Seminario NOTE SULL EQUAZIONE INTEGRALE DI BILANCIO DELL ENERGIA MECCANICA

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1 Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia SCUOLA DI DOTTORATO DI RICERCA in Meccanica Avanzata e Tecnica del eicolo Seminario NOTE SULL EQUAZIONE INTEGRALE DI BILANCIO DELL ENERGIA MECCANICA Modena, 7 Marzo 0 Prof. Giovanni S. Barozzi Diparmento di Ingegneria Meccanica e Civile Università di Modena e Reggio Emilia

2 BEM- SOMMARIO. Introduzione. Bilancio stazionario dell Energia Meccanica (BEM) 3. Metodologie di derivazione 4. Richiami 5. BEM - Forma generale a. Derivazione meccanica b. Derivazione termodinamica 6. BEM - Forme stazionarie 7. Perdite di carico e irreversibilità 8. Conclusioni

3 BEM. - INTRODUZIONE L equazione integrale di bilancio dell energia meccanica (BEM) è di fondamentale importanza pra[ca e di comune impiego nella tecnica Essa è introdo\a nei corsi universitari nella forma stazionaria per sistemi a due corren[ u[lizzando i più svaria[ processi dimostra[vi Le espressioni dell equazione possono differire per de\agli significa[vi quali la presenza o meno di coefficien[ correavi, di macchine, di effea di comprimibilità, di dissipazioni viscose (equazione di Bernoulli) Il significato di alcuni termini non è sempre chiaro e univoco A differenza delle analoghe equazioni di bilancio integrali (massa, energia, quan[tà di moto, etc) non si introducono le forme BEM a più corren[ o non stazionarie

4 BEM.. BILANCIO STAZIONARIO DELL ENERGIA MECCANICA BEM - Forma generale stazionaria per sistemi a due corren[ W α α W + g(z z ) + + R = l e (4.) 3

5 BEM.. BILANCIO STAZIONARIO DELL ENERGIA MECCANICA I termini compresi nella (4.) rappresentano ariazione di energia cineca (include i coefficien α di correzione per disuniformità della velocità) ariazione di energia potenziale (gravità unica forza di massa) Quantà di lavoro di pressione eseguita sul fluido nel processo (inclusi i termini di introduzione ed estrazione e tenendo conto degli effez di comprimibilità) Energia meccanica dissipata Lavoro unitario l e scambiato da macchine a flusso connuo TuZ i termini sono riferi all unità di massa 4

6 BEM..3 BILANCIO STAZIONARIO DELL ENERGIA MECCANICA Quesi[ aper[ dove e quando si applica la (4.)? come si calcola l integrale? i coefficien α non sempre compaiono nell espressione della (4.) il lavoro unitario l e non sempre compare nella derivazione della (4.) la definizione di R non è univoca esistono forme BEM non stazionarie e più corren? 5

7 BEM.3. METODOLOGIE DI DERIAZIONE Derivazione Meccanica () Equazione di Bernoulli lungo una linea di corrente (ξ) a ξ W = u t + u u ξ i F ξ, i = ma ξ W + g(z z ) + = 0 (4.8) si assume moto stazionario non viscoso si estende la (5.3) ad un tubo di flusso ad asse ξ non compaiono nell espressione i coefficien α, le perdite R, il lavoro unitario l e occorre prescrivere che il moto sia irrotazionale (valore di C comune a tuee le linee di corrente) u t dξ + (5.3) u + g z + = C 6

8 BEM.3. METODOLOGIE DI DERIAZIONE Derivazione Meccanica () Equazione di Navier- Stokes proiezione lungo l asse (ξ) di un tubo di flusso dw dξ dz W = g dξ dξ + µ u + 3.u ( ) ξ (6.3) WdW +g dz + + µ u + 3 (.u) dξ = 0 ξ (6.4) 7

9 BEM.3.3 METODOLOGIE DI DERIAZIONE Derivazione Meccanica () si assume la componente di velocità secondo ξ pari al valor medio W sulla sezione S del t.d.f. W W + g(z z ) + + R = 0 R = µ u + 3.u ( ) deve necessariamente essere α =α = e l e =0 la definizione di R non è generale ξ dξ (4.4) (6.5) 8

10 BEM.3.4 METODOLOGIE DI DERIAZIONE Derivazione Termodinamica () dall equazione integrale di bilancio dell energia W α α W + g(z z ) + h h = q l e W W α α + g(z z ) + p p + R = l e R = u int, u int, q La (7.8) è immediata ma contraddieoria Non vale per fluido comprimibile (7.4) (7.8) h = u int + pv 9

11 BEM.3.5 METODOLOGIE DI DERIAZIONE Derivazione Termodinamica () In alterna[va si elabora Δh con il Tds h h = q ir + h h = q + W α α,ir v q = Tds Tds Irr Tds Irr + v,ir W + g(z z ) + R + v,ir (7.6) Lo scambio termico deve essere nullo o reversibile = l e R = q ir = Tds Irr Tds 0

12 BEM.4. RICHIAMI Teorema della divergenza L integrale della divergenza del veeore b sul volume chiuso è eguale al flusso scalare di b aeraverso la superficie chiusa A che contorna. bd = b.nda A L integrale della divergenza del tensore σ sul volume chiuso è eguale al flusso veeoriale di σ aeraverso la superficie chiusa A che contorna.σd = σ.nda (.) A (.)

13 BEM.4. RICHIAMI Teorema della divergenza ad = anda A. bd = b.nda A.σd = σ.nda A

14 BEM.4.3 RICHIAMI Formula di Leibnitz per sistemi fluidi a = a(x,t) campo connuo sul volume racchiuso dalla superficie di area A. u s velocità locale delle superfici delimitan d dt ad = ( a) d + a( u t s. n)da A Se l integrale è esteso ad un volume la cui superficie delimitante si muove ovunque con la velocità locale del fluido (sistema chiuso) d dt ad = Da d Dt (.3) (.4) 3

15 BEM.4.4 RICHIAMI Teorema del trasporto di Reynolds a = a(x,t) campo connuo sul volume di un volume di controllo racchiuso dalla superficie A sc volume di un sistema chiuso ausiliario coincidente con all istante di inizio osservazione = a t d + a ( u. n )da A u r = velocità relava del fluido rispeeo alle superfici del volume di controllo ; in corrispondenza di superfici impermeabili l integrale esteso ad A si annulla u s = velocità delle superfici del volume di controllo u d dt sc ad = d dt ( ) ad + a( u r. n)da = = velocità assoluta del fluido A (.5) u r = u u s 4

16 BEM.4.5 RICHIAMI EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL MOTO DI UN FLUIDO Equazione di continuità Du Dt = u t + u. u t Equazione di conservazione della quantità di moto Equazione di Eulero (fluido non viscoso) ψ = gz Equazione di Navier-Stokes per fluido a viscosità costante = (. u) Du Dt Du Dt D Dt = (. u) = ψ p + [.τ] = ψ p Du Dt = ψ p + µ u 3 (.u) 5

17 BEM.5. BEM FORMA GENERALE a. Derivazione meccanica olume di controllo di riferimento 6

18 BEM.5. BEM FORMA GENERALE/A Bilancio integrale della quan[tà di moto Equazione della quantà di moto per parcella di massa costante, δm, e volume δ Integrazione su sc δm du dt = du dt δ = i df i,locali du dt d sc i F i = d dt sc = F g + F p + F τ ud = d ud + u( u. n)d = F dt i F g = Da qui l equazione di bilancio di quantà di moto gd S F p = F τ = i pd = p nda A.τ d = τ.nda A 7

19 BEM.5.3 BEM FORMA GENERALE/A Bilancio dell energia meccanica Molplicando scalarmente l eq. della dinamica per u si ha l equazione di bilancio dell energia meccanica per una parcella δm u. du dt = d(u ) dt δ = (u.df i,locali ) i Integrando sul volume del sistema chiuso, sc, e usando la formula di Leibnitz sc d dt u d = d dt sc u d = i ( u.df i ) Si elabora il primo membro facendo uso del teorema del trasporto di Reynolds per il sistema chiuso ausiliario d dt sc u d = d dt u d + u A ( ) u r.n da (8.9) 8

20 BEM.5.4 BEM FORMA GENERALE/A Bilancio dell energia meccanica d u d = d u d + u ( dt sc dt u.n r ) da = A = d u d + u ( dt u.n r ) da s + u ( As u.n r ) ds = S = d u W d α dt Q α W m, Q m, Gli integrali a s.m. della (8.9) rappresentano le quantà di lavoro svolte sul fluido nell unità di tempo dalle forze di gravità, di pressione, di tensione viscosa L g = ψ = gz ( ) u. ψ d L p = ( u. p) d L τ = Termini p.m. [ ] u..τ d 9

21 BEM.5.5 BEM FORMA GENERALE/A Bilancio dell energia meccanica (forma intermedia) d dt u d + α W Q W m, α Q m, = L g + L p + L τ (8.5) Sviluppo dei termini di lavoro Lavoro delle forze gravitazionali L g = ( u. ψ) d =. ( uψ) d + ψ. ( u) d = = [ uψ].nda ψ t d = ψ ( u.n ) da ψ d t A A (8.6) Nello sviluppo della (8.6) si è faeo uso del teorema della divergenza, e, per quanto riguarda il secondo termine s.m., dell equazione di connuità. Questo termine viene ulteriormente manipolato tramite la formula di Leibnitz applicata al C, tenendo inoltre conto del faeo che il potenziale gravitazionale ψ non varia nel tempo 0

22 BEM.5.6 BEM FORMA GENERALE/A Sviluppo dei termini di lavoro Lavoro delle forze gravitazionali ψ t d = ψ t d ψ t d = ψ t d = = d dt ( ) ψ d + ψ u s.n A ( ) da ( ) Sostuendo nella (8.6) ed introducendo la velocità relava del fluido rispeeo ai contorni (u r = u u s ) ( ) L g = ψ u r.n A da d dt = ψ( u.n) ds ψ u r.n S As ψ d = ( ) da d dt (8.7) ψ d (8.8) Il secondo termine s.m. della (8.8) è nullo in quanto (u r = 0) sulle superfici impermeabili.

23 BEM.5.7 BEM FORMA GENERALE/A Sviluppo dei termini di lavoro Lavoro delle forze gravitazionali L g = Q m, gz + Q m, gz d dt Lavoro delle forze di pressione L p = ψ d ( u. p) d =. ( up) d + p(.u ) d = = p( u.n) da + p(.u ) d = A p ( u.n ) ds p( u.n) da s + p(.u ) d = S As = Q m, p + Q m, p p( u.n) da s + p.u As ( ) d (8.9) (8.0)

24 BEM.5.8 BEM FORMA GENERALE/A Sviluppo dei termini di lavoro Lavoro delle forze gravitazionali L g = Q m, gz + Q m, gz d dt Lavoro delle forze di pressione L p == Q m, p + Q m, p ψ d p( u.n) da s + p.u As ( ) (a) (b) (c) (d) d (8.9) (8.0) - (a), (b) flussi aeraverso le sezioni di uscita/ingresso della quantà (pv); - (c) lavoro di reazione alla pressione svolto sul fluido nell unità di tempo dalle pare impermeabili entro o alla periferia del C; - (d) lavoro di compressione/espansione nell unità di tempo 3

25 BEM.5.9 BEM FORMA GENERALE/A Sviluppo dei termini di lavoro Lavoro delle forze viscose L τ = [ ] u..τ d =. u.τ d τ : u [ ] = u.τ.n da τ : u d = A [ ] { } = [ u.τ].n da τ : u As (a) { } (b) d { } d (8.) (a) lavoro di trascinamento svolto sul fluido nell unità di tempo da pare impermeabili mobili (esempio, parete scorrevole nel moto alla Coueee); (b) lavoro di deformazione svolto sul fluido nell unità di tempo dalle tensioni viscose e dissipato irreversibilmente. 4

26 BEM.5.9 BEM FORMA GENERALE/A Sviluppo dei termini di lavoro Lavoro delle forze viscose (termine (b)) { } τ : u d Per fluido newtoniano la funzione integranda è correlata alla funzione di dissipazione Φ attraverso la viscosità µ Φ = u x x + u y y + u z z + + u y x + u x y + u z y + u y z + u x z + u z x u x 3 x + u y y + u z z τ :{ u} = µφ 5

27 BEM.5.0 BEM FORMA GENERALE/A Sviluppo dei termini di lavoro Lavoro delle forze gravitazionali L g = Q m, gz + Q m, gz d dt ψ d Lavoro delle forze di pressione L p = Q m, p + Q m, p Lavoro delle forze viscose L τ = [ u.τ].nda τ : u As p( u.n) da s + p.u As { } d ( ) d 6

28 BEM.5. BEM FORMA GENERALE/A d dt BEM: forma finale u d + α W Q α m, Sostuendo nella (8.5) le espressioni del lavoro Q m, p + Q m, p W Q m, = Q m, gz + Q m, gz d dt ψ d p( u.n) da + p(.u ) d + [ u.τ].nda τ : u As As { } d d u dt + gz W d +Q m, α +gz + p W Q m, α + gz + p p(. u ) d + τ :{ u} d = p( u. n) da + [ u.τ].n da Riordinando As As 7

29 BEM.5. BEM FORMA GENERALE/A BEM: forma finale (a) d dt + gz d u ariazione del contenuto di energia cinetica e potenziale entro (b) (c) (d) W Q m, α +gz + p W Q m, α + gz + p p(.u ) d + τ : u { } d p( u.n) da + [ u.τ].n da As As Flussi di energia cinetica, potenziale e di pressione attraverso le sezioni di passaggio Lavoro (reversibile) di compressione/ espansione del fluido e di dissipazione viscosa (irreversibile) entro Lavoro delle pressioni e delle tensioni viscose trasmesso al fluido attraverso le pareti mobili 8

30 BEM.5.3 BEM FORMA GENERALE/A BEM: forma finale Potenza meccanica scambiata Convenzione termodinamica: il lavoro è positivo se trasferito dal sistema all ambiente. I termini (d) possono essere espressi come: L ep = L eτ = + As As ( ) p u.n da [ u.τ ].nda L e = L ep + L ep = lavoro di pressione svolto dal fluido sulle pareti mobili di C L eτ = lavoro di trascinamento svolto dal fluido sulle pareti mobili del C L e = lavoro esterno complessivo svolto dal sistema sull ambiente Potenza meccanica dissipata R = { } τ : u d L eτ 9

31 BEM.5.3 BEM FORMA GENERALE/A BEM: forma generale finale (8.30) d dt u + gz W d +Q m, α ( ) p.u d + R = L e +gz + p W Q m, α + gz + p Non vi sono limitazioni al numero di corren[ 30

32 BEM.5.4 BEM FORMA GENERALE/B b. Derivazione termodinamica olume di controllo di riferimento 3

33 BEM.5.5 BEM FORMA GENERALE/B Equazione generale di bilancio dell energia per sistemi aperti d dt p ed + + e ( u r.n)da = Q - A L e e = u int + gz + u d dt d dt d dt gz + u p u d + + gz + ( u A r.n)da+ u int d + u int ( u r.n)da = Q - A * * (9.) L e u int d + u int ( u r.n)da =... = Du int d =... = T Ds Dt Dt d p. u I termini (*) si elaborano mediante formula di Leibnitz, continuità, Tds A ( ) d 3

34 BEM.5.6 BEM FORMA GENERALE/B Per un sistema a due correnti si ha la seguente forma d dt gz + u W d + Q m, α +gz + p W Q m, α + gz + p p(. u ) d + T Ds Dt d = Q - L e Si elabora ora il termine che include l entropia ds = δq + δs T Irr R Tds = T δq + Tδs T Irr = T δq + δq -δq + Tδs R T Irr = δq - T - T R δq + Tδs Irr R T Ds Dt d T R (9.8) 33

35 BEM.5.7 BEM FORMA GENERALE/B q = δq dt velocità di trasferimento di calore per unità di massa s Irr = δs Irr dt velocità di produzione entropica per unità di massa Con riferimento ad una particella in moto: La variazione nell unità di tempo dell entropia di una particella elementare lungo la sua traiettoria si può interpretare come somma dei contributi: Ds Dt = q T - T R - T q T + Flusso entropico reversibile per unità di massa Correzione al flusso entropico per irreversibilità termica (T T R ) elocità di produzione entropica per unità di massa (ingloba sia i contributi termici che i contributi di natura meccanica) T R - T T R q T rappresenta la frazione termica di s Irr T R s Irr 34

36 BEM.5.8 BEM FORMA GENERALE/B BEM: forma finale T Ds Dt d = q d T T R q d + T s Irr d T R Q = q d Sostituendo nella (9.8) si ha la forma generale: d dt gz + u W d + Q m, α +gz + p W Q m, α + gz + p p(.u ) d + T s Irr d T R T T R q d = - L e (9.6) Coincidente con la (8.30) ponendo: R = T s Irr d T R T q d T R 35

37 BEM.6. FORME STAZIONARIE BEM Forma stazionaria generale per sistemi a due correnti Dalla (8.30) ponendo: Q m, = Q m, = Q m R = R Q m L l e = e Q m W α +gz + p W α + gz + p Q m p(.u ) d + R = l e (0.) * La (0.) è la forma BEM più generale in presenza di macchine a flusso continuo operanti con fluido comprimibile 36

38 BEM.6. FORME STAZIONARIE BEM Forma stazionaria per sistemi a tubo di flusso Tubo di flusso monodimensionale: regione nella quale è possibile individuare sezioni trasversali alla direzione principale del moto del fluido (ξ), lungo le quali la pressione e le altre proprietà termodinamiche si possano assumere uniformemente distribuite p = p( ξ) = ξ ( ) = v( ξ) 37

39 BEM.6.3 FORME STAZIONARIE BEM Forma stazionaria per sistemi a tubo di flusso Integrale di (v) Dall equazione di continuità stazionaria p(. u ) d = p u. v ( ) Dalle ipotesi di monodimensionalità. u = D Dt = v d Dv Dt = Dv Dt = u. v S p v u. v ( ) u.n d = ( ) p dv ξ ξ S p v u dv ξ dξ dξds = p v u.n ( ) dv = ξ S dξ dξds dξ dξ ds = (SW) pdv = Q m pdv 38

40 BEM.6.4 FORME STAZIONARIE BEM Forma stazionaria per sistemi a tubo di flusso Integrale di (v) p v ( u. v) d = Q m pdv Sostituendo nella (0.) W α +gz + p v con p v p v α W α W α + gz + p v W pdv = v ( ) + v + g z z pdv + R = l e + R = l e (4.) * La classica forma (4.) risulta valida a rigore solo per sistemi o parti di sistema in cui è possibile individuare un tubo di flusso monodimensionale 39

41 BEM.7. PERDITE DI CARICO E IRREERSIBILITA R come integrale di (Tδs Irr ) in sistemi a tubo di flusso R = R = T s Q m Q Irr d T T R q d m T R (0.) Dalle ipotesi di monodimensionalità del tubo di flusso -, p uniformi sulla sezione S anche T uniforme su S T = T(ξ) - T R = temperatura di parete del tubo di flusso, uniforme sul perimetro di S T R = T R (ξ) Sotto queste ipotesi, si può in qualche modo assumere che anche ( ) q = q ξ R = l Tds Irr ( ) s Irr = s Irr ξ T R T dq (0.7) l T R 40

42 BEM.7. PERDITE DI CARICO E IRREERSIBILITA R come integrale di (Tδs Irr ) in sistemi a tubo di flusso R = l Tds Irr l T R T dq (0.7) T R * R coincide con integrale di Tds irr solo se si annulla il termine in dq Perché questo avvenga si deve verificare una delle condizioni seguenti : sistema adiabatico (dq = 0) reversibilità degli scambi di calore, consistente nell imporre l identità tra la temperatura del fluido e la temperatura del perimetro ad ogni sezione del tubo di flusso 4

43 BEM.8. CONCLUSIONI. Le derivazioni dell equazione integrale di bilancio dell energia meccanica comunemente utilizzate sono tutte sostanzialmente insoddisfacenti.. Derivazioni di tipo meccanico: a differenza di quanto avviene per le altre equazioni di bilancio, le dimostrazioni meccaniche non partono da una forma differenziale dell equazione dell energia meccanica o da un espressione dell energia meccanica contenuta in un sistema chiuso, ma da una delle forme dell equazione di bilancio di quantità di moto si riferiscono ai soli sistemi a tubo di flusso monodimensionale per i quali risulta impossibile l inclusione di macchine l equazione di bilancio della quantità di moto viene proiettata lungo l asse del tubo di flusso e integrata tra gli estremi dello stesso l operazione non è in grado di produrre i coefficienti di correzione dell energia cinetica alle sezioni di ingresso ed uscita per fluido reale la procedura produce un espressione della perdita di carico di dubbia validità per fluido ideale il risultato è l equazione di Bernoulli la cui estensione al caso di fluido reale si esegue poi per via intuitiva 4

44 BEM.8. CONCLUSIONI 3. Derivazioni di tipo termodinamico: si basano sull eliminazione dei termini di calore scambiato e di entalpia dall equazione integrale di bilancio dell energia nel caso di fluido incomprimibile portano a risultati convincenti e corretti per fluido incomprimibile è anche direttamente ricavabile la forma generale non stazionaria e per sistemi a più correnti per fluidi comprimibili, l introduzione del termine integrale è fonte di confusione non venendo mai esplicitato chiaramente il fatto che l esistenza dell integrale di pressione implica l ipotesi di sistema a tubo di flusso monodimensionale le perdite di carico sono espresse in termini di produzione irreversibile di entropia, la cui relazione con la perdita di energia meccanica non è mai trattata in modo completo e convincente 4. Le ambiguità insite nelle derivazioni tradizionali stazionarie sono risolte completamente attraverso approcci sistematici e rigorosi che partono dall integrazione diretta sul volume di controllo dell equazione differenziale dell energia meccanica o, in alternativa, dalla forma generale dell equazione di bilancio dell energia per sistemi aperti 43

45 BEM FINE SE SIETE ARRIATI FIN QUI, COMPLIMENTI!! E GRAZIE PER L ATTENZIONE 44