Inferenza sui parametri della normale multidimensionale

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1 Capitolo 3 Inferenza sui parametri della normale multidimensionale Un campione casuale semplice k-dimensionale di numerosità n è rappresentato da X 1 X 11. X 1k,..., X n X n1. X nk dove i vettori aleatori X i che individuano le singole osservazioni sono tra loro indipendenti ed hanno la stessa distribuzione. Complessivamente la matrice casuale delle osservazioni campionarie è data da X X 1. X n X X 1k.. X n1... X nk 3.1 Stimatori di massima verosimiglianza dei parametri della normale multivariata Siano x 1,..., x n n realizzazioni indipendenti del vettore aleatorio X N k (µ, Σ). Considerando la Definizione 1.1 e la (.7), la funzione di verosimiglianza assume la forma seguente L(µ, Σ) (π) nk/ Σ n/ exp [ 1 1 (x i µ) Σ 1 (x i µ) (3.1)

2 A. Pollice - Statistica Multivariata Prendendo il logaritmo naturale di detta funzione otteniamo la funzione di log-verosimiglianza l(µ, Σ) nk ln(π) n ln Σ 1 (x i µ) Σ 1 (x i µ) (3.) Per ricavare le espressioni degli stimatori di massima verosimiglianza dei parametri µ e Σ dovremmo risolvere il sistema seguente l(µ,σ) µ o l(µ,σ) Σ Al fine di semplificare i calcoli possiamo riparametrizzare il problema assumendo di voler stimare Σ 1. Le equazioni di verosimiglianza diventano quindi l(µ,σ 1 ) µ o l(µ,σ 1 ) Σ 1 o o (3.3) Sviluppando il termine a sinistra della prima equazione del sistema (3.3) otteniamo l(µ, Σ 1 ) 1 µ µ (x i µ) Σ 1 (x i µ) Σ 1 (x i µ) (3.4) mentre per la seconda equazione l(µ, Σ 1 ) Σ 1 n Σ 1 ln Σ 1 1 }} A Σ 1 (x i µ) Σ 1 (x i µ) }} B (3.5) Ricordando che Σ 1 è simmetrica e che per qualsiasi matrice quadrata Q vale Q / Q Q (Q ) 1 risulta A 1 Σ 1 Σ 1 (Σ 1 ) 1 (Σ 1 ) 1 (3.6) Inoltre indicando con Σ 1 jl l elemento jl-esimo della matrice Σ 1 e con [a jl la matrice di elemento generico a jl, si ha [ Σ 1 B jl (x ij µ j )(x il µ l ) Σ 1 jl [(x ij µ j )(x il µ l ) (x i µ)(x i µ) (3.7)

3 Cap.3: Inferenza sui parametri della normale multidimensionale 3 Sostituendo la (3.4), la (3.6) e la (3.7) il sistema (3.3) delle equazioni di verosimiglianza diventa dunque ˆΣ 1 n (x i ˆµ) o n (ˆΣ 1 ) 1 1 n (x i ˆµ)(x i ˆµ) o cioé con pochi passaggi ˆµ 1 n n x i X (ˆΣ 1 ) 1 1 n n (x i X)(x i X) S Vettore delle medie campionarie (3.8) Indichiamo con u n il vettore unitario di dimensione n e con X la matrice casuale le cui righe X 1,..., X n rappresentano le unità k-dimensionali di un campione casuale semplice estratto da una popolazione X N k (µ, Σ). È evidente che X 1 n X u n (3.9) ha distribuzione normale k-dimensionale. Inoltre poiché X ( X 1,..., X k ) ho che: E( X) [E( X 1,..., X k ) (µ 1,..., µ k ) µ (3.10) Il vettore delle medie campionarie è dunque uno stimatore corretto. È ben noto che per j 1,..., k Var( X j ) σ j n Inoltre per j l, con j, l 1,..., k Cov( X j, X l ) 1 n Cov ( X ij, ) X hl h1 1 n Cov(X ij, X il ) (3.11) 1 n σ jl (3.1) Complessivamente, dunque, risulta che lo stimatore di massima verosimiglianza del vettore di parametri µ è caratterizzato dalla seguente distribuzione campionaria: X N k (µ, 1 Σ) (3.13) n

4 4 A. Pollice - Statistica Multivariata 3.1. Matrice di varianze e covarianze campionarie Ponendo Y i X i µ ed Y (Y 1,..., Y n ) per i 1,..., n otteniamo la seguente espressione per la matrice di varianze e covarianze campionarie S 1 n 1 n (X i X)(X i X) (Y i Ȳ )(Y i Ȳ ) 1 n (Y Y + nȳ Ȳ nȳ Ȳ nȳ Ȳ ) 1 ( Y Y 1 ) n n Y u n u ny 1 (I n Y n 1 ) n U n Y (3.14) La matrice I n 1 n U n è simmetrica e da semplici calcoli risulta anche idempotente. Di conseguenza il suo rango è uguale alla traccia, ovvero ad n 1. Dalla (.6) discende dunque che lo stimatore di massima verosimiglianza della matrice Σ è caratterizzato dalla seguente distribuzione campionaria: ns Y (I n 1 n U n)y W k (Σ, n 1) (3.15) Infine poiché S 1... S 1k S..... S k1... Sk con E(S j ) (n 1)σ j /n e E(S jl) (n 1)σ jl /n, la matrice di varianze e covarianze campionarie S risulta essere uno stimatore distorto di Σ: E(S) n 1 n Σ (3.16) Uno stimatore corretto di Σ è semplicemente definito da: S n n 1 S (3.17)

5 Cap.3: Inferenza sui parametri della normale multidimensionale 5 3. Teorema del limite centrale multivariato Teorema 3.1 Siano X 1,..., X n vettori aleatori k-dimensionali indipendenti aventi media µ e matrice di varianze e covarianze Σ. La distribuzione della quantità n (X i µ)/ n per n è N k (o, Σ) 1 n L (X i µ) N k (o, Σ) (3.18) Infatti se si pone Y n (X i µ)/ n e per qualsiasi t R k ed s R, si può scrivere la seguente funzione generatrice dei momenti M Y (ts) Eexp[st Y } M Z (s) (3.19) nella (3.19) la funzione generatrice dei momenti della variabile k dimensionale Y coincide con quella della variabile unidimensionale Z t Y n (t X i t µ)/ n. Le variabili aleatorie t X i sono indipendenti e hanno media e varianza comuni per i 1,..., n e rispettivamente pari a t µ e t Σt. Per il teorema del limite centrale univariato possiamo dire che per n la variabile aleatoria Z converge in distribuzione alla N(0, t Σt). Quindi per n la funzione generatrice dei momenti di Z ha forma nota data da ( ) 1 lim M Z(s) exp n s t Σt lim M Y (ts) (3.0) n In particolare se s 1 ( ) 1 lim M Y (t) exp n t Σt (3.1) e per la (.17) si deduce che al divergere di n il vettore aleatorio Y converge in distribuzione alla N k (o, Σ). 3.3 Principi generali per la costruzione di test in ambito multivariato Sia X un vettore aleatorio k-dimensionale dotato di densità f(x, ω) governata dal parametro multidimensionale ω a valori nello spazio parametrico Ω. Sia inoltre ω (θ, ψ) dove θ Θ è il parametro oggetto di indagine e ψ è detto parametro di disturbo.

6 6 A. Pollice - Statistica Multivariata Principio del rapporto di verosimiglianze generalizzato Siano Θ 0 Θ e Θ 1 Θ Θ 0. Si consideri il seguente generico sistema di ipotesi: H0 : θ Θ 0 H 1 : θ Θ 1 Se osserviamo n repliche indipendenti del vettore aleatorio X, è possibile rappresentare l informazione riguardante θ contenuta nel campione x 1,..., x n tramite la funzione di verosimiglianza L(θ) n f(x i, θ) Consideriamo allora la quantità λ sup θ Θ 0 L(θ) sup θ Θ L(θ) (3.) La (3.) risulta da una generalizzazione del lemma di Neyman-Pearson. Intuitivamente λ, che assume valori compresi tra 0 e 1, misura la plausibilità dell ipotesi nulla alla luce del dato oservato: quanto maggiore è il suo valore, tanto più verosimile risulta H 0. La regione critica di un generico test del rapporto di verosimiglianze generalizzato ha quindi la forma (x 1,..., x n ) λ < c} dove c è una costante scelta in modo che il test abbia livello di significatività prefissato e pari ad α: Prλ < c H 0 } α. Wilks (196) ha dimostrato come sotto l ipotesi nulla e se si verificano determinate condizioni di regolarità della verosimiglianza, la distribuzione campionaria asintotica dei test del rapporto di verosimiglianze generalizzato sia assimilabile alla χ. In particolare la quantità ln λ tende a distribuirsi come una χ con numero di gradi di libertà p pari alla dimensione del parametro oggetto dell ipotesi nulla: ln λ L χ p (3.3) La regione critica è dunque data da (x 1,..., x n ) : ln λ > χ p,α} Principio di unione-intersezione In questa sezione si assume che una data ipotesi parametrica multidimensionale sia scomponibile in diverse ipotesi unidimensionali (Roy, 1953). Sia θ un vettore p-dimensionale di parametri. Considero il generico sistema di ipotesi H0 : θ θ 0 H 1 : θ θ 0

7 Cap.3: Inferenza sui parametri della normale multidimensionale 7 Se a R p è un generico vettore di costanti, allora θ θ 0 a θ a θ 0, a R p mentre θ θ 0 ã R p ã θ ã θ 0 Quindi se definiamo l ipotesi nulla unidimensionale H 0 (a) : a θ a θ 0 H 0 a R p H 0 (a) Inoltre se per l ipotesi unidimensionale H 0 (a) possiamo costruire la regione critica R(a) e la regione di accettazione A(a), allora per l ipotesi multidimensionale tali regioni sono rispettivamente date da R R(a) A A(a) (3.4) a R p a R p Pertanto rigettiamo H 0 se H 0 (a) viene rigettata per almeno una determinazione di a, non la rigettiamo se H 0 (a) non viene rigettata per nessuna determinazione di a. Questo criterio esposto con riferimento alla combinazione lineare delle componenti del vettore θ vale per qualsiasi ipotesi nulla multidimensionale esprimibile come intersezione di ipotesi unidimensionali. 3.4 Verifica di ipotesi sul vettore delle medie Sulla base di n replicazioni indipendenti di X N k (µ, Σ) si voglia verificare il sistema di ipotesi multidimensionali H0 : µ µ 0 H 1 : µ µ 0 Considerando il vettore k-dimensionale di costanti a e la combinazione lineare unidimensionale a X che ha distribuzione N(a µ, a Σa) definisco il sistema di ipotesi unidimensionali H0 (a) : a µ a µ 0 H 1 (a) : a µ a µ 0 Detti X ed S gli stimatori di µ e Σ possiamo costruire il test per la verifica dell ipotesi unidimensionale basato sulla statistica t n 1(a X a µ 0 ) t(a) (3.5) a Sa

8 8 A. Pollice - Statistica Multivariata con regione di accettazione data da t (a) (n 1)a ( X µ 0 )( X µ 0 ) a a Sa < t n 1,α (3.6) Per il principio di unione-intersezione il mancato rigetto delle ipotesi univariate H 0 (a) per qualsiasi configurazione del vettore a implica che l ipotesi multivariata H 0 non venga rigettata. La regione di accettazione dell ipotesi multivariata ha quindi la forma max a t (a) < t n 1,α (3.7) Nel determinare il suddetto punto di massimo bisogna notare che la statistica t (a) è insensibile ai cambiamenti di scala degli elementi di a, in altri termini essa assume lo stesso valore per a e per ca con c R. Al fine di rimuovere questa indeterminatezza viene imposta la condizione a Sa 1. Si tratta a questo punto di risolvere il seguente problema di massimo vincolato t (a) (n 1)a ( X µ 0 )( X µ 0 ) a max a (3.8) Sa 1 La funzione lagrangiana è data da L(a, λ) (n 1)a ( X µ 0 )( X µ 0 ) a λ(a Sa 1) (3.9) La derivata della (3.9) rispetto al moltiplicatore λ restituisce il vincolo, mentre derivando la funzione lagrangiana rispetto all argomento a della funzione da massimizzare ottengo L(a, λ) a [(n 1)( X µ 0 )( X µ 0 ) λsa o (3.30) Quest ultima espressione porta in primo luogo a: λ (n 1)a ( X µ 0 )( X µ 0 ) a a Sa t (a) (3.31) La (3.30) individua un sistema lineare omogeneo con a vettore delle incognite: tale sistema ammette soluzioni diverse dalla banale per valori di λ che soddisfano la seguente equazione caratteristica: (n 1)( X µ 0 )( X µ 0 ) λs 0 (3.3) ovvero rango1 }} (n 1) S 1 ( X µ 0 )( X µ 0 ) λi 0 (3.33) }} rango1

9 Cap.3: Inferenza sui parametri della normale multidimensionale 9 Esiste dunque una sola radice non nulla dell equazione caratteristica, quindi il valore del moltiplicatore λ che massimizza la funzione lagrangiana coincide con l unico autovalore non nullo λ della matrice (n 1)S 1 ( X µ 0 )( X µ 0 ). Dalle considerazioni precedenti risulta che T max t (a) λ (3.34) a Inoltre poiché la somma degli autovalori non nulli di una matrice è pari alla traccia della stessa, T λ (n 1)tr[S 1 ( X µ 0 )( X µ 0 ) (n 1)tr[( X µ 0 ) S 1 ( X µ 0 ) (n 1)( X µ 0 ) S 1 ( X µ 0 ) (3.35) La statistica appena ricavata viene denominata test T di Hotelling: grazie all assunzione di normalità delle osservazioni e per la proprietà.10 e la (3.15) T ha distribuzione campionaria T di Hotelling k-dimensionale con n 1 gradi di libertà T T k (n 1) (3.36) La regione critica ha la forma seguente: Proprietà 3. Per la (.8) vale: (x 1,..., x n ) T > T k (n 1, α)} (3.37) F n k k(n 1) T F k,n k (3.38) Proprietà 3.3 La statistica T è invariante per trasformazioni lineari dei dati di partenza. Infatti posto Y AX + a si ha che T (n 1)(A X + a Aµ 0 a) (ASA ) 1 (A X + a Aµ 0 a) (n 1)( X µ 0 ) S 1 ( X µ 0 ) (3.39) Proprietà 3.4 Il test T di Hotelling può esser ricavato anche come test del rapporto di verosimiglianze generalizzato (Anderson, 1984; Vitali, 1995). Proprietà 3.5 Il test T è UMP (uniformemente più potente) nella classe dei test invarianti per trasformazioni lineari delle osservazioni (Anderson, 1984). Proprietà 3.6 Il test T è ammissibile: non c è altro test per la verifica della stessa ipotesi che abbia potenza superiore a quella del test di Hotelling per qualsiasi valore del livello di significatività (Anderson, 1984).

10 30 A. Pollice - Statistica Multivariata Stima per intervallo di µ Tenendo conto della (3.36) possiamo scrivere: Pr(n 1)( X µ) S 1 ( X µ) < T k (n 1, α)} 1 α (3.40) il che significa affermare che con probabilità 1 α la media µ giace all interno di un ellissoide k-dimensionale di centro X e forma e dimensioni dipendenti da S ed α. L espressione precedente viene detta ellissoide di confidenza di µ. Per indagare su quali componenti del vettore aleatorio si discostano più marcatamente dall ipotesi nulla possiamo scrivere PrT < T k (n 1, α)} Prt (a) < T k (n 1, α) a} 1 α (3.41) ovvero Pr (n 1) a ( X µ)( X µ) } a a Sa < T k (n 1, α) a 8 s s 9 < Pr : a X T k(n 1, α) a Sa n 1 < a µ < a X + T k(n 1, α) a Sa n 1 a ; 1 α (3.4) Al variare del vettore a l espressione precedente dà luogo agli intervalli di confidenza simultanei per tutte le combinazioni lineari degli elementi del vettore µ. L ellissoide di confidenza può essere esplorato tramite opportune configurazioni del vettore a quali (1, 0,..., 0) per µ 1, (1, 1, 0,..., 0) per µ 1 µ e così via. 3.5 Verifica dell uguaglianza tra due vettori di medie Il test di Hotelling viene utilizzato anche per il confronto tra le medie di due popolazioni indipendenti, ovvero per verificare H0 : µ 1 µ o (3.43) H 1 : µ 1 µ o Siano X 11,..., X n1 1 ed X 1,..., X n due campioni di osservazioni indipendenti riferiti a popolazioni indipendenti distribuite come N k (µ 1, Σ) e N k (µ, Σ). Detti X1 ed X i vettori delle medie dei due campioni, per la (3.13) abbiamo che X 1 N k (µ 1, Σ/n 1 ) e X N k (µ, Σ/n ), quindi sotto H 0 ho che, essendo i due campioni indipendenti, per la (.1) n1 n n 1 + n ( X 1 X ) N k (o, Σ) (3.44)

11 Cap.3: Inferenza sui parametri della normale multidimensionale 31 Sia inoltre S p la matrice di varianze e covarianze comune (pooled) stimata tramite i due campioni n1 S p (X i1 X 1 )(X i1 X 1 ) + n j1 (X j X )(X j X ) n 1 + n (3.45) I due addendi al numeratore dell espressione precedente sono indipendenti e per la (3.15) hanno distribuzione di Wishart k-dimensionale con matrice di scala Σ e rispettivamente n 1 1 ed n 1 gradi di libertà. Quindi per la (.7) (n 1 + n )S p W k (Σ, n 1 + n ) e complessivamente per la (.9) S 1 p (n 1 +n ) n 1n ( n 1 + n X 1 X ) n 1 + n ( X 1 X ) T k(n 1 +n ) (3.46) Il principio del rapporto di verosimiglianze generalizzato ed il principio di unione-intersezione concordano nell individuare come funzione test per la verifica dell uguaglianza tra due vettori di medie la statistica la cui regione critica è data da ovvero per la (.8) T n 1n n 1 + n ( X 1 X ) S 1 p ( X 1 X ) (3.47) T > T k(n 1 + n, α) (3.48) T > (n 1 + n )k n 1 + n k 1 F k,n 1 +n k 1(α) (3.49) Proprietà 3.7 L ellissoide di confidenza per µ 1 µ è dato dall espressione seguente: j ff n1 n Pr [ X 1 X (µ 1 µ ) Sp 1 [ X 1 X (µ 1 µ ) < T k n 1 + n (n 1 + n, α) 1 α (3.50) Proprietà 3.8 Gli intervalli di confidenza simultanei per le combinazioni lineari delle componenti del vettore µ 1 µ sono dati da: Pr a ( X 1 X ) K < a (µ 1 µ ) < a ( X 1 X ) + K } 1 α (3.51) con K (n 1 + n )T k (n 1 + n, α)a S p a/n 1 n.

12 3 A. Pollice - Statistica Multivariata Proprietà 3.9 Problema di Behrens-Fisher. Se le due popolazioni di partenza non hanno la stessa matrice di varianze e covarianze, posto per j 1, Sj n j (X ij X j )(X ij X j ) /(n j 1) ed S p S1/n 1 + S/n si può dimostrare che la statistica T ( X 1 X ) Sp 1 ( X 1 X ) ha distribuzione approssimata T k (c) con numero di gradi di libertà c dato da c [( X 1 X ) Sp 1 S1 S 1 p ( X 1 X ) n 1 (n 1 1) [( X 1 X ) S 1 p ( X 1 X ) + [( X 1 X ) Sp 1 S S 1 p ( X 1 X ) n (n 1) (3.5) 3.6 Verifica di ipotesi sulla matrice di varianze e covarianze Il punto di partenza è sempre un campione casuale semplice k-dimensionale di n osservazioni, proveniente da una popolazione normale con parametri µ e Σ incogniti. Per la costruzione delle funzioni test in questo caso useremo il principio del rapporto di verosimiglianze generalizzato Ipotesi nulla semplice Il sistema di ipotesi da verificare sia H0 : Σ Σ 0 H 1 : Σ Σ 0 (3.53) con Σ 0 matrice simmetrica, semidefinita positiva e completamente specificata. La funzione test costruita secondo il principio del rapporto di verosimiglianze generalizzato è definita da λ sup µ,σσ 0 L(µ, Σ) sup µ,σ L(µ, Σ) (3.54) Il denominatore dell espressione precedente è dato da sup L(µ, Σ) L( X, S) µ,σ (π) nk/ S n/ exp [ 1 (x i X) S 1 (x i X) (π) nk/ S n/ exp( nk/) (3.55)

13 Cap.3: Inferenza sui parametri della normale multidimensionale 33 L ultimo passaggio deriva dalla considerazione seguente (x i X) S 1 (x i X) tr[(x i X) S 1 (x i X) [ tr S 1 (x i X)(x i X) ntr[s 1 S nk (3.56) Per il numeratore della (3.54), posto Σ Σ 0, e dato che il valore di µ che minimizza n (x i µ) Σ 1 0 (x i µ) è ancora µ X sup L(µ, Σ) L( X, Σ 0 ) µ,σσ 0 [ (π) nk/ Σ 0 n/ exp 1 (x i X) Σ 1 0 (x i X) [ (π) nk/ Σ 0 n/ exp n tr(σ 1 0 S) (3.57) In conclusione la funzione test del rapporto di verosimiglianze generalizzato per la verifica dell ipotesi (3.53) è data da λ Σ 0 n S n exp n [ tr(σ 1 0 S) k } (3.58) Per la determinazione della regione critica di questa statistica è disponibile l espressione analitica della sua distribuzione campionaria esatta sotto H 0 (Anderson, 1984). Più semplice, ma meno preciso è il riferimento alla distribuzione asintotica (3.3) comune a tutti i test costruiti tramite il principio del rapporto di verosimiglianze generalizzato. In tal caso ln λ 3.6. Verifica della completa indipendenza L χ k(k+1)/ (3.59) L ipotesi nulla in questione prevede che la matrice di varianze e covarianze Σ sia diagonale, il che corrisponde, sotto l assunzione distributiva di normalità delle osservazioni, a supporre l indipendenza delle componenti del vettore aleatorio. H0 : Σ D (3.60) H 1 : Σ D

14 34 A. Pollice - Statistica Multivariata con D matrice diagonale di elementi incogniti σ 1 0 D..... (3.61) 0 σk In questo caso sotto l ipotesi nulla abbiamo [ L(µ, Σ D) (π) nk/ D n/ exp 1 (x i µ) D 1 (x i µ) ( k n/ [ (π) nk/ σh) exp 1 k (x ih µ h ) σ h1 h1 h [ k (π) n/ σ n h exp 1 (x ih µ h ) h1 k L h (µ h, σh) (3.6) h1 Sotto l ipotesi nulla la verosimiglianza è dunque esprimibile come il prodotto delle k verosimiglianze riferite alle componenti del vettore X che hanno distribuzioni marginali normali univariate di parametri rispettivamente µ h e σ h con h 1,..., k sup L(µ, Σ) µ,σd k sup L h (µ h, σh) h1 µ h,σh k L h ( X h, Sh) h1 k h1 (π) n/ S n h (π) nk/ ( k h1 In conclusione, considerando la (3.55) λ sup µ,σd L(µ, Σ) sup µ,σ L(µ, Σ) σ h exp( n/) S n h ) exp( nk/) (3.63)

15 Cap.3: Inferenza sui parametri della normale multidimensionale 35 ( k ) (π) nk/ h1 S n h exp( nk/) (π) nk/ S n/ exp( nk/) S n/ k h1 Sn h (3.64) Anche in questo caso per la determinazione della regione critica è possibile fare riferimento all espressione analitica della distribuzione campionaria esatta sotto H 0 (Bartlett, 1964). La distribuzione asintotica è ancora data da ln λ L χ k(k 1)/ (3.65) Verifica della sfericità Sotto H 0 si ipotizza ora che Σ sia una matrice scalare. Ciò equivale ad affermare che le componenti del vettore aleatorio preso a riferimento per il campionamento siano indipendenti ed abbiano la stessa varianza incognita σ. Qualora la struttura della sua matrice di varianze e covarianze sia questa, la densità normale multivariata viene detta sferica poiché assume valore costante su ipersfere in R k. H0 : Σ σ I k H 1 : Σ σ (3.66) I k Mantenendo la notazione del paragrafo precedente sup L(µ, Σ) sup µ,σσ I k µ,σ con S 1 kn sup µ,σ k L h (µ h, σ ) h1 k h1 (π) n/ σ n exp [ 1 (X ih µ h ) L( X, S I k ) (3.67) k h1 (X ih X h ) 1 k k h1 σ Sh 1 tr(s) (3.68) k Pertanto il rapporto di verosimiglianze generalizzato assume la forma λ sup µ,σσ I k L(µ, Σ) sup µ,σ L(µ, Σ)

16 36 A. Pollice - Statistica Multivariata (π) kn/ ( S ) kn/ exp ( 1kn) (π) kn/ S n/ exp ( 1kn) ( ) kn/ S 1 k 1 tr(s) (3.69) k La funzione test per la verifica della sfericità è data dalla potenza (kn/)- esima del rapporto tra la media geometrica e la media aritmetica degli autovalori di S. L espressione analitica esatta della distribuzione campionaria è disponibile in letteratura, ma la sua approssimazione asintotica è maggiormente utilizzata per la determinazione della regione critica del test Verifica dell indipendenza tra due gruppi di variabili Sia X un vettore aleatorio k-dimensionale con distribuzione N k (µ, Σ). Si consideri lo stesso suddiviso in due sottovettori X 1 e X di dimensioni rispettivamente k 1 e k con k 1 + k k. Analogamente µ e Σ hanno la forma ( ) ( ) µ1 Σ11 Σ µ Σ 1 µ Σ 1 Σ Sulla base di n realizzazioni indipendenti del vettore aleatorio X si voglia verificare l ipotesi di indipendenza tra i due sottoinsiemi di componenti ( ) H0 : Σ Σ 0 Σ11 O con Σ H 1 : Σ Σ 0 (3.70) 0 O Σ Sotto H 0 la densità N k (µ, Σ) è fattorizzabile nel prodotto delle densità di X 1 e X, rispettivamente N k1 (µ 1, Σ 11 ) e N k (µ, Σ ), quindi L(µ, Σ Σ 0 ) L(µ 1, Σ 11 )L(µ, Σ ) (3.71) di conseguenza, posti X h n 1 X h u n ed S hh n 1 n (X ih X h )(X ih X h ), con h 1, sup L(µ, Σ) L( X 1, S 11 )L( X, S ) µ,σσ 0 (π) nk 1/ S 11 n/ exp nk 1 /} (π) nk/ S n/ exp nk /} (π) nk/ exp nk/} (3.7) ( S 11 S ) n/

17 Cap.3: Inferenza sui parametri della normale multidimensionale 37 Quindi in conclusione la funzione test ottenibile tramite il criterio del rapporto di verosimiglianze generalizzato è data da λ sup µ,σσ 0 L(µ, Σ) (π) nk/ ( S 11 S ) n/ ( exp nk/} S sup µ,σ L(µ, Σ) (π) nk/ S n/ exp nk/} S 11 S (3.73) La regione critica di detta statistica viene determinata tramite la sua distribuzione asintotica data da ln λ L χ k 1k. In questo caso la generalizzazione ad un numero c > di sottoinsiemi di componenti del vettore aleatorio avviene considerando X 1 µ 1 Σ 11 Σ 1c X. µ. Σ..... (3.74) X c µ c Σ c1 Σ cc posto che X h R kh e che c h1 k h k. Sia inoltre Σ 11 O O H0 : Σ Σ 0 con Σ H 1 : Σ Σ 0 O O O O Σ cc ) n/ (3.75) In analogia con quanto appena visto, la funzione test che si ottiene applicando il criterio del rapporto di verosimiglianze generalizzato ha la forma L λ S n/ c h1 S hh n/ (3.76) con ln λ χ g, dove g 1 k(k + 1) c h1 1 k h(k h + 1). Esistono in letteratura sia le espressioni analitiche approssimate per la distribuzione esatta di questa funzione test (Box, 1949) che le tavole che riportano i valori della stessa (Mathai e Katingar, 1979; Mathai e Saxena, 1973). 3.7 Verifica dell uguaglianza tra due matrici di varianze e covarianze Siano X 11,..., X n11 ed X 1,..., X n due campioni di osservazioni indipendenti riferiti a popolazioni indipendenti e distribuite come N k (µ 1, Σ 1 ) e N k (µ, Σ ). Si voglia verificare l ipotesi H0 : Σ 1 Σ Σ H 1 : Σ 1 Σ (3.77)

18 38 A. Pollice - Statistica Multivariata La verosimiglianza complessiva ha l espressione seguente: L(µ 1, µ, Σ 1, Σ ) (π) 1 (n 1+n )k Σ 1 n 1 Σ n 8 39 < exp : 1 Xn 1 4 (X i1 µ 1 ) Σ 1 1 (X Xn i1 µ 1 ) + (X j µ ) Σ 1 (X j µ ) 5 ; (3.78) j1 Pertanto il criterio del rapporto di verosimiglianze generalizzato porta ad una funzione test della forma λ sup µ 1,µ,Σ 1Σ Σ L(µ 1, µ, Σ 1, Σ ) sup µ1,µ,σ 1,Σ L(µ 1, µ, Σ 1, Σ ) (3.79) Per il calcolo del denominatore si tratta di massimizzare le verosimiglianze di due campioni indipendenti quindi sup L(µ 1, µ, Σ 1, Σ ) L( X 1, X, S 1, S ) µ 1,µ,Σ 1,Σ (π) 1 (n1+n)k [ S 1 n1/ exp 1 S n/ (n 1 + n )k (3.80) Per il numeratore invece sup L(µ 1, µ, Σ 1, Σ ) µ 1,µ,Σ 1Σ Σ con (π) 1 (n1+n)k sup exp µ 1,µ,Σ Σ 1 (n1+n) [ 1 n h (X ih µ h ) Σ 1 (X ih µ h ) h1 L( X 1, X, S, S) (3.81) nh h1 S (X ih X h )(X ih X h ) n 1S 1 + n S (3.8) n 1 + n n 1 + n Per considerazioni analoghe alla (3.56) ne segue quindi che sup L(µ 1, µ, Σ 1, Σ ) (π) 1 (n1+n)k [ µ 1,µ,Σ 1Σ Σ S exp 1 (n1+n)/ (n 1 + n )k (3.83) Il rapporto di verosimiglianze generalizzato è dunque dato dall espressione λ S 1 n1/ S n/ S (n1+n)/ (3.84)

19 Cap.3: Inferenza sui parametri della normale multidimensionale 39 In questo caso il ricorso alla distribuzione asintotica porta a una regione critica basata su ln λ χ k(k+1)/, mentre per la distribuzione esatta si veda Box (1949). L estensione del risultato precedente al caso di c > campioni è immediata e prende il nome di test di Bartlett: H0 : Σ 1 Σ c Σ H 1 : (3.85) Σ h Σ j, h j, h, j 1,..., c In tal caso la funzione test è λ c h1 S h nh/ S n/ (3.86) con n c h1 n h ed S c h1 n hs h /n. Per la distribuzione asintotica vale ln λ χ g con g 1 (c 1)k(k + 1).