Elaborazione delle immagini

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1 Dipartimento di Fisica a.a. 4/5 Fisica Medica Elaborazione delle immagini 5/4/5

2 Processamento Una mappatura di tipo esponenziale mostra un immagine del tipo Intensità d uscita Intensità in entrata L = B e kv con B = /e e k =

3 Filtri Rappresentazione schematica dell azione di filtri su un immagine nell ipotesi di avere assorbimenti omogenei da parte del singolo oggetto centrale applicando una funzione matematica che agisca su ciascuna proiezione si ottiene l immagine filtrata

4 Image smoothing Molte immagini sono rumorose L ampiezza del rumore può essere ridotta mediando sui pixel adiacenti i j + i j i j i j + i j i j i + j + i + j i + j e si applica sia a casi bidimensionali che a casi tridimensionali agendo sui voxel

5 Filtri Prendiamo filtro equalizzato di dimensioni x Il valor medio di ogni pixel risulta essere /9: /9 /9 /9 /9 /9 /9 /9 /9 /9 Applichiamolo ad una matrice 6 x 6 in modo da filtrare una semplice immagine

6 Filtraggio /9 /9 /9 /9 /9 /9 /9 /9 /9 filtro /9 /9 /9 /9 /9 /9 /9 /9 /9 immagine originale applicazione filtro

7 Risultato g ij = m= -, k= -, W km f i+k, j+m ove W km è il peso di ogni singolo valore g = /9 ( ) = iterando

8 Iterazione Poiché il metodo è iterativo assume importanza se si calcola l algoritmo sull immagine iniziale o sull immagine via via modificata e, in questo caso, da dove si parte predominanza valori bassi predominanza valori alti E i bordi? prevalenza? interpolazione?

9 Rumore Supponiamo che l immagine f sia rumorosa con ogni pixel (varianza σ f) indipendente dai pixel vicini σ g = m= -, k= -, W km σ f Per il filtro applicato: σ g = σ f / 9 L applicazione del filtro porta ad una diminuzione del rumore dell immagine primitiva

10 Filtro 4 Un filtro molto utilizzato è /6 /6 /6 σ g = 9 σ f / 64 /6 4/6 /6 Esempio /6 /6 /

11 Comparazione filtro costante filtro Tanto più un filtro riduce rumore tanto più l immagine risulta sfuocata ai margini

12 Comparazione immagini immagine iniziale filtro 4

13 Filtro non lineare mediana = mediana = In questo caso l immagine filtrata rimane immutata

14 Filtri a cascata Tra i filtri non lineari il più conosciuto utilizza la mediana al posto della media I filtri possono essere utilizzati in cascata Se i filtri sono lineari (a + b) c = a c + b c ove è il simbolo della convoluzione Se i filtri non sono lineari il risultato finale del filtraggio dipende dalla sequenza di applicazione

15 Convoluzione L elaborazione, il filtraggio e la ricostruzione di immagini è un problema di convoluzione (a + b) c = a c + b c La soluzione è ben definita e conosciuta ma richiede una matematica complessa Una delle trasformazioni di base è la trasformata di Fourier F(u,v,w) = f(x,y,z) e -πi(ux+vy+wz) dx dy dz

16 Analisi di Fourier L equazione di convoluzione espressa in termini delle trasformate di Fourier dell oggetto F(u,v) = G(u,v) / H(u,v) F(u,v) è la trasformata di Fourier dell oggetto G(u,v) trasformata di Fourier dell immagine H(u,v) trasformata di Fourier del singolo punto La degradazione della risoluzione causata dagli apparati può essere modificata processando l immagine dopo che questa è stata formata ricostruzione dell immagine!

17 Difficoltà - H(u,v) può essere negativo per alcuni valori allora G(u,v) = H(u,v) F(u,v) può essere zero e così F(u,v) è indeterminato - ma il rumore? La trasformata di Fourier di un immagine reale G R (u,v) = G(u,v) + R(u,v) il rumore R(u,v) ha ampiezza casuale (frequenza) ed ha la stessa ampiezza per tutti gli u e v G R (u,v) / H(u,v) = G(u,v) / H(u,v) + R(u,v) / H(u,v) F R (u,v) = F(u,v) + R(u,v) = costante H(u,v) aumenta in ampiezza

18 Miglioramento dell immagine L occhio umano ed il cervello analizzano gli oggetti in termini di contorni tra gli oggetti in una scena (rimarcando il cambio di luminosità) La retina reagisce a gradienti di luminosità (ovvero al Laplaciano) f f f + + x y z o a insiemi di Laplaciane di smoothness differenti e(x,y) = f(x,y) A f(x,y) s(x,y) e(x,y) è l immagine migliorata (enhanched) A è un fattore si scala < s(x,y) è la funzione di livellamento (smoothing)

19 Immagine migliorata e(x,y) = f(x,y) A f(x,y) s(x,y) s(x,y) è un filtro 4 A =.95 Qualsiasi sia la f(x,y) con A = : e(x,y) tende ad essere una funzione gaussiana con media di intensità pari a zero

20 Analisi dell immagine Estrazione di informazioni numeriche o almeno oggettive del contenuto di un immagine Identificazione di oggetti all interno del corpo - elementi con le stesse caratteristiche - elementi con intensità diversa da un k fissato - bordi o separazioni tra elementi diversi Metodo manuale i contorni degli elementi di interesse e degli elementi a rischio sono indicati mediante curve chiuse colorate

21 Segmentazione in intensità Se fissiamo un livello (threshold) T e se P i è l intensità dell elemento considerato P i > T P i T è l oggetto non è l oggetto rumore di fondo C A B Numero di pixel A B C taglio intensità

22 Rilevamento dei bordi In questo caso si usa il gradiente di luminosità g (x,y,z) = g g g + + x y z immagine g(x,y) gradiente g (x,y) bordo e(x,y) dell immagine elaborata

23 Immagini spezzate A causa di non uniformità dei bordi l immagine può presentarsi spezzata così Interpolazione: considerare le coordinate di ciascun punto come un numero complesso z(θ) = x(θ) + i y(θ) Utilizzo della trasformata di Fourier sui bordi Z(u) = z(θ) e -πiuθ dθ z(θ) = Z(u) e πiuθ du determinati i bordi è facile stabilire le separazioni! θ

24 Ricostruzione Determinazione delle separazioni ottenuta fissando un livello di separazione (threshold)! immagine non elaborata threshold minimo threshold selezionato

25 Accrescimento delle regioni Scelto un pixel sono esaminati i pixel vicini Se il pixel è simile ai vicini (clusterizzazione) viene aggregato, in caso contrario il pixel è eliminato Uso qualsiasi test di similitudine, usando media, mediana e varianza Necessario un pixel iniziale e poi il processo continua per induzione Differenti criteri di clusterizzazione possono determinare diverse scelte di aggregazione

26 Effetto del volume parziale Anche se si definisce esattamente il contorno di una regione a causa dello sfuocamento immagine La stima dell intensità totale all interno dell oggetto può non essere corretta A f(x) L immagine g(x) è un approssimazione di come è stata ricostruita l immagine vera f(x) B A La perdita di informazione può solo essere stimata B g( xdx ) < f ( xdx ) B A g(x)