Fisica dell informazione

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1 Fisica dell informazione Elementi di teoria del rumore sistemi lineari - FDT Prof. Luca Gammaitoni Informazioni sul corso:

2 Caratteri termodinamici del rumore termico all equilibrio Significato microscopico di Entropia Teorema di Equipartizione dell energia (esempio fluttuazioni di una molla all equilibrio, pendolo semplice) Teorema di Fluttuazione-Dissipazione (esempio spettro delle fluttuazioni di un pendolo semplice all equilibrio)

3 Significato microscopico di Entropia Un sistema termodinamico può essere descritto sulla base di tre grandezze: temperatura T, energia Interna E, Entropia S. Per molti anni l entropia è stata considerata una misura della capacità che ha un sistema di utilizzare la propria energia interna per produrre lavoro utilizzando un flusso di calore Se a T costante la quantità dq viene scambiata con l esterno, allora la entropia cambia: ds = dq/t

4 In particolare se il passaggio di calore è spontaneo (per esempio da un corpo caldo ad uno freddo, allora ds>0. Questa è una formulazione del secondo principio della termodinamica: # nella formulazione di Clausius, si afferma che è impossibile realizzare una trasformazione il cui unico risultato sia quello di trasferire calore da un corpo più freddo a uno più caldo. # Nella formulazione di Kelvin-Planck, si afferma che è impossibile realizzare una trasformazione il cui unico risultato preveda che tutto il calore assorbito da una sorgente omogenea sia interamente trasformato in lavoro.

5 In sostanza l esistenza dell Entropia ci dice che non tutta L energia interna di un corpo può essere utilizzata per fare lavoro esterno. Una parte di questa va ad aumentare l entropia del sistema e non è sfruttabile: A = E - TS energia libera (sfruttabile). A che serve l energia che non può essere utilizzata? Questo quesito fu risolto verso la fine dell ottocento da alcuni fisici ed in particolare da L. Boltzmann mediante un lavoro di interpretazione microscopica del significato di Entropia.

6 Boltzmann ha mostrato che se un sistema termodinamico può stare in un certo numero Ω di stati microscopici possibili, tutti equiprobabili, allora l entropia del sistema è data da: S = k log Ω A che serve l energia che non può essere utilizzata? Questa energia viene conservata nelle possibili configurazioni del sistema. Quando si effettua una trasformazione spontanea, l entropia aumenta e quindi aumenta il numero di possibili configurazioni del sistema dove questo può trovarsi.

7 Teorema di Equipartizione dell energia (esempio fluttuazioni di una molla all equilibrio, pendolo semplice) Consideriamo l energia interna di un sistema E Supponiamo che questa sia additivamente distribuita tra tutti i suoi gradi di libertà. Per un sistema lineare all equilibrio termico l energia è costituita dalla somma dell energia cinetica e dell energia potenziale per ciascun grado di liberta x, espresse in temini del quadrato di x o del quadrato della velocità. Il teorema afferma che se la temperatura è T, allora: 1/2 a <x 2 > = 1/2 KT Importante la media

8 Dove c è media, c è fluttuazione. Se l energia media è definita dal teorema di equipartizione, cosa si può invece dire delle fluttuazioni (che danno origine al RUMORE)? Ci viene incontro il Teorema di Fluttuazione-Dissipazione

9 Teorema di Fluttuazione-Dissipazione Langevin equation for Brownian motion: there are two forces acting on the pollen grain: 1) A viscous drag, which can be modeled by a macroscopic viscous force 6π η a x 2) A fluctuating force, which represents the incessant impacts of the molecules ζ( t) m x = 6π η a x + ζ( t)

10 For a linear system, like a pendulum in the small oscillation limit we have a linear differential stochastic equation: x = ω 2 p x γ 0 x + ζ (t) m The arbitrariness in our choice of the damping function and the stochastic force is constrained by the so-called Fluctuation- Dissipation theorem ζ(t)ζ(0) =k T mγ 0 ( t ) which suffices to enforce the energy equipartition

11 In the spectral domain In the time domain: x = ω 2 p x γ 0 x + ζ (t) m By taking Fourier transform x X x iωx x ω 2 X In the spectral domain: ω 2 X = ω p 2 X iωγ 0 X + F ( ω 2 + ω p 2 + iωγ 0 )X = F X = 1 (ω p 2 ω 2 + iωγ 0 ) F

12 X = 1 (ω p 2 ω 2 + iωγ 0 ) F Thus in the spectral domain, for a linear system, is always possible to write its response to an external force like: X( ω) = H( ω) F( ω) Where H = 1 (ω p 2 ω 2 + iωγ 0 ) H(ω) = H ʹ (ω) + i H ʹ ʹ (ω) = 1 (ω 2 p ω 2 ) 2 + (ωγ 0 ) ((ω 2 2 p ω 2 ) iωγ 0 )

13 The F-D Theorem can be written here as: S ( ) k T H ʹ ʹ ( ω) x ω = 4 ω with Fluctuation-Dissipation theorem in the spectral domain ωγ H ʹ (ω) = 0 (ω 2 p ω 2 ) 2 + (ωγ 0 ) 2 In the time domain we have: ζ(t)ζ(0) =k T mγ 0 ( t )