Operatori locali. Operatori locali. Q=f(P,w)

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1 Operatori locali Operatori locali P(i,j) Gli operatori locali associano ad ogni piel ( i,j) della immagine di output Q un valore calcolato in un intorno o finestra w centrata nel piel P(i,j) Q=f(P,w)

2 Operatori locali P(i,j) La funzione f può essere lineare o non lineare: Filtri lineari sono definiti tramite convoluzione Filtri non lineari Operatori locali P(i,j) Per eseguire una elaborazione locale l immagine viene esplorata in una sequenza prefissata ad esempio da sinistra a destra e dall alto verso il basso

3 Obiettivi Smoothing rimuove il rumore dovuto alla trasmissione, acquisizione.. Enhancement migliora la qualità delle immagini o enfatizza feature significative, come gli edge Deblurring migliora la nitidezza ( sharpness) delle immagini sfocate (blurred) Operatori lineari nel dominio spaziale Consideriamo una matrice h di 3 3 elementi detta maschera di pesi h = w w w 3 w 4 w 5 w 6 w 7 w 8 w 9 Consideriamo per ogni piel (,) una finestra di dimensione 3 3 centrata con (,) f(-,-) f(,-) f(+,-) f(-,) f(,) f(+,) f(-,+) f(,+) f(+,+) (,) 3

4 Operatori lineari nel dominio spaziale Il valore del piel centrale è calcolato come somma pesata di f secondo i coefficienti w i : g(, ) = w + w 8 4 f (, ) + w w f ( +, ) + w f (, ) + w 9 5 f (, ) + w f ( +, + ) f (, ) + w 6 3 f (, + ) + w f (, + ) 7 f ( +, ) + Correlazione Siano f(,) una immagine di dimensione NN h(,) una maschera spaziale di dimensione LL, con origine nel piel centrale per L=3 si ha h(-,-) h(-,) h(-,) h(,-) h(,-) h(,) h(,) h(,) h(,) 4

5 Correlazione Siano f(,) una immagine di dimensione NN h(,) una maschera spaziale di dimensione LL a= parte intera(l/) L operazione di correlazione della immagine f(,) con h(,) con origine nel centro della maschera si esprime nel modo seguente: g = h f g (, ) = i, a j =... N a i = a j = a h ( i, j ) f ( + i, + j ) Correlazione - convoluzione L operazione di correlazione della immagine f(,) con h(,) con origine nel centro della maschera si esprime in modo equivalente: i= j= L L g(, ) = h( i, j)* f ( L / + i, L / + L immagine di output g(,) è influenzata soltanto dai piel che si trovano in un intorno LL del corrispondente piel (,) della immagine f j) 5

6 Correlazione - convoluzione L operazione di correlazione i= j= L L g(, ) = h( i, j)* f ( L / + i, L / + j) è equivalente alla operazione di convoluzione nel caso in cui h(m,n) sia una matrice simmetrica - vedi lezione sui sistemi lineari Maschera - mask Maschera: matrice quadrata di pesi utilizzati nel calcolo del nuovo valore di un determinato piel a partire dall intorno del piel stesso si chiama anche filtro nel dominio spaziale E una finestra che si muove sulla immagine 6

7 Complessità La convoluzione è una operazione complessa dal punto di vista computazionale Ad esempio consideriamo la seguente maschera: La convoluzione con la matrice 55 richiede 5 (moltiplicazioni + addizioni) per ogni piel Quando una matrice può scomporsi nel prodotto di vettori è conveniente applicare i vettori singolarmente alle righe e alle colonne della immagine Complessità La maschera Si può scrivere come prodotto dei vettori [ ] T e [ ] In questo caso per ogni piel (i,j) sono sufficienti 5 moltiplicazioni e addizioni lungo la riga i + 5 moltiplicazioni e addizioni lungo la colonna j 7

8 Elaborazione dei bordi Si applica l operatore solo sui punti che hanno un intorno l immagine risultante è più piccola dell originale Si considera in aggiunta una cornice di punti (di solito uguali a zero) l immagine risultante ha le stesse dimensioni dell originale Bordo su cui non si può applicare l operatore Image smoothing Obiettibo: attenuare le brusche variazioni di livello di grigio tra un piel e il suo intorno Un processo di smoothing può eliminare le brusche transizioni (random noise) nei livelli di grigio i dettagli irrilevanti cioè associati a pochi piels: questa operazione è detta blurring - sfocatura 8

9 Image Smoothing - bo mask Un semplice processo di Image smoothing è quello di calcolare localmente per ogni piel il valore medio - lowpass spatial filtering. Si può ottenere mediante la convoluzione con h h = 9 Si ottiene una immagine meno contrastata di quella iniziale con riduzione del rumore. Nel dominio delle frequenze equivale ad un filtro passa-basso Image Smoothing - bo mask L applicazione della maschera h equivale a effettuare una media fra i piel del intorno e sostituire al valore originale con questa media h = 9 In questo approccio si dà la stessa importanza al valore originale del piel e ai valori dei piel vicini 9

10 Averaging mask In generale una averaging mask calcola una media pesata dei valori dei piel in un intorno: Una maschera costituita da pesi positivi, con somma uguale a, si dice normalizzata cioè: i valori risultanti sono nello stesso range di quelli iniziali Questa operazione è anche detta neighborhood averaging Averaging mask

11 Esempio di Image Blurring Immagine originale N K L L L Average mask L N N N=5 N=9 Filtro Gaussiano Il filtro gaussiano corrisponde a una funzione gaussiana discreta bidimensionale + σ e πσ Dove σ è la larghezza della funzione standard deviation- ed r = + è la distanza raggio- dal centro Il piel al centro ha il peso massimo e gli altri hanno un peso che diminuisce con la distanza dal piel centrale

12 Filtro gaussiano La maschera h è una approssimazione 33 della funzione gaussiana D Si utilizza quando si vuole che il piel in esame abbia maggiore importanza nel calcolo del nuovo valore di grigio, rispetto a quelli del suo intorno: il peso di tale piel sarà maggiore rispetto a quello dei piel dell intorno 6 4 Filtri 55 bo gaussiano - log

13 Filtro Gaussiano Funzione di Gauss bidimensionale + σ e πσ Se σ è la standard deviation di una funzione di Gauss monodimensionale la standard deviation della funzione D circolarmente simmetrica è σ la larghezza del lobo centrale è σ. la maschera di smoothing deve avere dimensione pari a 6 σ piel Il filtro gaussiano è isotropico - circolarmente simmetrico Gaussian filter nel dominio delle frequenze D = 6 σ 3

14 Normalizzazione Se l immagine risultante è finalizzata alla visualizzazione, i valori dei piel devono restare entro la gamma dei livelli di grigio rappresentabili (,55). A questo scopo, i coefficienti del filtro devono soddisfare la condizione: R = LL L L i= i= h( i, j) = In tal modo una zona a valore di grigio costante entro la maschera del filtro resta immutata dopo il filtraggio 4

15 Image sharpening Obiettivo principale è di mettere in evidenza i dettagli più fini di una immagine che potrebbero essere sfocati al contrario dei filtri di smoothing vengono evidenziate le variazioni di livello di grigio si può implementare mediante una maschera di pesi positivi e negativi Nel dominio spaziale si possono costruire delle maschere di sharpening mediante operatori differenziali del I e II grado Unsharp masking Il nome "unsharp" deriva dal fatto che si utilizza una versione sfocata "unsharp" dell immagine per creare una maschera Un processo di unsharp masking è costituito da passi: Si sottrae dalla immagine originale una versione sfocata della immagine stessa per ottenere l immagine detta maschera g mask (,) = f(,) f smooth (,) All immagine originale è poi sommata l immagine maschera g(,) = f(,) + g mask (,) = f(,) - f smooth (,) 5

16 Unsharp masking - esempio L immagine g mask si può ottenere applicando il filtro: i 9 h = 9 8 Infatti g mask (,) = f(,) f smooth (,)) Cioè f*i - f* h = f*(i-h) per la linearità del prodotto di convoluzione High-boost filtering E una generalizzazione del filtro unsharp masking g mask (,) = f(,) f smooth (,) g(,) = f(,) + Kg mask (,) = f(,) +k(f(,) f smooth (,))= (+k)f(,) kf smooth (,)) Cioè all immagine originale è poi sommata l immagine maschera amplificata di un fattore K con K> 6

17 Unsharp masking esempio D Unsharp masking/highboost filtering esempio D 7

18 Esempio di high-boost filtering L immagine risultante ha i contorni più evidenziati rispetto all immagine originale Operatori differenziali Obiettivo è la ricerca di discontinuità - un brusco cambiamento- nella funzione intensità Il problema è analizzare le variazioni fra un piel e quello adiacente - ad esempio per evidenziare i contorni Il problema viene affrontato tramite l'analisi delle derivate 8

19 Operatori differenziali I punti in cui si hanno delle variazioni brusche di intensità possono essere rilevati dall analisi delle derivate: Si può scegliere il massimo (minimo) della derivata prima o lo zero (punto di attraversamento dell'asse ) della derivata seconda Operatori differenziali f() è l'intensità dell'immagine 9

20 Operatori differenziali Derivata I Assume valore nullo su aree con livelli di grigio costanti Assume valore massimo o minimo nel punto di massima variazione Operatori differenziali Derivata II Assume valore nullo su aree con livelli di grigio costanti o che variano linearmente - rampa Assume valore nullo cambiando il segno - nel punto di massima variazione

21 Derivata discreta La derivata può essere approssimata tramite una differenza f ( + h) f ( h) f ( ) h Lo stesso approccio vale per la derivata seconda f ( + h) f ( ) + f ( f ( ) Nello spazio bidimensionale al posto della derivata si ha il gradiente - un vettore h h) Esempio Gra-level profile First derivative La derivata si può approssimare con una differenza Second derivative

22 = f f f ), ( ), ( ), ( / ), ( ), ( ), ( ), ( + = = f f f M = f f tan ), α( Operatori basati sul gradiente Definizione del gradiente: Ampiezza Direzione rispetto all asse Approssimazioni del gradiente Gli operatori differenziali nel discreto sono realizzati tramite maschere a somma nulla in modo da avere che l'applicazione a una regione uniforme produca risultato zero

23 Approssimazione derivate prime sistema di riferimento immagine f f f ( +, ) f (, ) f (, + ) f (, ) f Approssimazione derivate seconde f f( +,) f(,) f( +,) + f(-,)- f(,) f (, + ) f (, ) f(, + ) + f(, )- f(,) ( f(,) f(,) ) = ( f (, ) f (, ) ) = 3

24 Maschere per le derivate lungo gli assi Roberts Prewitt Sobel Maschere per le derivate lungo le diagonali 4

25 Prewitt e Sobel Maschere di Prewitt per evidenziare linee orizzontali discontinuità lungo l asse verticale- e linee verticali Maschere di Sobel per evidenziare linee orizzontali - discontinuità lungo l asse verticale- e linee verticali Maschere di Sobel sistema di coordinate logico Operatori di Sobel: Discontinuità nella direzione 9 o gradi Discontinuità nella direzione gradi

26 Maschere di Sobel (Kirsch) per la convoluzione Maschere di Sobel per evidenziare linee orizzontali a o e 8 o gradi K k 4 Maschere di Sobel per evidenziare linee verticali a 9 o e 7 o gradi K K 6 Maschere di Sobel (Kirsch) per la convoluzione Maschere di Sobel per evidenziare linee a 45 o e 5 o gradi Maschere di Sobel per evidenziare linee verticali a 35 o e 35 o gradi K K 5 K 3 K 7 6

27 Maschere di Kirsch Kirsch ha esteso le maschere di Sobel a 8 orientazioni spaziate di 45 e definito le maschere precedenti K k 7 Le direzioni sono individuate in una finestra 33, rispetto al piel centrale, codificate con,, Operatore Laplaciano Sia f(,) una funzione definita in un dominio discreto. Il Laplaciano L(,) è definito nel modo seguente: f (, ) f (, ) f (, ) = + Il Laplaciano è zero se f(,) è costante oppure varia linearmente Se f(,) non varia linearmente allora L(,) presenta un cambiamento di segno e quindi attraversa l asse 7

28 Oppure: valore centrale positivo Laplaciano 8

29 Derivate I e II 9

30 3 Filtri di sharpening tramite Laplaciano Si sottrarre dalla immagine originale una versione ottenuta applicando l operatore Laplaciano alla immagine stessa Se la maschera del Laplaciano ha valore centrale negativo Si somma alla immagine originale una versione ottenuta applicando l operatore Laplaciano alla immagine stessa ), ( ), ( ), ( f f g = ), ( ), ( ), ( f f g + = Filtri di sharpening tramite Laplaciano = 5 4 = 9 8

31 Operatore LoG- Laplacian of Gaussian L operatore è costituito da: Un operatore di smoothing filtro Gaussiano L operatore Laplaciano Image Low-pass filter (Gaussian) Laplacian Detect Zero-crossings Edge Map L applicazione di un filtro low-pass riduce l effetto del rumore Operatore LOG- Laplacian of Gaussian Operatore LoG LoG + (,, σ ) c + = e σ σ dove c è un fattore di normalizzazione a Il valore di σ determina il numero di punti che influenzano il calcolo del Laplaciano in un piel Lo smoothing Gaussiano elimina l influenza dei piels che sono distanti più di 3σ rispetto al piel corrente 3

32 LoG Operatori di rango Sono operatori non lineari Si considerano ancora i valori su una finestra locale, si riordinano e si usa come risultato quello in una posizione particolare Gli operatori più comuni sono: Massimo (il massimo locale) Minimo (il minimo locale) Mediano (il valore nella posizione centrale del vettore ordinato) 3

33 Filtro mediano Sostituisce il valore di ogni piel con il valore mediano calcolato in una finestra centrata sul piel in esame Il valore mediano si calcola ordinando i valori dei piel e scegliendo quello centrale immagine ^ valore mediano Scopo: rimozione del rumore tipo salt & pepper Operatore mediano È utilizzato per eliminare il rumore da una immagine Rispetto ad una media locale ha il vantaggio di essere meno sensibile rispetto al rumore salt & pepper (sale & pepe) e di non introdurre nuovi valori Esempio considerando i valori:, 3, 5, 7, 4 Media=6 Mediana=5 33

34 Filtro mediano E un filtro non lineare Forza i piel con intensità molto diverse ad essere simili ai loro vicini; si eliminano in questo modo gli spikes isolati nell area di azione della maschera In caso di spikes residui si può usare il filtro più volte: in altre parole elimina il rumore impulsivo, detto sale e pepe Media e filtro mediano Comportamento del filtro media e mediano applicati a rumore impulsivo (maschera di 3 piel) 34

35 Media e filtro mediano Comportamento del filtro media e mediano applicati a un gradino impulsivo (maschera di 3 piel) Media e filtro mediano La media tende a creare nuovi livelli di grigio Attenua non solo il rumore, ma anche tutte le alte frequenze spaziali in modo indiscriminato, causando sfocatura, perdita di dettaglio fine e attenuazione dei fronti di salita delle transizioni di livello di grigio 35

36 Filtro mediano Il filtro mediano non modifica la sequenza gradino e rampa Le sequenze con impulsi aventi durata minore di (L+)/ vengono soppresse Il picco di una funzione triangolare risulta attenuato 36