Moto dell acqua nelle Terre: la quota piezometrica
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- Clemente Fantoni
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1 Moto dell acqua nelle Terre: la quota piezometrica Approccio fenomenologico:. indiiduazione ariabili fisice causa ed effetto caratterizzanti il fenomeno (erifica analogie e differenze con il moto idraulico in condotte e canali). studio legame fisico-meccanico tra cause ed effetti macroscopici Scelta della ariabile causa u idraulica delle condotte carico idraulico totale [L] = H = ζ + + γ g Le elocità delle particelle d acqua nei terreni sono talmente basse ce ariabile causa = quota piezometrica [L] = u = ζ + γ H = quota di risalita dell acqua in un tubo (piezometro) inserito in un punto del sottosuolo ζ = 0 ζ u γ
2 Moto dell acqua nelle Terre: la elocità di flusso Scelta della ariabile effetto idraulica delle condotte portata filtrante [L 3 T - ] Q V = t Nel mezzo poroso si potrebbe considerare: portata per sezione netta = elocità media [LT - ] Scelta più pratica: ariabile effetto = elocità di flusso [L T - ] n Q = A n Q ( na) Q Q = n = n A A n n = portata filtrante attraerso una sezione unitaria di sceletro solido n
3 3 Esperienza di d Arcy (o Darcy) i Les fontaines publiques de la ille de Dijon (Darcy, 856) In condizioni di flusso stazionario e monodimensionale: Q = = k = ki A L k = conducibilità idraulica (o coefficiente di permeabilità) [L T - ] (costante dipendente da caratteristice del fluido e del mezzo poroso) A permeametro L i = gradiente idraulico (o cadente piezometrica) [adimensionale] La legge di Darcy ale nella quasi totalità dei problemi geotecnici, ad eccezione i casi in cui il numero di Reynolds è molto alto (forti gradienti idraulici, porosità eleate; p. es. nelle rocce fratturate).
4 4 Altra esperienza significatia Teton Dam
5 5 Legge di resistenza del moto di filtrazione Generalizzando nelle tre dimensioni, per un mezzo continuo ed anisotropo: i = 3 j= k ij x j { } = [ k] { i} = [ k] grad ( ) {} = elocità di filtrazione (ettore) = carico idraulico (scalare) [k] = tensore delle permeabilità (matrice) (k ij = componente di elocità lungo la direzione i prodotta da un gradiente unitario negatio lungo j) Sistema (x,y,z) = assi principali di permeabilità x y z = k = k = k x y z x y z Legge di resistenza del mezzo isotropo (k x = k y = k z = k) { } k grad ( ) =
6 6 Condizione di continuità in un mezzo omogeneo e isotropo y Condizione di continuità della massa di fluido in un elemento di olume: x z z y x dy y + dy y z dx dz z + dz z y x x + dx x massa fluido entrante nel olume elementare = (fluido interstiziale) ( ρ ns ) ρ + + = x y z t x y z r dx dydz dy dxdz dz dxdy dt dzdxdy dt Ipotesi del moto di filtrazione stazionario : In genere: massa d acqua in ingresso massa d acqua in uscita mezzo stabilmente saturo S r = fluido incomprimibile ρ = cost. di{ } = 0 sceletro solido indeformabile n = cost.
7 7 stazionaria in un mezzo omogeneo e isotropo Condizione di continuità + Legge di resistenza Introducendo la nella : { ( )} 0 { } di { } = k = 0 grad( ) di grad = = 0 (equazione di Laplace) Graficamente il campo di moto è descritto da: Superfici isopiezice = superfici equipotenziali, doe è costante Linee di flusso = cure iniluppo ettori elocità (ortogonali alle isopiezice) + q = A= cost Proprietà delle due famiglie di cure: la quota piezometrica decresce lungo una linea di flusso lungo un tubo di flusso (superficie generata da linee di flusso) la portata è costante non c è flusso lungo una superficie isopiezica
8 8 Problemi di filtrazione piana e reti idrodinamice In un problema piano ( y = 0): superfici linee isopiezice il moto è completamente descritto dalla c.d. rete idrodinamica, costituita da due famiglie di cure ortogonali (isopiezice e linee di flusso) tracciate rispettando le condizioni al contorno per e superficie piezometrica = a isopiezica + superficie impermeabile a s - Nella maglia elementare s a, la portata è data da q = n a = k i a = k a s ( s = distanza tra due linee isopiezice, a = distanza tra due linee di flusso = sezione tubo)
9 9 Calcolo di portata e pressioni interstiziali Tracciando una rete a maglie quadre ( s a) compatibile con le condizioni al contorno: a q = k = k s = costante lungo ogni tubo di flusso q = costante in ogni tratto di tubo di flusso tra due isopiezice = perdita di carico tra due isopiezice = costante nell intera rete H = ariazione totale di carico idraulico n = numero di campi tra le isopiezice = H n Calcolo portata filtrante Q (n q = numero di tubi di flusso): H nq Q= nq q= nk q = nk q = kh n n Distribuzione pressioni interstiziali u: u = γ ( ) ζ n q k H n
10 0 Tipologia dei problemi in relazione alla ariazione nel tempo) Nei problemi di filtrazione, l analisi del problema idraulico è disaccoppiabile da quella statica In base alla ariabilità spazio-temporale delle condizioni al contorno, si classificano in: Flusso stazionario (condizioni al contorno e dominio di saturazione inariabili nel tempo) H = cost. Es. aggottamento da fondo scao Flusso transitorio (condizioni al contorno e/o dominio di saturazione ariabili nel tempo) t Es. risalita acqua in piezometro/pozzo
11 Tipologia dei problemi in relazione alle condizioni al contorno Flusso confinato (contorno indipendente dal dominio di saturazione) H Es. traersa in muratura Flusso non confinato (contorno ariabile col dominio di saturazione) H Es. diga in terra
12 Modifice di stati tensionali indotte da moti di filtrazione (caso D) Gli effetti dei moti di filtrazione nei terreni saturi anno segno dierso a seconda del erso (concorde o discorde) del flusso rispetto alle azioni graitazionali litostatice e idrostatice. Fluido in quiete quota piezometrica costante uz ( ) = γ z u z ( ) = = m = ζ + = ζ + z= cost. γ σ ( z) = γ z; σ ( z) = σ u = γ z sat
13 3 Modifice di stati tensionali indotte da moti di filtrazione (caso D). Fluido in moto erso il basso quota piezometrica decrescente con z ( z) = iz < m uz ( ) = γ ( ζ) = γ ( iz + z) = γ z γ iz σ ( z) = γ z σ ( z) = γ z + γ iz Δσ ( z) = Δu = γ iz > 0 m m m sat
14 4 Modifice di stati tensionali indotte da moti di filtrazione (caso D) 3. Fluido in moto erso l alto quota piezometrica crescente con z z ( ) = + i z> uz ( ) = γ ( ζ) = γ ( + i z + z) = γz + γi z σ ( z) = γsat z; σ ( z) = γz γi z Δσ ( z) = Δu = γ i z < 0 La filtrazione in direzione erticale aggiunge alle tensioni efficaci litostatice una ariazione γ iz (forza di trascinamento) concorde con il erso del moto
15 5 in mezzo stratificato (Caso D) i = L i = L Ripartizione delle perdite di carico totali in due terreni: = + Q = Q k = k L L kl = kl + kl kl = kl + kl Ripartizione delle perdite in un N strati : N = j Soluzione del sistema: j= Q = j Qj+ (con j =,,, N ) k = k i = i k << k i = Δ/L ; i 0 (T = idrostatico con = m ) k << k i = Δ/L ; i 0; (T = idrostatico con = ) In generale la perdita di carico, si concentra nello strato con permeabilità minore
16 6 Fenomeni deformatii prodotti da moti di filtrazione: subsidenza Le forze di trascinamento indotte dai moti di filtrazione erso il basso producono: aumento delle tensioni efficaci ( cedimenti) Es.: subsidenza (cedimento del piano di campagna) indotta da emungimento da un acquifero σσ,,u L L L u σ z σ = γ σ ' γ L γ L = dz = dz = dz = dz dz = + L L L u u u ε z E 0 0 ed E 0 ed E ed, Eed, E L L ed, Eed,
17 7 Fenomeni di instabilità prodotti da moti di filtrazione: sifonamento Le forze di trascinamento indotte dai moti di filtrazione erso l alto producono: diminuzione delle tensioni efficaci ( collasso) Es.: sifonamento (solleamento fondo scao) indotto da filtrazione lungo una palancola in un terreno a grana grossa (incoerente) i m u u u u < i = c γ ' γ γ Criterio di Terzagi u H = H σ' 0 = 0 i m = H σ, σ ', u σ = γ sat z u= γ z+ γ iz σ ' = σ u= ( γ γ γ iz ) = ( γ ' γ iz ) sat per γ ' i = ic = γ annullamento delle σ (σ =0 z) collasso per sifonamento (gradiente critico)
18 8 Il coefficiente di permeabilità Il coefficiente di permeabilità (o conducibilità idraulica k) non è un parametro intrinseco del terreno in quanto dipende ance dal fluido e dallo stato del terreno stesso. γ In linea di principio ksi potrebbe esprimere come : k = k µ k = permeabilità assoluta, dipende solo dal solido poroso γ, µ = peso specifico e iscosità del fluido I principali fattori ce influenzano k sono quindi: per il fluido la temperatura (da cui dipendono γ e µ ) per il solido la granulometria (influenza dimensione e tortuosità degli interstizi) L influenza della granulometria è riflessa dalla relazione empirica per sabbie uniformi: k = c D 0 (Hazen, 9) (k in cm/s, c = 0.4., D 0 in mm) ce eidenzia la dipendenza di k soprattutto dalla dimensione dei granuli più fini! Hanno influenza su k ance: - la microstruttura (k decresce con l attiità mineralogica) - la porosità (per un dato terreno) Espressione di Kozeny Carman: k 3 α e γ = Σ + e µ (α = funzione della microstruttura, Σ = superficie specifica, e = indice dei uoti)
19 9 Valori tipici del coefficiente di permeabilità Terreni limosi 0-7<k<0-4 cm/s Terreni argillosi k < 0-7 cm/s Terreni sabbiosi k > 0-4 cm/s
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