Aristotele 384 a.c. 322 a.c.

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1 L invenzione di una scienza: La logica formale o logica matematica

2 Organon Come abbiamo visto, Aristotele assegna al linguaggio un ruolo essenziale. Il gruppo di testi che se ne occupano ha assunto il nome di Organon (che significa strumento ). Questo termine ha un senso ben preciso. La logica, infatti, è una scienza che non si occupa di studiare la realtà del mondo: si occupa, invece, di fornire degli strumenti utili a tale studio.

3 Spieghiamo meglio. Noi, a parere Aristotele, elaboriamo le nostre conoscenze attraverso i sensi e l intelletto. Il linguaggio, e quindi la logica, costituiscono invece uno strumento di esposizione e articolazione delle conoscenze. Aristotele chiamava questo strumento con il termine analitica. Come sapete, analizzare significa scomporre qualcosa nei suoi elementi costituenti. Pensate, come esempio, all analisi grammaticale: in questo caso sarà una frase ad essere analizzata : ogni elemento che la costituisce verrà individuato nella sua natura. Esattamente la stessa cosa accade, per fare un altro esempio, nell analisi chimica: essa individua i componenti base di una certa sostanza.

4 La logica cosa analizza? DIAMO UNA DEFINIZIONE DI LOGICA... La logica è lo studio delle diverse forme di ragionamento. Attraverso l analisi di queste, è possibile chiarire la correttezza o meno del procedimento seguito.... E ANCHE DI RAGIONAMENTO Si chiama ragionamento quel processo cognitivo che, partendo da determinate premesse, porta a una conclusione, facendo uso di specifici procedimenti.

5 PREMESSE CONCLUSIONE INFERENZA Diverse tipologie di inferenza sono le seguenti: INDUZIONE, DEDUZIONE, ABDUZIONE

6 Se è vero, come abbiamo visto, che noi usiamo il linguaggio (anche) per esprimere le nostre conoscenze sul mondo reale, ecco che la logica controlla la correttezza del linguaggio. Abbiamo visto cosa significa logica. Dobbiamo ancora vedere cosa significhi l aggettivo formale. Prima, però, cominciamo a inoltrarci nel discorso aristotelico.

7 ...ACCENNO BIOGRAFICO... I filosofi greci molto raramente, diversamente da noi, parlavano di se stessi. In relazione all invenzione della logica, però, Aristotele si mostra, e giustamente, assai orgoglioso: Riguardo alla nostra opera, invece, non soltanto non si può dire che in parte fosse già compiutamente elaborata, ed in parte no, ma si deve addirittura affermare che non sussisteva affatto nulla di simile. [ ] mentre riguardo ai discorsi retorici sussistevano già, sin dai tempi antichi, molti studi, sulla deduzione invece non avevamo prima d ora assolutamente null altro da ricordare. Ciò che rimane da dire in proposito è piuttosto che ci siamo noi stessi affaticati per lungo tempo, con un indagine e un esercizio continuo. Aristotele Confutazioni sofistiche

8 CONCETTI DI BASE Gli elementi base del linguaggio sono detti TERMINI ( uomo, vedere, cane, ecc.). Per semplicità, ignoriamo i termini con un senso solo grammaticale (articoli, ecc.). Più termini si uniscono a formare una PROPOSIZIONE, la cui struttura di base è quella composta da un soggetto e da un predicato: Socrate è un uomo. Aristotele nota come i termini abbiano due caratteristiche fondamentali. Noi le descriviamo con le parole scelte da un altro grande filosofo e matematico, Gottfried W. Leibniz ( ): ESTENSIONE e INTENSIONE. Prendiamo, come esempio, il termine uomo : La sua estensione è costituita dall insieme di tutti gli esseri umani esistenti. La sua intensione, invece, è costituita da tutte le caratteristiche che permettono di distinguere gli esseri umani da tutte le altre cose, quindi dalla definizione di uomo. Dovrebbe essere chiaro come, normalmente, più l estensione è grande, più l intensione è povera.

9 VERITÀ E FALSITÀ Torniamo alle PROPOSIZIONI. Cominciamo col notare un elemento essenziale: non di tutti i tipi di proposizione ha senso chiedere si siano vere o false. 1. Quanti anni ha Giorgio? 2. Ti prego, aiutami a studiare! 3. Ti ho detto che questa sera non puoi uscire! 4. Giovanni ha tredici anni 5. I numeri primi sono infiniti 6. La velocità è definita come spazio fratto tempo. Delle proposizioni 1, 2 e 3 non ha senso chiedere se siano vere o false: esse, infatti, non affermano nulla. La domanda sulla verità/falsità ha invece significato per le proposizioni 4, 5 e 6.

10 Noi ci occupiamo solo delle PROPOSIZIONI ASSERTORIE, o ASSERZIONI, quelle cioè per le quali possiamo parlare di verità e falsità. Queste proposizioni sono anche dette PROPOSIZIONI CATEGORICHE o PROPOSIZIONI APOFANTICHE. DIAMO ANCHE LA FONDAMENTALE DEFINIZIONE ARISTOTELICA DI VERITÀ / FALSITÀ: Una asserzione si dirà vera se i suoi termini congiungono / disgiungono ciò che nel mondo reale è congiunto / disgiunto. Sarà falsa in tutti gli altri casi. Da quanto detto, risulta evidente come i concetti di vero e falso riguardino non le cose del mondo in se stesse, ma il rapporto fra queste e il modo in cui noi le descriviamo.

11 ASSERZIONI Le PROPOSIZIONI ASSERTORIE si possono suddividere in base alle categorie di quantità e qualità. In base alla qualità, si dividono in AFFERMATIVE ( Socrate è colto ) o NEGATIVE ( Socrate non è bello ). In base alla quantità in UNIVERSALI ( Gli uomini sono mortali ) e PARTICOLARI ( Aristotele è greco ). Ecco che, rispetto a tali caratteristiche, esistono quattro tipi di proposizioni assertorie: 1) AFFERMATIVE UNIVERSALI 2) AFFERMATIVE PARTICOLARI 3) NEGATIVE UNIVERSALI 4) NEGATIVE PARTICOLARI

12 QUADRATO DEGLI OPPOSTI Solo come approfondimento! UNIVERSALE AFFERMATIVA Tutti gli uomini sono giusti contrarie UNIVERSALE NEGATIVA Nessun uomo è giusto contraddittorie PARTICOLARE AFFERMATIVA Qualche uomo è giusto subcontrarie PARTICOLARE NEGATIVA Qualche uomo non è giusto

13 Bene: se più termini si uniscono a formare proposizioni, più proposizioni possono unirsi a formare quello che Aristotele chiama SILLOGISMO, o DEDUZIONE. Il sillogismo è una modalità di ragionamento secondo la quale date due proposizioni dette premesse ne segue necessariamente una terza, detta conclusione. ESEMPIO N. 1 PREMESSA MAGGIORE PREMESSA MINORE CONCLUSIONE Tutti gli uomini sono mortali Tutti i greci sono uomini Tutti i greci sono mortali

14 Ogni sillogismo è formato da tre termini: nel nostro esempio si tratta di uomini, mortali e greci. Notate che il termine uomini compare in entrambe le premesse, ma non nella conclusione. Esso è detto TERMINE MEDIO, perché media, ossia pone in relazione, gli altri due termini mortali e greci rendendo possibile il sillogismo. A seconda della posizione del termine medio nelle due premesse (soggetto predicato, predicato predicato, soggetto soggetto, predicato soggetto) si distinguono quattro FIGURE del sillogismo. Visto, poi, che ogni asserzione può essere di quattro tipi diversi, si conclude che esistono 4 3 = 64 MODI diversi per ogni figura. Ecco che, in totale, esistono 256 modi. Fra questi, però, solo 19 costituiscono forme di ragionamento corrette.

15 Aristotele opera la distinzione fra i modi corretti e quelli scorretti, dimostrando poi che tutti i modi corretti sono riducibili a modi della prima figura (modi simili a quello del nostro esempio n.1). Vediamo un secondo esempio, tratto sempre dalla prima figura, ma utilizzando un differente modo. ESEMPIO N. 2 PREMESSA MAGGIORE PREMESSA MINORE CONCLUSIONE Tutti gli déi e i loro discendenti sono beati Alcuni esseri umani sono discendenti di déi Alcuni esseri umani sono beati Trattare tutte e 4 le figure e tutti i 256 modi sarebbe decisamente troppo lungo e complesso per noi. Soffermiamoci solo su qualche elemento di particolare importanza.

16 Cosa significa formale? Abbiamo visto, anche solo considerando i due esempi sopra indicati, che il sillogismo è una forma di ragionamento. So delle cose le premesse e attraverso un ragionamento giungo a scoprire un altra cosa: la conclusione. Sappiamo molto bene che un ragionamento può essere giusto (cioè corretto), come nei due casi esposti sopra, ma può anche essere sbagliato (cioè scorretto). Facciamo un esempio particolare di sillogismo sbagliato: ESEMPIO N. 3 PREMESSA MAGGIORE Tutti gli esseri umani sono mortali [vero] PREMESSA MINORE Tutti i francesi sono esseri umani [vero] CONCLUSIONE Tutti i cani sono mammiferi [vero]

17 In questo terzo esempio, le due premesse e la conclusione sono tutte asserzioni vere. Nonostante ciò, il ragionamento, ovvero il sillogismo, è sbagliato. Perché? Le due premesse e la conclusione parlano di cose diverse esseri umani e cani quindi non ha senso legarle fra loro: dalla verità di queste premesse non si può trarre la verità di questa conclusione! Fra le due premesse e la conclusione non c'è alcun rapporto logico. Detto in modo più tecnico: le estensioni dei termini coinvolti hanno intersezione nulla.

18 Vediamo un quarto esempio, volutamente assurdo. ESEMPIO N. 4 PREMESSA MAGGIORE Tutti i cavatappi sono animali [falso] PREMESSA MINORE Tutti i tulipani sono cavatappi [falso] CONCLUSIONE Tutti i tulipani sono animali [falso] In questo quarto esempio notiamo che, al contrario del caso precedente, le due premesse e la conclusione sono tutte asserzioni false. Di più: sono asserzioni ridicole, assurde! Nonostante ciò il ragionamento esposto con questo sillogismo è perfettamente corretto!

19 Non siete convinti? Allora, per far vedere la cosa più chiaramente, trasformiamo il precedente sillogismo categorico in un sillogismo ipotetico: vedrete che, in questo modo, comprenderete la correttezza del ragionamento! ESEMPIO N. 4 (MODIFICATO) PREMESSA MAGGIORE PREMESSA MINORE CONCLUSIONE Se Tutti i cavatappi fossero animali Se Tutti i tulipani fossero cavatappi Tutti i tulipani sarebbero animali

20 Tutto questo, nel complesso, cosa significa? Aristotele, per primo, si accorse che la verità o falsità delle affermazioni coinvolte nel sillogismo non necessariamente è determinante per la correttezza del sillogismo stesso, cioè del ragionamento. La verità/falsità delle proposizioni (aspetto contenutistico) di per sé non determina la correttezza/ non correttezza del ragionamento (aspetto formale). In altre parole: verità/falsità e correttezza/non correttezza sono cose ben diverse!

21 Spieghiamo meglio: Aristotele considerò l aspetto formale del ragionamento, cioè la sua forma, in modo del tutto indipendente dallo specifico contenuto del ragionamento stesso. Egli, praticamente, esula dal discorso intorno alla verità o falsità delle proposizioni prese in esame e cerca di capire in quali casi il sillogismo è valido, ovvero permetterà alla conclusione di discendere correttamente dalle premesse. Egli è il primo che, proprio a questo scopo, sostituì a termini dotati di significato e contenuto proprio, ed in relazione ai quali potremmo giudicare della verità, lettere dell alfabeto intese come VARIABILI, del tutto prive cioè di uno specifico contenuto. Vediamo, dunque, un ultimo esempio chiarificatore!

22 PREMESSA MAGGIORE PREMESSA MINORE CONCLUSIONE Tutti gli X sono Y Tutti gli Z sono X Tutti gli Z sono Y Capite che, qualunque sia lo specifico contenuto delle variabili X, Y e Z, questo sillogismo risulterà per forza corretto da un punto di vista formale, cioè per ciò che concerne la sua forma, o struttura!

23 La teoria della scienza: quando una disciplina si può chiamare scienza?

24 La risposta di Aristotele a questa domanda è straordinariamente simile a quella che potremmo fornire oggi... Vediamo un primo, cruciale aspetto: Una disciplina si dice scientifica quando tutti i suoi risultati derivano da una catena inferenziale (o catena di ragionamento) di tipo sillogistico (cioè deduttivo). Insomma: si parte da alcune premesse e da queste si deduce una o più conclusioni. Le conclusioni saranno, poi, premesse di nuove deduzioni e così via...

25 premesse Schema di catena inferenziale Conclusioni, che diventano nuove premesse Conclusioni, che diventano nuove premesse

26 C è un secondo elemento di fondamentale importanza! Una catena deduttiva può anche essere lunghissima, ma non può essere infinita! In particolare, essa dovrà per forza avere un punto di inizio. Questo significa che dovranno, inevitabilmente, esistere delle premesse non dimostrate! Queste sono poi i PRINCIPI della scienza in esame. La dimostrazione acquista il suo credito di scientificità, dunque, non solo dal processo sillogistico, ma anche dalla validità dei suoi principi.

27 I principi su cui una scienza si può fondare sono di tre tipi: ASSIOMI, IPOTESI, DEFINIZIONI. Gli Assiomi sono asserzioni comunque vere, senza le quali non potremmo neppure ragionare. Alcuni assiomi, come il principio di non contraddizione, sono valide in qualunque ambito disciplinare; altri, come per esempio sommando a quantità uguali quantità uguali si ottengono quantità uguali hanno valore solo in determinate discipline (in questo caso, quelle di carattere quantitativo). Questo secondo tipo di assiomi sono anche chiamati postulati. Le ipotesi sono quelle che, nell ambito di una determinata disciplina, costituiscono affermazioni di esistenza. Per esempio, la geometria di Euclide assume per ipotesi che esistano della grandezze continue. Ci sono poi le definizioni. Esse stabiliscono il senso dei termini in uso in ciascuna scienza. La geometria, per esempio, definisce con la parola solido ciò che è una grandezza continua tridimensionale.

28 I principi sono peculiari a ciascuna scienza e ciò vale anche per gli assiomi che hanno validità generale. Anch essi, infatti, presi all interno della singola scienza si specializzano, andando a significare qualcosa di particolare. Non esiste, quindi, una scienza universale, che tramite principi universali dimostri proposizioni interne a tutte le scienze particolari. Abbiamo detto che alla base delle scienze ci sono i principi. Ma proviamo a rispondere a questa domanda, che sorge abbastanza spontanea: se i principi non vengono dimostrati, come accade invece per tutte le conclusioni scientifiche, come siamo giunti a stabilire la loro validità?

29 Questi principi li conosciamo tramite un altra forma di ragionamento, quella che viene chiamata INDUZIONE. Essa non è niente di nuovo: si tratta semplicemente del processo che abbiamo in precedenza descritto. Dalle sensazioni si passa al ricordo, dal ricordo all esperienza, e nell esperienza avviene l individuazione di tratti identificativi e distintivi delle cose. Facciamo un esempio assai semplice e famoso di induzione: un uomo vede un corvo e nota che è di colore nero, poi ne vede un secondo e anche questo è nero... La stessa persona vede, in successione, un notevole numero di corvi e tutti quanti sono neri... Quale conclusione potrà, molto semplicemente, trarre? Sicuramente questa: Tutti i corvi sono neri.

30 Si sarà notato che la deduzione parte da premesse generali per ricavarne un fatto particolare. L induzione compie il cammino inverso : da fatti particolari conclude ad affermazioni generali. Attenzione però! Deduzione e induzione non sono semplicemente l una il contrario dell altra... Una deduzione corretta che prenda le mosse da premesse vere, condurrà sicuramente a una conclusione vera. Lo stesso non si può dire dell induzione: da premesse vere non si induce una conclusione necessariamente vera, ma una solo probabilmente vera!

31 Solo come approfondimento! Terminiamo il nostro discorso con un incursione in un altra epoca e in un altro luogo: siamo negli USA, nel XIX secolo. Nel XIX e nel XX secolo la logica ebbe un enorme sviluppo e uno dei suoi più importanti interpreti fu il filosofo e matematico Charles Sanders Peirce ( ). Utilizziamo un suo celebre esempio per paragonare fra loro deduzione e induzione, oltre che per introdurre l ultimo tipo di ragionamento: l abduzione.

32 Solo come approfondimento! * INDUZIONE * Davanti a me vedo un grosso e pesante sacco di iuta. Ci infilo la mano e raccolgo una manciata di ciò che riempie il sacco. Estraggo la mano e guardo: fagioli bianchi. Ripeto l esperimento più volte, col medesimo risultato... Ben presto, mi convincerò che il sacco è pieno di fagioli bianchi. La mia conclusione è perfettamente ragionevole: eppure basterebbe un solo fagiolo nero per renderla falsa... Posso, naturalmente, controllare tutti i fagioli, dal primo all ultimo: così giungerò ad una conclusione assolutamente certa. Spesso, però, abbiamo a che fare con insiemi non chiaramente delimitabili o, addirittura, infiniti: ecco che l induzione è radicalmente incerta.

33 Solo come approfondimento! * DEDUZIONE * Davanti a me vedo il solito grosso e pesante sacco di iuta. Questa volta, però, sono stato io a riempirlo, mettendoci solo e soltanto fagioli bianchi. Una seconda persona raccoglie una manciata di fagioli e, senza mostrarmela, mi chiede cosa ha tolto dal sacco. La mia ovvia risposta, fagioli bianchi, è un esempio di deduzione e non è soggetta a dubbio alcuno.

34 Solo come approfondimento! * ABDUZIONE * Ancora il grosso e pesante sacco di iuta. Proprio come prima, io l ho riempito di fagioli bianchi. Una seconda persona mi mostra la mano aperta: fagioli bianchi. L abduzione mi porta a ipotizzare che i fagioli che mi vengono mostrati provengono dal mio sacco... Anche questa conclusione è ragionevole ma, come nel caso dell induzione, essa è solo probabile. La persona che mi mostra i fagioli bianchi potrebbe, in fin dei conti, non averli presi dal mio sacco!

35 Terminiamo questa parte con un cenno alla dialettica. Ricorderete come per Platone la dialettica fosse la scienza delle Idee. In Aristotele, ovviamente, essa ha un senso ben diverso. La dialettica, per il filosofo di Stagira, riguarda quel genere di discorsi che, pur procedendo sillogisticamente, cioè in modo dimostrativo, non partono da premesse scientifiche, ovvero da principi ben fondati. La dialettica è utile per confutare le tesi di un avversario, oppure per valutare i pro e contro di una certa situazione. Nella dialettica, inoltre, le premesse non devono per forza essere interne al genere trattato, essa infatti si occupa delle opinioni, e queste precedono la divisione in generi operata dalla scienza.

36 La dialettica interviene anche a proposito di questioni come il principio di non contraddizione e il principio del terzo escluso: essi non sono dimostrabili scientificamente, essendo assiomi, ma la dialettica è comunque utile perché permette di confutare chi li nega. La dialettica, inoltre, è utile quando sia necessario stabilire quali debbano essere i principi di una data scienza, e bisogna a questo scopo valutare le diverse opinioni esistenti.