Metodi Numerici con elementi di Programmazione (A.A )

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1 Metodi Numerici con elementi di Programmazione (A.A ) Metodi Numerici Appunti delle lezioni: Integrazione numerica Formule di quadratura

2 Docente Vittoria Bruni Ufficio: Via A. Scarpa, Pal. B, I piano, Stanza n. 16 Tel Ricevimento: Giovedì Testi consigliati: Calcolo Numerico, L. Gori, Ed. Kappa, 2006 Esercizi di Calcolo Numerico, L. Gori-M.L. Lo Cascio, F. Pitolli, Ed. Kappa, 2007 Il materiale didattico è disponibile sul sito nella pagina dedicata al corso Metodi Numerici con elementi di Programmazione 1

3 Integrazione numerica 2

4 Esempio 1 L intensità H del campo magnetico in un punto x indotto dalla corrente di intensità I che scorre su un anello cilindrico di raggio r si esprime come segue H(x) = 4Ir r 2 x 2 π/2 0 1 ( x r ) 2 sin 2 (θ)dθ x è la distanza dal centro dell anello in cui si misura il campo e risulta 0 x r. Supponendo noti r, I e x, l integrale può essere risolto o usando opportuni sviluppi in serie oppure usando metodi numerici. L integrale rientra nella famiglia degli integrali ellittici, riferiti al calcolo della lunghezza di un arco di ellisse. 3

5 Esempio 2 Una macchina da corsa percorre un giro di pista in 84 secondi. La velocità della macchina viene misurata con un radar ogni 6 secondi per tutta la durata del percorso. I valori misurati sono riportati in tabella: i t i v i Quanto è lunga la pista? Traccia della soluzione. La lunghezza della strada percorsa da una macchina che si muove a velocità v(t) nell intervallo [t 0, t 1 ] è data da L = t 1 t 0 v(t)dt. 4

6 Altri esempi river cross-section wind blow on a rocket 5

7 Integrazione numerica Problema: approssimare numericamente integrali definiti I(f) = b a f(x) dx L intervallo di integrazione [a, b] può essere anche illimitato. Si ricorre all integrazione numerica quando: la primitiva di f non può essere espressa in forma chiusa, ad esempio f(x) = sin x x, f(x) = e x2 ; l espressione analitica di I(f) è complicata da calcolare; i valori di f sono noti solo in alcuni nodi x i, i = 0,..., n, ad esempio quando sono il risultato di misure sperimentali. Soluzione: approssimare la funzione integranda f(x) con il polinomio interpolatore p n (x), costruito su un insieme opportuno di nodi x i, i = 0,..., n; quindi approssimare I(f) con I(p n ). 6

8 Formule di quadratura interpolatorie Formula di interpolazione di Lagrange: f(x) = p n (x) + E n(x) = n i=0 f(x i ) l i (x) + E n (x) b a f(x) dx = b a n i=0 f(x i ) l i (x) + E n (x) dx = = n i=0 b f(x i ) l i(x) dx + a b a E n(x) dx = = n i=0 f(x i ) c i + R n (f) = S n (f) }{{} + R } n(f) {{} Parte approssimante b Errore di troncamento Coefficienti: c i = l i(x) dx o resto a 7

9 Se consideriamo anche gli errori ε i sui dati si ha n b a f(x) = p n (x) + E n (x) = f(x) dx = n f(x i ) i=0 b a i=0 l i (x) dx + (f(x i ) + ε i ) l i (x) + E n (x) b a E n (x) dx + n b ε i l i (x) dx i=0 a = n f(x i ) c i + i=0 b a E n (x) dx + n i=0 ε i c i = S n (f) + R n (f) + R n(f) }{{} Errore di propagazione I(f) = S n (f) + R n (f) + R n (f) S n (f) = n i=0 f(x i ) c i Parte approssimante c i = b a l i(x) dx Coefficienti R n (f) = b a E n(x) dx = b a π n (x) (n+1)! f (n+1) (ξ(x)) dx Resto R n (f) = n i=0 ε i c i Errore di propagazione 8

10 Grado di precisione L interpolazione è esatta per ogni polinomio q m (x) di grado m n, quindi E n (x) = 0 = R n (q m ) = 0, cioè la formula di quadratura è esatta per ogni polinomio q m (x) di grado m n. Definizione. Si dice che una formula di quadratura ha grado di precisione ν se è esatta per tutti i polinomi q m (x) di grado m ν, cioè R n (q m ) = I(q m ) S n (q m ) = 0, m ν. In particolare, la formula di quadratura è esatta per i monomi x k, k = 0, 1,..., ν. Una formula di quadratura interpolatoria a n + 1 nodi ha grado di precisione almeno n 0. Le formule di quadratura interpolatorie sono esatte almeno per le funzioni costanti. In particolare, se si pone f(x) = 1, si ottiene n i=0 c i = b a 9

11 Consideriamo il polinomio di grado 2n + 2 Π(x) = ( π n (x) ) 2 = (x x0 ) 2 (x x 1 ) 2 (x x n ) 2 dove x i, i = 0,..., n, sono i nodi della formula di quadratura. I(Π) = b a Π(x) dx > 0 I(Π) = S n (Π) + R n (Π) = n i=0 c i Π(x i ) +R }{{} n (Π) = R n (Π) =0 = R n (Π) > 0: esiste almeno un polinomio di grado 2n+2 per il quale le formule di quadratura interpolatorie non sono esatte, quindi ν < 2n + 2. = Per le formule interpolatorie si ha n ν 2n + 1 n 0 10

12 Esercizio Data la formula di quadratura 1 f(x) dx = 1 f( 1) + Af 1 6 ( 1 5 ) + Bf ( ) f(1) + R(f), 6 1) determinare A e B in modo che la formula abbia grado di precisione non inferiore a 2; 2) dimostrare che la formula di quadratura ottenuta ha grado di precisione 5; 3) dare una maggiorazione dell errore di propagazione se i dati sono affetti da errori ɛ i con ɛ i

13 Traccia della soluzione 1) I coefficienti della formula di quadratura si determinano con il metodo dei coefficienti indeterminati, cioé imponendo che la formula sia esatta per f(x) = x k, 0 k 2. Si ottiene il sistema k = 0, f(x) = 1 k = 1, f(x) = x k = 2, f(x) = x (1) + A(1) + B(1) (1) = dx = 2 ( ( 1) + A 1 ) ( ) 1 + B (1) = x dx = 0 1 ( ) ( ) (1) + A + B (1) = 1 x2 dx = 2 3 A + B = 5 3 A + B = A = B = 5 6 Formula di quadratura 1 1 f(x) dx = 1 6 f( 1) f ( 1 5 ) + A 5 + B 5 = ( ) 1 6 f f(1) + R(f) 6 12

14 2) A causa della simmetria dei nodi e dei coeffcienti, la formula è esatta per tutti i monomi di grado dispari x 2n+1, infatti 1 6 ( 1)2n ( 1 5 ) 2n ( 1 5 ) 2n (1)2n+1 = 1 1 x 2n+1 dx = 0 La formula ha grado di precisione 5 se è esatta per tutti i monomi fino al grado 5. Per la simmetria la formula è esatta per x 3 e x 5 ; per x 4 si ha 1 1 x4 dx = 2 5 =1 6 ( 1) ( 1 5 ) ( 1 5 ) (1)4 Invece per x 6 si ha 1 1 x6 dx = ( 1) ( 1 5 ) ( 1 5 ) (1)6 = La formula ha grado di precisione esattamente 5. 13

15 3) L errore di propagazione è dato da R = 3 i=0 ɛ i c i = 1 6 ɛ ɛ ɛ ɛ 3 R ɛ 3 i=0 c i = 2ɛ = Nota. Poiché i coefficienti sono tutti positivi si ha 3 c i = 3 i=0 i=0 c i = b a = 2 14

16 Scelta dei nodi nelle formule interpolatorie Differenti distribuzioni di nodi danno origine a differenti formule di quadratura con diverso grado di precisione. Formule di Newton-Cotes Nodi equispaziati: x i = a + ih i = 0, 1,..., n h = b a n Grado di precisione: Formule gaussiane ν = n, n + 1 pari ν = n + 1, n + 1 dispari Nodi gaussiani: zeri di polinomi ortogonali, ad esempio i nodi di Chebyshev; non sono equispaziati e sono interni all intervallo [a, b]. Grado di precisione: ν = 2n + 1 (massimo) 15

17 Formula del trapezio: n + 1 = 2, ν = 1, f C 2 [a, b] f 1 f 0 p 1 (x) f(x) Si approssima f(x) con un polinomio interpolatore di grado 1 che passa per i punti: (x 0, f 0 ), (x 1, f 1 ) a=x 0 b=x 1 f(x) = f 0 l 0 (x) + f 1 l 1 (x) + π 1(x) f (ξ(x)) = 2! (x x = f 1 ) 0 (x 0 x 1 ) + f (x x 0 ) 1 (x 1 x 0 ) (x x 0)(x x 1 )f (ξ(x)) 16

18 Parte approssimante: S 1 (f) b (x x = f 1 ) 0 a (x 0 x 1 ) dx + f 1 b a (x x 0 ) (x 1 x 0 ) dx = = 1 2 f 0(x 1 x 0 ) f 1(x 1 x 0 ) = 1 2 (f 0 + f 1 )(b a) = = 1 2 (f 0 + f 1 )h Resto: R 1 (f) = 1 2 b a (x x 0 )(x x 1 ) }{{} segno costante in (a,b) f (ξ(x)) dx }{{} = 1 12 h3 f (τ) τ [a, b] Teorema della media 17

19 Formula di Cavalieri-Simpson n + 1 = 3, ν = 3, f C 4 [a, b] Si approssima f(x) con una parabola (polinomio di secondo grado) che passa per i punti: (x 0, f 0 ), (x 1, f 1 ), (x 2, f 2 ). f(x) f 2 p 1 (x) f 1 p 2 (x) f 0 x 1 a=x 0 b=x 2 Parte approssimante: S 2 (f) = h 3 (f 0 + 4f 1 + f 2 ) Resto: R 2 (f) = h5 90 f (4) (τ) τ [a, b] 18

20 Infatti Parte approssimante: x2 (x x S 2 (f) = f 1 )(x x 2 ) x2 0 x 0 (x 0 x 1 )(x 0 x 2 ) dx + f (x x 0 )(x x 2 ) 1 x 0 (x 1 x 0 )(x 1 x 2 ) dx+ x2 (x x +f 0 )(x x 1 ) 2 x 0 (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ) dx h = b a 2 = (x 2 x 0 ) 2 Resto: R 2 (f) = 1 6 x2 (x x 0 )(x x 1 )(x x 2 ) x }{{} 0 cambia segno in (a,b) f (ξ(x)) dx In questo caso prima di applicare il teorema della media è necessario integrare per parti 19

21 Formula dei 3/8 n + 1 = 4, ν = 3, f C 4 [a, b] Si approssima f(x) con un polinomio di terzo grado che passa per i punti: (x 0, f 0 ), (x 1, f 1 ), (x 2, f 2 ), (x 3, f 3 ). Parte approssimante: S 3 (f) = 3h 8 (f 0 + 3f 1 + 3f 2 + f 3 ) Resto: R 3 (f) = 3h5 80 f (4) (τ) τ [a, b] 20

22 Convergenza delle formule di quadratura Convergenza: lim S n n (f) = I(f) lim R n n (f) = 0 Al crescere di n il polinomio interpolatore potrebbe non convergere anche la formula di quadratura potrebbe fornire risultati inaccurati p 2 (x) Fenomeno di Runge: f(x) = x 2 x [ 5, 5] p 4 (x) p 0 (x) f(x) x 5 = Le formule di quadratura interpolatorie convergono in tutti quei casi in cui converge il polinomio interpolatore. 21

23 Teorema. Sia f C[a, b], [a, b] limitato, sia {S n (f)} una successione di formule di quadratura interpolatorie allora S n (f) = n i=0 c i f(x i ) lim S n n (f) = I(f). tale che n i=0 c i M n, Nota 1. Per le formule di quadratura interpolatorie a coefficienti positivi si ha n n c i = c i = b a i=0 i=0 per cui l ipotesi del Teorema è soddisfatta con M = b a. Ogni successione di formule di quadratura interpolatorie a coefficienti positivi è convergente. Nota 2. I coefficienti delle formule di Newton-Cotes sono tutti positivi se n 7, mentre sono sia positivi che negativi per n > 7. I coefficienti delle formule gaussiane sono tutti positivi per ogni valore di n. 22

24 Formule di Newton-Cotes generalizzate Per n > 7 i coefficienti c i delle formule di Newton-Cotes hanno segni sia positivi che negativi oltre a non essere garantita la convergenza, si può avere un amplificazione degli errori sui dati, e quindi un instabilità numerica. Per evitare l uso di formule di Newton-Cotes di grado elevato, quando si dispone di un numero elevato di dati {x i, f i }, i = 0,..., n, si divide l intervallo di integrazione in n sottointervalli e si utilizza in ciascun sottointervallo una formula di Newton- Cotes di grado basso (in genere di grado 1 o 2) p 2 (x) 0.8 p 2 (x) p 4 (x) p 4 (x) 0.2 f(x) 0.2 f(x) p 0 (x) p 0 (x) x 23

25 Formula dei trapezi f j+1 f j A j x 0 x j L integrale I(f) viene approssimato con la somma delle aree dei trapezi A j. x j+1 x N I(f) = b n 1 f(x) dx = a j=0 xj+1 x j f(x) dx n 1 j=0 A j = n 1 j=0 h 2 ( fj + f j+1 ) 24

26 Formula del trapezio: n = 1, ν = 1, f C 2 [a, b] f j+1 f j p 1 (x) f(x) Si approssima localmente f(x) con un polinomio interpolatore di grado n = 1 che passa per i punti: (x j, f j ), (x j+1, f j+1 ) x j x j+1 f(x) = f j l j (x) + f j+1 l j+1 (x) + π 1(x) f (ξ j (x)) = 2! = f j (x x j+1 ) (x j x j+1 ) + f j+1 (x x j ) (x j+1 x j ) (x x j)(x x j+1 )f (ξ j (x)) ξ j (x) [x j, x j+1 ] 25

27 Parte approssimante: S 1 (f) xj+1 (x x j+1 ) xj+1 = f j x j (x j x j+1 ) dx + f (x x j ) j+1 x j (x j+1 x j ) dx = = 1 2 f j (x j+1 x j ) f j+1(x j+1 x j ) = 1 2 (f j + f j+1 )(x j+1 x j ) = = h 2 (f j + f j+1 ) Resto: R 1 (f) = 1 2 xj+1 x j (x x j )(x x j+1 )f (ξ j (x)) dx = }{{} 1 12 h3 f (τ j ) Teorema della media τ j [x j, x j+1 ] 26

28 Formula dei trapezi f j+1 f j A j x 0 x j x j+1 x N In ogni sottointervallo [x j, x j +1], j = 0,..., n 1, si applica la formula del trapezio con h = b a n. I(f) = b n 1 f(x) dx = a j=0 xj+1 x j f(x) dx = = n 1 j=0 h 2 ( fj + f j+1 ) + n 1 j=0 ( h3 12 ) f (τ j ) τ j [x j, x j + 1] 27

29 I(f) = b a f(x) dx = n 1 j=0 xj+1 x j f(x) dx = = n 1 h j=0 2 n 1 ( ) fj + f j+1 + j=0 ( h3 12 ) f (τ j ) = = h 2 (f 0 + f 1 + f 1 + f 2 + f 2 + f f n 2 + f n 2 + f n 1 + f n ) = h n 1 ( ) f0 + 2 f j + f n h 3 nf (τ) τ [a, b] 2 12 j=1 ( h 3 12 ) n 1 f (τ j ) = j=0 Formula dei trapezi: T n (f) = h 2 f n 1 j=1 f j + f n ( ) b a Rn T (f) = h 2 f (τ) τ [a, b] 12 Grado di precisione: ν = 1 28

30 Formula delle parabole f 2j+1 f(x) p j (x) f 2j f 2(j+1) A j x 0 x 2j x 2(j+1) L integrale I(f) viene approssimato con la somma delle aree al di sotto della parabola p j (x). x N I(f) = b a f(x) dx = n/2 1 j=0 x2(j+1) x 2j f(x) dx n/2 1 j=0 A j = n/2 1 j=0 h 3 ( f2j + 4 f 2j+1 + f 2(j+1) ) 29

31 Formula di Cavalieri-Simpson n = 2, ν = 3, f C 4 [a, b] Si approssima localmente f(x) con una parabola (polinomio di secondo grado) che passa per i punti: (x 2j, f 2j ), (x 2j+1, f 2j+1 ), (x 2(j+1), f 2(j+1) ) f 2(j+1) p 1 (x) f 2j p 2 (x) f 2j+1 f(x) x 2j x 2j+1 x 2(j+1) 30

32 f(x) = f 2j l 2j (x) + f 2j+1 l 2j+1 (x) + f 2(j+1) l 2(j+1) (x) + π 2(x) f (3) (ξ j (x)) = 3! = f 2j (x x 2j+1 )(x x 2(j+1) ) (x 2j x 2j+1 )(x 2j x 2(j+1) ) + +f 2j+1 (x x 2j )(x x 2(j+1) ) (x 2j+1 x 2j )(x 2j+1 x 2(j+1) ) + +f 2(j+1) (x x 2j )(x x 2j+1 ) (x 2(j+1) x 2j )(x 2(j+1) x 2j+1 ) (x x 2j)(x x 2j+1 )(x x 2(j+1) ) f (3) (ξ j (x)) ξ j (x) [x 2j, x 2(j+1) ]

33 Parte approssimante: S 2 (f) x2(j+1) x2(j+1) = f 2j l 2j (x) dx + f 2j+1 l 2j+1 (x) dx + x 2j x 2j + f 2(j+1) x2(j+1) x 2j l 2(j+1) (x) dx = = f 2j x2(j+1) x 2j (x x 2j+1 )(x x 2(j+1) ) (x 2j x 2j+1 )(x 2j x 2(j+1) ) dx + x2(j+1) (x x 2j )(x x 2(j+1) ) +f 2j+1 x 2j (x 2j+1 x 2j )(x 2j+1 x 2(j+1) ) dx + x2(j+1) (x x 2j )(x x 2j+1 ) +f 2(j+1) x 2j (x 2(j+1) x 2j )(x 2(j+1) x 2j+1 ) dx = = h 3 ( f2j + 4f 2j+1 + f 2(j+1) ) 31

34 Resto: R 2 (f) = 1 6 x2(j+1) x 2j (x x 2j )(x x 2j+1 )(x x 2(j+1) )f (3) (ξ j (x)) dx = = h5 90 f (4) (τ j ) τ j [x 2j, x 2(j+1) ] 32

35 Formula delle parabole In ogni sottointervallo [x 2j, x 2(j+1) ], j = 0, 1,..., n/2 1, si applica la formula di Cavalieri-Simpson con h = b a n. I(f) = b a f(x) dx = n/2 1 j=0 x2(j+1) x 2j f(x) dx = = n/2 1 j=0 h 3 ( f2j + 4f 2j+1 + f 2(j+1) ) + n/2 1 j=0 ( h5 90 ) f (4) (τ j ) τ j [x j, x j + 1] 33

36 I(f) = b a f(x) dx = n/2 1 j=0 x2(j+1) x 2j f(x) dx = = n/2 1 j=0 h 3 n/2 1 ( ) f2j + 4f 2j+1 + f 2(j+1) + j=0 ( h5 90 ) f (4) (τ j ) = = h 3 (f 0 + 4f 1 + f 2 + f 2 + 4f 3 + f 4 + f 4 + 4f 5 + f f n 2 + f n 2 + 4f n 1 + f n )+ ( h 5 90 Formula delle parabole: ) n/2 1 j=0 f (4) (τ j ) = h f P n (f) = h 3 n/2 1 j=0 f ( b a Rn P (f) = 180 Grado di precisione: ν = 3 f 2j ) n/2 1 j=0 n/2 1 j=1 ( f 2j + f n h 5 f 2j n/2 1 j=1 90 h 4 f (4) (τ) τ [a, b] ) n 2 f (4) (τ) f 2j + f n Nota. Per poter usare la formula delle parabole il numero di nodi n + 1 deve essere dispari. 34

37 Convergenza delle formule dei trapezi e delle parabole Formula dei trapezi: lim n T n(f) = I(f) lim R T n n (f) = 0 Se f C (2) [a, b] lim n RT n (f) }{{} = h= b a n [ lim h 0 RT n (f) = lim h 0 ( b a 12 )] h 2 f (τ) = 0 Formula delle parabole: lim n P n(f) = I(f) lim R P n n (f) = 0 Se f C (4) [a, b] lim n RP n (f) }{{} = h= b a n [ lim h 0 RP n (f) = lim h 0 ( b a 180 )] h 4 f (4) (τ) = 0 35

38 Esempio 2 (inizio slide) Si può approssimare la lunghezza della pista con una formula di quadratura generalizzata. h = b a n = = 6 Formula dei trapezi: L 3 v i=1 Formula delle parabole: L 2 v v i + v 14 = i=0 v 2i i=1 v 2i + v 15 = 36

39 Errore di propagazione Assumendo che per l errore sui dati valga la limitazione ε i ε = 0.5, per l errore di propagazione si ottiene la maggiorazione: R n(f) = n i=0 ε i c i n i=0 ε i c i ε n i=0 c i Poiché entrambe le formule di quadratura hanno coefficienti c i positivi si ha R n (f) ε n i=0 c i ε n i=0 c i = ε (b a) = = 42 37

40 Esercizio Si stimi il valore del seguente integrale f(x)dx sapendo che la funzione f assume i valori riportati in tabella x f(x) Soluzione Poichè il numero di punti è pari, è necessario o applicare la formula dei trapezi, oppure suddividere l intervallo opportunamente in due sotto-intervalli in cui applicare due formule di quadrature distinte ma possibilmente aventi precisione comparabile. 38

41 Per esempio, scegliendo la formula di Cavalieri-Simpson per i primi tre nodi e la formula dei 3/8 per i successivi si ha con 5/2 0 f(x)dx = I 1 + I 2 = 1 5/2 f(x)dx f(x)dx I 1 = h 3 (f 0 + 4f 1 + f 2 ) = ( ) = 6 6 = I 2 = 3h 8 (f 0+3f 1 +3f 2 +f 3 ) = 3 ( ) = e quindi mentre 5/2 0 f(x)dx = R(f) = R 1 (f) + R 2 (f) = h5 90 f (IV ) (ξ 1 ) 3h5 80 f (IV ) (ξ 2 ), ξ 1 (0, 1), ξ 2 (1, 2.5) Nota: Confrontare l approssimazione del valore dell integrale con quella ottenura usando la formula dei trapezi. 39

42 Integrazione su intervalli illimitati + 0 Si determini cos 2 (x)e x dx a meno di un errore inferiore a Soluzione f(x) = cos 2 (x)e x è integrabile su [0, + ), infatti 0 < + 0 cos 2 (x)e x dx < + 0 e x dx = 1 < + 40

43 Per poter applicare la formula dei trapezi, si scrive I(f) = + 0 cos 2 (x)e x dx = β 0 cos2 (x)e x dx + + β cos 2 (x)e x dx e si cerca β > 0 tale che + β cos 2 (x)e x dx < In questo modo la formula dei trapezi si applica all integrale β 0 cos2 (x)e x dx 41

44 Si osserva che + β cos 2 (x)e x dx < + β e x dx = e β β ln( )

45 Scegliendo il valore di β più piccolo, cioè β = ln( ), si vuole determinare in quanti intervalli di uguale lunghezza è necessario suddividere l intervallo [0, β] affinchè la formula dei trapezi produca una stima dell integrale della funzione in questo intervallo con un errore inferiore a A tal fine consideriamo l espressione dell errore di troncamento della formula dei trapezi, cioè ( ) Rn T b a (f) = h 2 f (τ) τ [a, b] 12 e richiediamo Rn T (f) <

46 Si osserva che b a = β, mentre ( Rn T β (f) = 12 Poichè ) h 2 f (τ) ( β 12 ) h 2 max f (x). x [0,β] f (x) = e x (2sin(2x) + cos 2 (x) 2cos(2x)) allora max x [0, β] f (x)

47 Da cui cioè R T n (f) < ( β 12 ) h 2 max f (x) < x [0,β] h max x [0,β] f (x) β = ln( ) = e quindi h

48 Se n + 1 è il numero di punti da usare nella formula dei trapezi, allora cioè h = b a n = β n, n ln( ) e quindi, essendo n un numero intero, n 291. = Quindi, sono necessari almeno 292 punti nella formula dei trapezi per raggiungere la precisione richiesta. Nota: Ripetere l esercizio precedente usando la formula delle parabole e confrontare i risultati. 46

49 Esercizio Scrivere la funzione Matlab trapezi.m che riceva come parametri di input i valori f i di una funzione valutati su una griglia di punti e- quispaziati nell intervallo [a, b] e approssimi l integrale della funzione f nell intervallo [a, b] usando la formula dei trapezi. Usare la funzione per calcolare l integrale della funzione dell esercizio precedente e confrontare i risultati con lo output della funzione trapz.m predefinita di Matlab. 47

50 function [int_value] = trapezi(fi,a,b) %[int_value] = trapezi(fi,a,b) % valuta l integrale di una funzione f nell intervallo [a,b] % usando la formula dei trapezi, conoscendo il valore di f in punti % equidistanti nell intervallo [a,b] % % INPUT % % fi = valore della funzione in punti equidistanti dell intervallo [a,b] % a = estremo inferiore dell intervallo di integrazione % b = estremo superiore dell intervallo di integrazione % % int_value = approssimazione dell integrale di f in [a,b] N = length(fi); % numero di punti h = (b-a)/(n-1); % distanza tra i punti % calcolo del valore dell integrale int_value = (fi(1) + 2 * sum (fi(2:n-1)) + fi(n))*h/2; 48

51 Dal Command Window >> f )]; >> xi = linspace(0,-log((.5*10^(-3))),292); >> fi = f(xi); >> int_value = trapezi(fi,0,-log(.5*10^(-3))); >> disp(int_value) >> int_value = trapz(xi,fi); >> disp(int_value)

52 Esercizio Si riscriva la funzione dell esercizio precedente. I parametri di input sono: la funzione di cui si vuole calcolare l integrale e il numero di punti N da usare nella formula dei trapezi. Si calcoli l integrale della funzione dell esercizio precedente con N = 100,, 800 e si confrontino i risultati. 50

53 f )]; N = 100:800; for i = 1:length(N) int_value(i) = trapezi2(f,0,-log(.5*10^(-3)),n(i)); end figure, plot(n,int_value) xlabel( numero di punti N ) ylabel( integrale approssimato ) 51

54 N int_value

55 function [I] = parabole(xnodi,fnodi) % I=parabole(xnodi,fnodi): Approssimazione di un integrale % con la formula delle parabole % % INPUT % xnodi = punti dell intervallo di intergrazione % in cui si conosce il valore della funzione % ynodi = valore della funzione da integrare valutata nei punti xnodi % % OUTPUT % I = approssimazione dell integrale nnodi = length(xnodi); a = xnodi(1); b = xnodi(nnodi); h = (b-a)/(nnodi-1); I = h/3*(fnodi(1)+4*sum(fnodi(2:2:nnodi-1))+... 2*sum(fnodi(3:2:nnodi-2))+fnodi(nnodi)); 53

56 Usando la formula delle parabole per valutare l integrale dell esercizio precedente si ha >> I = parabole(xi,fi) I = Mentre usando la funzione predefinita di Matlab quad.m (usa la formula di Newton ricorsivamente in modo da ottenere un errore di almeno 10 6 ). >> quad(f,0,-log(.5*10^(-3))) ans =

57 Esercizio Calcolare il valore del seguente integrale x 2dx usando la formula delle parabole e un numero di segmenti N = 20,..., 200 di passo 4. Calcolare le approssimazioni per ogni N e calcolare l errore assoluto E N rispetto al valore esatto dell integrale. Verificare che l errore non decresce come 1 N 4 ma come 1 N 6. 55

58 Soluzione Il valore esatto dell integrale è I = [arctan(x)] 1 o = π 4. Per il calcolo dell integrale approssimato, si usa la funzione parabole.m opportunamente modificata: 56

59 function [IN] = parabole_mod(fun,a,b,n) % IN = parabole_mod(fun,a,b,n): Approssimazione di un integrale % con la formula delle parabole % % INPUT % fun: funzione da integrare % a = estremo inferiore dell intervallo di integrazione % b = estremo superiore dell intervallo di integrazione % N : numero di intervalli da usare nella formula di quadratura % % OUTPUT % I = approssimazione dell integrale % Controllo se il numero di nodi dispari if mod(n,2) ~= 0 error( N deve essere un numero pari!!! ) end 57

60 % calcolo il passo e il numero di nodi h = (b-a)/(n); nnodi = N+1; xi = linspace(a,b,nnodi); f_primo = fun(xi(2:2:nnodi-1)); f_secondo = fun(xi(3:2:nnodi-2)); IN = h/3*(fun(xi(1))+4*sum(f_primo)+ 2*sum(f_secondo)+fun(xi(nnodi))); 58

61 da cui J = pi/4; N = [20:4:200]; f 1./(1+x.^2); for i = 1:length(N) IN(i) = parabole_mod(f,0,1,n(i)); EN(i) = abs(in(i)-j); end 59

62 figure subplot(2,1,1) plot(n, IN) title( Approx. dell integrale da 0 a 1 di 1/1+x2 ) xlabel( N ) ylabel( valore approssimato ) subplot(2,1,2) plot(n,en) title( Errore dell Approssimazione ) xlabel( N ) figure plot(n,en) hold on, plot(n,.01./n.^6, r: ) hold on, plot(n, /n.^4, k ) title( Errore dell Approssimazione ) xlabel( N ) legend( Errore, 1/N^6, 1/N^4 ) 60

63 61

64 L errore di approssimazione decresce come 1 N 6.

65 Criterio di Runge Nel caso delle formule generalizzate è possibile stimare il resto senza ricorrere al calcolo della derivata. ( ) b a Formula dei trapezi: Rh T (f) = h 2 f (τ) τ [a, b] 12 ( b a Passo h I(f) = T h (f)+rh T (f) = T h(f) 12 ) h 2 f (τ) Passo h 2 I(f) = T h/2 (f)+rt h/2 (f) = T h/2 (f) ( b a 12 Se f (x) varia poco in [a, b] f (τ) f (σ) ( ) b a Rh T (f) = h 2 f (τ) 12 ( b a 12 ) ) ( h 2 h 2 f (σ) = 4R T h/2 (f) ) 2 f (σ) 62

66 Passo h I(f) T h (f)+4r T h/2 (f) Passo h 2 I(f) = T h/2 (f)+rt h/2 (f) Sottraendo le due formule si ottiene Criterio di Runge (per trapezi): R T h/2 (f) 1 3 (T h/2 (f) T h(f)) ( b a Formula delle parabole: Rh P (f) = 180 ) h 4 f (4) (τ) τ [a, b] ( ) b a Passo h I(f) = P h (f)+rh P (f) = P h(f) h 4 f (4) (τ) 180 Passo h ( ) ( ) 4 b a h 2 I(f) = P h/2(f)+rh/2 P (f) = P h/2(f) f (4) (σ) Se f (4) (x) varia poco in [a, b] f (4) (τ) f (4) (σ) ( ) ( ) b a b a Rh P (f) = h 4 f (4) (τ) h 4 f (4) (σ) = 16Rh/2 P (f) Criterio di Runge (per parabole): R P h/2 (f) 1 15 (P h/2 (f) P h(f)) 63

67 Estrapolazione di Richardson Il criterio di Runge permette di stimare il resto tramite le sole parti approssimanti relative ai passi h e h/2. La stima ottenuta può essere utilizzata per ottenere una nuova approssimazione, più accurata, dell integrale. Estrapolazione di Richardson (per trapezi): I(f) = T h/2 (f)+r T h/2 (f) T h/2 (f) (T h/2 (f) T h(f)) Estrapolazione di Richardson (per parabole): I(f) = P h/2 (f)+r P h/2 (f) P h/2 (f) (P h/2 (f) P h(f)) 64

68 Esempio Qual è l errore che si commette approssimando la lunghezza della pista con la formula dei trapezi? Per stimare l errrore si può utilizzare il criterio di Runge utilizzando come approssimazione al passo h/2 l approssimazione con passo h/2 = 6 (si usano tutti i nodi) e come approssimazione al passo h l approssimazione al passo h = 12 (si usano solo gli 8 nodi i = 0, 2, 4,..., 14). Criterio di Runge per trapezi: R 1 ( ) = 3 3 Estrapolazione di Richardson: L ( ) = E possibile applicare il criterio di Runge per la formula delle parabole? Suggerimento: Dividere l intervallo di integrazione in due sottointervalli, [0, 72] e [72, 84], quindi applicare il criterio di Runge per parabole nel primo intervallo e il criterio di Runge per trapezi nel secondo. 65

69 Esercizio I(e x ) = 1 0 ex dx = e Passo h = 1 2 P 1/2(e x ) = 1 6 (e0 + 4e e 1 ) I(e x ) P 1/2 (e x ) = Passo h = 1 4 P 1/4(e x ) = 1 12 [e0 + 4(e e 0.75 ) + 2e e 1 ] I(e x ) P 1/4 (e x ) = Criterio di Runge: R1/4 P 1 15 (P 1/4(e x ) P 1/2 (e x )) = 1 ( ) = Estrapolazione di Richardson: I(e x ) P 1/4 (e x ) (P 1/4 (ex ) P 1/2 (e x )) = A I(f) A = =

70 Esercizio Data la tabella i x i f i relativa ai valori, affetti da errore, di una funzione f(x) C (IR), f(x)dx usando la formula dei trapezi generaliz- 1.1) approssimare 0.5 zata su 5 nodi; ) dare una stima dell errore di troncamento; 1.3) stabilire se l errore di propagazione può essere trascurato rispetto all errore di troncamento motivando la risposta. 67

71 Soluzione 1.1 Utilizzando n = 5 nodi nell intervallo [a, b] = [ 0.5, 0.5] si ha un passo h = b a n 1 = 1 4. Dunque, l approssimazione dell integrale è data da: T h (f) = h 2 (f n 2 i=1 f i + f n 1 ) = h 2 (f 0 + 2f 1 + 2f 2 + 2f 3 + f 4 ) = = 0.125( ) = = Per valutare l errore di troncamento, non avendo informazioni sulla derivata seconda di f, si applica la formula dei trapezi su tre nodi con passo 2 h = 0.5, 68

72 T 2h (f) = 2 h 2 (f 0 + 2f 2 + f 4 ) = = 0.25( ) = Sapendo che f(x) C, si può utilizzare il criterio di Runge per la stima dell errore di troncamento e quindi: da cui R h (f) R h (f) T h(f) T 2h (f) =

73 Usando l estrapolazione di Richardson, la approssimazione dell integrale migliora come segue I(f) T h + ( ) = I valori della funzione nei nodi sono dati con precisione ɛ = Poichè i coefficienti della formula di quadratura sono tutti positivi, risulta che l errore di propagazione R (f) è tale che R (f) ɛ(b a) = Quindi, l errore di propagazione è trascurabile rispetto all errore di troncamento. 70

74 Riferimenti bibliografici L. Gori, Calcolo Numerico: Cap , 7.2, 7.3 (escluse formule di Newton-Cotes aperte), 7.4, 7.5 (escluso metodo di Romberg), 7.9 L. Gori, M.L. Lo Cascio, F. Pitolli, Esercizi di Calcolo Numerico: , 4.9, 4.10, 4.21, 7.3, 7.8, 7.9, 7.17, 7.23, 7.28, 7.30, 7.42, 7.47, 7.48, 7.71, 7.78, 7.82,

75 Esercizi d esame 72

76 ESERCIZIO 1 1.1) Scrivere la formula dei trapezi composta che approssima il valore di 1 1 π = z 2 dz con almeno 3 cifre decimali esatte. Si trascuri l errore di propagazione; 1.2) Assumendo che i valori della funzione integranda siano dati con 10 cifre decimali esatte, dare una stima dell errore che si commette nell approssimare π nel caso in cui si utilizzi la formula delle parabole composta con un numero di nodi comparabile con quello individuato al punto precedente per la formula dei trapezi. 73

77 Soluzione 1.1) L errore di troncamento della formula dei trapezi composta con m + 1 punti è ) ( Rm T b a = h 2 f (τ), τ (a, b), 12 con f funzione integranda, a e b estremi dell intervallo di integrazione, h = b a m. se ( b a 12 ) Rm T < h 2 max x [a,b] f (x) , cioè, detto M = max x [a,b] f (x), se m > (b a) 3 M = M

78 Si verifica facilmente che f (x) = 8x (1+x 2 ) 2 e f (x) = 8(3x2 1) (1+x 2 ) 3. Poiché f (x) è una funzione crescente in [0, 1] e si annulla in x = 1, si ha 3 Quindi M = max{ f (0), f (1) } = max{8, 2} = 8. m > , cioè m = ) Poichè nella formula delle parabole il numero di nodi deve essere dispari, si deve scegliere m = 38. Sostituendo m = 38 nella formula dell errore di troncamento relativo alla formula delle parabole composta, si ha Rm P (b a) = 180 m 4f (4) (b a) (τ) 180 m 4 M 4 con M 4 = max x [0,1] f (4) (x), cioè R P m < < ,

79 essendo f (4) (x) = x2 +5x 4 (1+x 2 ) 5. I valori della funzione nei nodi sono dati con precisione ɛ = Poichè i coefficienti della formula di quadratura sono tutti positivi, l errore di propagazione R (f) è tale che R (f) ɛ(b a) = che è trascurabile rispetto all errore di troncamento.

80 ESERCIZIO 2 Data la tabella i x i f i relativa ai valori, affetti da errore, di una funzione f(x) C (IR), 2.1) approssimare f(x)dx usando la formula dei trapezi generalizzata su 5 nodi; ) dare una stima dell errore di troncamento; 2.3) stabilire se l errore di propagazione può essere trascurato rispetto all errore di troncamento motivando la risposta. 75

81 ESERCIZIO 3 3.1) Scrivere la formula dei trapezi composta che approssima il valore dell integrale I = 1 0 e1+z2 dz con almeno 3 cifre decimali esatte. Si trascuri l errore di propagazione; 3.2) Assumendo che i valori della funzione integranda siano dati con 10 cifre decimali esatte, dare una stima dell errore che si commette nell approssimare I nel caso in cui si utilizzi la formula delle parabole composta con un numero di nodi comparabile con quello individuato al punto precedente per la formula dei trapezi. 76

82 ESERCIZIO 4 Si consideri la seguente tabella relativa alla funzione f(x), con f C (R) i x i f(x i ) Sapendo che i dati in tabella sono esatti, 4.1) dare una stima dell errore che si commette approssimando I = 3 una opportuna formula delle parabole. 1 f(x)dx con 4.2) calcolare il valore esatto di I usando una opportuna formula di interpolazione. Suggerimento: Usare la formula delle parabole generalizzata prima su tre nodi e poi su 5 e stimare l errore con il criterio di Runge. Costruire la tavola alle differenze divise. 77

83 ESERCIZIO 5 5.1) Illustrare la costruzione delle formule di quadratura interpolatorie scrivendo esplicitamente l espressione della parte approssimante, del resto e dell errore di propagazione. Dare la definizione di ordine di precisione di una formula di quadratura e dimostrare che la formula delle parabole generalizzata ha grado di precisione ) Determinare il grado di precisione delle seguenti formule di quadratura per l approssimazione numerica di I(f) = 1 1 f(x)dx, con f(x) C (R): I(f) = 45 1 (7f( 1) + 32f( 1/2) + 12f(0) + 32f(1/2) + 7f(1)) I(f) = 1 4 (f( 1) + 3f( 1/3) + 3f(1/3) + f(1)) I(f) = 1 6 (f( 1) + 4f( 1/2) + 2f(0) + 4f(1/2) + f(1)) 78

84 Traccia della soluzione Si osserva che la seconda formula di quadratura è la formula dei 3/8 costruita sui nodi {x 0, x 1, x 2, x 3 } = { 1 1 3, 1 3, 1}, quindi il suo grado di precisione è 3. La terza formula di quadratura è la formula delle parabole generalizzata costruita sui nodi {x 0, x 1, x 2, x 3, x 4 } = { 1 1 2, 0, 1 2, 1}, quindi il suo grado di precisione è 3. La prima formula di quadratura è costruita su nodi simmetrici rispetto allo 0 e i coefficienti sono simmetrici rispetto al valore centrale. Ne segue che è esatta per tutti i polinomi di grado dispari. Infatti 1 1 x2k+1 = 0 e I(x 2k+1 ) = 0. 79

85 E necessario verificare se la formula è esatta per i monomi x 2k, k N 1 1 x0 = 2 I(x 0 ) = = x2 = 2 3 I(x 2 ) = x4 = 2 5 I(x 4 ) = x6 = 2 I(x 6 ) = Si conclude che la prima formula di quadratura ha grado di precisione 5. 80

86 ESERCIZIO Illustrare dettagliatamente il problema della quadratura numerica con particolare riferimento alla stima delle diverse tipologie di errore. 1.2 Stabilire se è possibile usare la seguente tavola alle differenze divise f i f 2 f 3 f 4 f 5 f per dare una stima dell errore di troncamento commesso calcolando l integrale I = (1 + sin(3x))dx con la formula delle parabole costruita su cinque nodi equidistanti nell intervallo [ , ]. In caso di riposta negativa, proporre un metodo alternativo di stima dell errore di troncamento. 81