Corso di Matematica Applicata A.A

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Leo Fantini
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1 Corso di Matematica Applicata A.A Lotterie (II parte) Prof.ssa Bice Cavallo

2 Criterio media- varianza Una misura di rischio insito in una lotteria non viene evidenziato dal solo criterio basato sul valore atteso. La varianza di una variabile casuale è un indice di dispersione dei valori della variabile intorno al valore medio; è un indice di rischio: al più elevato valore della varianza corrisponde rischio maggiore. Criterio media- varianza: massimizzazione del valore atteso e minimizzazione della varianza (o deviazione standard).

3 Criterio media- varianza! L = # "# x 1 x 2... x n p 1 p 2... p n & %& VALORE ATTESO (O MEDIA) ( ) = x i p i i=1 E L n σ 2 VARIANZA n i=1 ( L) = x i E L ( ) ( ) 2 p i DEVIAZIONE STANDARD (O SCARTO) σ = σ 2 ( L)

4 Criterio media- varianza Il criterio media- varianza soddisfa le seguenti condizioni: A parità di rischio, ossia a parità di varianza, tra due lotterie è preferita quella con media maggiore; A parità di media, tra due lotterie è preferita quella con varianza minore; Il criterio soddisfa la transitività delle scelte.

5 Criterio media- varianza

6 Criterio media- varianza

7 Criterio media- varianza A B

8 Criterio media- varianza L, E ( L),σ 2 ( L) L è preferita ad ogni lotteria in A4 Ogni lotteria in A2 è preferita a L Il confronto di L con le lotterie in A1 e in A3 non dà indicazioni decisive alla scelta. L applicazione del criterio media- varianza permette di definire un ordinamento che non è totale.

9 Criterio media- varianza " A = # " B = # 1 0, % & % &

10 Criterio media- varianza " A = # " B = # 1 0, % & % & E ( A) = 0, 2 σ 2 ( A) = 0.64 E ( B) = 2, 5 σ 2 ( B) = 56, 25

11 Criterio media- varianza " A = # " B = # 1 0, % & % & E ( A) = 0, 2 σ 2 ( A) = 0.64 E ( B) = 2, 5 σ 2 ( B) = 56, 25 A e B non sono confrontabili

12 La funzione di utilità La funzione di utilità, o utilità misurabile o cardinale, consente di considerare l utilità come una grandezza fisica associata ad un risultato. Una funzione utilità fornisce una rappresentazione quantitativa del sistema di preferenze dell individuo. Una trattazione formale del concetto di utilità è dovuta a J. von Neumann e O. Mongerstern.

13 La funzione di utilità Il valore dell utilità di una lotteria è un numero reale che rappresenta la desiderabilità della lotteria. Siano L 1 e L 2 due lotterie con valori di utilità u(l 1 ) e u(l 2 ) u(l 1 ) > u(l 2 ) (L 1 è preferita a L 2 ); u(l 1 ) = u(l 2 ) (L 1 e L 2 sono ugualmente desiderabili); u(l 1 ) < u(l 2 ) (L 2 è preferita a L 1 ). Il più generale criterio di scelta nella teoria delle decisioni razionali è il criterio di massimizzazione dell utilità.

14 Criterio dell utilità attesa (von Neumann e Mongerstern)! L = # "# x 1 x 2... x n p 1 p 2... p n & %& E u L ( ) n i=1 ( ) ( ) = p i u x i u(x i ) è l utilità dell esito x i Criterio di massimizzazione dell utilità attesa: tanto maggiore è il valore E(u(L) ) associato alla lotteria L, tanto più desiderabile è a lotteria.

15 Criterio dell utilità attesa u( x) = ln( x)

16 Criterio dell utilità attesa A B

17 Criterio dell utilità attesa Determinare l ordine di preferibilità tra le lotterie applicando il criterio del valore medio e il criterio dell utilità attesa nell ipotesi che il decisore utilizzi le seguenti funzioni utilità u( x) = x 36 u( x) = log( x)

18 Criterio dell utilità attesa u( x) = x 36 ( ) : L 1 L 4 L 2 L 3 ( ) E L ( ) : L 1 ~L 4 L 2 L 3 E u L

19 Criterio dell utilità attesa u( x) = log( x) ( ) : L 1 L 4 L 2 L 3 ( ) E L ( ) : L 4 L 1 L 2 L 3 E u L

20 Criterio dell utilità attesa " L 1 = # " L 2 = # 1 0, % & % & u( x) = log( x + 6) u( x) = x 2

21 Criterio dell utilità attesa E ( L) : L 2 L 1 E ( u( L) ) : L 1 L 2 E ( u( L) ) : L 2 L 1

22 Criterio dell utilità attesa Se X è una variabile casuale reale con distribuzione di probabilità continua l utilità attesa è: E u( X) ( ) = f x X ( ) u( x)dx f è la funzione di densità di probabilità di X

23 Dominanza stocastica Siano A e B di esiti. due lotterie su un comune insieme! A = # " ! & B = # % " & % Quale lotteria è preferita?

24 Dominanza stocastica! A = # " ! & B = # % " & % ( ) =1, P( X 150 A) = 0.5, P( X 200 A) = 0.2 ( ) =1, P( X 150 B) = 0.4, P( X 200 B) = 0.1 P X 100 A P X 100 B La lotteria A offre sempre una probabilità di vittoria maggiore quando si confronta la probabilità di vincere almeno una data cifra. Appare evidente scegliere la lotteria A rispetto alla lotteria B.

25 Dominanza stocastica del primo ordine X,Y variabili casuali Distribuzioni di probabilità F x ( )= P X x ( ), G x ( ) = P Y x ( ) Se F x ( ) G x ( ) x allora si dice che Y domina stocasticamente X al primo ordine (si parla di Dominanza Stocastica del Primo ordine)

26 Dominanza stocastica del primo ordine! A = # " ! & B = # % " & % ( ) = 0.5, P( X 150 A) = 0.8, P( X 200 A) =1 ( ) = 0.6, P( X 150 B) = 0.9, P( X 200 B) =1 P X 100 A P X 100 B F B F A x A è preferita a B

27 Dominanza stocastica del primo ordine La lotteria L 1 domina stocasticamente L 2 se L 1 può essere ottenuta da L 2 spostando porzioni di probabilità dai livelli più bassi ai livelli più alti degli esiti. Allora un decisore razionale preferisce L 1 a L 2

28 Dominanza stocastica di primo ordine con distribuzioni continue X,Y variabili casuali reali: funzioni di densità di probabilità: f, g funzioni di distribuzione: F ( x)= P X x ( ) = f ( t) x dt, G x ( ) = P( Y x) g( t) x dt Se F x ( ) G x ( ) x allora si dice che Y domina stocasticamente X al primo ordine (si parla di Dominanza Stocastica del Primo ordine)

29 Dominanza stocastica di primo ordine con distribuzioni continue funzioni di densità di probabilità f(x) g(x)

30 Dominanza stocastica di primo ordine con distribuzioni continue funzioni di distribuzione F(x) G(x) Y domina stocasticamente X al primo ordine

31 Dominanza stocastica di primo ordine con distribuzioni continue Es. f α ( x) = αe αx, α > 0 definite sul tutti gli x non negativi F α x x 0 # ( ) = αe αt dt = e αt % & x 0 = e αx + e 0 =1 e αx

32 Dominanza stocastica di primo ordine con distribuzioni continue Funzione di densità esponenziale f α ( x) = αe αx α= 3/2 α= 1 α= 1/2

33 Dominanza stocastica di primo ordine con distribuzioni continue α= 3/2 α= 1 Funzione di distribuzione F α ( x) =1 αe αx F α1 ( x) F α2 ( x) α 1 α 2 α= 1/2 tanto maggiore è il parametro α tanto meno preferibile è la lotteria

34 Esercizio f α ( x) = α x, α > 0 definite sul tutti gli x non negativi Studiare la preferibilità delle lotterie con funzione di densità f ( α x) al variare di α

35 Dominanza stocastica del secondo ordine L ordinamento definito dalla dominanza stocastica del primo ordine non è totale poiché se i grafici si intersecano nei loro interni le due variabili non sono confrontabili. F(x) G(x) G(x) F(x)

36 Dominanza stocastica del secondo ordine X,Y variabili casuali reali: funzioni di densità di probabilità: f, g funzioni di distribuzione: F ( x)= P X x Se x F( t) G t ( ) = f ( t) x dt, G x x ( ) x ( ) = P( Y x) = g( t) allora si dice che Y domina stocasticamente X al secondo ordine (si parla di Dominanza Stocastica del secondo ordine) x dt

37 Dominanza stocastica del secondo ordine Esercizio

38 Dominanza stocastica del secondo ordine Esercizio p F F p F F

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