Introduzione a PARI / GP

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1 Università degli studi di Milano Dipartimento di Matematica «F. Enriques» Introduzione a PARI / GP pari / gp è una libreria per linguaggi ad alto livello (ad es. C, C++, Pascal, Fortran) ed una sofisticata calcolatrice programmabile. Le sue caratteristiche principali sono l essere un programma libero, la rapidità (da 10 a 1000 volte più rapido di altri programmi), la possibilità di usare tipi di dati comuni nell uso matematico, e l esteso supporto per la teoria dei numeri. pari / gp funziona su molte versioni di Unix (inclusi Linux e OS-X) ed ha un supporto sperimentale per Windows; può essere scaricato liberamente da http: //pari.math.u-bordeaux.fr 1 Iniziamo! Dopo aver acceso il computer, al prompt, digitiamo gnome e premiamo <invio>. [rimosse le istruzioni su nome utente e password da utilizzare sui terminali del laboratorio del dipartimento] Una volta finito di caricare l ambiente grafico, aprite il terminale, digitate gp e poi di nuovo <invio>. Dovrebbe comparirvi un? Scrivete 2+2 e poi premete <invio> (questa è l ultima volta che lo specificherò). Dovreste vedere:? 2+2 %1 = 4? %1 significa che questo è il primo risultato, e che è uguale a 4. Forse siete abituati a terminare ogni riga col ;? 2+2;? Cos è successo?!? Qui il segno ; serve per separare due istruzioni, e come effetto collaterale non stampa il risultato: è utile se abbiamo dei numeri giganteschi, ma vedremo più avanti... Proviamo ora qualche altra operazione? 12-3 %3 = 9? 1-7*4+2 %4 = -25? 8/2 %5 = 4

2 ? 3/2 %6 = 3/2 Notiamo che pari / gp usa tranquillamente le frazioni.? 2^5 %7 = 32? (-1/2)^3 %8 = -1/8? %^(1/3) %9 = *I? La prima operazione è un elevamento a potenza. Nel secondo caso è necessario usare le parentesi. Il terzo caso è un po strano: il segno % indica l ultimo risultato, in questo caso 1/8. L elevamento alla potenza 1/3, come sapete, corrisponde all estrazione di radice cubica: ma cos è il risultato? Be, se provate ad elevarlo alla terza otteniamo:? %^3 %10 = E-30*I Se guardate attentamente, noterete che questo risultato è un approssimazione reale di 1/8 più un numero molto piccolo per I: pari / gp ha calcolato una radice complessa di 1/8, la cui terza potenza è ancora un numero complesso. Ma procediamo oltre: il resto della divisione fra a e b è indicato così:? 13%3 %11 = 1? 13%5 %12 = 3 divrem Se vogliamo conoscere sia il quoziente che il resto, usiamo la funzione divrem? divrem(13,5) %13 = [2, 3]~ gcd bezout Per aiutarci a comprendere il significato del risultato, scriviamo?divrem. Scopriamo così che [2,3]~ è un vettore colonna (la tilde indica che è stato scritto come riga). Per verificare provate a calcolare: Altre funzioni utili sono gcd e bezout: provate a scoprire cosa fanno. Esercizio 1. Calcolate: (11 3 1)/2; ; MCD(247,91); MCD(247,100); trovate ora x, y Z tali che MCD(247,91) = 247x + 91y; idem per MCD(247,100) = 247x + 100y. 2 Moduli Se vogliamo calcolare mod 17, cioè la classe di resto di modulo 17, possiamo fare così: 2

3 Introduzione a PARI / GP? 3^123 %14 = ? % %17 %15 = 7 Proviamo con numeri ancora più grossi: mod 147? 1435^467 %16 = ? %%147 %17 = 49 Umph! Forse era meglio usare il ;? 1435^467;? % %147 %19 = 49 Meglio, ma se usassimo numeri ancora un poco più grandi, inizieremmo a trovare cose troppo grandi, e avremmo dei problemi. D altro canto a noi non serve veramente calcolare come numero intero: sarebbe sufficiente ridurre modulo 147 ad ogni passaggio.? Mod(1435,147) %20 = Mod(112, 147) 3

4 ? %^467 %21 = Mod(49, 147) Mod nextprime Mod crea un intero modulare: Mod(1435,147) è la classe di resto di 1435 mod 147. Notiamo che mod 147, cioè Mod(1435,147) e Mod(112,147) sono la stessa classe di resto. Vediamo un altro esempio. Attiviamo ora il timer dando l istruzione #, cerchiamo un primo grande con nextprime, e poi confrontiamo i due modi per svolgere un elevamen- to a potenza.? # timer = 1 (on)? p=nextprime(10^5) time = 0 ms. %22 = ? e= time = 0 ms. %23 = ? 2^e %p time = 16 ms. %24 = 6033? Mod(2,p)^e time = 0 ms.? # timer = 0 (off) lift Variabili Un ultra istruzione utile è lift: dato una classe di resto modulo n, restituisce l unico intero nell intervallo [0, n) della classe:provate a giocarci. Vediamo ora come assegnare un nome agli oggetti? a=mod(1435,147) %25 = Mod(112, 147) a può ora essere usato al posto di Mod(1435,147)? a+mod(3,147) %26 = Mod(115, 147)? a+3 %27 = Mod(115, 147)? 2*a %28 = Mod(77, 147)? a^2 %29 = Mod(49, 147)? a^(-1) *** impossible inverse modulo: Mod(7, 147).? (a+3)^(-1) %30 = Mod(124, 147) 4

5 Introduzione a PARI / GP Non siamo riusciti a calcolare a 1 : infatti MCD(a,147) = 7, per cui non può esistere b tale che ab 1 mod 147. Se volessimo sapere quante sono le classi di resto invertibili mod 147, basterebbe usare la funzione eulerphi, che calcola la φ di Eulero: eulerphi? eulerphi(147) %31 = 84 3 Programmazione Abbiamo visto come creare delle variabili. Vediamo ora qualche semplice modo per programmare pari / gp. Il modo più semplice per definire una funzione è il seguente: f(x)=x^2-1. Ora possiamo calcolare f (x) per un qualsiasi x Funzioni? f(1) %32 = 0? f(-2/3) %33 = -5/9? f(4.3) %34 = ? f(a) %35 = Mod(48, 147) Funzioni più complicate vengono definite in modo simile: ogni istruzione è separata da ; e il risultato della funzione è il risultato dell ultima assegnazione? modinv(a,n)=local(phi);phi=eulerphi(n);mod(a,n)^(phi-1)? modinv(115,147) %36 = Mod(124, 147)? modinv(112,147) %37 = Mod(49, 147)? %*112 %38 = Mod(49, 147) L istruzione local serve per segnalare che phi è una variabile locale; le variabili a ed n lo sono automaticamente per come è definita la funzione modinv. Ricordiamo che a φ(n) 1 mod n per ogni a relativamente primo ad n, e che quindi a φ(n) 1 a 1 mod n. Sopra verifichiamo come questo non sia vero se a ed n non sono relativamente primi. Supponiamo ora di voler vedere com è fatta la funzione inversa: prendiamo n = 5: è un numero primo, per cui ogni classe di resto tranne quella nulla è invertibile. local? n=5 %39 = 5? for(i=1,n-1,a=mod(i,n);b=a^-1;print(a,"\t",b)) Mod(1, 5) Mod(1, 5) Mod(2, 5) Mod(3, 5) 5

6 Mod(3, 5) Mod(2, 5) Mod(4, 5) Mod(4, 5) for print Vi consiglio di controllare la definizione di for e di print. L istruzione "\t" rappresenta un tabulatore. Analogamente? for(i=1,n-1,a=mod(i,n);b=f(a);print(a,"\t",b)) Mod(1, 5) Mod(0, 5) Mod(2, 5) Mod(3, 5) Mod(3, 5) Mod(3, 5) Mod(4, 5) Mod(0, 5) if Supponiamo di voler trovare, se esiste, un x tale che f (x) 1 mod 147: stampare l intera tabella porterebbe via troppo spazio, e poi sarebbe scomodo scorrerla alla ricerca del valore cercato. Usiamo un test condizionale: l istruzione if? n=147;for(i=0,n-1,a=mod(i,n);b=f(a);if(b==mod(1,n),print(a,"\t",b))) Non esiste un tale x! Proviamo a risolvere l equazione f (x) = 3:? n=147;for(i=0,n-1,a=mod(i,n);b=f(a);if(b==mod(3,n),print(a,"\t",b))) Mod(2, 147) Mod(3, 147) Mod(47, 147) Mod(3, 147) Mod(100, 147) Mod(3, 147) Mod(145, 147) Mod(3, 147) Notiamo come ci siano quattro soluzioni ad un equazione di secondo grado! Esercizio 2. Sia f (x) = x 3 2x Calcolate il valore di f per ogni classe di resto modulo 17. Cercate poi eventuali soluzioni alle equazioni f (x) 0, f (x) 1, f (x) 12 mod