Automi Cellulari ed emergenza: una ricerca con studenti universitari

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1 Automi Cellulari ed emergenza: una ricerca con studenti universitari G. Faraco Dipartimento di Matematica, Università della Calabria, Cubo 30/B, Rende (CS), Italia. R. Servidio Centro Interdipartimentale della Comunicazione, Università della Calabria, Cubo 17/B, Rende (CS), Italia. Sommario Molta parte dell attività didattica scientifica tradizionale, è indirizzata allo studio di argomenti già strutturati che utilizzano prevalentemente dimostrazioni ed esperimenti già noti. Per l esplorazione e lo studio di sistemi che manifestano delle dinamiche complesse ed adattive (il comportamento sociale degli animali, l apprendimento, l evoluzione biologica, l organizzazione dei formicai, ecc.) gli strumenti di indagine tradizionali spesso non bastano: occorre sperimentare metodologie e strumenti innovativi. In questo lavoro presentiamo e analizziamo i risultati di una ricerca, condotta in ambito universitario, sull apprendimento dell emergenza attraverso l utilizzo degli Automi Cellulari (AC) e dello strumento simulazione. I risultati mostrano come l impiego di tali metodi e strumenti possano supportare efficacemente l apprendimento e l esplorazione del concetto di emergenza. Molti studenti hanno ritenuto opportuno progettare e sviluppare propri strumenti di analisi in modo da osservare, con maggiore accuratezza, le proprietà emergenti che l AC manifesta nel corso della sua evoluzione. Keywords: Automi Cellulari, Emergenza, Sistemi dinamici, Modelli di Insegnamento/apprendimento. 1 Introduzione Coloro che si occupano di educazione scientifica riconoscono l importanza di abituare gli studenti all impiego di strumenti i quali permettono di studiare il comportamento sia di aspetti semplici che complessi della nostra realtà. Strumenti non sempre esistenti ma, che a volte, soprattutto quando si vogliono esplorare fenomeni nuovi, devono essere appositamente progettati e costruiti. Pratica adoperata già nel passato, si pensi alla costruzione del cannocchiale da parte di Galileo, al progetto della pompa ad aria di Boyle e Hooke per esperimenti con la bassa pressione e alla costruzione di uno strumento per la misurazione delle maree da parte di Kelvin. Per lo studio del fenomeno dell emergenza, proprietà intrinseca a molti sistemi complessi, gli strumenti tradizionali spesso non bastano: occorre sperimentare metodologie e strumenti innovativi. Nel corso di Metodi Matematici per l Ingegneria, dell Università della Calabria, si è voluto sperimentare un approccio diverso: gli studenti sono stati incoraggiati ad utilizzare modelli e strumenti per lo studio ed una successiva analisi dei fenomeni complessi. Come strumento è stato scelto la simulazione: attraverso la simulazione lo studente acquisisce abilità nel riconoscere un problema, nell identificare le relazioni tra le componenti di un sistema ed è in grado successivamente di controllare il sistema stesso. Come modelli per l investigazione della complessità sono stati scelti gli Automi Cellulari (AC). Secondo questo modello un sistema può essere rappresentato come composto da tante semplici parti: l evoluzione di ognuna di queste parti evolve interagendo con le parti vicine. Per cui l evoluzione globale del sistema emerge dalle evoluzioni di tutte le parti elementari. In questo lavoro sono presentati i risultati della sperimentazione che persegue l obiettivo di indagare, in generale, l utilizzo degli AC in ambito didattico ed in particolare, l utilizzo delle simulazioni e degli AC per l apprendimento dell emergenza. 2 Automi Cellulari ed emergenza Un AC è un sistema dinamico deterministico costituito da un numero finito di unità elementari (celle o siti) disposte in uno spazio a una o più dimensioni, che interagiscono tra loro localmente manifestando comportamenti globali di notevole complessità. Ogni cella dell automa può essere vista come un unità di elaborazione che riceve in input il suo stesso stato e lo stato dei vicini al tempo t e restituisce in output il proprio stato al tempo t+1. Lo stato di ognuna delle celle varia secondo una semplice regola locale comune per tutte le

2 celle: esso, ad un dato istante, dipende dallo stato della cella stessa e dagli stati delle celle che sono ad essa vicine all istante precedente. Il numero delle celle interessate varia a seconda del cosiddetto raggio di influenza. L evoluzione del sistema è determinata da uno stato iniziale che assegna un valore di partenza alle celle. Le leggi che ne regolano l andamento si chiamano regole di evoluzione ed indicano come variano i valori delle celle centrali a seconda del valore della cella stessa e delle celle che si trovano nel raggio di influenza L aggiornamento degli stati di tutte le celle avviene in maniera sincrona, perciò questi sistemi sono considerati massicciamente paralleli. Lo stato dell AC è l insieme degli stati delle celle ed evolve in passi temporali discreti. Seguendo Wolfram [1] gli AC unidimensionali possono essere classificati in 4 classi principali: I. L evoluzione porta ad uno stato stabile ed omogeneo (tutte le celle hanno lo stesso valore); II. L evoluzione porta ad un insieme di strutture stabili semplicemente separate o periodiche; III. L evoluzione porta a patterns caotici; IV. L evoluzione porta a strutture localizzate e complesse che, alcune volte, vivono per tempi lunghi. Attraverso semplici meccanismi di evoluzione, gli AC producono patterns diversificati con strutture regolari e nidificate in alcuni casi e strutture caotiche in altri casi. Il pattern può rappresentare un dominio regolare (vedi Figura 1) o uno stato quiescente. Figura 1: La figura mostra alcuni dei domini regolari evidenziati dal pattern evolutivo degli AC con k=4 e r=2. Nei sistemi complessi il comportamento degli AC presenta caratteristiche interessanti non evidenziate in regimi ordinati e caotici. Nei particolari tipi di AC appartenenti alla classe IV di Wolfram [1] sono osservate strutture emergenti, la cui dinamica può presentare differenti comportamenti. Tali strutture possono essere facilmente osservate su sfondo omogeneo e si propagano in modo periodico nello spazio e nel tempo. Queste ultime strutture periodiche sono identificate come gliders [2] [3]. I gliders (vedi Figura 2) sono particelle che, stabilendo delle relazioni tra le celle, riescono a mantenere con una certa periodicità la loro struttura. L interazione, per collisione, di queste strutture periodiche porta a conseguenze diverse, dall estinzione alla generazione di nuovi gliders. (a) (c) Figura 2: Nella figura sono mostrati gliders su domini regolari (a) e (b) appartenenti a pattern di AC con k=3 e r=2 e gliders su stati quiescenti (c) e (d) appartenenti a pattern di AC con k=5 e r=1. L analisi dell interazione tra particelle e tra particelle e altre particelle emergenti, fornisce una grande quantità di informazioni sul sistema in esame. La presenza di gliders, ad esempio, consente in sistemi di particelle identiche soggette ad interazioni locali, di trasportare la informazione da una parte all altra all interno del sistema [1][4][5]. 3 La ricerca Il lavoro è stato svolto durante l anno accademico 2000/ 2001 presso l Università della Calabria con gli studenti iscritti al corso di Metodi Matematici per l Ingegneria, nell ambito degli insegnamenti relativi al corso di laurea in Ingegneria Informatica. Il corso, di 12 crediti, persegue l obiettivo di presentare strumenti e metodi matematici utili in contesti applicativi. E previsto lo svolgimento di esercitazioni sia di carattere teorico che sperimentale utilizzando il calcolatore per effettuare varie simulazioni. 4 Soggetti La ricerca è stata condotta con 153 studenti frequentanti il corso di Metodi Matematici per l Ingegneria. Si tratta di studenti iscritti al secondo anno del corso di Laurea in Ingegneria Informatica. La maggior parte degli studenti, inoltre, ha dimostrato di conoscere i concetti base della programmazione ed i più noti ambienti di sviluppo come C, C++, Java, Visual Basic, ecc. (b) (d)

3 Prima di affrontare lo studio degli AC i soggetti, all interno del corso, avevano acquisito conoscenze relative ai seguenti argomenti: Equazioni differenziali lineari del I e del II ordine. Sistemi di equazioni differenziali lineari. Sistemi di equazioni differenziali non lineari: punti fissi. Linearizzazione e classificazione dei punti fissi. Attrattori e biforcazioni. 5 Materiali Agli studenti è stato fornito un simulatore di AC: il software GlidAn. Esso è stato progettato e implementato appositamente dal Prof. Pietro Pantano, docente del corso, sulla base di un modello teorico che tratta gli AC come sistemi dinamici deterministici. Il simulatore fornisce un diagramma spazio/tempo che rappresenta l evoluzione dell AC associando ad ogni stato del sito un colore diverso. Le sue funzionalità principali riguardano: Generazione di pattern. Analisi delle emergenze. Per generare il pattern dell AC bisogna fornire al programma i dati che individuano l automa stesso. L utente deve impostare i seguenti parametri: numero delle celle, numero di stati, intorno, raggio di influenza e tempo di evoluzione (vedi Figura 3). Figura 3: La figura mostra come il software GlidAn visualizza il pattern di un AC con k=3 e r=2, una volta inseriti i parametri richiesti. Per l analisi delle emergenze, riconosciuto nel pattern la presenza di un glider e utilizzando appositi strumenti è possibile visualizzare il glider ingrandito e il codice corrispondente (vedi Figura 4). Il software permette, inoltre di verificare le interazioni tra gliders evidenziando l eventuale nascita di nuove particelle. Per l individuazione delle regole da assegnare è stato utilizzato un approccio evolutivo che esplora lo spazio delle regole in AC multistato. Adoperando un algoritmo genetico [6] sono state trovate regole complesse che evidenziano comportamenti di sistemi che appartengono alla classe IV di Wolfram. L uso dell Algoritmo Genetico (GA) ha permesso di ottenere una enorme quantità di regole con comportamenti complessi. In particolare, scelto il numero k di stati e il raggio r di influenza (dimensione dell intorno), sono state generate 40 regole da ogni assegnazione di k ed r. Figura 4: La figura mostra, nella finestra a destra, il glider ingrandito e nella stringa sottostante ne mostra il codice. Ad ogni studente è stato assegnato un AC (vedi Tabella 1) individuato da un codice regola e da una regola di evoluzione che individua lo stato iniziale dell automa stesso, dato da una stringa di valori interi. Codice Regola 1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 Regola Tabella 1: Alcune delle regole assegnate. Il codice regola fornisce indicazioni circa il numero k di stati (valori) che la cella può assumere, il raggio r di influenza dell AC e la famiglia a cui l automa considerato appartiene, dove per fam1/2 si intende la seconda regola della prima evoluzione. In particolare sono state assegnate 137 regole del tipo evidenziato nella tabella seguente (vedi Tabella 2). Numero regole assegnate Codice regola 5 K=3 R=1 22 K=3 R=2 69 K=4 R=1 1 K=4 R=2 21 K=5 R=1 19 K=8 R=1 Tabella 2 : Numero e tipologia di regole assegnate agli studenti.

4 La scelta di tali regole è stata dettata da criteri di complessità e presenza di gliders. 6 Metodo La metodologia seguita rappresenta un momento di sintesi tra due differenti approcci: simulazione e capacità di osservazione. Gli studenti, dopo aver sperimentato con l utilizzo del software GlidAn l evoluzione dell AC, sono passati alla rappresentazione di una dettagliata osservazione e descrizione delle caratteristiche emergenti. L apporto dato dal docente ha riguardato: Una introduzione storica dell argomento [7] [8]. Importante al fine di ben individuare il problema dal quale è nata la Teoria degli Automi Cellulari introdotti, agli inizi degli anni 50, da von Neumann nel tentativo di formulare modelli per simulare la complessità dei fenomeni biologici ed in particolare nel formalizzare il problema della riproduzione. Una introduzione della classificazione di Stephen Wolfram delle classi di automi cellulari [1]. Importante al fine di comprendere quali AC manifestano gliders e/o particelle emergenti. L esplorazione guidata dell AC Life di John Conway [2]. Automa Cellulare che, nella sua semplicità di regole, presenta delle caratteristiche emergenti interessanti come l aliante, esempio di struttura periodica e progressiva. L esplorazione delle caratteristiche emergenti degli automi cellulari. Le informazioni di carattere teorico sono state corredate, nelle ore dedicate alle esercitazioni, dalla presentazione e guida all uso del software GlidAn. Per la verifica delle conoscenze acquisite dagli studenti si è proceduto assegnando ad ognuno un AC da studiare ed analizzare nelle sue caratteristiche emergenti. Allo studente, infine, è stato richiesto di preparare una relazione in modo da illustrare e presentare: l analisi dell automa assegnato, le figure generate dalle singole evoluzioni, le caratteristiche emergenti. 7 Risultati Dalla catalogazione dei 137 AC assegnati, gli studenti hanno evidenziato (vedi Tabella 3) stati quiescenti (182), domini regolari (957) e gliders (1087). Se pur non richiesto dal compito, molti studenti hanno analizzato un numero considerevole (434) di interazioni tra particelle emergenti che hanno evidenziato la nascita di nuove particelle (158), alcune delle quali riconosciute come nuovi glider (24). Caratteristiche emergenti dei CA Numero Stati quiescenti 182 Domini regolari 957 Gliders 1087 Interazioni effettuate 434 Tabella 3: Caratteristiche emergenti individuate dagli studenti nell analizzare i patterns degli AC. Il grafico (vedi Figura 3) mostra, in percentuale, il numero di studenti (92%) che hanno analizzato i domini regolari, il numero di studenti (96%) che hanno analizzato gli stati quiescenti e il numero di studenti (99%) che hanno analizzato i gliders. Percentuale delle caratteristiche emergenti individuate dagli studenti 99% 96% Domini regolari Stati quiescenti Gliders 92% Figura 5: Caratteristiche emergenti individuate dagli studenti nell analizzare i patterns degli AC. Non tutti gli studenti hanno eseguito un analisi corretta e completa dell automa assegnato analizzando solo alcune delle caratteristiche emergenti e trascurandone altre. 8 Analisi dei risultati Nell analizzare i lavori svolti sono stati presi in considerazione i seguenti aspetti: Comprensione dell argomento (formulazione di ipotesi), è stata valutata la metodologia adottata nell analizzare le caratteristiche dell AC assegnato. Articolazione del lavoro rispetto ai risultati ottenuti (analisi del problema), è stato valutato il livello ed il grado di comprensione dell argomento. Impiego di strumenti nell analizzare l AC (modellizzazione di fenomeni tramite la simulazione) è stato valutato come l uso di specifici strumenti di simulazione influisce sull analisi e comprensione dei problemi. Risultati innovativi (individuazione di strategie di problem solving) è stato valutato come l introduzione da parte degli studenti di nuove procedure e metodologie di analisi contribuisce a risolvere, in modo innovativo, specifici problemi. Ristrutturazione dei problemi rispetto alle proprie ipotesi di studio (scoperta di relazioni funzionali), è stato valutato come la scoperta di relazioni favorisce lo sviluppo di abilità e strategie soggiacenti alla risoluzione di problemi. Per quanto riguarda, la comprensione dell argomento il 26% degli studenti ha presentato una relazione da cui traspare una conoscenza approfondita (e in alcuni casi molto approfondita) dell argomento. Per ciò che riguarda l analisi completa dei gliders e dei domini regolari, il 74% degli studenti ha presentato un catalogo dell AC

5 soddisfacente e puntuale con l indicazione e la rappresentazione di molti gliders e domini regolari appartenenti allo stesso. Rispetto alla procedura metodologica assegnat a che vede l analisi del pattern e quindi il riconoscimento di domini regolari e gliders come operazione successiva alla raffigurazione del pattern stesso, molti studenti (48%) hanno apportato dei cambiamenti metodologici che ha portato all individuazione di caratteristiche emergenti interessanti. Essi hanno fatto evolvere l AC a partire da dati iniziali particolari, producendo così pattern diversi che, spesso, hanno evidenziato gliders molto più complessi. Molti studenti hanno ottenuto nuovi domini regolari particolari componendo i domini regoli già individuati. 9 Conclusioni e discussione Dall analisi dei risultati, si evince come gli studenti abbiano acquisito capacità: Nell osservare il pattern dell AC identificandone ed illustrandone le caratteristiche che contraddistinguono simili modelli, come stati quiescenti, domini regolari, gliders ed altro ancora. Di analizzare, nel tempo, le particolarità che emergevano durante l evoluzione dell AC. Di esplorare le dinamiche dell AC in modo da rilevarne le strutture che manifestano delle dinamiche emergenti Dai criteri individuati è stato possibile rilevare le strategie che gli studenti hanno messo in atto nell investigare le proprietà dell AC. Dalle relazioni consegnate si evince come la maggior parte degli studenti abbia compreso l argomento del corso realizzando, in modo anche approfondito, sia dettagliate descrizioni ed analisi delle proprietà individuate che strumenti di analisi in grado di esplorare meglio le caratteristiche dell AC. Alcuni studenti hanno progettato e sviluppato, autonomamente, complessi e potenti simulatori di AC adoperando linguaggi di programmazione come C, C++, Java e Visual Basic. In definitiva, possiamo affermare che gli studenti hanno: Appreso capacità nel formulare ipotesi ed analizzare il comportamento del sistema. Infatti, la maggior parte dei discenti ha adoperato metodologie che hanno permesso di identificare e spiegare le dinamiche emergenti. Sviluppato strategie di problem solving analizzando, nel dettaglio, le proprietà esibit e dal sistema. Scoperto le relazioni funzionali che sono alla base dei comportamenti complessi. Infatti, parte degli studenti si è dedicata, inizialmente, allo sviluppo di adeguati simulatori di AC in modo da poter analizzare il comportamento del sistema secondo le proprie ipotesi di studio. L impiego degli AC si è dimostrato proficuo poiché ha permesso agli studenti di apprendere il concetto di emergenza familiarizzando con i comportamenti che, di volta in volta, caratterizzavano l andamento del sistema. In termini di approccio, l importanza di utilizzare gli AC per l apprendimento dell emergenza in aggiunta a strumenti di computer simulation si può riassumere in tre aspetti: (1) solitamente i concetti scientifici, legati a comportamenti complessi, sono difficili da apprendere se non supportati da strumenti adeguati; (2) la simulazione ha permesso, agli studenti, di esplorare e comprendere, partendo da semplici regole iniziali, l emergere di comportamenti complessi; (3) l impiego degli automi cellulari consente di modellare, studiare ed analizzare il comportamento di fenomeni emergenti. Gli AC si sono rivelati come validi strumenti didattici in quanto si prestano ad essere rappresentati utilizzando varietà di colori che si modificano al variare dello stato di ogni singola cella. Una tale visualizzazione accompagna la comprensione del cambio di stato che viene ad essere meglio percepita dai discenti. L importanza di integrare teoria, esercitazioni ed impiego della simulazione ha permesso agli studenti di apprendere, attivamente, poiché conoscenza e acquisizione di abilità concettuali si sono perfettamente integrate. Infatti, i risultati dimostrano come gli studenti siano stati in grado di comprendere il concetto di emergenza grazie allo studio degli automi cellulari. Dai materiali prodotti essi dimostrano di aver acquisito sia competenze concettuali, individuate dal modo in cui hanno descritto i fenomeni rappresentati, che capacità nel formulare ipotesi e risolvere, in modo autonomo ed innovativo, particolari problemi. Ringraziamenti Sentiamo il dovere di ringraziare il Prof. Pietro Pantano che ha messo a disposizione i materiali raccolti e senza il cui contributo non sarebbe stato possibile realizzare il lavoro. Bibliografia [1] S. Wolfram (1984), Universality and complexity in cellular automata. Physica D, Vol. 10, pp [2] H. J. Conway (1982), What is Life. In E. Berlekamp, J. H. Conway and R. Guy (Eds), Winning ways for your mathematical plays, Vol. 2, chap. 25, Academic Press, New York. [3] A. Wuensche (1999), Classifying Cellular Automata Automatically: Finding gliders, filtering and relating spacetime patterns, attractors basins and the Z parameter. Complexity, 4-3, pp [4] W. Hordijk, C. R. Shalizi, J. P. Crutchfield (2001), Upper Bound on the products of particle interactions in cellular automata. Physica D, Vol. 154, pp [5] C. G. Langton (1990), Computation at the edge of chaos: phase transitions and emergent computation. Physica D, Vol. 42, pp

6 [6] E. Bilotta, A. Lafusa, P. Pantano (2003), Searching for complex CA rules with Gas. Complexity, 8-3, pp [7] J. von Neumann (1966), Theory of Self Reproducing Automata. University of Illinois Press, Urbana, Illinois. [8] E. F. Codd (1968), Cellular Automata. Academic Press, New York. [9] D. Parisi (2001), Simulazioni. La realtà rifatta nel computer. il Mulino, Bologna, Italia.