Calcolare le leggi marginali di probabilità. Le due v.a. sono indipendenti? Calcolare la legge della v.a. X-Y e della v.a. Y-X.

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1 Una coppia di dadi di 4 facce è modellizzata da una coppia di v.a. (X,Y) la cui legge congiunta p X,Y (i,j) è proporzionale al valore i-j. Scrivere la tabella della legge congiunta di probabilità. Calcolare le leggi marginali di probabilità Le due v.a. sono indipendenti? Calcolare la legge della v.a. X-Y e della v.a. Y-X. Calcolare P(X Y) Si indichi con U la v.a. che conta quante volte, su n lanci indipendenti e nelle stesse condizioni della coppia di dadi, si verifica l evento {X Y} ( successo ). Come si distribuisce U? Calcolare E(U), var(u) e (U). Se ora per prova si intende una sequenza di cinque lanci consecutivi e per successo il verificarsi dell evento {X Y} in tutti i cinque lanci, come si distribuisce la v.a. W numero di successi su n prove? Cosa si può dire di P(0 W 12)

2 Si dispone di due dadi di sei facce, uno di colore giallo, non truccato, uno di colore rosso truccato in modo che la probabilità di dare un numero pari sia doppia di dare un numero dispari. Scrivere la legge di probabilità p G (x) della v.a. numero che esce quando si lancia il dado giallo. Scrivere la legge di probabilità p R (x) della v.a. numero che esce quando si lancia il dado rosso. Disegnare il grafico di p R (x) e di F R (x). Prima di lanciare un dado, viene lanciata una moneta che ha probabilità di dare testa pari a 1/3. Se esce testa si lancia il dado giallo, altrimenti quello rosso. Sia T l evento la moneta ha dato testa e C=T. Sia N la v.a. numero che esce dal dado lanciato. Quanto vale p N T (x T)=P(N=x T)? Lo stesso per la v.a. p N C (x C)=P(N=x C).

3 Quanto vale p N (x)? Quanto vale E(N)? Sapendo che N=3 quanto vale la probabilità che sia stato lanciato il dado giallo?

4 Due giocatori A e B giocano a dadi con un dado equilibrato a testa. Ciascuno tira il suo dado e vince chi fa il punteggio più alto. A e B decidono di fare 100 tiri. Determinare la distribuzione di probabilità del numero di tiri vinti da A. Calcolare il valore atteso dei tiri vinti da A e il numero atteso di tiri finiti in pareggio. Similmente sia la v.a. Y: numero di tiri finiti in pareggio A e B decidono ora di tirare fino a che uno dei due non vince. Scrivere la distribuzione di probabilità del numero complessivo di tiri necessari a terminare la partita. Calcolare valore atteso e varianza del numero di tiri necessari a terminare la partita. Sapendo che il primo tiro è finito in pareggio, con che probabilità ce ne vorranno almeno altri due per finire la partita?

5 Sulla tv britannica Channel 4 è andato in onda un interessante documentario, titolo Human Footprint, su consumi e stili di vita in Occidente. Nel corso di un esistenza media di 78 anni, una persona mangia carote, mele, 4,5 mucche, 15 suini, polli, kg di patate, fa l amore volte, pronuncia di parole, consuma litri di benzina e fa sogni. Legge in media 533 libri, usa 5,6 bottigliette di crema abbronzante, fuma sigarette, riceve 628 regali natalizi. Consuma rotoli di carta igienica e versa circa 67 litri di lacrime (fonte Ansa). Per essere (molto più) significativa, di quale indice aggiuntivo necessita ogni voce citata sopra? Soffermiamoci sul penultimo dato e creiamo un modello per il consumo annuo di carta igienica di ogni europeo. A tale scopo si può pensare che il numero di rotoli consumati annualmente sia una v.a. X, uniforme fra 10 e 90. Scrivere la legge di probabilità p X (s) e fare un grafico indicativo della funzione di distribuzione cumulativa F X (s). Calcolare quindi E(X) e var(x). In ipotesi di dedurre la indipendenza del consumo fra persone diverse, legge di probabilità del consumo di due persone