 oθe j Ψ jm M oθe jm M delle coordinate t. = 0.

4 Superficie parametrica Superficie parametrica: sia D o = D R M, connesso per archi (cfr. FT 3). Una Ψ : D R m, m > M, continua si dice superficie parametrica, in breve superficie. Superficie regolare e con bordo: - Ψ è regolare semplice di dimensione M se: - - Ψ C 1 (D o ); - - i punti di D o sono di iniettività su D; - - D p Ψ ha rango massimo, p D o. - Una superficie Ψ si dice regolare in senso forte e semplice se: - - D è limitato (quindi compatto); - - Ψ C 1 (D); - - i punti di D o sono di iniettività su D; - - D p Ψ ha rango massimo, p D; - - nei punti p, q D per cui Ψ(p) = Ψ(q) si ha ImD p Ψ = ImD q Ψ, ovvero le M immagini, mediante Ψ, delle linee coordinate di R M per p e rispettivamente per q, hanno le M velocità, (p),..., (p) e (q),..., (q) che generano lo stesso s 1 s M s 1 s M sottospazio vettoriale di R N. - Una superficie Ψ si dice con bordo regolare e semplice se: - - D è limitato; - - D o è un aperto regolare; - - Ψ C 1 (D); - - Ψ è iniettiva su D; - - D p Ψ ha rango massimo per ogni p D; La restrizione di Ψ a D si dirà bordo di Ψ. Osservazione: - una superficie parametrica regolare di dimensione M può aver e immagine (supporto) che non è una varietà. - Già nel caso unidimensionale di cammini regolari in senso debole, cfr. FT2, il sostegno può non essere una varietà. Nel caso di cammini, se D = [a;b] è chiuso e limitato, e il cammino è C 1 regolare in senso forte e semplice, invece il suo sostegno è una varietà. - La restrizione di una superficie regolare semplice a sottoinsiemi di D, aperti in R M limitati e con distanza positiva da D ha supporto che è una varietà. Osservazione: - nel caso di dimensione M maggiore di 1, le veci della C 1 regolarità sono fatte dall avere differenziale continuo di rango massimo, le veci del segmento limitato e chiuso dall assumere che D sia compatto, e le veci della periodicità del versore tangente dall eguaglianza dell immagine del differenziale in punti di frontiera in cui si perda l iniettività. Osservazione: - si noti che nel caso di una superficie Ψ iniettiva e regolare in senso forte, essendo D compatto, anche Ψ 1 : ImΨ D è continua. - In altre parole, grazie al teorema del rango, si ottiene che l immagine su D o di una superficie regolare in senso forte, iniettiva, su un compatto D = D, di dimensione M, è una varietà di dimensione M. Analogamente il sostegno di una superficie con bordo regolare risulta una varietà con bordo. Osservazione: Non è vero il viceversa: una varietà con bordo che sia sostegno di una superficie regolare in senso forte, non è necessariamente sostegno di una superficie con bordo. Per esempio il nastro di Moebius sostegno di ( (2 v sin u 2 ) sin u, (2 v sin u 2 ) cos u,v cos u 2 Osservazione: - il bordo di una superficie M dimensionale non è, con le nozioni data, a sua volta una superficie M 1 dimensionale: si può però vedere come incollamento di superfici M 1-dimensionali. - Senza definizione rigorosa si parlerà comunque di superfici regolari tratti o varietà C k a tratti, ottenute giustapponendo lungo i bordi superfici regolari con bordo, o varietà con bordo. - Per M = 2 e Ψ iniettiva su D è semplice estendere la definizione per precisare quando Ψ(p) è punto di bordo regolare a tratti: p sia di frontiera regolare a tratti per D o e il rango di D p Ψ sia 2. Con ciò per M = 2 si dà la nozione di superficie con bordo regolare a tratti. ).

5 Piano tangente. - Data una superficie Ψ in R m definita su D, regolare si dice piano tangente in Ψ(p), p D o, il piano M dimensionale in R m dato in forma parametrica da Ψ(p) + s 1 (p) s M (p) al variare di s R M, t 1 t M ovvero il piano affine M-dimensionale in R m, passante per Ψ(p) con giacitura ImD p Ψ. - Del tutto analoga la definizione per superfici regolari in senso forte e p D. Versori normali: se Ψ è una superficie regolare bidimensionale in R 3 si dicono versori normali in Ψ(p): (p) s t ± (p) (p) (p). s t R 3 Varietà chiuse Una sottovarietà, con o senza senza bordo, di R N, di dimensione M, si dice chiusa se è un sottoinsieme chiuso di R N. Osservazione: - a livello intuitivo, per una varietà senza bordo ciò corrisponde a dire che anche aggiungendo pezzi M 1 dimensionali non si ottiene una varietà con bordo. - Le frontiere di aperti di R N regolari (localmente sottografici) sono varietà chiuse di dimensione N 1. - In questa nozione rientrano la sfera N 1 dimensionale in R N, il toro sostegno di (R(cos ϕ, sin ϕ, 0) + r cos ϑ(cosϕ, sin ϕ, 0) + r sin ϑ(0, 0, 1)), etc.. - Per M = 1 le varietà chiuse senza bordo sono sostegni di curve chiuse regolari o sostegni di curve regolari semplici definite su tutta la retta con inversa continua. Differenziale e gradiente tangenziale Vettori tangenti. - Se una funzione f : A = A o R M R m è differenziabile in p e v, w, v + W R M f f f sono non nulli, r R \ {0}, si ha (p) = (p) + r (v + rw) v w (p). - La giacitura del piano tangente al grafico di f in (p,f(p)) sono esattamente i vettori di R m+m, oltre a quello nullo, del tipo (v, f v (p)) con v RM non nullo. Per quanto sopra visto tali vettori formano uno spazio vettoriale. Sono cioè, grazie alla regola della catena, le velocità per t = 0 dei cammini a valori su grafico di f del tipo Γ(t) = (γ(t),f(γ(t)) con γ(0) ( = p, γ (0) = v) 0 R M: Γ (0) = γ f (0), γ (0) (p). - Similmente se E è una sottovarietà M dimensionale e C K, K 1, di R N il piano tangente M dimensionale ad E in q E ha giacitura che è lo spazio vettoriale di tutte le velocità Γ (0) di cammini Γ : I E per cui Γ(0) = q. Gradiente tangenziale 1. - Se W è un sottospazio vettoriale di dimensione H di R M, una funzione f : A = A o R M R m si dice differenziabile in p A lungo W se la sua restrizione al sottospazio affine p + W è differenziabile in p. - Se f è differenziabile in p, per definizione, il suo differenziale lungo W è la restrizione a W del differenziale, cioè una funzione lineare da W a R m. - Volendo usare le coordinate di R M conviene definire il differenziale tangenziale e il gradiente tangenziale in p di f lungo W, usando P W la proiezione ortogonale su W, che si identifica con la matrice M M simmetrica ( t P = P) ed idempotente (PP = P) ad essa associata: J W f(p) D W p f = D p fp W Jf(p)P W, W f(p) = P W f(p).

6 Gradiente tangenziale 2. - Se E è una sottovarietà H dimensionale di R M, p E, una funzione f : E R m si dice differenziabile lungo E in p se - - esiste un intorno U in R M di p ed esiste una funzione g : U R m, per cui: g E = f U, g è differenziabile in p. - Nel caso, denotando con T p E la giacitura del piano tangente ad E in p, si definiscono il differenziale e il gradiente di f lungo E in p: D E p f = D TpE p g = D p gp TpE, E f(p) = TpE g(p) = P TpE g(p). Osservazione: Tale definizione non dipende dall estensione g di f ad un intorno in R M di p. Se h è un altra estensione differenziabile di f ad U, per ogni cammino regolare γ : I E con γ(0) = p, si ha che: h(γ(t)) = f(γ(t)) = g(γ(t)) per ogni I, e derivando per t = 0: Γ (0) h(p) = Γ (0) g(p). Ma Γ (0) è un arbitrario elemento di T p E e quindi h(p) e g(p) hanno la stessa proiezione ortogonale su T p E. Osservazione: - nella pratica la difficoltà è calcolare la matrice di proiezione ortogonale. Nel caso di un sostegno di superficie regolare Ψ una base di T p E è dato dalle derivate parziali di Ψ in p. Nel caso di luoghi di zeri di funzioni con differenziale di rango massimo, per il teorema delle funzioni implicite, si ha invece una base dell ortogonale al luogo di zeri dato dai gradienti in p delle funzioni componenti. - Se si ha una base τ 1,...,τ H ortonormale di un sottospazio W di R M, espressa nelle coordinate usuali di R M, la matrice di proiezione è data τi h τj h, 1 i, M: invero dato H h=1 H M v R M la proiezione ortogonale su W è il vettore di coordinate in R M p i = τi h τj h v j, h=1 j 1 i M, ovvero la somma di tutte le proiezioni ortogonali sugli H assi ortogonali individuati dai versori ortonormali τ 1,...,τ H. - Per scrivere la matrice di proiezione ortogonale su un sottospazio W (nelle coordinate usuali dello spazio cartesiano ambiente R M ) partendo da una base di W qualsiasi, E 1,...,E H espressa nelle coordinate usuali di R M, di solito non conviene ortonormalizzare la base data. Si usa una caso particolare della cosidetta pseudoinversa (destra) di Moore-Penrose della matrice M H che ha come colonne le E i e qui si indica qui con E: P W = E( t E E ) 1 t E. - Nel caso H = 2, con F 1, F 2 base di W, ed m = 3 la proiezione ortogonale è data anche da x x x P W 1 y = y y F z z 1 F 2 F 1 F. 2 R 3 z