Università degli Studi di Brescia Facoltà di Ingegneria. Corso di. Complementi di Trasmissione del Calore

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1 Università degli Studi di Brescia Facoltà di Ingegneria Corso di Complementi di Trasmissione del Calore Analisi del transitorio termico attraverso una parete in muratura con applicata una temperatura sinusoidale Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica N.O. - Curriculum Autoveicoli - A.A. 2005/ Trimestre Mor Alessio

2 Indice Introduzione...3 Capitolo 1 Problemi di conduzione non stazionari...5 Conduzione in regime periodico stabilizzato attraverso un mezzo seminfinito...7 Capitolo 2 Soluzione numerica di problemi termici non stazionari...11 Conclusioni

3 Introduzione Quando esiste un gradiente di temperatura in un sistema o quando due sistemi a temperatura diversa vengono messi a contatto, si ha trasporto di energia tramite un processo noto come trasmissione del calore. Questa trasmissione può avvenire all interno di uno stesso corpo, tra corpi differenti o anche nel vuoto e sebbene la grandezza in transito, il calore, non possa essere misurata o osservata direttamente, si possono misurare ed osservare gli effetti da essa prodotti. In particolare si ha che lo scambio termico avviene principalmente in tre modalità differenti che hanno caratteristiche ben diverse l una dall altra: conduzione, irraggiamento e convezione. Molti problemi di trasmissione del calore non sono stazionari. Ciò accade, ad esempio, quando variano, istantaneamente o nell arco di un certo periodo di tempo, le condizioni al contorno del sistema termico in esame, innescando anche all interno del sistema stesso una progressiva variazione della distribuzione di temperatura. La variazione continua ad avvenire fintantoché non si sono di nuovo raggiunte condizioni stazionarie. Problemi termici non stazionari si hanno in una notevole quantità d ambiti applicativi, concernenti, tra gli altri, i trattamenti termici dei materiali, la sollecitazione termica a fatica, la regimazione degli apparati per refrigerazione, i transitori di riscaldamento e di raffreddamento dei sistemi meccanici e termofluidodinamici. Lo studio di tali problemi può essere eseguito risolvendo nella sua forma più completa l equazione di Fourier della diffusione termica. L equazione di Fourier ammette soluzioni analitiche solo per tipologie di problemi ben definiti, di solito caratterizzati da geometrie e condizioni al contorno semplici e proprietà dei materiali uniformi ed indipendenti dalla temperatura. Quando ciò non si verifica, si può in generale ricorrere a soluzioni di tipo numerico, che possono però comportare oneri computazionali considerevoli. Oppure, se certe condizioni operative sono verificate, è possibile assumere che la temperatura vari 3

4 solo nel tempo ma non nello spazio ed eseguire un analisi a parametri concentrati del comportamento termico del sistema in esame. L obiettivo di questo breve studio, si baserà principalmente su problemi relativi alla conduzione attraverso una parete in muratura quando su una superficie viene applicata una temperatura imposta con andamento sinusoidale mentre sull altra andiamo ad imporre un coefficiente di scambio termico convettivo h costante. Questo caso trova applicazione pratica nelle pareti in muratura per civili abitazioni dove, sulla parete esterna, possiamo assumere un andamento periodico della temperatura dovuta al ciclo giornaliero del sole. Bisognerà quindi stimare come si evolve il transitorio termico sottoposto a tale forzante. Nella parte conclusiva di questo studio saranno inoltre riportati i risultati relativi all analisi numerica svolta per mezzo dell applicativo commerciale Fluent secondo una procedura di analisi spiegata più dettagliatamente in seguito. 4

5 Capitolo 1 Problemi di conduzione non stazionari Come noto, la conduzione è tipica dei corpi solidi e opachi (metalli, cemento, plastica ) ed è un processo che permette il fluire del calore da una regione a temperatura maggiore ad una a temperatura minore. La cosa può avvenire attraverso un unico corpo o attraverso più mezzi adiacenti; grazie al contatto diretto di molecole aventi diversa energia cinetica (a causa della differente temperatura dei corpi e quindi della loro diversa energia interna), è possibile uno scambio di energia che può avvenire per urto elastico o per diffusione delle molecole stesse. L effetto macroscopico finale è un livellamento della temperatura; in presenza di sorgenti di calore che mantengono differenze di temperatura costanti, si stabilisce un flusso continuo di calore dalla regione più calda a quella più fredda. E un fenomeno importante anche nei fluidi, nei quali però è solitamente accompagnata da convezione o anche irraggiamento. La relazione che descrive un campo di temperatura, è la ormai famosa equazione di Fourier: dove q è il termine di sorgente. 2 ''' ( x, t) = k T ( x, t) + q ( x t) T ρ c, t 5

6 T Naturalmente, per problemi di natura stazionaria = 0 quindi considerando o t meno il termine di sorgente all interno della relazione otteniamo le seguenti: - caso stazionario senza termine di sorgente : 2 T = 0 Equazione di Laplace - caso stazionario con termine di sorgente: 2 T q''' = k Equazione di Poisson Nel caso più comune invece di problemi instazionari e in assenza del termine di sorgente, avremo che : 2 ( x, t) = k T ( x t) Equazione di Fourier T ρ c, t La legge di Fourier consente di calcolare la densità del flusso termico all interno di un solido o anche di un fluido purché lo stesso stia fermo (in modo che non si scatenino fenomeni di convezione) ed ha la seguente forma:. q = k T Partendo da un campo scalare di temperatura T(x,y,z) nel volume del solido entro cui vogliamo calcolare lo scambio termico, supponendo cioè di conoscere la funzione T(x,y,z) in ogni punto, applicando il gradiente otteniamo un vettore diretto secondo la massima variazione della temperatura e puntante verso le T crescenti. Possiamo dunque scrivere anche: q. T T T = k i + j + z x y z Si vede dunque che la densità di flusso termico è un vettore che punta nella direzione delle temperature decrescenti, in accordo con il principio zero della termodinamica, ed è parallelo al gradiente di temperatura. L altra grandezza in gioco in questa equazione è k detto coefficiente di W conducibilità termica la cui unità di misura è la seguente:. mk La legge di Fourier può essere utilizzata in due modi: date le temperature trovare il flusso, oppure dato il flusso trovare le temperature. Essendo un equazione differenziale bisogna definire un dominio nello spazio, definire il valore della grandezza nota, ad esempio la temperatura, definire le condizioni al contorno su questo dominio e infine risolverla. Spesso le condizioni al contorno sono temperature imposte. 6

7 Viceversa esiste un altra categoria di problemi dove si impongono i flussi. Nel caso in analisi avremo una temperatura imposta su una parete e un flusso termico imposto sull altra. CONDUZIONE IN REGIME PERIODICO STABILIZZATO ATTRAVERSO UN MEZZO SEMINFINITO L equazione di Fourier ammette soluzioni analitiche solo per alcune tipologie di problemi, caratterizzati da geometrie e condizioni al contorno semplici e proprietà dei materiali uniformi ed indipendenti dalla temperatura. Di seguito verrà proposta la trattazione relativa ad una parete seminfinita alla quale è applicata una temperatura con andamento sinusoidale nel tempo. Si consideri un corpo di notevole spessore delimitato da una superficie piana su cui è imposto un transitorio termico e da altre superfici a distanza sufficientemente grande da poter trascurare le condizioni termiche presenti su di esse. Tale ipotesi è a rigori valida per un mezzo seminfinito, ovvero per un mezzo di spessore infinito, delimitato da una superficie piana di dimensioni infinite (mezzo che occupa un semispazio). Si considera la superficie piana che delimita il mezzo seminfinito coincidente con il piano y-z del sistema di assi cartesiani; il flusso termico risulta monodimensionale in direzione x, quindi T = T x, t. ( ) Se si impone sulla superficie delimitante il mezzo seminfinito (x=0) un transitorio termico di tipo periodico, dopo un certo intervallo di tempo in ogni punto del mezzo si osserva che la temperatura varia con legge periodica. La condizione per cui in ogni punto del mezzo la temperatura varia con legge periodica è detta regime periodico stabilizzato. La trattazione che seguirà, trova applicazione pratica ad esempio nelle pareti edilizie dove, durante la stagione estiva, le pareti non scambiano calore in regime stazionario dato che le escursioni termiche giornaliere sono molto più ampie rispetto a quelle che è possibile registrare durante la stagione invernale. Discorso analogo è possibile farlo, in campo meccanico, quando si ha a che fare con cilindri di motori a combustione interna con la differenza che, come meglio verrà chiarito in seguito, l effetto finale non è approssimabile ad un unico risultato per entrambi i casi. 7

8 Supponiamo di avere una parete seminfinita come quella in figura e di imporre sulla superficie una temperatura con le seguenti caratteristiche sinusoidali: (, t) = T = T + ΔT sin( t) t 0 T m ω > dove : T m = temperatura media attorno a cui oscilla la temperatura; ΔT 0 = ampiezza di oscillazione ω = pulsazione = 2πf sapendo che: τ = 1 f = 1 ( ω ) = periodo 2π Dopo un transitorio iniziale, la temperatura raggiunge un regime periodico stabilizzato. Significa cioè che: ( x, t + ) T ( x t) x 0 t > ttrans T τ =, Introducendo un valore adimensionalizzato della temperatura θ(x,t), si ha che la soluzione a regime è la seguente: θ T T m γx γx ( x, t) = = e sin( ωt ϕ) = e sin[ ω( t t )] ΔT 0 r (1.1) Dove: φ = fase γ = coefficiente di smorzamento t r = tempo di ritardo = fattore di attenuazione e γx In particolare abbiamo che: γ ω 2a [ m ] = 1 t r = γx ω Dalla (1.1) si può dedurre come l oscillazione di temperatura superficiale arriva in profondità attenuata ed in ritardo. Anche dall osservazione delle rappresentazioni grafiche si può concludere ciò, come appare nella figura che segue: 8

9 Nel grafico esposto qua sopra, viene rappresentata la distribuzione di temperatura in due istanti diversi ed in particolare per t = π e t = ω π. 2ω La rappresentazione della distribuzione in questi due istanti è utile per evidenziare l influenza del fattore di attenuazione. Infatti, per ogni posizione γx, la temperatura dimensionale oscilla nel tempo tra i valori di exp(-γx) e exp(-γx). Nella figura che segue, si nota invece qual è l effetto ad una profondità x del fattore di attenuazione e del ritardo. 9

10 Nel caso in analisi, lo spessore della parete non è infinito ma bensì ha una sua dimensione ben definita che durante questa trattazione teorica indicheremo con L. In prima approssimazione possiamo utilizzare la (1.1), ricavata per solido seminfinito, anche in questo caso finito valutandola nella coordinata x = L. Da una attenta analisi si deduce come l onda termica sulla faccia non esposta della parete arriva tanto più smorzata quanto maggiore è il termine γl/ω che rappresenta per l appunto il tempo di ritardo in forma adimensionalizzato. In termini matematici, può essere scritto quanto segue: dove: R = resistenza specifica C = capacità specifica 2 ω ωl ω L γ L = L = ρc = = 2a 2λ 2 λ γl t r = = ω R' ' C'' 2ω ω 2 ( ρcl) R'' C' ' Pertanto, si può concludere che smorzamento e ritardo dipendono esclusivamente dalla pulsazione e dal prodotto di resistenza specifica per capacità specifica della parete in esame. Ecco perché, nel caso di cilindri di motori a combustione interna, le oscillazioni termiche sono molto attenuate senza essere praticamente ritardate, anche da pareti caratterizzate da bassi valori del prodotto R C. Nel caso di pareti di civili abitazioni invece, sottoposte ad oscillazioni termiche lente dilazionate su un periodo di 24h, si hanno attenuazioni e ritardi molto significativi solo nel caso in cui siamo in presenza di un elevato valore del prodotto R C. Durante il periodo estivo, tali pareti attenuano l onda e la ritardano di un tempo t r sufficientemente elevato rispetto al picco di insolazione. Da qui si capisce come, mentre nella stagione invernale sia sufficiente avere una resistenza termica elevata, nella stagione estiva è invece indispensabile avere anche una elevata capacità e, di conseguenza, anche uno spessore non trascurabile. 10

11 Capitolo 2 Soluzione numerica di problemi termici non stazionari Quando una soluzione esatta dell equazione di Fourier non può essere determinata analiticamente, anche nei casi non stazionari è tuttavia possibile calcolare una soluzione approssimata utilizzando metodi numerici. Il principio su cui questi si basano è quello di suddividere il volume di materia in cui si vuole determinare la distribuzione di temperatura in un certo numero di sottovolumi, generalmente grande ma finito. Per ognuno dei sottovolumi si risolve poi un equazione di conservazione dell energia del tipo: Dove: E& i = energia in ingresso E& u = energia in uscita E& = contributo di generazione g ( E & E& ) + E& = E& i u g Inoltre, si suddivide l intervallo di tempo d interesse in un certo numero di passi temporali, anch esso generalmente grande ma finito. In sostanza, si adottano semplificazioni tali che, applicando l equazione di conservazione dell energia ai vari sottovolumi, si ottiene per ogni passo temporale 11

12 un sistema di equazioni algebriche lineari in cui la temperatura di ogni sottovolume, assunta uniforme, è correlata a quella dei sottovolumi adiacenti allo stesso passo temporale e alla temperatura di tutti i sottovolumi (centrale e adiacenti) al passo temporale precedente. Risolvendo mediante calcolatore il sistema di equazioni relativo ad ogni passo temporale, è possibile determinare la temperatura nei vari sottovolumi e, quindi, la distribuzione di temperatura nel mezzo e la sua evoluzione nel tempo. In questa sezione dell elaborato, si vedrà come il problema di una parete piana con temperatura sinusoidale imposta su una faccia e coefficiente di scambio termico convettivo costante sull altra, possa essere affrontato mediante un programma di calcolo agli elementi finiti quale è l applicativo fluent. L oggetto in esame è appunto una parete che abbiamo ipotizzato a sezione rettangolare di lati rispettivamente 60cm e 20cm. La mesh creata per tale sezione è possibile osservarla nella figura che segue; in particolare, il lato di 20cm è stato suddiviso in modo da ottenere sul lato stesso un numero di celle pari a 5 (quindi di 4cm l una); il lato di 60cm è stato invece suddiviso in modo tale da avere un numero di celle pari a 15 mantenendo quindi un lato di 4cm. Il primo passaggio è stato quello ovviamente in impostare nel programma la scala in millimetri, unità di misura in cui è stata creata la parete nell apposito applicativo. Il passo successivo è stato quello di andare a definire il tipo di problema che si andrà ad esaminare in seguito; come già descritto nel capitolo 1, questo problema rientra tra quelli cosiddetti instazionari pertanto è stata definita la condizione di instazionarietà all interno del programma come mostra la finestra a lato. E stata quindi attivata l equazione dell energia e quindi definito il materiale. Si è deciso di prendere in considerazione per questa prova una parete in muratura. Dalla letteratura, si sono trovati dei parametri caratteristici di questo tipo di materiale che vengono riportati di seguito tali e quali come sono stati inseriti all interno di Fluent: 12

13 Sono quindi state impostate le condizioni al contorno sui 4 lati della parete; in particolare sul lato di destra è stato imposto un coefficiente di scambio termico W convettivo h pari a 8, sui lati superiore ed inferiore è stata imposta la 2 m K condizione di adiabaticità mentre sulla parete di sinistra è stata imposta una condizione di temperatura sinusoidale. Per poter compiere quest ultimo passaggio è stato necessario implementare questa condizione nel programma facendo costruendo per l appunto un file UDF (User Define Function) contenente l equazione della sinusoide in gioco. La scrittura del file implementato sulla parete di sinistra è il seguente: /******************************************************************************* Title: Temperatura_imposta_alla_parete Author: A. Mor Created: 2/1/06 *******************************************************************************/ #include "udf.h" /****************************************************************************** UDF per specificare la curva temperatura/tempo imposta sul lato sinistro della parete in muratura *******************************************************************************/ DEFINE_PROFILE(t_parete_in,thread,position) { face_t f; real t = RP_Get_Real("flow-time"); begin_f_loop(f,thread) { F_PROFILE(f,thread,position) = *sin( *t); } end_f_loop(f,thread) } /****************************************************************************** 13

14 Come si può osservare dalla dicitura del file, la sinusoide considerata ha la seguente scrittura: T () t = 298, sen( 0, t) L intento di questo elaborato, come già detto è quello di vedere come si trasmette la temperatura in una parete sottoposta ad un ciclo di temperatura di una giornata tipo estiva dove, partendo da una temperatura di 25 C (298,15K), abbiamo una escursione termica sull arco di 24h di ± 5K. Ovviamente la pulsazione ω espressa in rad/s risulta il numero che moltiplica il tempo all interno della parentesi. Definito l UDF, è stato quindi importato in Fluent mediante l apposito compilatore e successivamente impostato alla parete. Come si vedrà, sono state effettuate 3 diverse simulazioni al calcolatore variando per ognuna la temperatura dell aria che lambisce la parete di destra dove cioè è stato imposto il coefficiente h costante, ipotizzando rispettivamente la temperatura di 22 C, 25 C, 28 C. In questo modo è possibile osservare come viene influenzata la distribuzione di temperatura all interno della parete dalla temperatura dell aria presente internamente all abitazione. A questo punto è stato inizializzato il programma alla temperatura di 298,15K ed impostata la finestra riguardante le modalità di iterazione. Come si vede dall immagine a lato, è stato scelto come tempo per ogni passo un valore di 300s ossia è stato calcolato il valore della temperatura attraverso la parete ogni 5 min. L analisi è stata condotta su un arco di tempo totale pari a 3 giorni come è possibile notare dal numero di time step che sono stati effettuati (864). L ultimo parametro sono le iterazioni massime per ogni step il cui valore è stato fissato a 6. La scelta di questo numero è stata effettuata in base ad iterazioni fatte in precedenza dove, osservando per l appunto il valore del residuo, ci si rende immediatamente conto come già alla quarta iterazione esso tende ad un valore praticamente costante; per sicurezza è stato quindi scelto un valore pari a 6. A questo punto è stata lanciata l analisi ottenendo dei grafici della distribuzione di temperatura che sono riportati qua di seguito. Le figure rappresentano alcuni istanti della temperatura lungo l arco dei 3 giorni. In particolare per il primo giorno, supponendo di considerare il punto di partenza alle ore 6, sono state riportate le immagini relative alla situazione ogni ora mentre per i 2 giorni successivi sono riportate le situazioni ogni 12 ore. 14

15 Risultati relativi alla temperatura dell aria a contatto con la parete di destra pari a 22 C (295,15K). Ore 6 Ore 8 Ore 10 Ore 12 Ore 14 Ore 16 15

16 Ore 18 Ore 20 Ore 22 Ore 24 Ore 2 Ore 4 16

17 Ore 6 (2 giorno) Ore 10 (2 giorno) Ore 14 (2 giorno) Ore 18 (2 giorno) Ore 22 (2 giorno) Ore 2 (2 giorno) 17

18 Ore 6 (3 giorno) Ore 18 (3 giorno) Ore 6 (4 giorno) Durante la prova sono stati inoltre acquisiti i valori del flusso termico cui è soggetta la parete di sinistra (parete denominata in ) e per completezza anche la parete di destra (denominata out ). Riportando all interno di un grafico i valori del flusso termico in funzione del numero di step, sono stati ottenuti i seguenti andamenti: 18

19 Osservando i grafici si nota come nella parete di sinistra si raggiunga una situazione di regime praticamente attorno allo step numero 100 mentre nella parete di destra il regime lo si raggiunge approssimativamente attorno allo step numero 400 che equivale a circa 33,33 ore dall istante iniziale. Risultati relativi alla temperatura dell aria a contatto con la parete di destra pari a 25 C (298,15K). Ore 6 Ore 8 19

21 Ore 22 Ore 24 Ore 2 Ore 4 Ore 6 (2 giorno) Ore 10 (2 giorno) 21

23 Ore 6 (4 giorno) Anche in questo caso vengono riportati inseguito i grafici relativi al flusso termico rispettivamente sulla parete di sinistra e su quella di destra. 23

24 Risultati relativi alla temperatura dell aria a contatto con la parete di destra pari a 28 C (301,15K). Ore 6 Ore 8 24

26 Ore 22 Ore 24 Ore 2 Ore 4 Ore 6 (2 giorno) Ore 10 (2 giorno) 26

28 Ore 6 (4 giorno) I grafici relativi al flusso termico sono i seguenti: 28

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30 Conclusioni Le immagini sopra riportate mettono in evidenza in particolare le onde termiche all interno dello spessore della parete di muratura in esame. Si osserva che periodicamente all interno della parete abbiamo le stesse condizioni; si prenda come esempio l immagine relativa alle ore 6 del terzo giorno rispetto a quella delle ore 6 del quarto giorno in ognuna delle tre prove condotte. Si deduce che lo spessore della parete ha un importanza strategica per quanto riguarda il corretto isolamento della stessa ed in particolare è funzione delle caratteristiche fisiche del materiale di cui è composta. Un funzionamento ottimale dell isolamento deve fare in modo che nelle ore più calde della giornata, la parete interna sia investita dall onda termica di temperatura inferiore derivante dalle ore notturne è così, nelle ore notturne, la parete interna deve essere soggetta all onda termica calda derivante dalle ore diurne in modo tale da avere sul lato interno una temperatura il più possibile stabile alla temperatura ambiente, considerata in questo caso pari a 293,15K. L effetto della temperatura dell aria a contatto con la parete di sinistra, influisce decisamente sulla distribuzione di temperatura all interno della parete; infatti, considerando il primo caso analizzato dove cioè la temperatura dell aria è inferiore alla temperatura iniziale della parete (295,15K contro 298,15K), si osserva un raffreddamento della superficie di destra che tende poi a propagarsi anche all interno. Nel secondo caso analizzato, dove cioè la temperatura iniziale della parete uguaglia la temperatura dell aria, si nota come sulla parete di destra si mantenga un temperatura prossima a quella iniziale smorzando le onde termiche provenienti dalla superficie di sinistra. Nel terzo ed ultimo caso visto, la parete di destra tende a riscaldarsi sotto l effetto di scambio termico convettivo con l aria a contatto che si trova ad una temperatura di 301,15K contro i 298,15K presenti inizialmente sulla parete. 30