Introduzione alle reti di Petri: modellistica e analisi

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1 Introduzione alle reti di Petri: modellistica e analisi May 2, 2

2 Sistemi e modelli matematici Sistema: insieme di componenti cooperanti al fine di realizzare una funzionalità impossibile da realizzare da ciascuna parte separatamente. Si utilizzano modelli matematici per Formalizzare il comportamento di un sistema Riprodurre tale comportamento Studiare proprietà di interesse di un sistema Modelli matematici: Pilotati dal tempo Equazioni algebriche/differenziali Pilotati da eventi Modelli che evolvono asincronamente in corrispondenza all occorrenza di eventi 2

3 Modelli pilotati dal tempo Variabili temporali in R, relazioni algebriche/dinamiche tra variabili di ingresso, variabili di stato e variabili di uscita. Esempio: Massa-molla-attrito kp t k bv t u(t) = F(t) ( ) F ( t ) ( ) M p( t) F ( t) kp( t) bv( t) = Ma( t) x(t) = v(t) p(t) y(t) = p(t) T x(t) = y(t) = b M k M F ( t)[n] x(t) + p( t)[m] u(t) x(t) 3

4 Modelli pilotati da eventi Esempio: sistema client/server con buffer a capacità infinita Molti sistemi fisici non vengono ben descritti da variabili temporali in R Sistemi manifatturieri Sistemi di comunicazione Ecc.. In questi casi: Le variabili di stati assumono valori simbolici (es: on/off) Tali variabili cambiano valore in modo asincrono in corrispondenza di opportuni eventi Si parla in questi casi di Sistemi ad Eventi Discreti DES=Discrete Event Systems 4

5 Modelli pilotati da eventi Esempio: sistema client/server con buffer a capacità infinita Quale è lo stato del sistema? Numero di clienti in attesa nel buffer (numero naturale) Stato del server (Idle=I e Busy=B) X={I;B}xN Quando cambia lo stato? Se arriva un nuovo client (evento a) Se inizia un servizio (evento s) Se finisce un servizio (evento e) 5

6 Come cambia lo stato del sistema? Modelli pilotati da eventi 3 2 Clienti in attesa I B Stato del server a s a e s Eventi Un sistema ad eventi discreti è caratterizzato dalle seguenti proprietà: Lo spazio degli stati è un insieme discreto Le dinamiche di stato sono pilotate da eventi 6

7 Un automa è una macchina a stati caratterizzata da: insieme degli stati insieme degli eventi Automi funzione di transizione che ad ogni coppia (stato,evento) associa lo stato futuro stato iniziale Es: server I s e B L( G) = { ε, s, se, ses, sese, seses,...} 7

8 Automi Proviamo ora a modellare con un automa il sistema client/ server: I, a I, a I,2 a I,3 a e s e s e s B, a B, a a B,2 Gli automi non sono in grado di rappresentare con un numero finito di stati alcuni linguaggi a cardinalità infinita 8

9 Reti di Petri Sono un formalismo grafico/matematico per la modellazione di sistemi dinamici Introdotti nel 962 da Carl Adam Petri Definiscono dinamiche pilotate da eventi Introducono condizioni esplicite per l abilitazione di tali eventi Lo stato è una informazione distribuita tra delle entità dette posti 9

10 Reti di Petri Una rete di Petri è rappresentabile con un grafo bipartito detto grafo di Petri N=(P,T,A,w) dove: P={p ;p 2; ;p P } è l insieme dei posti T={t ;t 2; ;t T } è l insieme delle transizioni A (P T) (T P) è la relazione di flusso che descrive un insieme di archi orientati da posti a transizioni e da transizioni a posti w:a N\{} è una funzione di peso che associa agli archi un peso P = {p, p 2, p 3 } T = {t,t 2 } { } A = (t, p 2 );( p,t 2 );( p 2,t 2 );(t 2, p );(t 2, p 3 ) w(t, p 2 ) = w( p,t 2 ) = w( p 2,t 2 ) = w(t 2, p ) = 2 w(t 2, p 3 ) = 3

11 Reti di Petri In relazione alla transizione t j T, si definiscono i seguenti insiemi: Di posti in ingresso I(t j )={p i P tale che (p i,t j ) A} Di posti in uscita O(t j )={p i P tale che (t j,p i,) A} I(t ) = O(t ) = {p 2 } I(t 2 ) = {p ; p 2 } O(t 2 ) = {p ; p 3 } Un grafo di Petri descrive la topologia della rete; per ottenere una rete di Petri occorre introdurre la funzione di marcatura x: P N che associa ad ogni posto un numero naturale (gettoni) x{p } = x{p 2 } = x{p 3 } = 2

12 Reti di Petri La funzione di marcatura definisce un vettore colonna il cui i-esimo elemento indica il numero di gettoni nell i-esimo posto x(p i ) x( p ) x( p ) x = N x( p P ) 2 P Una rete di Petri è un grafo di Petri cui è associata una funzione di marcatura iniziale N=(P,T,A,w,x) x = N 3 2

13 Reti di Petri Il vettore marcatura di una rete di Petri rappresenta lo stato della rete P è limitato ma x(p i ) in generale non lo è Una rete di Petri può rappresentare un insieme degli stati di cardinalità infinita con un numero di posti limitato La topologia di una rete di Petri è descrivibile da due matrici P x T Matrice di input che riporta i pesi degli archi da posti a transizioni Matrice di output che riporta i pesi degli archi da posti a transizioni I w( p; t) w( p; t2) w( p ; t T ) w( p2; t) w( p2; t2) w( p2 ; t T ) = w( p P ; t ) w( p P ; t2 ) w( p P ; t T ) O w( t; p ) w( t2; p ) w( t T ; p ) w( t; p2) w( t2; p2 ) w( t T ; p2) = w( t ; p P ) w( t2 ; p P ) w( t T ; p P ) Si noti che: w( p i ;t j ) = se p i I(t j ) w(t j ; p i ) = se p i O(t j ) 3

14 Reti di Petri La topologia di una rete di Petri è descrivibile da due matrici P x T Matrice di input che riporta i pesi degli archi da posti a transizioni Matrice di output che riporta i pesi degli archi da posti a transizioni I = O = 2 3 4

15 Dinamica di una rete di Petri L evoluzione dinamica di una rete di Petri è legata all occorrenza di eventi Quando può accadere un evento? Abilitazione di una transizione Che effetto ha sulla rete? Cambio di marcatura Una transizione t j è abilitata se: x(p i ) w(p i ;t j ) per ogni p i I(t j ) Se una transizione è abilitata allora può essere sparata L evento ad essa legato può occorrere abilitata Non abilitata abilitata abilitata 5

16 Dinamica di una rete di Petri Come varia la marcatura quando sparo una transizione abilitata? In tutti i posti in ingresso alla transizione consumo un numero di gettoni pari al peso dell arco che collega il posto alla transizione In tutti i posti in uscita dalla transizione introduco un numero di gettoni pari al peso dell arco che collega la transizione al posto Si definisce pertanto una funzione di transizione dello stato: f : N P T N P x ʹ = f (x,t j ) se x( p i ) w( p i ;t j ) p i I(t j ) x = x( p ) x( p 2 ) x( p P ) x ʹ ( p i ) = x( p i ) w( p i ;t j ) + w(t j ; p i ) T x ʹ = x ʹ ( p ) x ʹ ( p 2 ) x ʹ ( p P ) T Definizione esatta in quanto w( p i ;t j ) = se p i I(t j ) w(t j ; p i ) = se p i O(t j ) 6

17 Dinamica di una rete di Petri Con questo meccanismo riesco ad ammettere generazione e scomparsa di gettoni w(t j ; p i ) > w( p i ;t j ) genero gettoni p i P p i P w(t j ; p i ) < w( p i ;t j ) elimino gettoni p i P p i P t abilitata abilitata abilitata abilitata Se più transizioni sono abilitate se ne fa scattare una a caso (NON DETERMINISMO) t 2 abilitata Non abilitata 7

18 Dinamica di una rete di Petri In termini matriciali una transizione è abilitata se: x I j abilitata Non abilitata x = < I 2 = x = = I 2 = 8

19 Dinamica di una rete di Petri In termini matriciali la funzione di transizione dello stato diventa: f : N P T N P x ʹ = x I j + O j se x I j Si definisce matrice di incidenza C della rete di Petri: C=O-I La matrice di incidenza non definisce completamente la topologia della rete I = O = 2 3 C = 3 I = O = 3 C = 3 9

20 Dinamica di una rete di Petri La matrice di incidenza definisce la dinamica della rete: f : N P T N P ʹ x = x + C j se x I j I = O = 2 3 C = 3 abilitata x = = I = transizione t 2 è abilitata ʹ x = x + C = + 3 = 2 3 2

21 Dinamica di una rete di Petri Si definisce sequenza di scatti S una sequenza di n transizioni tali che: La prima transizione della sequenza è abilitata nella marcatura corrente Lo scatto di ogni transizione porta in una marcatura in cui è abilitata la successiva S = t 2 t C = O I = = x ʹ = x + C 2 = = 4 x ʹ ʹ = x ʹ + C = = 2 = x + C + C 2 2

22 Dinamica di una rete di Petri Si definisce vettore delle occorrenze s di una sequenza di scatti S un vettore colonna con T elementi tale che: Il k-esimo elemento s k è pari al numero di occorrenze della transizione t k nella sequenze S S = t 2 t s = ATTENZIONE: un generico vettore delle occorrenze corrisponde a più sequenze di transizioni Es: s=[ ] T corrisponde a S =t t 2 e S 2 =t 2 t ma solo S 2 è una sequenza di scatti 22

23 Dinamica di una rete di Petri L evoluzione dinamica di una rete di Petri a seguito di una sequenza di scatti S cui corrisponde un vettore delle occorrenze s è data da: x ʹ = x + C s x ʹ ʹ = x + C 2 + C = = 2 x ʹ ʹ = x + C + C = x + C = x + C s = = 3 + = 2 23

24 Proprietà fondamentali delle reti di Petri Consideriamo una generica rete di Petri N=(P,T,A,w,x ) Una marcatura x 2 è raggiungibile da una marcatura x se esiste almeno una sequenza di scatti la cui esecuzione da x porta a x 2 Ogni marcatura è raggiungibile da se stessa Si definisce insieme delle marcature raggiungibili di N l insieme di tutte le marcature raggiungibili da x Definisce l insieme degli stati in cui il sistema può portarsi durante una generica evoluzione R(N ) = ; ; 24

25 Proprietà fondamentali delle reti di Petri Consideriamo una generica rete di Petri N=(P,T,A,w,x ) Una marcatura x* è detta marcatura base se è raggiungibile da ogni marcatura raggiungibile x R(N) Capacità di un sistema di riportarsi sistematicamente in una particolare condizione Se la marcatura iniziale x è una marcatura base la rete è detta reversibile Capacità di un sistema di riportarsi sistematicamente nella condizione iniziale R(N ) = ; ; Tutte marcature base Rete reversibile R( N2) = ; ; x non è una marcatura base Rete non reversibile 25

26 Proprietà fondamentali delle reti di Petri Consideriamo una generica rete di Petri N=(P,T,A,w,x ) Una transizione t è viva se per ogni marcatura x R(N) esiste una marcatura x* raggiungibile da x che abilita t Se una transizione t abilitata in x* scatta, la rete si porta in una marcatura raggiungibile da cui potrà nuovamente raggiungere x* e far scattare nuovamente t Una transizione viva può scattare infinite volte Se tutte le transizioni di una rete sono vive si dice che la rete è viva ATTENZIONE: la non vivezza non implica l impossibilità di evolvere Rete non viva in quanto t è abilitata solo in x (transizione non viva) 26

27 Proprietà fondamentali delle reti di Petri Consideriamo una generica rete di Petri N=(P,T,A,w,x ) La rete è bloccante se esiste una marcatura x* R(N) in cui non è abilitata nessuna transizione La rete, arrivata in x*, non può più evolvere Una rete bloccante è non viva Una rete non viva può non essere bloccante Rete non viva in quanto t è abilitata solo in x Rete non bloccante Rete bloccante x*=[ ] T R(N) 27

28 Proprietà fondamentali delle reti di Petri Consideriamo una generica rete di Petri N=(P,T,A,w,x ) abbiamo visto che durante l evoluzione si possono generare gettoni. Ci chiediamo quanti gettoni si possono accumulare nei posti della rete Un posto p i si dice k-limitato se in ogni marcatura raggiungibile il numero di gettoni in p i è minore o uguale a k Se ogni posto della rete è k-limitato per un qualche k la rete si dice rete limitata 28

29 Proprietà fondamentali delle reti di Petri Consideriamo una generica rete di Petri N=(P,T,A,w,x ) Un posto p i che non è k-limitato per nessun k è detto posto illimitato Una rete che ammetta almeno un posto illimitato è detta rete illimitata Posti -limitato Posto illimitato x( p ) x( p ) R N N x p x p x p x( p4) 2 4 ( ) = tali che ( ) + ( 2) + ( 3) = x( p3) 29

30 Proprietà fondamentali delle reti di Petri Consideriamo una generica rete di Petri N=(P,T,A,w,x ) La parte conservativa di una rete è un sottoinsieme di posti in cui, durante qualunque evoluzione ammissibile, si mantiene costante una combinazione lineare di gettoni x( p ) x( p ) R N N x p x p x p x( p4) è la parte conservativa della rete 2 4 ( ) = tali che ( ) + ( 2) + ( 3) = x( p3) { p ; p ; p } 2 3 Se la rete ammette una parte conservativa vale: Λ x = c x R(N ) con c N e con Λ = λ λ 2 λ P N P (λ i < ) Se p i non appartiene alla parte conservativa λ i = (Es: Λ=[ ]) Se la parte conservativa è tutto P la rete è limitata 3

31 Analisi grafica delle reti di Petri Vogliamo studiare le proprietà di raggiungibilità di una generica rete di Petri N=(P,T,A,w,x ) Albero di raggiungibilità: strumento grafico che rappresenta visivamente tutte le marcature raggiungibili e le sequenze di scatti Nodo radice rappresenta la marcatura iniziale della rete I nodi di livello k rappresentano le marcature raggiungibili in k passi dallo stato iniziale L albero si sviluppo con una politica depth-first Un nodo è una foglia dell albero se rappresenta una marcatura già visitata o se non ammette transizioni L analisi dell albero di raggiungibilità permette di studiare: L insieme di raggiungibilità della rete La reversibilità della rete La vivezza della rete La limitatezza della rete 3

32 Analisi grafica delle reti di Petri Esempio: sistema client/server con buffer delle richieste di capacità 32

33 Analisi grafica delle reti di Petri Esempio: sistema client/server con buffer delle richieste di capacità R(N ) = ; ; ; La rete è limitata Dato che x è una foglia e le altre foglie sono marcature da cui si raggiunge x la rete è reversibile Dato che da ogni nodo dell albero si raggiunge un nodo in cui è possibile sparare t, t 2 o t 3 la rete è viva 33

34 Analisi grafica delle reti di Petri Consideriamo ora il sistema client/server con buffer delle richieste di capacità infinita e proviamo a costruire l albero di raggiungibilità x( p ) 3 R( N) = x( p2) N tali che x( p2) + x( p3) = x( p3) Dato che l insieme di raggiungibilità ha cardinalità infinita, l albero di raggiungibilità avrebbe infiniti nodi Per rappresentare un numero arbitrariamente grande di gettoni introduciamo il simbolo ω ω + k = ω ω k = ω k N 34

35 Analisi grafica delle reti di Petri Quale è il meccanismo che permette di avere infiniti gettoni? Una sequenza di scatti S porta la rete da x a x 2 La marcatura ha gli stessi gettoni x 2 di più alcuni gettoni in più in alcuni posti x (x 2 ricopre x ) La sequenza S sarà pertanto nuovamente ammissibile in x 2 e così all infinito In questo modo i posti che hanno più gettoni in x 2 rispetto a x possono avere infiniti gettoni Utilizziamo questo meccanismo nella costruzione dell albero Siano x e y due nodi generati (y generato prima di x) x ricopre y se x(p i ) y(p i ) per ogni i {,2,, P } x(p j ) > y(p j ) per almeno un j {,2,, P } Sostituiamo il simbolo ω alla marcatura dei posti per cui x(p j ) > y(p j ) Si continua poi con la costruzione classica 35

36 Analisi grafica delle reti di Petri Un albero che contiene il simbolo ω è detto albero di copertura Rappresenta una rete illimitata Ha un numero finito di nodi I posti con marcatura ω sono posti illimitati 36

37 Analisi matriciale delle reti di Petri Utilizziamo la rappresentazione matriciale (I,O) delle reti di Petri e l equazione dinamica x =x+cs per studiare le proprietà della rete Problema : studio della conservatività della rete Esiste un insieme di posti tali che la somma pesata dei gettoni rimanga costante per tutte le marcature raggiungibili? Se tale proprietà è soddisfatta esiste un vettore colonna γ detto P invariante tale che γ T x = costante x R(N ) con γ N P, γ Ricordando l equazione dinamica si ha γ T x = γ T x, x R(N ) γ T ( x + C s) = γ T x, s vettore delle occorrenze ammissibile γ T C = 37

38 Analisi matriciale delle reti di Petri Un P invariante è pertanto la soluzione non banale del sistema di equazioni lineari γ T C = Data la struttura lineare del P-invariante se γ e γ 2 sono P-invarianti anche (k γ +k 2 γ 2 ) è un P-invariante (k, k 2 numeri naturali) Si definisce supporto di un P-invariante γ l insieme γ di posti corrispondenti ad elementi non nulli di γ Il supporto è l insieme dei posti che compaiono nell equazione di invarianza γ T x = γ T x Dato un P-invariante l insieme I γ (N) delle soluzioni dell equazione di invarianza è tale per cui R(N ) I γ (N ) N P 38

39 Un P invariante è detto Analisi matriciale delle reti di Petri A supporto minimo se il suo supporto non contiene quello di nessun altro P-invariante Canonico se il massimo comun divisore dei suoi elementi non nulli è pari a Il supporto di un P-invariante indica una parte conservativa della rete Se tutta la rete è coperta da P-invarianti (ovvero se ogni posto della rete è nel supporto di almeno un P-invariante) la rete è conservativa e pertanto limitata 39

40 Esempio: Analisi matriciale delle reti di Petri C = γ T C = γ γ 2 + γ 3 = γ 3 + γ 4 + γ 5 = γ γ 4 = γ 2 γ 5 = γ = γ 4 γ 2 = γ 5 γ 3 = γ + γ 2 γ = T T γ 2 = { } x( p ) + x( p 3 ) + x( p 4 ) = { } x( p 2 ) + x( p 3 ) + x( p 5 ) = γ = p ; p 3 ; p 4 γ 2 = p 2 ; p 3 ; p 5 Rete conservativa 4

41 Analisi matriciale delle reti di Petri Esempio: C = I γ = * * ; * * ; * * I γ 2 = * * ; * * ; * * I γ + γ 2 = ; ; ; ; = R(N ) 4

42 Analisi matriciale delle reti di Petri Problema 2: studiare la possibilità di riportarsi alla condizione iniziale Esiste una sequenza di scatti S non vuota che, partendo dalla marcatura iniziale x, riporta la rete nella marcatura iniziale x ATTENZIONE: non significa studiare la reversibilià Se esistono queste sequenza S sono caratterizzate da un vettore delle occorrenze η, detto T-invariante, tale che x + Cη = x Un T invariante è pertanto la soluzione non banale del sistema di equazioni lineari Cη = ATTENZIONE: un T invariante è un vettore delle occorrenze, bisogna sempre verificare che esista una sequenza di scatti corrispondente al vettore Anche se non esiste nessun T-invariante la rete potrebbe essere reversibile (soluzione banale non mi muovo da x ) 42

43 Esempio: Analisi matriciale delle reti di Petri C = Cη = η η 2 = η 2 + η 3 = η 2 η 3 = T η = η 2 = η 3 η = α α α Eseguendo un numero di servizi (s,e) pari al numero delle richieste il sistema torna nella condizione iniziale con buffer vuoto e server libero 43

44 Modellistica mediante reti di Petri Per rappresentare un sistema fisico mediante una rete di Petri abbiamo due possibili approcci: Approccio fisico Si suddivide il sistema in sottosistemi elementari Si modellano tali sottosistemi con reti di Petri basilari Si compongono tali modelli basilari Approccio funzionale Si individuano le fasi logiche del funzionamento del sistema (ricetta) Si identificano le risorse fisiche che eseguono tali fasi Si allocano le fasi sulle risorse 44

45 Esempio: processo produttivo composto da Tre magazzini di capacità infinita (B, B2 e B3) Tre robot per il trasporto dei pezzi (R, R2 e R3) Un nastro trasportatore di capacità 3 (N) Modellistica mediante reti di Petri Due macchine utensili che possono lavorare un pezzo alla volta (M e M2) Fasi di lavorazione: I pezzi arrivano spontaneamente in B e B2 R preleva un pezzo alla volta da B e lo trasferisce su M R2 preleva un pezzo alla volta da B2 e lo trasferisce su M2 A lavorazione terminata M deposita il pezzo su N A lavorazione terminata M2 deposita il pezzo su N R3 preleva un pezzo alla volta da N e lo trasferisce su B3 I pezzi escono spontaneamente da B3 45

46 Modellistica fisica mediante reti di Petri I componenti possono essere classificati come Risorse: compiono una fase di lavorazione Capacità: numero di lavorazioni in parallelo Buffer: contengono un sottoprodotto di una fase di lavorazione Capacità: numero di sottoprodotti che possono essere contenuti Può essere infinita 46

47 Nel nostro esempio Modellistica fisica mediante reti di Petri B, B2, B3: buffer illimitati N: buffer con capacità 3 a due vie di accesso M, M2, R, R2, R3: risorse a lavorazione singola 47

48 Modellistica fisica mediante reti di Petri Come componiamo le reti di Petri basilari? Facendo coincidere le transizione Es: la transizione di uscita pezzi dal buffer B coincide con la transizione di inizio lavoro di R 48

49 Modellistica funzionale mediante reti di Petri Come rappresentiamo una ricetta? Sequenza di posti/transizioni Un gettone in un posto indica la fase della ricetta che si sta eseguendo 49

50 Modellistica funzionale mediante reti di Petri Come rappresentiamo una risorsa? Posto collegato alle transizioni di inizio/fine della fase di lavorazione Il numero di gettoni nel posto indica la capacità di lavorazione Posti con infiniti gettoni possono essere eliminati (capacità infinita) Assenza di gettoni indica l impossibilità di compiere la lavorazione 5

51 Modellistica funzionale mediante reti di Petri Utile per modellare i Flexible Manufacturing Systems (FMS) Più lavorazioni (ricette possibili) Condivisione di risorse Esempio: Ricetta : Op-Op2-Op3 Ricetta 2: Op4-Op5-Op6 Risorsa esegue Op, Op2 e Op6 Risorse 2 esegue Op3, Op4 e Op5 5