Metodi Numerici con elementi di Programmazione (A.A )

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1 Metodi Numerici con elementi di Programmazione (A.A ) Metodi Numerici Appunti delle lezioni: Approssimazione di dati e funzioni

2 Docente Vittoria Bruni Ufficio: Via A. Scarpa, Pal. B, I piano, Stanza n. 16 Tel Ricevimento: consultare la sezione Avvisi nella pagina web dedicata al corso Testi consigliati: Calcolo Numerico, L. Gori, Ed. Kappa, 2006 Esercizi di Calcolo Numerico, L. Gori-M.L. Lo Cascio, F. Pitolli, Ed. Kappa, 2007 Il materiale didattico è disponibile sul sito nella pagina dedicata al corso Metodi Numerici con elementi di Programmazione 1

3 Esempio Nella tavola seguente è riportata la popolazione (in migliaia) degli Stati Uniti censita ogni 10 anni tra il 1940 e il Anno Popolazione (in migliaia) Approssimare la popolazione negli anni 1930, 1965, Quanto sono accurati i valori ottenuti? 2

4 Esempio Nella tabella sono riportate le misure sperimentali relative alla forza F (x) necessaria per allungare una molla fino alla lunghezza x. x F (x) Determinare la costante elastica della molla F(x) x 3

5 4

6 Esempio 4: Localizzazione mediante GPS Il Global Positioning System (GPS), è un sistema di posizionamento su base satellitare, a copertura globale e continua, gestito dal dipartimento della difesa statunitense. In orbita ci sono un minimo di 24 satelliti in orbita ad una distanza km, più 3 di scorta. Tenendo conto della configurazione geometrica della terra, da un punto del globo terrestre il ricevitore riesce a vedere solo la metà di essi. Di questi, ne vede solo una parte a causa della loro inclinazione rispetto all equatore. In genere, il ricevitore GPS seleziona ulteriormente i satelliti in base alla loro geometria e alla stima degli errori su ciascuno, privilegiando quelli che forniscono maggior precisione. I satelliti infatti sono disposti su 6 piani orbitali inclinati di 55 rispetto al piano equatoriale (quindi non coprono le zone polari) a forma di ellissi a bassa eccentricità Ogni piano orbitale ha 3 o 4 satelliti, e i piani sono disposti in modo tale che ogni utilizzatore sulla terra possa ricevere i segnali di almeno 5 satelliti. 5

7 La localizzazione si basa su un metodo di posizionamento sferico, che misura il tempo impiegato da un segnale radio a percorrere la distanza satellitericevitore. Per il calcolo della differenza dei tempi, il segnale inviato dal satellite è di tipo orario, grazie all orologio presente sul satellite, e il ricevitore calcola l esatta distanza di propagazione dal satellite a partire dalla differenza (dell ordine dei microsecondi) dell orario pervenuto con quello del proprio orologio perfettamente sincronizzato. Conoscendo il tempo impiegato dal segnale per giungere al ricevitore e l esatta posizione di almeno 3 satelliti per avere una posizione 2D (bidimensionale), e 4 per avere una posizione 3D (tridimensionale), è possibile determinare la posizione nello spazio del ricevitore stesso. In assenza di errori, queste misure permetterebbero di avere informazioni sulla posizione del ricevitore che è data da un punto sulla terra appartenente all intersezione di una sfera che ha centro nel satellite e raggio uguale alla distanza misurata. 6

8 Tuttavia, gli errori (dell ordine del secondo) negli orologi atomici del ricevitore GPS e del satellite, i disturbi della ionosfera e troposfera, etc., rendono tre satelliti insufficienti per determinare la posizione esatta del ricevitore. Per rendere la misura di localizzazione quanto più precisa possibile, si usa un numero di satelliti superiore a tre. La stima della posizione è un problema di approssimazione ai minimi quadrati. Indicata con d i = (x i x 0 ) 2 + (y i y 0 ) 2 la distanza misurata dal satellite i simo P i = (x i, y i ) dal punto P 0 = (x 0, y 0 ) da determinare e con ɛ i l errore corrispondente, si determina P 0 come il punto che rende minima la quantità N i=1 ɛ2 i dove N > 3 è il numero di satelliti considerati. 7

9 Esempio 5: Zoom di immagini Lo image zooming e un problema di approssimazione di funzione, nello specifico di interpolazione. Data un immagine di dimensione n m pixels, la si vuole ingrandire. Cioe la si vuole portare ad una dimensione maggiore (2n 2m, 4n 4m, etc. ). 8

10 In altre parole la funzione immagine I(x, y) è nota su una griglia di punti equispaziata di passo h sul piano (x, y) e la si vuole stimare sui punti di una griglia di passo più piccolo, per esempio h 2, h 4, etc.. E necessario stabilire con quale tipo di funzione si vuole riempire i buchi della griglia (funzione lineare, cubica etc.) 9

11 Approssimazione di dati e funzioni Problema Data la tabella {x i, y i }, i = 0,..., n, si vuole trovare una funzione analitica che approssimi i dati. La tabella {x i, y i } può essere il risultato di misure sperimentali oppure può rappresentare i valori di una funzione la cui espressione analitica è nota ma complicata da calcolare direttamente. Per poter costruire una funzione approssimante bisogna stabilire in quale classe di funzioni si vuole operare il metodo di approssimazione 10

12 Classi di funzioni approssimanti Polinomi algebrici di grado n a coefficienti reali (n + 1 parametri) p n (x) = a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 + a n x n a k IR k adatti a rappresentare funzioni C n ([a, b]) Polinomi trigonometrici di ordine n a coefficienti reali (2n + 1 parametri) n ( t n (x) = ak cos(kx) + b k sin(kx) ) a k, b k IR k k=0 adatti a rappresentare funzioni periodiche Funzioni razionali (m + n + 2 parametri) r n,m (x) = p n(x) p m (x) p n, p m polinomi adatte a rappresentare funzioni con singolarità 11

13 Funzioni esponenziali (2n parametri) g n (x) = n a k exp(b k x) a k, b k IR k k=1 adatte a rappresentare funzioni con andamento esponenziale Funzioni splines: polinomi a tratti di grado n e regolarità C n 1 adatte a rappresentare funzioni polinomiali a tratti 12

14 Metodi di approssimazione Interpolazione: che si sceglie la funzione approssimante f n in modo f n (x i ) = y i i = 0, 1,..., n Condizioni di interpolazione Si usa quando i dati y i sono accurati. Approssimazione ai minimi quadrati di dati discreti: si sceglie la funzione approssimante f M in modo che minimizzi la quantità n [ fm (x i ) y i ] 2 Scarto quadratico i=0 oppure, introducendo i pesi w i, n i=0 w i [ fm (x i ) y i ] 2 Scarto quadratico pesato Si usa quando i dati y i sono poco accurati e in numero elevato. Esempio: retta di regressione (Esempio 2: costante elastica) 13

15 Interpolazione 14

16 Interpolazione polinomiale Tabella: {x i, y i } i = 0,..., n Intervallo di interpolazione: [a, b] = [x 0, x n ] Funzione approssimante: p n (x) = a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 + a n x n Metodo di approssimazione: p n (x i ) = y i (i = 0, 1,..., n) Interpolazione Risolvere il problema dell interpolazione vuol dire individuare il polinomio p n, cioè i coefficienti reali a k, che soddisfano le condizioni di interpolazione. Questo equivale a risolvere il sistema lineare p(x 0 ) = a 0 + a 1 x 0 + a 2 x a nx n 0 = y 0 p(x 1 ) = p(x n ) = a 0. + a 1 x 1. + a 2 x a nx n 1. = y a 0 + a 1 x n + a 2 x 2 n + + a nx n = y n V A = Y 15

17 Unicità del polinomio interpolatore 1 x 0 x 2 0 xn 0 V A = Y con V = 1 x 1 x 2 1 xn x n x 2 n xn n }{{} Matrice di Vandermonde A = a 0 a 1. a n Y = y 0 y 1. y n La matrice di Vandermonde di n + 1 nodi distinti {x i }, i = 0,..., n, è regolare poiché det V = j>i(x i x j ) 0 esiste un unica soluzione A del sistema. Esiste uno e uno solo polinomio p n di grado n che verifica le condizioni di interpolazione p n (x i ) = y i i = 0,..., n 16

18 Condizionamento della matrice di Vandermonde La matrice di Vandermonde può essere malcondizionata. Esempio 1.: n + 1 nodi equispaziati in [0, 1] x i = i n, i = 0,..., n n K 1 (V ) e e e+004 n K 1 (V ) e e e e+008 Esempio 2.: n + 1 nodi di Chebyshev in [0, 1] x i = 1 2 cos ( 2i+1 n+1 π 2) n K 1 (V ) e e+002 n K 1 (V ) e e e e+004 Nota. Poiché la matrice di Vandermonde è malcondizionata per n elevato e il costo computazionale per la soluzione del sistema lineare V A = Y può essere elevato, si preferisce ricorrere ad altre strategie per costruire l unico polinomio interpolatore p n. 17

19 Polinomi di base di Lagrange Base dei monomi: {1, x, x 2,..., x n 1, x n } x k è un monomio di grado k p n (x) = a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 + a n x n Polinomi di base di Lagrange: {l 0 (x), l 1 (x),..., l n 1 (x), l n (x)} l k (x) := n j = 0 j k x x j x k x j = x x 0 x k x 0 x x 1 x k x 1 x x k 1 x k x k 1 x x k+1 x k x k+1 x x n x k x n l k (x), k = 0,..., n, è un polinomio di grado n l k (x i ) = { 1 se i = k 0 se i k l espressione di l k (x) dipende solo dai nodi {x i } 18

20 Espressione di Lagrange del polinomio interpolatore Il polinomio interpolatore si definisce come combinazione lineare dei polinomi di base di Lagrange, cioè L n (x) = n k=0 α k l k (x) Ricordando che l k (x i ) = { 1 se k = i 0 se k i si ha L n (x i ) = n k=0 α k l k (x i ) = α i l i (x i ) = α i Imponendo la condizione di interpolazone si ha L n (x) = n k=0 y k l k (x) compaiono esplicitamente i valori nei nodi l k (x) dipende solo dai nodi 19

21 Il vettore A = [α 0,..., α n ] T è soluzione del sistema lineare VA = Y con V = l 0 (x 0 ) l 1 (x 0 ) l 2 (x 0 ) l n (x 0 ) l 0 (x 1 ). l 1 (x 1 ). l 2 (x 1 ).. l n (x 1 ). l 0 (x n ) l 1 (x n ) l 2 (x n ) l n (x n ) Poichè V è la matrice identità A = Y = I L n (x) è un polinomio di grado n che soddisfa le condizioni di interpolazione L unicità del polinomio interpolatore implica L n (x) p n (x) Oss: Non è necessario risolvere il sistema lineare 20

22 Esempio 1 Data la tabella Anno Popolazione (in migliaia) Approssimare la popolazione negli anni 1930, 1965, Quanto sono accurati i valori ottenuti? 21

23 Interpolazione di polinomi L interpolazione è esatta per i polinomi q m di grado m n. {x k, q m (x k )} k = 0,..., n L n (x) = n k=0 q m (x k ) l k (x) q m (x) Esempio. Data la tavola i x i y i (x 1,y 1 ) costruire il relativo polinomio interpolatore. 2 1 (x 2,y 2 ) 0 (x 0,y 0 ) x 22

24 Soluzione I dati sono n + 1 = 3 quindi il polinomio interpolatore è un polinomio di grado 2. l 0 (x) = (x x 1)(x x 2 ) (x 0 x 1 )(x 0 x 2 ) l 1 (x) = (x x 0)(x x 2 ) (x 1 x 0 )(x 1 x 2 ) l 2 (x) = (x x 0)(x x 1 ) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ) x(x 1) = ( 1)( 1 1) = 1 x(x 1) 2 = (x + 1)(x 1) (1)( 1) = (x + 1)(x 1) (x + 1)x = (1 + 1)(1) = 1 2 (x + 1)x l 0 (x) l 1 (x) l 0 (x) p 2 (x) = 2 k=0 y k l k (x) = 0 l 0 (x) + 4 l 1 (x) + 2 l 2 (x) (x 1,y 1 ) p 2 (x) (x 2,y 2 ) = 4(x + 1)(x 1) + (x + 1)x = 3x 2 + x (x 0,y 0 ) x 23

25 Aggiungiamo alla tabella la coppia di valori (x 3, y 3 ) = (2, 6) e calcoliamo il nuovo polinomio interpolatore. i x i y i il polinomio interpolatore è di grado 3 l 0 (x) = (x x 1)(x x 2 )(x x 3 ) (x 0 x 1 )(x 0 x 2 )(x 0 x 3 ) = 1 x(x 1)(x 2) 3 l 1 (x) = (x x 0)(x x 2 )(x x 3 ) (x 1 x 0 )(x 1 x 2 )(x 1 x 3 ) = 1 (x + 1)(x 1)(x 2) 2 3 p 3 (x) = y k l k (x) = 4 3 k=0 = 3x 2 + x + 4 = p 2 (x)!!! p (x) (x,y ) l 2 (x) = (x x 0)(x x 1 )(x x 3 ) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 )(x 2 x 3 ) = 1 (x + 1)x(x 2) (x 0,y 0 ) (x 2,y 2 ) p 3 (x) l 3 (x) = (x x 0)(x x 1 )(x x 2 ) (x 3 x 0 )(x 3 x 1 )(x 3 x 2 ) = 1 (x + 1)x(x 1) x (x 3,y 3 ) 24

26 Interpolazione di funzioni costanti L interpolazione è esatta per i polinomi q m di grado m n. Se m = 0 L n (x) = n k=0 q 0 (x k ) l k (x) q 0 (x) = costante In particolare, se q 0 (x) 1, allora q 0 (x k ) = 1 per k = 0, 1,..., n L n (x) = n q 0 (x k ) l k (x) = q 0 (x) = 1 }{{} k=0 1 n k=0 l k (x) = 1 25

27 Errore nell interpolazione polinomiale Tabella: {x i, y i } i = 0,..., n Errore di troncamento: causato dall aver approssimato la funzione con il polinomio interpolatore Errore di propagazione: dovuto agli errori sui dati di input (errori di misura o di arrotondamento) Errore totale polinomio ideale E t (x) = f(x) p n (x) = f(x) p n (x) }{{} errore di troncamento + p n (x) p n(x) }{{} errore di propagazione = = E n (x) + E n (x) 26

28 Espressione dell errore di troncamento Polinomio ideale : p n (x) = n k=0 f(x k ) l k (x) Errore di troncamento: E n (x) = f(x) p n(x) L errore di troncamento deve essere nullo nei nodi poiché il polinomio interpolatore soddisfa le condizioni di interpolazione: p n (x i) = f(x i ) E n (x i ) = f(x i ) p n (x i) = 0 i = 0,..., n E n (x) = n i=0 dove R n (x) è un opportuna funzione (x x i )R n (x), 27

29 L errore di troncamento deve essere nullo se f(x) è un polinomio di grado n Allora, definendo il polinomio nodale: π n (x) := n i=0 (x x i ) = (x x 0 )(x x 1 ) (x x n ) l errore di troncamento è dato da E n (x) = π n (x) f (n+1) (ξ(x)) (n+1)! ξ(x) [x 0, x n ] cioè R n (x) = f (n+1) (ξ(x)) (n+1)! 28

30 Dimostrazione Errore di troncamento: E n (x) = π n (x) R n (x) x [a, b] = [x 0, x n ] Introduciamo la funzione ausiliaria G(t) := f(t) p n (t) π n(t) R n (x) Poichè E n (x i ) = π n (x i ) = 0 G(x i ) = f(x i ) p N (x i) π n (x i ) R n (x) = 0 i = 0,..., n D altra parte, poichè E n (x) = π n (x) R n (x) G(x) = f(x) p N (x) π n(x) R n (x) = 0 G(t) ha (almeno) n + 2 zeri in [a, b] che sono x, x 0, x 1,..., x n G (k) (t) ha (almeno) n + 2 k zeri in (a, b) k = 0, 1,..., n + 1 Teorema di Rolle In particolare, G (n+1) (t) ha (almeno) uno zero ξ (a, b) G (n+1) (ξ) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! R n (x) = 0 R n (x) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! 29

31 Limitazioni dell errore di troncamento - 1 Errore di troncamento: E n (x) = π n (x) f (n+1) (ξ(x)) (n + 1)! ξ(x) [a, b] Il punto ξ(x) in cui calcolare la derivata non è noto la formula dell errore di troncamento ci permette di ricavare delle limitazioni Limitazioni per eccesso e per difetto m f (n+1) (x) M x [a, b] m π n(x) (n + 1)! E n(x) M π n(x) (n + 1)! m π n(x) (n + 1)! E n(x) M π n(x) (n + 1)! se π n (x) > 0 se π n (x) < 0 30

32 Limitazioni dell errore di troncamento - 2 Limitazione sul modulo f (n+1) (x) µ x [a, b] E n (x) µ (n + 1)! π n(x) Esempio: nodi equispaziati x i = x 0 + ih (i = 0,..., n) π n (x) = n i=0 (x x i ) = (x x 0 )(x x 1 ) (x x n ) se x = x 0 + sh π n (x) = s(s 1) (s n)h n π n tende a crescere agli estremi dell intervallo. L approssimazione migliore si ha nella parte centrale dell intervallo di interpolazione Grafico di π 7 (x) 31

33 Errore di propagazione { ɛi = f(x Errore sui dati: i ) y i errore di arrotondamento ɛ i = δ i errore di misura n n En (x) = p n (x) p n(x) = f(x i ) l i (x) (f(x i ) + ɛ i ) l i (x) i=0 i=0 n En (x) = ɛ i l i (x) n Se ɛ i ɛ si ottiene la limitazione En (x) ɛ l i (x) = ɛ Λ(x) i=0 i=0 Funzione di Lebesgue: Λ(x) = n l i (x) i=0 rappresenta il coefficiente di amplificazione degli errori sui dati e si valuta nel punto in cui si vuole stimare l errore di interpolazione Costante di Lebesgue: Λ n = max a x b Λ(x) 32

34 Proprietà della funzione di Lebesgue Λ(x) dipende solo dai polinomi fondamentali di Lagrange e, quindi, dalla distribuzione dei nodi Poiché n i=0 l i (x) = 1 Λ(x) 1 Nodi equispaziati in [a, b] x i = a + ih h = b a n, i = 0,..., n Λ n 2n+1 e n log n per n 10 x i = b a 2 Nodi di Chebyshev in [a, b] 2i + 1 π cos n b + a 2 Λ n 2 π 10, i = 0,..., n log n per n Λ 7 (x) Λ 7 (x) n = 7 Intervallo: [0, 7] x n = 7 Intervallo: [0, 7] x 33

35 Esercizio Data la tabella i x i y i a) scrivere l espressione del polinomio interpolatore di Lagrange; b) sapendo che 0 < f (4) (x) 5.657, dare una limitazione per eccesso e una per difetto dell errore di troncamento nei punti t 1 = 0.2, t 2 = 0.6, t 3 = 1.0; c) valutare la costante di Lebesgue e dare una stima dell errore di propagazione. 34

36 Traccia della soluzione a) La tabella contiene 4 nodi, quindi il polinomio interpolatore è di grado 3. l 0 (x) = (x x 1)(x x 2 )(x x 3 ) (x 0 x 1 )(x 0 x 2 )(x 0 x 3 ) = 1 (x 0.4)(x 0.8)(x 1.2) l 1 (x) = (x x 0)(x x 2 )(x x 3 ) (x 1 x 0 )(x 1 x 2 )(x 1 x 3 ) = 1 x(x 0.8)(x 1.2) l 2 (x) = (x x 0)(x x 1 )(x x 3 ) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 )(x 2 x 3 ) = 1 x(x 0.4)(x 1.2) l 3 (x) = (x x 0)(x x 1 )(x x 2 ) (x 3 x 0 )(x 3 x 1 )(x 3 x 2 ) = 1 x(x 0.4)(x 0.8) p 3 (x) = 3 k=0 y k l k (x) p 3 (t 0 ) = p 3 (0.2) = p 3 (t 1 ) = p 3 (0.6) = p 3 (t 2 ) = p 3 (1.0) = 3 k=0 3 k=0 3 k=0 y k l k (0.2) = y k l k (0.6) = y k l k (1.0) =

37 b) Errore di troncamento: E 3 (x) = π 3(x) f (4) (τ) τ (0.0, 1.2) 4! π 3 (x) = (x x 0 )(x x 1 )(x x 2 )(x x 3 ) = x(x 0.4)(x 0.8)(x 1.2) π 3 (t 0 ) = π 3 (0.2) = π 3 (t 1 ) = π 3 (0.6) = π 3 (t 2 ) = π 3 (1.0) = Stima di E 3 (t 0 ) π 3(t 0 ) 4! Stima di E 3 (t 1 ) 0 < π 3(t 1 ) 4! Stima di E 3 (t 2 ) π 3(t 2 ) 4! m = 0 < f (4) (x) M = M E 3 (t 0 ) π 3(t 0 ) m < 0 4! m E 3 (t 1 ) π 3(t 1 ) M ! M E 3 (t 2 ) π 3(t 2 ) m < 0 4! Nota. Le approssimazioni di t 0 e t 2 sono per eccesso, mentre l approssimazione di t 1 è per difetto. Inoltre E 3 (t 0 ) 0.05, E 3 (t 2 ) 0.05 un decimale esatto, mentre E 3 (t 1 ) due decimali esatti. 36

38 c) Errore di propagazione: E 3 (x) ɛ 3 i=0 l i (x) = ɛ Λ(x) Poiché i dati di input hanno 5 decimali l errore di arrotondamento sui dati è : ɛ i = ɛ. Λ(t 0 ) = 3 i=0 l i (t 0 ) = E3 (x) Λ(t 1 ) = 3 i=0 l i (t 1 ) = 1.25 E3 (x) Λ(t 2 ) = 3 i=0 l i (t 2 ) = E3 (x) Nota. L errore di propagazione è trascurabile rispetto all errore di troncamento. 37

39 Esercizio Usando i dati in tabella, si trovi lo zero della funzione y(x) interpolando i dati prima su tre e poi su quattro nodi consecutivi. Sapendo che la funzione ha un punto di massimo relativo nel punto x = , stimarne il valore. x i y(x i ) Suggerimento: Poichè y(x) è una funzione continua, se ne cerca lo zero in un intervallo in cui cambia segno. Si può scegliere [1.5, 2.5] come intervallo di interpolazione quando si usano tre nodi; mentre si può scegliere [1.5, 3] quando si usano quattro nodi. Per la stima del massimo, si può interpolare la funzione nell intervallo [0, 1] oppure nell intervallo [0, 1.5]. Nel primo caso si avrà un polinomio di secondo grado, nel secondo un polinomio di terzo grado. 38

40 Convergenza dei polinomi interpolatori Si ha convergenza se, in assenza di errori di arrotondamento, lim n p n(x) = f(x) cioè se all aumentare del numero dei nodi il polinomio interpolatore approssima sempre meglio la funzione. Esempio 1: f(x) = sinh(x) x [ 2, 2] 4 3 p 4 (x) All aumentare di n il polinomio interpolatore approssima sempre meglio la funzione. Per n = 10 il grafico di p 10 (x) coincide con il grafico di f(x) p 2 (x) p 10 (x) x

41 1 x Nota. All aumentare di n aumentano gli errori di arrotondamento che possono distruggere il risultato p 100 (x) x Esempio 2: f(x) = x 2 x [ 5, 5] (Funzione di Runge) 3 All aumentare di n il polinomio interpolatore oscilla sempre di più in prossimità dei bordi (non dipende dagli errori di arrotondamento) p 2 (x) p 10 (x) f(x) p 50 (x) p 4 (x) x 40

42 Teoremi di convergenza Teorema 1. Se f C (b a) k [a, b] e lim max k k! f (k) (x) = 0, allora lim p n (x) = f(x) a x b n uniformemente in [a, b]. dim: Si deve dimostrare che ε > 0, N indipendente da x : n > N, x accade che f(x) p n (x) < ε. D altra parte f(x) p n (x) = E n (x) (b a)n+1 (n+1)! M n+1 0 con M n+1 = max [a,b] f n+1 (x). Teorema 2. Sia F (z) l estensione di f(x) nel piano complesso. Se F (z) è olomorfa in una regione A del piano complesso contenente [a, b] e, detta d la distanza di A da [a, b], se d > b a allora lim p n (x) = f(x) uniformemente in [a, b]. n Nota. Per l esempio di Runge, la funzione F (z) = 1 ha due singolarità in 1 + z2 ±i. Per l intervallo [ 5, 5] si ha d = 1 < b a = 10, quindi non si ha convergenza. Se si considera invece l intervallo [2, 3] si ha convergenza poiché in questo caso d = 5 > b a = 1. 41

43 Nota. 1. Le funzioni con derivata equilimitata in [a, b] soddisfano le ipotesi del teorema. Esempi: sin x, cos x, e x. 2. La convergenza dei polinomi interpolatori è assicurata se i punti di singolarità della funzione da interpolare sono sufficientemente distanti dall intervallo di interpolazione. 3. Il teorema non da alcuna condizione sulla distribuzione dei nodi. 42

44 Polinomi di Chebyshev Si possono dare delle condizioni di convergenza con ipotesi meno restrittive su f(x) se si scelgono nodi di interpolazione x i particolari. Ponendo x = cos θ si definisce T n (x) := cos nθ = cos n(arccos x) n = 0, 1,... Ricordando che 2 cos θ cos nθ = cos(n + 1)θ + cos(n 1)θ T 0 (x) = 1 T 1 (x) = x T n+1 (x) = 2xT n (x) T n 1 (x) (Relazione di ricorrenza) n, T n (x) è un polinomio di grado n I primi polinomi del sistema {T n (x)} sono T 0 (x) = 1 T 1 (x) = x T 2 (x) = 2x 2 1 T 3 (x) = 4x 3 3x 43

45 Nodi di Chebyshev Per ogni n i nodi di Chebyshev sono gli n + 1 zeri del polinomio di Chebyshev di grado n + 1. Dalla definizione di T n si ottiene immediatamente T n+1 (x) = 0 (n + 1)θ = (2 i + 1) π 2 i = 0, 1,..., n Nodi di Chebyshev dell intervallo [ 1, 1] x C i = cos ( 2i + 1 n + 1 π ) 2 i = 0, 1,..., n Nodi di Chebyshev dell intervallo [a, b] Cambiamento di coordinate: x = b a 2 t + a + b 2 x C i = b a ( 2i cos n + 1 π ) 2 + b + a 2 i = 0, 1,..., n 44

46 Teoremi di convergenza - 2 Teorema 3. Se f è lipschitziana in [a, b], la successione dei polinomi interpolatori sui nodi di Chebyschev converge a f uniformemente in [a, b]. Il polinomio nodale seguenti proprietà : π C n (x) costruito sui nodi di Chebyschev ha le 0.04 π C 5 (x) (b max x [a,b] πc a)n+1 n (x) = 2 2n+1 max x [a,b] π n(x) > max x [a,b] πc n (x) π 5 (x) x Nota. I nodi di Chebyshev sono tutti interni all intervallo [a, b] a < x C i < b i = 0, 1,..., n 45

47 Svantaggi dell espressione di Lagrange del polinomio interpolatore L espressione di ciascun polinomio di base di Lagrange l k (x) dipende da tutti i nodi x i. Esempio: {x 0, x 1, x 2 } l 0 (x) = (x x 1)(x x 2 ) (x 0 x 1 )(x 0 x 2 ) l 1 (x) = (x x 0)(x x 2 ) (x 1 x 0 )(x 1 x 2 ) l 2 (x) = (x x 0)(x x 1 ) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ) Se si aggiunge un nodo bisogna ricalcolare tutti i polinomi l k e, quindi, p n. Esempio: {x 0, x 1, x 2, x 3 } l 0 (x) = (x x 1)(x x 2 )(x x 3 ) (x 0 x 1 )(x 0 x 2 )(x 0 x 3 ) l 2 (x) = (x x 0)(x x 1 )(x x 3 ) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 )(x 2 x 3 ) l 1 (x) = (x x 0)(x x 2 )(x x 3 ) (x 1 x 0 )(x 1 x 2 )(x 1 x 3 ) l 3 (x) = (x x 0)(x x 1 )(x x 2 ) (x 3 x 0 )(x 3 x 1 )(x 3 x 2 ) Un espressione del polinomio interpolatore p n più efficiente è data dalla formula di Newton alle differenze divise. 46

48 Differenze divise Tabella: {x i, f i } i = 0, 1,..., n (Nodi distinti) Differenze divise di ordine zero: f[x i ] := f i i = 0, 1,..., n Differenze divise prime: f[x i, x j ] = f[x i] f[x j ] x i x j i, j = 0, 1,..., n i j Differenze divise seconde: f[x i, x j, x k ] = f[x i, x j ] f[x j, x k ] x i x k i, j, k = 0, 1,..., n i j k i La differenze divisa k-esima relativa a k+1 nodi distinti x 0, x 1,..., x k è definita da f[x 0, x 1,..., x k ] = f[x 0, x 1,..., x k 1 ] f[x 1, x 2,..., x k ] x 0 x k 47

49 Tavola delle differenze divise Per calcolare la differenza divisa k esima servono k +1 valori della funzione Con n + 1 nodi si possono costruire n k + 1 differenze divise di ordine k, e pertanto una sola differenza divisa di ordine n x f 0 f[x 0, x 1 ] x 1 f 1 f[x 0, x 1, x 2 ] f[x 1, x 2 ] f[x 0, x 1, x 2, x 3 ] x 2 f 2 f[x 1, x 2, x 3 ] f[x 0, x 1, x 2, x 3, x 4 ] f[x 2, x 3 ] f[x 1, x 2, x 3, x 4 ] x 3 f 3 f[x 2, x 3, x 4 ] f[x 3, x 4 ] x 4 f 4 48

50 Tavola delle differenze divise Se si aggiunge un nodo la tavola alle differenze divise viene modificata solo per l aggiunta di una nuova riga x f 0 f[x 0, x 1 ] x 1 f 1 f[x 0, x 1, x 2 ] f[x 1, x 2 ] f[x 0, x 1, x 2, x 3 ] x 2 f 2 f[x 1, x 2, x 3 ] f[x 0, x 1, x 2, x 3, x 4 ] f[x 2, x 3 ] f[x 1, x 2, x 3, x 4 ] f[x 0, x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ] x 3 f 3 f[x 2, x 3, x 4 ] f[x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ] f[x 3, x 4 ] f[x 2, x 3, x 4, x 5 ] x 4 f 4 f[x 3, x 4, x 5 ] f[x 4, x 5 ] x 5 f 5 E necessario calcolare solo una differenza divisa per ogni ordine 49

51 Proprietà delle differenze divise - 1 Le differenze divise di qualsiasi ordine di una costante sono nulle Infatti, f[x i ] = f i = c i = 0, 1,..., n f[x i, x j ] = f i f j x i x j = 0 i j Due funzioni f e g tali che f i = g i, i = 0, 1,..., n, hanno le stesse differenze divise Ogni differenza divisa è funzione invariante (o simmetrica) dei suoi argomenti, cioè f[x 0,..., x k ] = f[x 1, x 0,..., x k ] = f[x k,..., x 0 ] =... è una conseguenza dell espressione f[x 0, x 1,..., x k ] = k i=0 k f i (x i x j ) che può essere provata per induzione j = 0 j i 50

52 Proprietà delle differenze divise - 2 Le differenze divise dalla n + 1-esima in poi di un polinomio di grado n sono nulle, cioè P n [x 0, x 1,..., x k ] = 0 per k > n Dimostrazione Differenza divisa prima: Differenza divisa seconda: { P n [x, x 1 ] = P n[x] P n [x 1 ] x x 1 := P n 1 (x) P n [x, x 1, x 2 ] = P n[x, x 1 ] P n [x 1, x 2 ] x x 2 = = P n 1(x) P n 1 (x 2 ) x x 2 := P n 2 (x) La differenza divisa n-esima di P n è una costante La differenza divisa n + 1-esima di P n è nulla Se f C k [x 0, x k ] f[x 0,..., x k ] = f (k) (t k ) k! t k [x 0, x k ] 51

53 Formula di Newton alle differenze divise Dalla definizione di differenze divise si ottiene f(x) = f[x] = f[x 0 ] + (x x 0 )f[x, x 0 ] infatti f[x, x 0 ] = f[x] f[x 0] x x 0 f[x, x 0 ] = f[x 0, x 1 ] + (x x 1 )f[x, x 0, x 1 ] infatti f[x, x 0, x 1 ] = f[x,x 0] f[x 0,x 1 ] x x 1... f[x, x 0,..., x n 2 ] = f[x 0, x 1,..., x n 1 ] + (x x n 1 )f[x, x 0,..., x n 1 ] f[x, x 0,..., x n 1 ] = f[x 0, x 1,..., x n ] + (x x n )f[x, x 0,..., x n ] Sostituendo ciascuna relazione nella precedente si ha f(x) = f[x 0 ] + (x x 0 )f[x 0, x 1 ] + (x x 0 )(x x 1 )f[x 0, x 1, x 2 ]+ + + (x x 0 )(x x 1 ) (x x n 1 )f[x 0, x 1,..., x n ]+ + (x x 0 )(x x 1 ) (x x n 1 )(x x n )f[x, x 0, x 1,..., x n ] } P n (f; x) errore 52

54 Teorema Il polinomio di Newton alle differenze divise P n (f; x) = f[x 0 ] + (x x 0 )f[x 0, x 1 ] + (x x 0 )(x x 1 )f[x 0, x 1, x 2 ]+ + + (x x 0 )(x x 1 ) (x x n 1 )f[x 0, x 1,..., x n ] coincide con il polinomio interpolatore p n (x) di f(x) nei nodi x 0, x 1,..., x n. Dimostrazione. Condizioni di interpolazione: f(x i ) = p n (x i ) i = 0, 1,..., n f(x), p n (x) hanno le stesse differenze divise P n (f; x) = P n (p n ; x) Poiché p n è un polinomio di grado n p n [x, x 0, x 1,..., x n ] = 0 P n (f; x) = P n (p n ; x) = p n (x) Nota. P n (f; x) è l espressione del polinomio interpolatore nella base dei polinomi nodali {1, (x x 0 ), (x x 0 )(x x 1 ),..., (x x 0 )(x x 1 ) (x x n 1 )} 53

55 Espressione dell errore di troncamento E n (x) = f(x) p n(x) = f(x) P n (x) = = π n (x) f (n+1) (ξ) (n + 1)! = π n (x) f[x, x 0, x 1,..., x n ] f[x, x 0, x 1,..., x n ] = f (n+1) (ξ) (n + 1)! f[x 0, x 1,..., x k ] = f (k) (t k ) k! Stima dell errore di troncamento Se f (n+1) (x) esiste f[x 0, x 1,..., x n+1 ] = f (n+1) (t n+1 ) (n + 1)! Se f (n+1) (x) varia poco in [x 0, x n ] f (n+1) (ξ) f (n+1) (t n+1 ) E n (x) = π n f[x, x 0, x 1,..., x n ] = = π n (x) f (n+1) (ξ) (n + 1)! π n(x) f (n+1) (t n+1 ) (n + 1)! = π n (x) f[x 0, x 1,..., x n, x n+1 ] E n (x) π n (x) f[x 0, x 1,..., x n, x n+1 ] 54

56 Propagazione degli errori nella tavola alle differenze Il calcolo delle differenze divise è molto sensibile agli errori sui dati Esempio: per nodi equidistanti con passo h x 0 f 0 f[x 0, x 1 ] x 1 f 1 f[x 0, x 1, x 2 ] + ɛ 2h 2 f[x 2, x 1 ] + ɛ f[x 0, x 1, x 2, x 3 ] ɛ h 2h 3 x 2 f 2 + ɛ f[x 1, x 2, x 3 ] ɛ f[x h 2 0, x 1, x 2, x 3, x 4 ] + ɛ 4h 4 f[x 3, x 2 ] ɛ f[x 1, x 2, x 3, x 4 ] + ɛ h 2h 3 x 3 f 3 f[x 2, x 3, x 4 ] + ɛ 2h 2 f[x 4, x 3 ] x 4 f 4 L amplificazione della perturbazione nel calcolo delle differenze divise è tanto maggiore quanto maggiore è l ordine della differenza divisa che si vuole calcolare Poiché le differenze divise al crescere dell ordine hanno valori via via più piccoli, si possono verificare fenomeni di cancellazione numerica 55

57 Esercizio Si consideri la seguente tabella contenente i valori di una funzione f(x) C ([1.5, + )) valutata nei nodi x i, i = 0,..., 3. i x i f i Si calcoli la tavola alle differenze divise corrispondente. 56

58 1) è possibile dedurre che f(x) ha uno zero in [1.9, 2.25] e che tale zero è unico? 2) approssimare f(2) tramite il polinomio interpolatore costruito sui primi tre nodi della tavola; 3) sapendo che f (x) = (x 1) 2, dare una stima dell errore di troncamento. 57

59 Le differenze divise di ordine 0 sono f[x i ] = f i, i = 0,..., 3 Le differenze divise di ordine 1 sono f[x 0, x 1 ] = f[x 0] f[x 1 ] x 0 x 1 = = = f[x 1, x 2 ] = f[x 1] f[x 2 ] x 1 x 2 = = = f[x 2, x 3 ] = f[x 2] f[x 3 ] x 2 x 3 = = =

60 Le differenze divise di ordine 2 sono f[x 0, x 1, x 2 ] = f[x 0, x 1 ] f[x 1, x 2 ] x 0 x 2 = = = = f[x 1, x 2, x 3 ] = f[x 1, x 2 ] f[x 2, x 3 ] x 1 x 3 = = = = La differenza divisa di ordine 3 è f[x 0, x 1, x 2, x 3 ] = f[x 0, x 1, x 2 ] f[x 1, x 2, x 3 ] x 0 x 3 = = =

61 Quindi i x i f i f[x i, x j ] f[x i, x k, x k ] f[x i, x j, x k, x h ] Poichè f cambia segno in I = [1.90, 2.15] ed è C, ha almeno uno zero in I; poichè le differenze divise di ordine 1 e 2 non cambiano segno, f è monotona nell intervallo I e quindi lo zero in I è unico. 60

62 Il polinomio interpolatore usando n + 1 nodi è P n (f; x) = f[x 0 ] + (x x 0 )f[x 0, x 1 ] + (x x 0 )(x x 1 )f[x 0, x 1, x 2 ]+ + + (x x 0 )(x x 1 ) (x x n 1 )f[x 0, x 1,..., x n ] e quindi, dovendo usare i primi tre nodi della tavola, si ha P 2 (f; x) = f[x 0 ] + (x x 0 )f[x 0, x 1 ] + (x x 0 )(x x 1 )f[x 0, x 1, x 2 ] = = (x 1.90) (x 1.90)(x 2.15) che, valutato nel punto x = 2, produce P 2 (2) = (2 1.90) (2 1.90)(2 2.15) = =

63 Per l errore di troncamento si ha E n (x) = π n (x) f (n+1) (ξ(x)) (n + 1)! = π n (x) f[x, x 0, x 1,..., x n ] e cioè E 2 (x) = π 2 (x) f (3) (ξ(x)) (3)! = π 2 (x) f[x, x 0, x 1, x 2 ] Poichè f (3) (x) = 2(x 1) 3 è una funzione decrescente nell intervallo [1.9, 2.20] e varia poco in questo intervallo, allora f (3) (ξ) f (3) (t 3 ) e, avendo a disposizione anche il nodo x 3, si ha con E 2 (2) π 2 (2) f[x 0, x 1, x 2, x 3 ] π n (2) = (2 1.90)(2 2.15)(2 2.20) = e quindi l errore di troncamento nel punto x = 2 è E 2 (2) =

64 Calcolando il polinomio interpolatore usando tutti i nodi della tabella e valutandolo nel punto x = 2 si ha p 3 (2) = Supponiamo ora che il secondo valore della tabella sia affetto da un errore pari a 0.01 i x i f i e calcoliamo di nuovo la tabella delle differenze divise e la stima della funzione nel punto x = 2. 63

65 La tabella delle differenze divise è Dal confronto con la tabella calcolata precedentemente si nota che l errore sul secondo valore si propaga sugli elementi della prima e seconda riga della tabella in modo non trascurabile! Infatti, le differenze divise sono molto sensibili agli errori sui dati e per questo possono produrre un approssimazione poco affidabile della derivata k esima della funzione. 64

66 Esercizio 1) Illustrare dettagliatamente le tipologie di errore che intervengono nella approssimazione numerica di funzioni mediante interpolazione polinomiale. 2) Stabilire se la seguente tavola alle differenze divise relative alla funzione f(x) = 1+sin(3x) valutata nei nodi {x i } 0 i 5 [0, ] x i f i f 2 f 3 f 4 f 5 f può essere usata per dare una stima affidabile dell errore che si commette approssimando la funzione f in un generico punto ˆx (0, ) con il polinomio interpolatore di Lagrange di grado 4. Motivare la risposta. 65

67 Esercizio Data la seguente tabella delle differenze divise di una funzione f(x) C (IR): i x i f[x i ] f[x i, x j ] f[x i, x j, x k ] f[x i, x j, x k, x h ]

68 1) Scrivere l espressione del polinomio interpolatore relativo ai nodi x 1, x 2 e x 3 ; 2) dare una stima dell errore di troncamento che si commette approssimando f( 0.2) con il polinomio costruito al punto (1); 3) dare, se possibile, una maggiorazione del modulo dell errore di propagazione. 4) stabilire il valore massimo della perturbazione che si può tollerare sul valore f(x 2 ) affinchè la perturbazione indotta sulla differenza divisa di ordine 3 sia inferiore a

69 Soluzione 1) La formula del polinomino interpolatore di secondo grado relativo ai nodi x 1, x 2, x 3 è la seguente: p 2 (x) = f[x 1 ] + (x x 1 )f[x 1, x 2 ] + (x x 1 )(x x 2 )f[x 1, x 2, x 3 ] = = ( )(x ) x(x ) 2) p 2 ( 0.2) = ( )( ) ( 0.2)( ) =

70 Per la stima dell errore di troncamento E 2 (x) è necessario aggiungere una riga alla tabella delle differenze divise. Infatti, non avendo l espressione della derivata terza della funzione interpolata, è necessario coinvolgere anche il nodo x 4 in quanto E 2 (x) (x x 1 )(x x 2 )(x x 3 )f[x 1, x 2, x 3, x 4 ]. Quindi, i x i f[x i ] f[x i, x j ] f[x i, x j, x k ] f[x i, x j, x k, x h ]

71 da cui si ha E 2 ( 0.2) ( ) = Poiché l errore di troncamento è negativo, il polinomio p 2 (x) produce un approssimazione per eccesso del valore della funzione f(x) nel punto x =

72 Osservazione: In alternativa al nodo x 4, nella stima dell errore di troncamento si puó considerare il nodo x 0, di cui è già fornita la f[x 0, x 1, x 2, x 3 ]. Ne segue che E 2 ( 0.2) ( ) = ) Poichè risulta Λ( 0.2) = 3 i=1 l i ( 0.2) = 1.16, dove l i ( ) sono i polinomi di base di Lagrange relativi ai nodi x 1, x 2 e x 3, e i dati hanno precisione ɛ = , l errore di propagazione si può stimare come segue E 2 ( 0.2) ɛλ( 0.2) = =

73 4) Poichè i nodi sono equispaziati di passo h = 0.25, una perturbazione su f(x 2 ) di ɛ produce un errore sulla differenza divisa di ordine 3 il cui modulo è pari a = ɛ 2h 3 = 32ɛ. Infatti x 0 f 0 f[x 0, x 1 ] x 1 f 1 f[x 0, x 1, x 2 ] + ɛ 2h 2 f[x 2, x 1 ] + ɛ f[x 0, x 1, x 2, x 3 ] ɛ h 2h 3 x 2 f 2 + ɛ f[x 1, x 2, x 3 ] ɛ f[x h 2 0, x 1, x 2, x 3, x 4 ] + ɛ 4h 4 f[x 3, x 2 ] ɛ f[x 1, x 2, x 3, x 4 ] + ɛ h 2h 3 x 3 f 3 f[x 2, x 3, x 4 ] + ɛ 2h 2 f[x 4, x 3 ] x 4 f 4 Ne segue che < 10 5 se ɛ <

74 Differenze finite Nodi equispaziati: x i = x 0 + ih x i x i 1 = h i = 0, 1,..., n i = 1, 2,..., n Le differenze finite (in avanti) di ordine k, k = 0, 1,..., n, di una funzione f in x, con passo h, si possono definire ricorsivamente come 0 f(x) = f(x) f(x) = f(x + h) f(x) 2 f(x) = [ f(x)] = [f(x + h) f(x)] = [f(x + h)] [f(x)] = = f(x + 2h) 2f(x + h) + f(x) k f(x) = [ k 1 f(x)] Per induzione: k f(x) = k r=0 ( 1) k r( k) f(x + rh) k = 0, 1,..., n r 73

75 Infatti, la relazione è banalmente vera per k = 0. Supponendola vera per k 1, vogliamo dimostrarla per k. ( k 1 ) ( k 1 ) k f(x) = [ k 1 f(x)] = ( 1) k 1 r f(x + rh) = r r=0 = k 1 ( k 1 ) ( 1) k 1 r (f(x + rh + h) f(x + rh)) = r r=0 = k ( k 1 ) k 1 ( k 1 ) ( 1) k r f(x + rh) ( 1) k 1 r f(x + rh) = r 1 r r=1 r=0 = r=1 = k ( k 1 ) k 1 ( k 1 ) ( 1) k r f(x + rh) + ( 1) k r f(x + rh) = r 1 r r=1 k 1 ( 1) k r ( k r ) r=0 f(x + rh) ( 1) (k k) ( k 1 k 1 = r=0 k ( 1) k r ( k r ) f(x + kh) + ( 1) (k 0) ( k 1 0 ) f(x + rh) ) f(x) = ( k 1 ) ( k 1 ) Infatti, + ( r r 1 k ( k 1 ) ( k e =. k) 0 0) = ( ) (k 1)! 1 (r 1)!(k r 1)! r + 1 k r ( k ) = k! r!(k r)! = r mentre ( k 1 ) k 1 74 =

76 Tavola delle differenze finite Se x = x j x + rh = x j + rh = x j+r, f(x + rh) = f(x j + rh) = f j+r, quindi la relazione che definisce le differenze finite diventa k f j = k r=0 ( 1) k r( k) fj+r k = 0, 1,..., n r x 2 f 2 f 2 x 1 f 1 2 f 2 f 1 3 f 2 x 0 f 0 2 f 1 4 f 2 f 0 3 f 1 5 f 2 x 1 f 1 2 f 0 4 f 1 f 1 3 f 0 x 2 f 2 2 f 1 f 2 x 3 f 3 Per calcolare la differenza finita di ordine k a partire da un generico nodo x j, servono k + 1 informazioni in avanti. Con n+1 nodi si possono costruire n k + 1 differenze finite di ordine k, e pertanto una sola differenza finita di ordine n. 75

77 Formula di interpolazione di Newton alle differenze finite in avanti Polinomio interpolatore: p n (x) = f 0 + (x x 0) f 0 + (x x 0)(x x 1 ) h 2!h 2 2 f (x x 0)(x x 1 ) (x x n 1 ) n!h n n f 0 Nuova Variabile: x = x 0 + hs nei nodi x i = x 0 + ih si ha s = i p n (x) = p n (x 0 + hs) = f 0 + s f 0 + s(s 1) 2 f 0 + 2! + + s(s 1) (s n + 1) n f 0 := g n (s) n! Usando la notazione: ( ) s k = s(s 1) (s k+1) k! si ha g n (s) = f 0 + ( s) f0 + ( s) 2 f ( s) n f n 76

78 Formula di interpolazione di Newton alle differenze finite (in avanti): g n (s) = f 0 + ( s) f0 + ( s) 2 f ( s) n f n è un polinomio di grado n che interpola i dati {x i, f i }, i = 0,..., n. Se si aggiunge un nodo (x n+1, f n+1 ), il polinomio di grado n + 1 che interpola i dati {x i, f i }, i = 0,..., n + 1 si ottiene con l aggiunta di un termine a g n (s): p n+1 (x) = g n+1 (s) = g n (s) + ( s ) n+1 f 0 = n + 1 = f 0 + ( s) f0 + ( s) 2 f ( s) n f 0 + ( s ) n+1 f n n + 1 Primo termine omesso: T n = ( s n + 1 ) n+1 f 0 77

79 Errore di troncamento: π n (x) = π n (x 0 + hs) = = (x 0 + sh x 0 )(x 0 + sh x 0 h) (x 0 + sh x 0 nh) = = h n+1 s(s 1) (s n) E n (x) = E n (x 0 + hs) = π n(x 0 + hs) (n + 1)! f (n+1) (x 0 + σh) = = hn+1 s(s 1) (s n) (n + 1)! f (n+1) (x 0 + σh) = = h n+1 ( s ) f (n+1) (x 0 + σh) n

80 Se si dispone della differenza finita n+1-esima e f (n+1) (x) varia poco per x [x 0, x n ], allora Stima dell errore di troncamento: (Oss: f[x 0, x 1,..., x k ] = k f 0 k!h k ) E n (x) = ( s ) h n+1 f (n+1) (x 0 + σh) n + 1 ( s n + 1 ) h n+1 f (n+1) (c n+1 ) = ( s n + 1 ) n+1 f 0 = T n 79

81 Esempio Supponiamo di conoscere i valori della funzione f(x) = sin(πx) nei nodi cioè x i = i, i = 0,..., 3 f(x i ) = [ , , 0, ] con h = La tavola alle differenze finite è Da cui si deduce il valore approssimato di f nel punto x = 1/6, cioè p 3 (1/6) = mentre il valore vero è

82 Aumentando il numero di nodi usando lo stesso passo di griglia, il risultato migliora di poco. Infatti e x i = i, i = 0,..., 4 p 4 (1/6) = Aumentando il numero di nodi diminuendo il passo della griglia, invece, si ha x i = i, i = 0,... 6 p 6 (1/6) =

83 Esercizio Data la seguente tavola di valori di una funzione f(x) C 4 ([x 0, x 7 ]) x i f i valutare f(0.02), f(0.12) e f(0.32) mediante opportuni polinomi interpolatori sia di grado 3 che di grado 2. Sapendo che risulta f k (x) (k 1)!, x [x 0, x 7 ], k = 0, 1,..., 4 valutare i corrispondenti errori di troncamento e confrontarli, ove possibile, con il primo termine omesso. 82

84 Per approssimare il valore della funzione nel punto x = 0.02 con un polinomio di grado 2, scegliamo 3 nodi equidistanti in un intervallo che contiene il punto x = Più precisamente scegliamo x 0 = 0, x 1 = 0.05 e x 2 = 0.10 con h = 0.05 e costruiamo il polinomio interpolatore alle differenze finite. 83

85 A tal fine è necessario costruire la tavola alle differenze finite: x i 0 f i 1 f i 2 f i x 0 f 0 1 f 0 = f 1 f 0 x 1 f 1 2 f 0 = 1 f 1 1 f 0 = (f 2 f 1 ) (f 1 f 0 ) = f 2 2f 1 + f 0 1 f 1 = f 2 f 1 x 2 f 2 cioè x i 0 f i 1 f i 2 f i f 0 = = f 0 = = f 1 = =

86 Nel calcolo del polinomio interpolatore intervengono f 0, 1 f 0 e 2 f 0. Infatti: p 2 (x) = f 0 + x x 0 1 f 0 + (x x 0)(x x 1 ) h 2h 2 2 f 0 = = x x(x 0.05) (0.05) = = x x(x 0.05) Allora f(0.02) p 2 (0.02) = ( ) = = =

87 L errore di troncamento nel punto x = 0.02 è dato da E 2 (0.02) = π 2(0.02) f (3) (ξ), ξ (x 0, x 2 ). 3! Poichè si ha una maggiorazione di f (3) in tutto l intervallo [x 0, x 7 ], risulta E 2 (0.02) = π 2(0.02) 6 f (3) (ξ) π 2(0.02) 2! = ( )( ) 3 =

88 L errore di troncamento si può stimare considerando il primo termine omesso nel polinomio intepolatore (soprattutto quando non si hanno informazioni sulla derivata f n+1 della funzione che si sta interpolando). In questo caso, ponendo si ha T 2 (0.02) = ( s = x x 0 h s = = 2 5 = 0.4 ) 2+1 f 0 = s(s 1)(s 2) 3 f 0 = 6 = 0.4 ( 0.6) ( 1.6) 3 f 0 = f

89 Per completare il calcolo di T 2 (0.02) è necessario valutare termine 3 f 0. Bisogna, quindi, aggiungere un nodo alla tavola delle differenze finite costruita precedentemente, cioè x i 0 f i 1 f i 2 f i 3 f i f 0 = = f 0 = f 1 = = f 0 = f 1 = f 2 = = da cui T 2 (0.02) = f 0 = 0.064( ) =

90 La tavola alle differenze finite costruita precedentemente permette di scrivere anche il polinomio interpolatore di grado 3 costruito considerando i nodi x 0 = 0, x 1 = 0.05, x 2 = 0.10, x 3 = 0.15, cioè da cui p 3 (x) = p 2 (x) + π 3(x) 3!h 3 3 f 0 p 3 (0.02) = p 2 (0.02) + T 2 (0.02) = =

91 In questo caso l errore di troncamento è E 3 (0.02) π 3(0.02) (4 1)! = = ! 4 mentre il calcolo del prime termine omesso richiede l aggiunta di un ulteriore nodo nella tavola delle differenze finite, e cioè x i 0 f i 1 f i 2 f i 3 f i 4 f i f 0 = f 0 = f 2 =

92 da cui T 3 (0.02) = s(s 1)(s 2)(s 3) 4 f 0 = 4! = 0.4 ( 0.6) ( 1.6) ( 2.6) ( ) = ( ) = ! Dalla tavola delle differenze finite si osserva che i termini 2 f i e 3 f i variano poco nell intervallo considerato e quindi il primo termine omesso da una buona stima dell errore commesso approssimando f(0.02) con p n (0.02). Il procedimento precedente si ripete per il calcolo di f(0.12) e f(0.32). 91

93 Interpolazione tramite funzioni splines Se il numero n di dati nell intervallo [a, b] è molto elevato anche il grado n del polinomio interpolatore è molto elevato. Il polinomio interpolatore può presentare delle oscillazioni estranee alla funzione da approssimare (Esempio: fenomeno di Runge). Per evitare questo fenomeno si usa un approccio differente: invece di costruire un unico polinomio interpolatore su tutto l intervallo [a, b] si divide l intervallo in un insieme di sottointervalli e si costruisce un differente polinomio interpolatore in ciascun sottointervallo, cioè si sceglie come funzione approssimante un polinomio a tratti. Esempio Polinomio lineare a tratti: si uniscono i dati {x i, f i }, i = 0,..., n, con una spezzata. Svantaggio: non è differenzia- f 0 f 1 f 2 f 3 f(x) f n 2 f n 1 f n bile nei nodi {x i }. x x x 0 1 x... x n 2 x 3 n 1 n x 2 92

94 Funzioni splines Definizione. Si definisce partizione di un intervallo [a, b] un insieme di punti x i, i = 0, 1,..., n tali che : a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n 1 < x n = b Definizione. Si definisce funzione spline di grado m associata alla partizione di [a, b] una funzione S m (x) tale che S m (x) è un polinomio di grado m in ciascun sottointervallo T i = [x i 1, x i ], i = 1, 2,..., n S m (x) C m 1 [a, b] Nota. S m (x) è un polinomio per x (x i 1, x i ) = S m (x) C (x i 1, x i ) Nota. S (k) m (x i ) = S(k) m (x + i ) per k = 0, 1,..., m 1 = la spline è liscia 93

95 Splines lineari interpolanti Una spline lineare S 1 (x) è un polinomio lineare a tratti nell intervallo [a, b] che nei nodi x i deve soddisfare le condizioni di Continuità : S 1 (x + i ) = S 1(x i ) i = 0, 1,..., n Una spline lineare interpolante nei nodi x i deve soddisfare anche le Condizioni di interpolazione: S 1 (x i ) = y i i = 0, 1,..., n Per x T i = [x i 1, x i ] S 1 (x) P 1. Dalle condizioni di interpolazione = S 1 (x) = 1 h i [ (xi x)y i 1 + (x x i 1 )y i ] h i = x i x i 1 x x i f(x) f n 2 f n 1 = La spline lineare interpolante esiste ed è unica f 0 f 1 f 2 f 3 f n x x x x x... x n 2 x 3 n 1 n 94

96 Una base per lo spazio delle splines lineari Se introduciamo una base (B-splines) B i (x), i = 0,..., n, per lo spazio delle spline lineari tale che B i (x j ) = { 1 se i = j 0 se i j S 1 (x) = n i=0 y i B i (x) x [a, b] La funzione B i (x) è un polinomio lineare in T i che soddisfa il problema di interpolazione: B i (x j ) = e j, j = 0,..., n, dove e i = (0, 0,..., 1,..., 0) B 0 (x) = B i (x) = x x i 1 h i se x [x i 1, x i ] x i+1 x h i+1 se x [x i, x i+1 ] 0 altrove x 1 x h 1 se x [x 0, x 1 ] 0 altrove B n (x) = i = 1,..., n 1 }{{} i x x n 1 h n se x [x n 1, x n ] 0 altrove 95

97 Splines cubiche interpolanti Splines cubiche (m = 3): S (k) 3 (x i ) = S(k) 3 (x+ i Condizioni di interpolazione: S 3 (x i ) = y i ) k = 0, 1, 2 i = 0, 1,..., n Costruzione della spline cubica interpolante S 3 (x) è un polinomio di grado 3 in ogni sottointervallo T i = [x i 1, x i ], i = 1, 2,..., n: s i 2 (x) s i+1 (x) s i+2 (x) S 3 (x) x Ti = s i (x) P 3 s i 1 (x) s i (x) x i 3 x i 2 x i+1 x i+2 x i 1 T i x i 96

98 La derivata seconda di S 3 (x) è una funzione lineare a tratti: S 3 (x) x T i = s i (x) = 1 [ ] (xi x)m i 1 + (x x i 1 )M i h i = x i x i 1 h i s i (x i 1) = M i 1, s i (x i) = M i S 3 (x i) = M i i = 0, 1,..., n M i+1 s i+1 (x) s i+2 (x) M i M i 3 M i 2 s i 2 (x) s i 1 (x) s i (x) M i+2 M i 1 x i 3 x i 2 x i+1 x i+2 x i 1 T i x i Nota. Le costanti M i sono incognite da determinare e individuano Nota. la spline. 97

99 Poichè S 3 (x) è continua si può integrare due volte per ottenere S 3(x): S 3 (x) x T i = s i (x) = T i s i (x)dx = = 1 2h i S 3 (x) x Ti = s i (x) = T i s i (x)dx = = 1 6h i [ (xi x) 2 M i 1 + (x x i 1 ) 2 M i ] + Ci [ (xi x) 3 M i 1 + (x x i 1 ) 3 M i ] + Ci (x x i 1 ) + D i Le costanti di integrazione C i e D i e le incognite M i individuano la spline cubica interpolante e si determinano imponendo che S 3 (x) soddisfi: i) le condizioni di interpolazione: S 3 (x i ) = y i i = 0, 1,..., n ii) la continuità della derivata prima nei nodi interni: S 3 (x i ) = S 3 (x+ i ) s i+1 (x i) = s i (x i) i = 1,..., n 1 98

100 Le condizioni di interpolazione danno y i = s i (x i ) = 1 6h i (x i x i 1 ) 3 }{{} h 3 i M i + (x i x i 1 ) }{{} h i C i + D i = 1 6 h2 i M i + h i C i + D i y i 1 = s i (x i 1 ) = 1 (x i x i 1 ) 3 M 6h i }{{} i 1 + D i = 1 6 h2 i M i 1 + D i h 3 i C i = 1 h i (y i y i 1 ) h i 6 (M i M i 1 ) D i = y i 1 h2 i 6 M i 1 i = 1, 2,..., n S 3 (x) x Ti = s i (x) = 1 [ (xi x) 3 M i 1 + (x x i 1 ) 3 ] M i + [ 6h i 1 + (y i y i 1 ) h ] i h i 6 (M i M i 1 ) (x x i 1 ) + y i 1 h2 i 6 M i 1 99

101 La continuità della derivata prima dà s i+1 (x i) = s i (x i) i = 1,..., n 1 1 (x i+1 x i ) 2 M 2h i+1 }{{} i + C i+1 = 1 (x i x i 1 ) 2 2h i }{{} h 2 h i+1 2 i M i + C i 1 2 h i+1m i + 1 h i+1 (y i+1 y i ) h i+1 6 (M i+1 M i ) = 1 2 h im i + 1 h i (y i y i 1 ) h i 6 (M i M i 1 ) h i 6 M i 1 + h i + h i+1 3 M i + h i+1 6 M i+1 = y i+1 y i h i+1 y i y i 1 h i 100

102 Per i = 1, 2,..., n 1 le relazioni h i 6 M i 1 + h i + h i+1 3 M i + h i+1 6 M i+1 = y i+1 y i h i+1 y i y i 1 h i formano un sistema lineare di n 1 equazioni nelle n + 1 incognite M 0, M 1,..., M n restano due parametri liberi. Spline cubiche naturali Si pone M 0 = M n = 0, il che equivale a richiedere che la spline sia lineare al di fuori dell intervallo [a, b]. 101

103 h 1 +h 2 3 Spline cubiche naturali h M 0 = M n = 0 h 2 h 2 +h 3 h h 0 3 h 3 +h 4 h } h n 1 h n 1 +h n 6 3 {{ } M 1 M 2. M n 2 M n 1 } {{ } = y 2 y 1 h 2 y 1 y 0 h 1 y 3 y 2 h 3 y 2 y 1 h 2 y n 1 y n 2 h n 1 y n y n 1 h n. y n 2 y n 3 h n 2 y n 1 y n 2 h n 1 } {{ } C M = F La matrice dei coefficienti C è simmetrica, tridiagonale, diagonalmente dominante e ha elementi diagonali positivi. La matrice C è definita positiva e, quindi, regolare. La spline cubica naturale interpolante è unica. 102