Image Processing 2. Dispense del corso di Elaborazione di Immagini e Audio Digitali. Prof. Roberto Vezzani.

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1 Dispense del corso di Elaborazione di Immagini e Audio Digitali Image Processing 2 Prof. Roberto Vezzani

2 Relazioni tra pixel Esistono delle relazioni di base tra pixel in un immagine: intorno di un pixel: 4-intorno di p N 4 (p) con coordinate (x,y) sono i pixel di coordinate (x+1,y), (x,y+1), (x,y-1), (x-1,y); 8-intorno N 8 (p) con anche i 4 diagonali adiacenza: un pixel q è 4-adiacente a p se q N 4 (p), è 8-adiacente se q N 8 (p) connettività: due pixel si dicono connessi, se sono adiacenti e se soddisfano un criterio di similarità del livello di grigio regioni: si definisce regione R un sottoinsieme di pixel dell immagine tra loro connessi contorni: il contorno di una regione è l insieme di pixel della regione R che hanno uno o più pixel adiacenti che non appartengono a R

3 Distanza tra pixel Nelle immagini digitali si usano principalmente 3 distanze tra pixel: distanza city-block (o Manhattan o L 1 ): D 4 (p,q)= x-s + y-t distanza chessboard: D 8 (p,q)=max( x-s, y-t ) distanza Euclidea: D e (p,q)=[(x-s) 2 +(y-t) 2 ] 1/2

4 Rumore sulle immagini Normalmente in assenza di altre informazioni si suppone che il rumore sia bianco, gaussiano a media nulla: cioe che un valore stocastico di varianza σn viene aggiunto al valore del pixel ed e completamente incorrelato con quello aggiunto agli altri pixel. In altri casi si suppone un rumore impulsivo, rumore sale-pepe, che altera in modo random il valore di qualche pixel Image restoration: e quella branca dell image processing che si occupa di migliorare la qualita del segnale immagine

5 Applicazione di kernel f1 f2 f3 f4 f5 h-1 h0 h1 Data una funzione f(x) e un kernel h(t), l applicazione del kernel porta alla generazione di una funzione g(x) + k g( x) = f( x+ tht ) ( ) Nello spazio 2D, data f(x,y), si ottiene g(x,y) mediante l applicazione del kernel h(i,j) quadrato + k + k Questa applicazione si chiama anche correlazione Tutte le operazioni di filtraggio si basano sulla definizione di un filtro h con adeguate proprietà locali. Dato che l immagine non ha dimensioni finite il filtro lavora correttamente nella parte centrale dell immagine, mentre vengono accettati errori nei bordi dell immagine (problema delle condizioni di bordo) t= k gxy (, ) = f( x+ α, y+ β) h( αβ, ) α= k β= k

6 Filtri spaziali: condizione al contorno Un problema dei filtri spaziali basati su intorni è cosa succede quando il centro del filtro è vicini ai bordi dell immagine. Esistono tre soluzioni possibili: non eseguo il filtraggio se la maschera non è completamente inclusa nell immagine; si esegue il filtro solo sugli elementi contenuti nell immagine; padding: si allarga l immagine per compiere completamente il filtraggio. Solitamente si allarga riempiendo di 0 (o di un valore costante) o anche replicando il valore di bordo dell immagine.

7 Filtri di smoothing I filtri di smoothing sono solitamente usati per sfocare (blur) l immagine e per ridurre il rumore. I filtri di smoothing tipicamente sono filtri di media che sostituiscono il valore di ogni pixel dell immagine con la media dei pixel nell intorno. Questo processo riduce le variazioni brusche (sharp), sia quelle dovute al rumore (che è, per definizione, causa di transizioni sharp), che quelle dovute, purtroppo, anche ai contorni. Quindi i filtri di media rimuovono il rumore, ma sfocano anche dettagli utili, come i contorni. Esistono due maschere per i filtri di smoothing: filtro di media filtro di media pesata riduce il blurring

8 Filtri di media con dimensione variabile La dimensione della maschera per il filtro di media stabilisce la dimensione relativa dei dettagli sfocati con lo sfondo. originale filtro 3x3 filtro 11x11 filtro 25x25 filtro 25x25 con replica dei valori di bordo

9 Filtri order-statistics I filtri order-statistics sono filtri non lineari la cui risposta è basata sull ordinamento e il ranking dei pixel contenuti nell intorno. Il più famoso e più utilizzato è il filtro mediano che sostituisce ad un pixel il valore mediano dei livelli di grigio di un suo intorno. E molto diffuso per le sue qualità di riduzione del rumore senza il difetto di sfocamento dei filtri di media, in particolare per rumore impulsivo o detto rumore sale e pepe. Il mediano è quel valore dell intorno tale che la metà dei valori è minore o uguale e l altra metà è maggiore o uguale. Si ottiene ordinando i valori dell intorno e prendendo poi l elemento centrale. Altri esempi di filtri order-statistics: filtro min (0-percentile) e max (100-p). originale corrotta con rumore s&p al 20% filtro di media 5x5 filtro mediano 5x5

10 Filtri di sharpening I filtri di sharpening si comportano all opposto dei filtri di smoothing e il loro scopo è evidenziare i dettagli sfocati nell immagine. Questa operazione equivale alla derivazione. Se ne usano, di solito, due tipi: del primo ordine: generano contorni più evidenziati; del secondo ordine: evidenziano forti dettagli e punti isolati. Per image enhancement, quelli più utilizzati sono quelli di secondo ordine. Servono filtri formulabili nel discreto e isotropici, cioè la cui risposta è indipendente dalla direzione delle discontinuità. Il più semplice e diffuso è il filtro Laplaciano che nel discreto può essere ottenuto con un filtro spaziale con le seguenti maschere: o anche

11 Uso del Laplaciano per image enhancement Così com è il Laplaciano evidenzia le discontinuità dei livelli di grigio. Per migliorare l immagine, basta sommare l immagine originale con il Laplaciano (se si usa la versione con w(0,0) positivo) o sottrarre (se si usa l altra versione). Siccome il Laplaciano è lineare, si possono anche unire le due operazioni in un unica maschera per filtro spaziale:

12 Filtro del primo ordine Gradiente I filtri del primo ordine utilizzano le derivate del primo ordine ed estraggono quindi il gradiente: f( xy, ) f( xy, ) gxy (, ) = x y gx( xyx, ) gy( xyy, ) x + y = + gx( xy, ) Gxy (, ) = g(, ) 2 (, ) 2 x xy + gy xy ϕ ( xy, ) = arctg gy( xy, ) Questo calcolo è di base per l individuazione dei contorni (edge). Ne esistono varie varianti: Roberts Prewitt Frei-Chen Sobel

13 Combinazione di miglioramenti spaziali I vari miglioramenti possono essere tra loro combinati. (a) originale (b) Laplaciano (c) ris di (a) (b) (d) Sobel orizz. (e) Sobel vert. (f) Sobel (g) Media 5x5 su (f) (h) ris di (c)*(g) (i) ris di (a)+(h) (l) power-law (3) su (i)

14 FILTRO GAUSSIANO Filtro gaussiano E il filtro piu efficace per rimuovere il rumore gaussiano con una maschera circolare costruita con una funzione gaussiana bidimensionale di valor medio nullo e deviazione standard σ. Esempio gaussiana monodimensionale in due dimensioni: Gaussiana 13 x 13 in figura Gxy (, ) = GxGy ( ) ( ) = e 1 2 σ 2π ( x + y )/2σ

15 FILTRO GAUSSIANO Discretizzando il filtro: l approssimazione migliora con l aumento della dimensione k del kernel ma diventa computazionalmente più pesante; k dipende anche dalla dimensione del sigma che tanto più è stretto, tanto più k può essere limitata. Esempio: maschera k x k, k circa 5 σ ( copre il 98.7%) Con σ=1 k=5: h = DATA LA SUA COMPLESSITA COMPUTAZIONALE NON ERA MOLTO APPLICATO IN PASSATO

16 ESEMPI L aspetto piu interessante e che e un filtro lineare e ha la proprieta di separabilita : una convoluzione 2D puo essere ottenuta con una sequenza di due convoluzioni 1D lungo x ed y Esempi: Immagine originale filtri con σ=1, σ=2, σ=5

17 FILTRO GAUSSIANO Rimuove il rumore e la texture di piccola scala che contengono variazioni di livelli di grigio ad alta frequenza spaziale Esempio: immagine di test con variazioni di luminosita alta e bassa frequenza spaziale dopo un filtraggio gaussiano (con sigma=4) mentre con un filtro di media 7 x 7