Operazioni locali: Edging

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1 Capitolo 1 Operazioni locali: Edging Nei primi stadi della visione (early stages of vision) alcune caratteristiche intrinseche, rilevanti per identificare gli oggetti della scena sono estratte dall immagine. Tali caratteristiche elementari (di basso livello) decompongono la scena in oggetti o regioni che sono relativamente omogenei rispetto ad uno o più dei seguenti attributi: livello di grigio (intensità), colore, tessitura, distanza, movimento, natura del materiale, stato superficiale degli oggetti, ecc.. Di conseguenza, l immagine presenta regioni con brusche discontinuità in alcuni degli attributi sopra indicati. In questo capitolo siamo interessati alla ricerca di pixel dell immagine ove si verificano tali discontinuità che sono tipicamente associati ai bordi (Edge) degli oggetti, o, più in generale, a zone di confine tra regioni dell immagine con differenti attributi. L operazione di estrazione degli Edge di una immagine risulta ancora oggi essere una operazione fondamentale per l analisi delle immagini. In questo capitolo, saranno descritti gli algoritmi più comuni per determinare i bordi con operatori locali (Local Edge Detector - LED). Tali algoritmi assegnano un valore di bordo a ciascun pixel ma nessuna informazione è generata per legare insieme i vari pixel di bordo (Link Edge) per formare segmenti di bordo. Altri algoritmi saranno descritti nel seguito per collegare insieme i pixel di edging appartenenti ad uno stesso contorno. Gli algoritmi LED sono Operatori Locali che determinano le variazioni locali dei valori di livello di grigio dell immagine oppure le variazioni locali della derivata prima della funzione intensità. Tali discontinuità locali nelle vicinanze dei bordi possono essere di vario tipo. Una breve descrizione di tali discontinuità ed una rappresentazione grafica sul profilo dei bordi viene dato di seguito. L 2 L 2 L 2 L 1 L L 1 L 1 L 1 i 0 i i 0 (a) (b) (c) i i 0 i Figura 1.1: Discontinuitá: (a) a gradino (b) a linea, (c) lineare. Discontinuità a gradino (Step-Edge): è il caso ideale in cui i valori di intensità cambiano bruscamente da un dato valore (associato ai pixel di una regione) a un valore diverso (associato ai pixel di una regione adiacente differente) come rappresentato in figura 1.1a. Discontinuità a linea: è un altro caso ideale in cui i valori di intensità cambiano bruscamente per pochi pixel adiacenti per poi ritornare immediatamente ai valori iniziali (figura 1.1b). 27

2 28 CAPITOLO 1. OPERAZIONI LOCALI: EDGING A causa della instabilità dei dispositivi di acquisizione, che producono componenti di bassa frequenza non volute, le brusche discontinuità a gradino e a linea, nelle immagini reali si presentano con profili diversi e si trasformano nelle seguenti discontinuità. Discontinuità lineare (Ramp Edge): le discontinuità a gradino si trasformano in discontinuità lineare con un andamento meno brusco e più continuo, interessando diversi pixel (figura 1.1c). Discontinuità lineare con salita e discesa (Roof Edge): trasforma una discontinuità a linea in una doppia discontinuità lineare con salita e discesa, interessando diversi pixel che rappresentano una regione di separazione tra aree adiacenti omogenee (figura 1.2). Nelle immagini reali si possono verificare discontinuità generate dalla combinazione di discontinuità a gradino e a linea (figura 1.3). I contorni di una regione o di un oggetto sono generati normalmente dalle discontinuità a gradino poichè le variazioni di livello di grigio tra fondo e oggetto sono evidenti. Le variazioni di intensità locale delle discontinuità possono essere valutate in modo quantitativo attraverso tre grandezze: altezza della rampa (variazione del livello di intensità), inclinazione della rampa, posizione orizzontale del pixel centrale nel tratto di rampa. L 2 L 2 L 1 L 1 L 1 L 1 i 0 i i 0 i Figura 1.2: Discontinuitá lineare con salita e discesa. La peculiarità degli algoritmi LED, oltre a determinare i pixel di bordo, è quella di stimare con buona approssimazione la loro posizione nell immagine. Nelle immagini reali, questo è reso difficile L 2 L 3 L 1 i 0 i i Figura 1.3: Combinazione di discontinuità a gradino ed a linea. per la presenza del rumore, e le variazioni di intensità locale non sempre sono causate da variazioni locali geometriche nella scena, ma sono dovute a componenti di luce speculare riflessa ed/o riflessione multipla della luce. In figura 1.4, è mostrato il profilo dei livelli di grigio di una immagine reale, notiamo come localmente le discontinuità sono solo una approssimazione delle discontinuità ideali a gradino ed a linea. Gli algoritmi LED possono essere raggruppati nelle seguenti categorie: Operatori basati sulla differenziazione Operatori basati sull approssimazione del modello di Edge Gli operatori della prima categoria prevedono due fasi: l analisi spaziale e il calcolo dei bordi. Con l analisi spaziale una immagine è elaborata per esaltare tutte le discontinuità significative presenti per produrre una immagine gradiente. Con la seconda fase, il calcolo dei bordi, dall immagine gradiente si passa al calcolo della localizzazione dei bordi associati alle discontinuità determinate nel processo di differenziazione.

3 1.1. DEFINIZIONI Figura 1.4: Profilo dei livelli di grigio per una linea dell immagine. Gli operatori della seconda categoria si propongono di approssimare regioni omogenee dell immagine a modelli predefiniti di discontinuità a gradino o a linea, operando nello spazio geometrico. Gli algoritmi LED della prima categoria, basati sulla geometria differenziale, possono essere ulteriormente raggruppati, in algoritmi che fanno uso della derivata del primo ordine, e della derivata del secondo ordine, entrambi nel dominio spaziale. 1.1 Definizioni Prima di descrivere gli algoritmi LED è utile considerare alcune definizioni e termini che saranno essenziali nel seguito. Elemento di bordo Un elemento di bordo è un punto dell immagine localizzato dalle coordinate (i,j) dove si verifica una discontinuità del valore di intensità. Tratto di bordo è costituito da un insieme di punti di bordo allineati in modo rettilineo, ed è caratterizzato dalle coordinate (i,j,θ) che localizzano il tratto di bordo (per esempio un estremo del bordo) nel piano immagine nella posizione (i,j) ed è orientata di un angolo θ rispetto ad un asse di riferimento (per esempio l asse orizzontale). LED algoritmo Local Edge Detector è un algoritmo che genera un insieme di componenti bordi (elementi e tratti) presenti in una immagine. Contorno è una lista di bordi (elementi e tratti) che normalmente rappresenta (delimita o racchiude) una regione omogenea o un oggetto presente nell immagine. Un contorno può essere rappresentato da una curva descritta matematicamente da una funzione che modella (approssima) una lista di bordi. Connessione dei bordi Il concatenamento dei bordi è un processo che si propone di collegare frammenti di bordo appartenenti ad uno stesso contorno. Tale contorno risulta interrotto con frammenti di bordo mancanti a causa del rumore presente nell immagine. I risultati finali di tale processo conducono ad una lista ordinata di tali bordi. Inseguimento dei bordi Il processo di inseguimento dei bordi partendo da un elemento o frammento di bordo si propone di ricercare tutti i bordi associati ad uno stesso contorno. In altre parole produce una lista ordinata di bordi.

4 30 CAPITOLO 1. OPERAZIONI LOCALI: EDGING Nel seguito con la parola bordo si intende in modo interscambiabile sia l elemento che il frammento di bordo. I bordi individuano pixel nell immagine ai confini tra regioni che sono relativamente omogenee rispetto ad uno o più dei vari attributi: valori di grigio, colore, tessitura, movimento, cambiamenti di forma, ecc.. Nel modello consolidato di percezione visiva, basato sul paradigma dai segnali ai simboli, nei primi livelli della percezione, i bordi sono le prime informazioni (dati grezzi) fondamentali ai processi intermedi e finali della visione che trasformano tali informazioni in una rappresentazione più utile ed esplicita della scena. Sono l insieme dei bordi, estratti dagli algoritmi LED, che vengono utilizzati per partizionare l immagine in regioni omogenee che identificano particolari attributi degli oggetti della scena. Gli algoritmi dei livelli intermedi e finali della visione, devono comunque tener conto che a causa del rumore tra i bordi estratti, vi sono bordi artefatti, bordi mancanti e bordi falsi. Nel seguito sono descritti diversi operatori per l estrazione dei bordi. Tali operatori in analogia a quanto fatto per gli operatori di smoothing saranno definiti come filtri e si dovranno determinare in modo appropriato i coefficienti della maschera di convoluzione (risposta impulsiva del filtro) e la funzione di trasferimento. Saranno descritti anche alcuni filtri di Edge (Passa - alto) nel dominio delle frequenze. Ed infine per analizzare l efficacia di alcuni filtri nel dominio spaziale, si analizzeranno anche nel dominio delle frequenze. 1.2 Filtro del Gradiente I filtri di smoothing eliminano le strutture di alta frequenza presente nell immagine. Al contrario, i filtri di Edging devono esaltare le strutture di alta frequenza ossia le discontinuità dei valori di intensità, ed eliminare le basse frequenze, ossia le piccole variazioni di valori di intensità. Un operatore matematico che meglio evidenzia le discontinuità di una funzione è l operatore di derivata prima. Per una immagine bidimensionale f(x, y), le derivate parziali prime f/ x e f/ y definiscono le discontinuità dell immagine nella direzione degli assi coordinati x e y. L orientazione dei bordi nell immagine non necessariamente coincide con gli assi coordinati. Ne consegue la necessità di calcolare le derivate direzionali dell immagine f per ogni punto (x, y) nella direzione r di massima discontinuità dei livelli di grigio (massimo locale della derivata di f) come rappresentato in figura 1.5. f(x) y Bordi f(x,y) x f x(x) A g f y f x x x Figura 1.5: Profilo di una discontinuitá in termini di gradiente e sua rappresentazione grafica. L operatore che presenta queste caratteristiche è il gradiente. Il gradiente di f(x, y) nel punto A nella generica direzione r con angolo θ è dato da: f r = f x x r + f y y r = f x f cos θ + sinθ (1.1) y

5 1.2. FILTRO DEL GRADIENTE 31 Siamo interessati al valore massimo del gradiente f/ r, orientato nella direzione di massima variazione della funzione f. Questoè ottenuto derivando la funzione gradiente rispetto a θ e ponendo uguale a zero, come segue: da cui θ ( ) f r = f f sinθ + cos θ =0 (1.2) x y θ gmx (x, y) = arctan(f y /f x ) (1.3) dove θ gmx (x,y) è la direzione di massima variazione di f (ossia la direzione perpendicolare all edge) rispetto all asse x, con f x ed f y le derivate parziali di f, rispettivamente, rispetto all asse x ed all asse y. Viene d ora in poi chiamato vettore gradiente il valore massimo della derivata ( f/ r) gmx nella direzione di massima variazione, che in notazione differenziale è definita da: Gradf = f = f x i + f y j (1.4) dove i e j sono in questo caso, i vettori unitari degli assi coordinati x ed y rispettivamente. Una misura quantitativa della massima variazione di f nella direzione definita dal gradiente f è dato dal modulo del vettore gradiente definito come f = f 2 x + f 2 y (1.5) Il modulo e la direzione del gradiente sono indipendenti dalle coordinate (x, y) del sistema di riferimento. Questo può essere dimostrato considerando che l immagine f è una funzione scalare il cui valore dipende solo dal pixel A e non dalle sue coordinate (x, y). Inoltre, se si considera in A, un vettore unitario s, coincidente con la direzione r, risulta anche indipendente dalla scelta degli assi coordinati. Pertanto, la derivata D s f di f rispetto alla direzione r nella forma di prodotto interno tra vettori risulta: D s f = f = s f = s f cos α = f cos α (1.6) r dove α è l angolo tra il vettore unitario sedilvettore gradiente f. Il valore della derivata D s fè massimo quando cos α = 1 che si verifica con α =0 e conseguentemente D s f = f. Questo dimostra l asserzione che il modulo e la direzione del gradiente di f sono indipendenti dalla scelta delle coordinate di riferimento (Proprietà del Gradiente). Riassumiamo i risultati fin qui conseguiti allo scopo di applicare la funzione gradiente per il calcolo dei bordi. 1. La derivata direzionale o gradiente direzionale della funzione immagine f esprime una misura delle variazioni di intensità di f rispetto ad una direzione r: D s f = f r = f x cos θ + f y sin θ 2. Il vettore gradiente f ha le componenti coincidenti con le derivate parziali della funzione f rispetto agli assi coordinati x ed y: f = f x i + f y j

6 32 CAPITOLO 1. OPERAZIONI LOCALI: EDGING 3. Il vettore gradiente f ha la direzione corrispondente alla derivata D s f coincidente con il massimo valore delle variazioni di intensità dell immagine. Risulta perpendicolare al bordo e rispetto all asse x, ha un angolo dato da: 4. Il modulo del gradiente è definito come: θ gmx =arctan(f y /f x ) f = f 2 x + f 2 y Per ridurre la complessità computazionale il modulo del gradiente può essere approssimato considerando i valori assoluti: f = f x + f y oppure f = max ( f x, f y ) 5. Il modulo f e la direzione θ gmx del gradiente sono indipendenti dalla scelta del sistema di riferimento, ossia sono invarianti con la rotazione degli assi coordinati. 6. Quest ultima proprietà evidenzia inoltre che il modulo del gradiente è indipendente dall orientazione locale del bordo. Da ciò consegue che il filtro gradiente èunoperatore locale isotropo. 1.3 Approssimazione del filtro Gradiente Per una immagine digitale di dimensione N N, il vettore gradiente (modulo ed orientazione) può essere approssimato sostituendo la differenziazione in due direzioni ortogonali lungo i rispettivi assi coordinati con le differenze finite sempre nelle rispettive direzioni x ed y. Le seguenti approssimazioni sono date per le righe: f x (i, j) =f(i, j +1) f(i, j) Differenza in avanti f x (i, j) =f(i, j) f(i, j 1) Differenza all indietro f x (i, j) = 1 2 [f(i, j +1) f(i, j 1)] Differenza simmetrica analogamente per le differenze nelle colonne: f y (i, j) =f(i +1,j) f(i, j) Differenza in avanti f y (i, j) =f(i, j) f(i 1,j) Differenza all indietro f y (i, j) = 1 2 [f(i +1,j) f(i 1,j]) Differenza simmetrica Queste approssimazioni conducono alle seguenti maschere di convoluzione h: + h R = [ 1 1 ] [ ] + 1 h C = 1 h R = [ 1 1 ] [ h C = ] 1 1 [ s h R = ] 1 s h C = dove gli indici R e C in h identificano rispettivamente le maschere di convoluzione per calcolare il gradiente lungo le righe e le colonne. Il simbolo indica il pixel in elaborazione nel caso di maschere asimmetriche (con due elementi nel caso precedente). I simboli (+, -, ed s) indicano rispettivamente le maschere di convoluzione calcolate rispettivamente con la differenza in avanti, all indietro e simmetrica.

7 1.3. APPROSSIMAZIONE DEL FILTRO GRADIENTE 33 Con le approssimazioni cosí calcolate, le componenti di gradiente f x ed f y sono localizzate non alle stesse coordinate del pixel in elaborazione (pixel di sinistra, di destra oppure di centro) ma ad una posizione intermedia tra i due pixel ossia nel punto (i,j+1/2) per f x e nel punto (i+1/2,j) per f y. Questo corrisponde ad uno spostamento dell immagine gradiente per una distanza di mezzo pixel. Gli effetti dell approssimazione del gradiente possono essere meglio evidenziati operando nel dominio delle frequenze. In tale dominio, la differenziazione n-ma di una funzione f corrisponde alla moltiplicazione del valore dello spettro per un fattore proporzionale alla frequenza e questo porta alla esaltazione delle alte frequenza. La funzione di trasferimento nel caso di approssimazione alle differenze all indietro è data da: H R (u, v) =i sin ( ) 2πu per la componente orizzontale M H C (u, v) =i sin ( ) 2πv M s H R (u, v) =i sin ( πu M ) e s H C (u, v) =i sin ( πv M ) per la componente verticale differenza simmetrica Con questa approssimazione il filtro gradiente della differenza si discosta molto dal filtro ideale basato sulla funzione di trasferimento del filtro delle derivate che è iπ2u/m F (u, v) eiπ2v/m F (u, v) rispettivamente per la componente riga e colonna. Il filtro simmetrico delle differenze s h si comporta come un filtro passa-basso e può essere pensato come la combinazione di un filtro di smoothing ed un filtro di esaltazione dei bordi: s h R = h R 1 B R = [ 1 1 ] 1 [ ] 1 [ ] 1 1 = [ ] 1 s h C = h C 1 B C = 1 [ ] 1 = dove B R =1/2[1 1] rappresenta il filtro di smoothing elementare media di due pixel. Le maschere di convoluzione orizzontale e verticale trovate sono utilizzate solo per l estrazione dei bordi dominanti in direzione perpendicolare agli operatori stessi. Per tale scopo possono essere applicati i seguenti operatori di convoluzione: g R (i, j) =f(i, j) h R (i, j) = g C (i, j) =f(i, j) h C (i, j) = +1 l= 1 +1 l= 1 f(i, l) h R (l) (1.7) f(l, j) h C (l) (1.8) In figura 1.6 sono evidenziati i risultati di questi due filtri (orizzontali e verticali). Ricordiamo che l obiettivo iniziale era quello di calcolare i bordi comunque orientati nel piano immagine. Questo è realizzato calcolando il modulo del gradiente espresso da una delle seguenti equazioni: f = g R g R + g C g C f = g R + g C f(i,j) S h h R S C g g R C (, i j) 2 2 f g R gc or f g g (, i j) g C gmx arctan g R R C f (, i j) gmx (, i j) Mappa gradiente (bordi) Mappa orientazione bordi

8 34 CAPITOLO 1. OPERAZIONI LOCALI: EDGING Figura 1.6: Gradienti delle differenze orizzontali e verticali. Come evidenziato dal flowchart l estrazione dei bordi prevede diversi passi: 1. Filtraggio dell immagine applicando in modo indipendente le maschere di convoluzione h R ed h C. 2. Calcolare il quadrato per ogni pixel delle due immagini ottenute dal passo 1). 3. Somma i pixel omologhi delle due immagini del passo Calcola la radice quadrata dell immagine del passo 3. L immagine risultante è l immagine degli Edge. 5. Calcola l arcotangente per ogni valore di g C /g R (conponenti del gradiente orizzontale e verticale) calcolate nel passo 1). L immagine risultante èlamappa di orientazione dei bordi. 1.4 Operatore di Roberts Un modo alternativo per approssimare la differenziazione è quello suggerito da Roberts: f x (i, j) =f(i, j) f(i +1,j+1) f y (i, j) =f(i +1,j) f(i, j +1) come mostrato in figura 1.7. L orientazione del bordo rispetto all asse x risulta θ (i, j) = π ( ) 4 + arc tan fy f x (1.9) Le maschere di convoluzione nelle due direzioni orizzontali e verticali con l approssimazione di Roberts risultano:

9 1.5. MANIPOLAZIONE DELL IMMAGINE GRADIENTE 35 j i-1,j i-1, j+1 i,j-1 i,j i, j+1 i+1,j-1 i+1,j i+1, j+1 i Figura 1.7: Approssimazione del filtro gradiente mediante operatore di Roberts h R = [ ] h C = [ ] Le componenti g R (i, j) eg C (i, j) orizzontali e verticali del gradiente sono calcolate nel punto di interpolazione (i +1/2,j+1/2) con le formule di convoluzione solite g R = f h R e g C = f h C. 1.5 Manipolazione dell immagine gradiente L immagine gradiente ottenuta con qualunque metodo di approssimazione descritto in precedenza, può essere modificata per produrre immagini gradiente con diversi tipi di bordi. Data l immagine gradiente g(i,j), si possono definire alcune modalità per verificare se un pixel g(i,j) è un elemento di bordo o meno. Alcune definizioni sono: { f (i, j) se f (i, j) T g (i, j) = f (i, j) altrimenti dove T è un valore di soglia non negativo. Dal valore scelto di T dipende se, piccole variazioni di intensità, sono da classificare come bordo oppure da considerare zone omogenee affette da rumore. { IT se f (i, j) T g (i, j) = f (x, y) altrimenti dove I T è un valore di grigio da assegnare ai pixel classificati come bordi mediante la soglia T come in precedenza. { f (i, j) se f (i, j) T g (i, j) = altrimenti I B dove I B è un valore di grigio da assegnare ai pixel non classificati come bordi mediante la soglia T (separazione dei bordi dal fondo).

10 36 CAPITOLO 1. OPERAZIONI LOCALI: EDGING { IT se f (i, j) T g (i, j) = altrimenti I B ottenendo in questo caso una immagine binaria, e precisamente pixel con valore I T corrispondenti ai bordi, e tutti gli altri con valori I B che rappresentano lo sfondo. 1.6 Operatore di Sobel Gli operatori di estrazione dei bordi già descritti basati sul gradiente (filtro gradiente, filtro di Roberts), generano bordi con spessore di almeno due pixel. D altra parte questi operatori sono sensibili al rumore dovuto alle piccole fluttuazioni dell intensità, che approssimano le stime delle componenti del gradiente che al numero limitato di pixel. Per attenuare questi inconvenienti, si utilizza un operatore gradiente più complesso, che simultaneamente esegue la differenziazione rispetto ad un asse coordinato e calcola una media locale in direzione ortogonale. Le componenti del gradiente con l operatore di Sobel sono calcolate nella direzione degli assi coordinati x ed y, coinvolgendo per ciascun pixel in elaborazione (i, j) i pixel nelle sue vicinanze inclusi nella finestra 3 3 come mostrato in figura: A B C H (i,j) D G F E La differenziazione nella direzione x ed y è approssimata come segue: f x (i, j) =(C + KD + E) (A + KH + G) f y (i, j) =(A + KB + C) (G + KF + E) dove la costante K è scelta uguale a 2 ed i pixel vicini a quello in elaborazione (i,j) hanno una influenza in relazione ai corrispondenti pesi indicati con A,B,..,E. Scegliendo una finestra più grande 3 3 per la stima del gradiente, l effetto di smoothing aumenta rispetto all operatore con finestra 2 2, diminuendo in tal modo la sensibilità dell operatore alle fluttuazioni dei valori di intensità presenti nell immagine. Le maschere di convoluzione per l operatore di Sobel sono: h R = h C = Si può notare come nelle maschere la somma dei pesi è uguale a zero. Da ciò conseguirà la non determinazione dei bordi in presenza di pixel con valori di grigio costante. I pesi nelle maschere sono appropriati per modellare un bordo ideale presente nella direzione degli assi coordinati. Infine si nota come l operatore attribuisce un peso maggiore ai pixel che sono più vicini al pixel (i,j) in elaborazione. Le convoluzioni discrete per le componenti orizzontale e verticale dell operatore di Sobel sono: g R (i, j) =f(i, j) h R (i, j) = l= 1 k= 1 f(i + l, j + k)h R (l, k)

11 1.7. OPERATORE DI PREWITT 37 g C (i, j) =f(i, j) h C (i, j) = l= 1 k= 1 f(i + l, j + k)h C (l, k) Ricordiamo che la maschera di convoluzione 3 3 sovrappone l elemento centrale (0, 0) con il pixel in elaborazione (i, j) dell immagine. L operatore di Sobel definisce il modello del gradiente con la formula nota: f = gr 2 + g2 C 1.7 Operatore di Prewitt Differisce dall operatore di Sobel solo per il valore della costante K che è dimezzato ossia posta uguale a 1. In questo modo, le maschere di convoluzione diventano: h R = h c = Diversamente dall operatore di Sobel, i pixel più vicini (nord, sud, est, ovest) al pixel in elaborazione non hanno un peso maggiore ma contribuiscono alla stima del gradiente spaziale con lo stesso peso. 1.8 Operatore di Frei&Chen Questo operatore assegna alla costante K il valore 2 pesando i pixel vicini in modo omogeneo ed in tal modo il valore del gradiente è uguale in presenza di bordi verticali, orizzontali ed obliqui. h R = h C = Operatori a confronto Come per tutti i processi di elaborazione dell immagine, anche per la valutazione di un operatore specializzato per estrarre i bordi, alcuni quesiti sono considerati: quanto è attendibile il modello fisico-matematico scelto; quanto è efficiente il modello computazionale; quanto è accurato il risultato conseguito. Per quanto riguarda l attendibilità, la scelta della funzione gradiente per determinare la variabilità locale dei livelli di grigio si dimostra adeguata. La funzione gradiente ideale può essere calcolata con la differenziazione della funzione di input. Per le immagini digitali la funzione gradiente è invece approssimata utilizzando le differenze dei livelli di grigio ed interessando un numero limitato di pixel. Per meglio esaltare (Enhancement) le discontinuità locali viene calcolato il modulo e la direzione del gradiente. Le discontinuità presenti nell immagine non sempre sono associate all informazione intrinseca dell immagine poichè spesso risultano introdotte casualmente dal processo di digitalizzazione e dalla instabilità dei sensori.

12 38 CAPITOLO 1. OPERAZIONI LOCALI: EDGING Figura 1.8: Applicazione degli operatori di Prewitt Roberts e Frei-Chen. Tali discontinuità, associate al rumore, prima del processo di esaltazione dei bordi devono essere attenuate con un processo di smoothing per impedire la formazione di bordi spuri e di artefatti puntiformi e di tratti di linee curve. Il modello di estrazione dei bordi include pertanto due attività contrastanti, da un lato l esaltazione dei bordi e dall altra l attenuazione del rumore. L efficacia degli operatoridescritti in precedenza (differenze, Roberts, Sobel, Prewitt, Frei&Chen) dipende da come i vari operatori bilanciano gli effetti dello smoothing e della esaltazione dei bordi (molte volte è controllato scegliendo un valore di soglia T adeguato del valore di gradiente stimato). L accuratezza dei risultati riguarda soprattutto il livello di approssimazione del gradiente, e dipende dalle dimensioni della maschera di convoluzione. La maggior parte degli operatori trattati non sono in grado di definire e localizzare un bordo con la risoluzione di un pixel. Non tutti i bordi reali sono estratti, probabilmente, molti sono filtrati dalla componente di smoothing dell operatore di estrazione dei bordi. Al contrario, non tutti i bordi estratti sono reali, poichè molti sono causati dall effetto di sharpening che scambia le variazioni di intensità dovute al rumore come bordi presenti nell immagine. Tutti gli operatori descritti sono implementati come un unico modello computazionale ossia la convoluzione discreta con maschera di dimensioni 3 3. Negliesempiriportati,l operazione di smoothing è realizzata con un filtro gaussiano utilizzando una maschera 7 7. I valori delle soglie del gradiente sono riportati di volta in volta. In alcune immagini è introdotto un rumore additivo gaussiano con σ=12. Dai risultati conseguiti si nota la presenza nell immagine elaborata di bordi falsi causati dal rumore ed è evidenziato come può essere attenuato questo problema con il prefiltraggio dell immagine. Gli operatori di Sobel, Prewitt e Frei-chen offrono risultati migliori per la determinazione dei bordi rispetto agli operatori basati sulla differenza, come l operatore di Roberts che calcola la media dei livelli di grigio su un numero minore di pixel.

13 1.10. OPERATORE DERIVATA DELLA GAUSSIANA (DROG) 39 I limiti degli operatori gradiente sopra descritti possono essere in parte superati aumentando il numero di pixel coinvolti per la stima del gradiente e conseguentemente migliorando l operatore di smoothing. Come primo esempio adattiamo, l operatore di Prewitt, per una maschera di convoluzione 7 7, modificata come segue: h R = Come secondo esempio consideriamo l operatore a tronco di piramide suggerito da Abdan che pesa in modo linearmente decrescente l importanza dei pixel vicini al pixel in elaborazione. La maschera di convoluzione per il calcolo della componente di gradiente orizzontale èdatada h R = Per ottenere più in generale, una maschera di convoluzione più estesa per un qualunque operatore gradiente, si possono convolvere maschere 3 3 degli operatori descritti in precedenza con una maschera dell operatore di smoothing. La maschera di convoluzione combinata risulta la seguente: h(i, j) =h GRAD (i, j) h SMOOTH dove h GRAD indica una delle maschere di convoluzione 3 3 dell operatore gradiente ed h SMOOTH indica la maschera di convoluzione di un operatore di smoothing. Se si considerano le maschere h R (i,j) dell operatore di Prewitt ed h SMOOTH (i, j) = 1/9 il filtro media di smoothing di 3 3, si ottiene la maschera di convoluzione combinata dell operatore gradiente di 5 5 nella forma: h R = = analogamente si ricava la maschera della componente di gradiente verticale h C Operatore derivata della Gaussiana (DroG) L operatore gradiente basato sulla derivata della gaussiana è ottenuto applicando prima l operatore di smoothing gaussiano e successivamente derivando rispetto agli assi coordinati. La risposta impulsiva di questo operatore, lungo l asse orizzontale, risulta: h R (i, j) = i2 +j 2 i e 2σ 2 = i i 2 +j 2 σ 2 e 2σ 2

14 40 CAPITOLO 1. OPERAZIONI LOCALI: EDGING con σ la deviazione standard. Analogamente può essere fatto per calcolare la risposta impulsiva rispetto all asse verticale. Questo operatore rappresenta un esempio combinato tra filtro gaussiano di smoothing e l operatore gradiente basato sulla derivata prima. Inoltre fornisce il miglior compromesso tra l attenuazione del rumore (filtro di smoothing) e l esaltazione dei bordi (operatore derivata) Operatore gradiente direzionale Tutti gli operatori descritti in precedenza, determinano i bordi calcolando prima le componenti ortogonali del gradiente in direzione orizzontale e verticale, e successivamente i gradienti sono stimati sommando in modo appropriato tali componenti. In diverse applicazioni è conveniente calcolare i bordi per un numero definito di direzioni. Questo può essere realizzato mediante la convoluzione dell immagine di input f(i, j)con diverse maschere h k i cui pesi modellano le risposte impulsive del gradiente direzionale. Il gradiente direzionale è espresso da g k (i, j) =f(i, j) h k (1.10) dove h k è la risposta impulsiva del gradiente nella direzione θ k = π 2 + k π 4 valori da 0 (per indicare la direzione nord) a 7. L operatore gradiente direzionale per ogni pixel è definito come: dove k può assumere g(i, j) =max g k (i, j) k =0,..., 7 (1.11) k che indica l inclinazione del bordo nella direzione del massimo valore dei gradienti direzionali calcolati nelle otto direzioni. Le maschere di convoluzione corrispondenti alle k direzioni sono ottenute partendo con k=0 e ruotando in modo circolare di π/4 ogni elemento esterno della maschera 3 3. Nella figura 1.9 sono rappresentate tutte le maschere per l operatore di Prewitt, Kirsch, una derivazione di Sobel (Robinson livello-3) e Robinson livello-5 (derivato dall operatore di Prewitt). La somma dei pesi di ogni maschera è zero. Da ciò consegue che nelle zone omogenee dell immagine l operatore gradiente direzionale darà sempre come risultato zero. I gradienti direzionali avranno il valore massimo quando la configurazione dei livelli di grigio dei pixel meglio concordano con i modelli rappresentati dalle maschere. Altri operatori gradiente possono essere definiti con rotazioni per esempio di π/6 con maschere di dimensioni 5 5. Con maschere ancora più grandi si possono calcolare le direzioni dei bordi in modo più preciso con una buona riduzione del rumore ma con la necessità di notevole tempo di calcolo Operatore Laplaciano Un operatore lineare isotropo può essere definito con differenziazione del secondo ordine per accentuare ulteriormente i bordi. Per tale scopo viene utilizzato l operatore di Laplace che per una funzione continua bidimensionale f(x, y) ècosìdefinito: 2 f(x, y) = 2 f x f y 2 (1.12) che rappresenta la somma delle derivate seconde di una funzione calcolate nella direzione degli assi coordinati x ed y.

15 1.12. OPERATORE LAPLACIANO 41 Direzione Prewitt Kirsch Robinson Robinson Gradiente compasso livello-3 livello-5 Est H 1 NE H 2 Nord H 3 NW H 4 Ovest H 5 SW H 6 Sud H 7 SE H Fattore 5 di scala Figura 1.9: Maschere 3 3 per l estrazione dei gradienti direzionali.

16 42 CAPITOLO 1. OPERAZIONI LOCALI: EDGING f (x) f (x) zero crossing Figura 1.10: Laplaciano di una funzione monodimensionale. L effetto del Laplaciano per una funzione a gradino (bordo ideale) può essere rappresentato graficamente come in figura Si osserva come il bordo può essere rappresentato da più pixel nell immagine gradiente (in corrispondenza del picco del gradiente). Risulta invece ben localizzato nella funzione Laplaciano, coincidente con il punto dove tale funzione ha un andamento che passa per lo zero (da non confondere con l andamento costante uguale a zero che si verifica quando f è costante). Questo suggerisce l idea di applicare l operatore Laplaciano ad una immagine f(i,j) per localizzare facilmente i pixel di bordo corrispondenti al pixel dove il fianco di salita o di discesa di 2 f passa per lo zero (da positivo a negativo e viceversa). Questa transizione di 2 f per lo zero è chiamata anche zero crossing e corrisponde al pixel di bordo. L operatore Laplaciano basandosi sulla derivata seconda èpiù sensibile al rumore rispetto agli altri operatori, non fornisce informazioni di direzione del bordo, e può generare bordi doppi. Nel dominio spaziale discreto, l operatore laplaciano può essere approssimato considerando le differenze dei valori di intensità invece delle derivate. La componente orizzontale dell operatore laplaciano è approssimata come segue:

17 1.12. OPERATORE LAPLACIANO 43 2 f x = fx 2 x = f(i,j+1) x = (f(i,j+1) f(i,j)) x f(i,j) x =(f(i, j +2) f(i, j +1)) (f(i, j +1) f(i, j)) (differenza in avanti) = f(i, j +2) 2f(i, j +1)+f(i, j) (1.13) Con la traslazione di un pixel in orizzontale, ottenuta sostituendo j con j 1 si calcola il valore approssimato del laplaciano nel punto (i, j) definito da: 2 f = f(i, j +1) 2f(i, j)+f(i, j 1) (1.14) x2 operando in modo analogo per la componente verticale si ottiene: 2 f = f(i +1,j) 2f(i, j)+f(i 1,j) (1.15) y2 Queste approssimazioni conducono alle corrispondenti maschere di convoluzione orizzontale e verticale: h R = [ ] h C = 1 2 (1.16) 1 Dalla combinazione delle componenti orizzontali e verticali si ottiene una singola maschera di convoluzione del laplaciano: h(i, j) = = (1.17) Gli effetti dell approssimazione del laplaciano con le differenze, possono essere meglio analizzati nel dominio delle frequenze. Nel dominio delle frequenze il laplaciano èdatoda-4π 2 (u 2 +v 2 )F(u,v) che equivale alla moltiplicazione dello spettro F(u,v) per un fattore proporzionale alle frequenze (u 2 +v 2 ). Questo porta ad una accentuazione delle alte frequenze. L approssimazione delle differenze del laplaciano porta ad un leggero scostamento della funzione di trasferimento dalle condizioni ideali delle derivate parziali del secondo ordine con la conseguente deviazione rispetto alle caratteristiche isotrope dell operatore specialmente per le alte frequenze. Per attenuare questo inconveniente si utilizzano le seguenti maschere di convoluzione che meglio approssimano il laplaciano nel discreto: h 1 = h 2 = h 3 = (1.18) La localizzazione dei bordi è influenzata dal rumore e dalla variazione locale dei valori di intensità dell immagine. In presenza di una variazione a gradino si verifica quanto segue: f che evidenzia come il bordo si trova al centro tra i due pixel adiacenti (5-5). In questo caso la locazione del bordo può essere calcolata interpolando tra i pixel a sinistra ed a destra dello zero crossing. In presenza di una variazione a rampa si verifica quanto segue:

18 44 CAPITOLO 1. OPERAZIONI LOCALI: EDGING f In questo caso il bordo è localizzato in corrispondenza del pixel zero crossing. Dagli esempi si può dedurre che gli zero crossing dell operatore laplaciano sono sempre localizzati a livello di pixel ma spesso sono identificati come transizione tra pixel positivo e negativo e viceversa Laplaciano della Gaussiana Marr ed Hildreth hanno definito un operatore per l estrazione dei bordi, chiamato Laplaciano della gaussiana (LoG 1 ) combinando l effetto del filtro Gaussiano (per appiattire i livelli di grigio) con quello dell operatore Laplaciano (per esaltare i bordi). Nel continuo, se con f(x, y) si indica l immagine di input e con h(x, y) la funzione gaussiana, l operatore Laplaciano della Gaussiana g(x, y) è ottenuto come segue: g(x, y) = 2 {h(x, y) f(x, y)} (1.19) che evidenzia l operazione combinata del Laplaciano applicato al risultato della convoluzione, tra l immagine f e la risposta impulsiva del filtro gaussiano h. Ricordando che il filtro Gaussiano èdatoda h(x, y) =e (x 2 +y 2 ) 2σ 2 (1.20) con σ che controlla il livello di smoothing, ed applicando le regole di derivazione per la convoluzione (operatore lineare) si ottiene: g(x, y) ={ 2 h(x, y)} f(x, y) (1.21) dove { } è la risposta impulsiva del Laplaciano della gaussiana, data da { } h LoG (x, y) = 2 h(x, y) = 2 2σ 2 e (x 2 +y 2 ) = x2 + y 2 2σ 2 σ 4 e x 2 +y 2 2σ 2 (1.22) la cui rappresentazione grafica a forma di cappello messicano é mostrata in figura Le caratteristiche essenziali di questo operatore sono: 1. Il filtro gaussiano essendo un filtro passa-basso con andamento gaussiano attenua il rumore presente nell immagine e produce una risposta impulsiva ancora di tipo gaussiana. Ènotoche tale operatore è realizzato eseguendo la convoluzione dell immagine f con il filtro gaussiano h. 2. L operatore laplaciano essendo un operatore che accentua le alte frequenze, ha l effetto di migliorare la nitidezza dei bordi. 3. L effetto complessivo del filtro h LoG è quello di combinare gli effetti del filtro gaussiano e dell operatore laplaciano approssimando analiticamente nel discreto i passi della maschera di convoluzione. 1 da Laplacian of Gaussian

19 1.13. LAPLACIANO DELLA GAUSSIANA 45 Figura 1.11: Funzione cappello messicana. In particolare, applicando l operatore LoG nelle regioni dell immagine con gradiente omogeneo si avrà come risultato zero per qualunque valore del gradiente ed assumendo che la somma dei pesi della maschera risulti zero. In presenza di discontinuità l operatore produce valori crescenti quando la maschera h LoG raggiunge il primo estremo di discontinuità dif. Successivamente l operatore inverte la tendenza incominciando a decrescere fino a diventare zero quando la maschera è centrata sul punto di maggiore discontinuità che corrisponde col picco della derivata prima di f. Continuando il processo di convoluzione, l operatore riproduce risultati simmetrici ma invertiti di segno. Il punto di bordo è determinato localizzando l attraversamento dello zero (zero crossing) della risposta dell operatore per una zona dell immagine (da non confondere con le risposte con valore zero dovute alle zone di immagini omogenee). 4. La localizzazione di un bordo può essere determinata con la risoluzione del subpixel mediante interpolazione lineare. La locazione del bordo non è influenzato dalla varianza σ 2. In condizioni di immagini con poco rumore la maschera di convoluzione può interessare solo il pixel centrale e pochi pixel nelle sue vicinanze. Se invece siamo in presenza di rumore la componente del filtro di smoothing deve avere un influenza più estesa. Questo è ottenuto considerando σ più grande e conseguentemente l area di interesse vicino allo zero crossing diventa più estesa senza però sovrapporsi all area di influenza di un altro zero crossing ossia di un altro bordo. Con una maschera di convoluzione estesa la risposta dell operatore produce valori livellati ma con una attenuazione dell ampiezza e della pendenza nella regione dove si cercherà lo zero crossing. Un compromesso deve essere raggiunto, nella scelta della dimensione della maschera, rimanendo nei limiti delle dimensioni dell area di transizione del bordo. Normalmente è applicato tale operatore con diversi valori delle dimensioni della maschera. Dalle varie risposte dell operatore, per valori diversi di σ, si possono estrarre i bordi che hanno un reale interesse nell immagine. Una tecnica che viene normalmente utilizzata consiste nel localizzare con una buona approssimazione i bordi con maschere di filtraggio molto piccole (si ottengono risultati con molto rumore nei bordi) ed utilizzare filtri con maschere più grandi (con fattore di scala più grande) ottenendo in questo modo risultati più affidabili ma con la scarsa approssimazione nella localizzazione dei bordi (i bordi risultano spostati ed in alcuni casi bordi vicini risultano come un bordo unico). Ritornando al filtro di Marr-Hildreth h LoG, introducendo la variabile r 2 = x 2 + y 2 dove r misura la distanza dall origine (caratteristica di simmetria circolare del filtro), l espressione del

20 46 CAPITOLO 1. OPERAZIONI LOCALI: EDGING r zero Figura 1.12: Zeri della funzione cappello messicana. filtro diventa: h(r) = r2 2σ 2 σ 4 e r 2 2σ 2 ( ) r 2 = c 2σ 2 1 e r2 2σ 2 (1.23) dove c = r/σ 2 è una costante di normalizzazione. Come nel filtro gaussiano, anche per h LoG, il parametro σ controlla le dimensioni del filtro, ed i punti più vicini all origine di tale filtro, dove la curva attraversa lo zero (la prima volta) sono in corrispondenza di r 2 2σ 2 = 1 (1.24) ossia quando r zero = ±σ 2 (1.25) Dal grafico di figura 1.12 del filtro si osserva che la curva assume il massimo valore c all origine ossia per r=0. Per r=±σ si ha che la funzione è troncata al valore 1 2 ce 1 2. In sostanza σ controlla l influenza dei pixel che si trovano ad una distanza kσ dal pixel in elaborazione. Con buona approssimazione si può considerare che il filtro non ha nessuna influenza sui pixel distanti 3r zero dall origine dove h LoG si assume diventi nulla definitivamente. Per limitare anche gli effetti del troncamento, la maschera di convoluzione h LoG può essere discretizzata in una finestra L L con il minimo valore di L definito da L =2 3r zero =2 3 2σ Un approccio per realizzare l operatore laplaciano della Gaussiana è quello di eseguire in due passi sequenziali separati prima il filtraggio Gaussiano e successivamente l operatore laplaciano. Un approccio che prevede una singola convoluzione consiste nell utilizzare la maschera h LoG di dimensioni L e con i pesi opportunamente calcolati analiticamente dalla funzione di risposta impulsiva del filtro. In conclusione, il Laplaciano della Gaussiana è un operatore per l estrazione dei bordi che combina un attività di smoothing (filtro Gaussiano) ed una attività di enhancement (filtro Laplaciano) realizzato con gli zero crossing, che sono essenziali per localizzare gli stessi bordi. Alcuni modelli sviluppati da Marr sui meccanismi di funzionamento del sistema visivo umano hanno evidenziato una somiglianza funzionale all operatore Laplaciano della Gaussiana. Le funzioni di visione a basso livello (operazioni sulla retina) sono modellati dalla convoluzione dell immagine sulla retina con il filtro LoG.

21 1.14. DIFFERENZA DI GAUSSIANE DOG Figura 1.13: Maschera 5 5 del Laplaciano di una Gaussiana h G (r,σ 1 ) h G (r,σ 2 ) h DoG Figura 1.14: Differenza di Gaussiane Differenza di Gaussiane DoG Una buona approssimazione al filtro di Marr-Hildreth è ottenuto con un operatore basato sulla differenza di due Gaussiane con differente valore di σ: dove h DoG (r, σ 1,σ 2 )=h G (r, σ 1 ) h G (r, σ 2 ) (1.26) h G (r, σ 1 )=Ae r 2 2σ 1 2 ed h G (r, σ 2 )=Be r2 2σ 2 2 con A>B eσ 1 <σ 2. Marr ed Hildreth hanno trovato che con σ 2 /σ 1 =1.6 si ha la migliore approssimazione al filtro Laplaciano della Gaussiana. L operatore DoG risulta facilmente implementabile poichè esistono versioniottimizzate del filtro Gaussiano Operatore della derivata seconda direzionale Abbiamo già considerato l operatore alla derivata prima direzionale (operatore gradiente) per il calcolo del gradiente di f lungo una direzione r ad un angolo θ dall asse x orizzontale che era dato da: f r = f x x r + f y y r = f x cos θ + f y sinθ (1.27)

22 48 CAPITOLO 1. OPERAZIONI LOCALI: EDGING Analogamente può essere calcolato l orientamento dei bordi ricercando lo zero-crossing della derivata seconda lungo r per ogni valore di θ. Dalla equazione (1.27) differenziando si ottiene: 2 f r 2 = r f X cos θ + r f Y sinθ = 2f x 2 cos2 θ +2 2 f x y sinθ cos θ + 2 f y 2 sin2 θ (1.28) Al variare di θ si calcolano tutti i possibili zero crossing. A differenza dell operatore Laplaciano, l operatore basato sulla derivata seconda direzionale è un operatore non lineare. La convoluzione di un immagine f con una funzione di smoothing prima della differenziazione non è equivalente alla convoluzione della derivata seconda di f con una funzione di smoothing. Si ricorda inoltre che il Laplaciano è un operatore basato sulla derivata seconda, ma spazialmente isotropo rispetto alla rotazione che determina solo l esistenza del bordo. La direzione del bordo può essere valutata durante la fase di localizzazione degli zero-crossing. Un operatore che utilizza la derivata seconda direzionale per estrarre i bordi ha l obiettivo di stimare anche la direzione del bordo stesso. Nella visione artificiale l operatore Laplaciano e quelli basati alla derivata seconda direzionale, spesso non sono utilizzati, poichè la doppia differenziazione (prima e seconda derivata) è influenzata in modo significativo dal rumore presente nelle immagini reali. In pratica, anche in corrispondenza di lievi picchi nella derivata prima si generano zero crossing (non attendibili) nella derivata seconda. In precedenza abbiamo esaminato l operatore LoG che ha parzialmente attenuato questo problema grazie alla componente di filtraggio gaussiana. Più in generale, l effetto del rumore può essere attenuato, utilizzando tecniche di filtraggio più robuste (come proposto da Haralick), che approssimano l immagine f(x, y) con polinomi bidimensionali, da cui si ricava direttamente la derivata seconda analiticamente. Tale metodo è chiamato facet model. Questi metodi che prevedono di approssimare i livelli di grigio dell immagine con una funzione analitica sono ad alto costo computazionale e non offrono risultati notevoli Operatore di Canny In precedenza abbiamo esaminato diversi operatori per l estrazione di bordi. Tali operatori si differenziano in relazione alle loro prestazioni in termini di accuratezza della locazione dei bordi ed alla capacità di filtrare il rumore. Quasi tutti gli operatori presentati, elaborano una immagine campionata per stimare localmente il massimo valore del gradiente. La maggior parte degli operatori descritti sono derivati in modo euristico. Questo consegue per la difficoltà di modellare in modo generale le discontinuità presenti nelle immagini reali che normalmente hanno già subito un processo di smoothing nella fase di imaging per opera del sistema ottico e del sistema di digitalizzazione. La presenza di discontinuità nell immagine, causate dalla fluttuazione dei sensori e dalla elettronica associata della telecamera, producono valori di gradiente anche in zone dell immagine che dovevano essere omogenee (bordi sparsi ed artefatti). Queste discontinuità dovute al rumore, possono non essere facilmente filtrate poichè spesso sono differenti rispetto alle caratteristiche del filtro. Un operatore che approssima la misura di gradiente per estrarre i bordi deve risolvere due caratteristiche contrapposte: attenuare il rumore localizzare i bordi accuratamente quanto possibile.

23 1.16. OPERATORE DI CANNY 49 Se si esagera con la prima caratteritica, si hanno problemi nel localizzare i bordi in quanto il processo di smoothing può aggiungereincertezza sulla posizione del valore di massima discontinuità. Se si esagera con la seconda caratteristica, si ha l inconveniente di aumentare la sensibilità dell operatore ed estrarre bordi che in realtà sono da attribuire al rumore. Un operatore lineare basato sulla derivata prima della Gaussiana DroG risulta essere un buon compromesso tra localizzare i bordi e la non dipendenza dal rumore. Questo operatore, già descritto in precedenza, combina il filtraggio Gaussiano e la stima del gradiente (basato sulle differenze finite), è spazialmente non isotropo. L operatore di Canny è risultato essere ottimale per risolvere il compromesso tra la localizzazione accurata dei bordi e l influenza dal rumore. Tale operatore, è del tipo DroG, e raggiunge le condizioni ottimali del rapporto segnale rumore e localizzazione dei bordi. Le caratteristiche dell operatore di Canny sono: - Buona determinazione dei bordi, il rapporto segnale rumore (SNR) del gradiente è massimizzato per ottenere la probabilità minore di errore nella determinazione di un bordo reale e di ottenere una probabilità minima nel considerare buono un falso bordo. - Buona localizzazione, punti identificati come bordi sono il più vicino possibile al centro del bordo reale. - Risposta singola, l operatore dovrebbe produrre una unica risposta per uno stesso bordo. Vediamo ora come possono essere descritte matematicamente le caratteristiche ottimali proposte da Canny. La prima e la seconda caratteristica possono essere soddisfatte considerando l operatore DroG, la Derivata della Gaussiana, come operatore che meglio approssima il rapporto segnale rumore e localizzazione. Il primo passo dell operatore di Canny è quello di convolvere l immagine f(i,j) con un filtro di smoothing Gaussiano h(i,j;σ) producendo una immagine g(i, j) data da: g(i, j) =f(i, j) h(i, j; σ) dove σ controlla il livello di smoothing. Successivamente sono stimate le derivate parziali g x eg y, il modulo ed orientazione del gradiente per ogni pixel (i,j) dell immagine g. Le derivate parziali sono approssimate, usando per ogni pixel (i, j) finestre 2 2, e considerando le prime differenze: g x (i, j) = [(g(i, j +1) g(i, j)) + (g(i +1,j+1) g(i +1,j)] /2 g y (i, j) = [(g(i, j) g(i +1,j)) + (g(i, j +1) g(i +1,j+ 1))] /2 Il modulo ed orientazione del gradiente sono calcolati dalle note formule di converzioni tra coordinate cartesiane e polari: M(i, j) = gx 2 + g2 y ( ) gy (i, j) θ(i, j) =arc tan g x (i, j) I valori di M(i, j) eθ(i, j) possono essere precalcolati in precedenza e tabulati in una look-up table per ottimizzare il tempo di elaborazione dell operatore. Inoltre può essere utilizzata l aritmetica con numeri interi per approssimare l angolo di orientazione del gradiente senza penalizzare i risultati dell operatore. Siamo ora interessati a calcolare la posizione del bordo, la sua orientazione e possibilmente considerare anche il modulo del bordo in relazione al modulo del gradiente M(i, j). Un modo per localizzare i punti dei bordi potrebbe essere quello di considerare punti dell immagine gradiente M(i, j) con valori alti.