1 Posizionamento di un sistema meccanico lineare

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1 Posizionamento di un sistema meccanico lineare Si consideri un sistema meccanico lineare (massa-molla-smorzatore), di cui si voglia controllare la posizione a un valore x set, da raggiungere a un determinato istante τ a partire da una condizione di riposo (x(t = ) = ). A tal fine, a partire dall istante τ occorre imporre una forza esattamente uguale al prodotto tra la costante elastica della molla k e lo spostamento desiderato: F set = kx set () La figura mostra come il sistema descritto possa essere modellato in ambiente Simscape. L equazione che governa il sistema è: mẍ + cx + k (x x set ) = (2) Ponendo y = x x set e dividendo per la massa m si ottiene la ben nota equazione lineare del secondo ordine: ÿ + 2ζω n ẏ + ω 2 ny = (3) dove ω n = k/m è la pulsazione naturale e ζ = c/(2 km) il coefficiente di smorzamento. Figura. Modello di un sistema meccanico lineare in Simscape. La risposta stazionaria del sistema è data da y = x = x set, come desiderato; la posizione viene raggiunta al termine di un transitorio caratterizzato da una dinamica del secondo ordine rispondente alle caratteristiche proprie del sistema meccanico (ω n, ζ). La fig. 2 mostra la risposta del sistema a una sollecitazione a gradino.

2 Figura 2. Risposta al gradino del sistema lineare. Parametri: m = kg; k = N/mm; ζ =,5; x set = cm. Il problema del posizionamento di un sistema meccanico lineare sembrerebbe dunque alquanto semplice; il controllo di un sistema reale è invece usualmente più problematico per diversi motivi, tra i quali: non linearità del sistema; possibile presenza di disturbi; complessità del sistema che rende poco agevole, o imprecisa, l identificazione dei parametri caratteristici (come ad esempio la rigidezza k nel sistema meccanico lineare). A titolo di esempio, la fig. 3 mostra la risposta del sistema in presenza di una forza di disturbo che si somma alla forza impiegata per controllare la posizione della massa (schema presentato in fig. 4), supponendo che tale forza di disturbo abbia distribuzione gaussiana con media nulla, varianza pari a,5 3 k (il che significa supporre che lo scostamento della massa dal punto desiderato sia caratterizzato da una varianza di,5 mm), e tempo di campionamento,5 s. Si comprende pertanto come il semplice controllo in anello aperto (open loop), che non tiene conto dell effettivo scostamento rispetto alla prestazione desiderata (errore), sia spesso inadeguato per sistemi reali complessi. Per fare in modo che il sistema possa essere controllato più efficacemente, tenendo conto dell errore commesso, si ricorre al cosiddetto controllo in anello chiuso (closed loop), che prevede di misurare la prestazione desiderata (la posizione nell esempio fin qui esaminato), confrontarla con il valore desiderato, e 2

3 Figura 3. Risposta al gradino del sistema lineare in presenza di forza di disturbo. Parametri: m = kg; k = N/mm; ζ =,5; x set = cm; varianza del disturbo:,k; tempo di campionamento:,5 s. Figura 4. Modello di un sistema meccanico lineare in Simscape che include una forza di disturbo. 3

4 Figura 5. Modello di un sistema meccanico lineare in Simscape con controllo in anello chiuso. agire con una forzante che tenga conto dell errore mediante un opportuna funzione. La fig. 5 mostra il modello di un sistema lineare controllato in anello chiuso: la forza agente sul sistema viene ora determinata in funzione dell errore commesso sul posizionamento, che rappresenta l input di un controllore, che nell esempio in figura è il controllore PID (Proporzionale, Integrale, Derivativo) descritto nel seguito. Il percorso che va dalla misura della posizione, alla valutazione dell errore e infine alla determinazione della forzante tramite il controllore viene indicato con il termine anello di retroazione (feedback loop) e chiarisce il significato di controllo in anello chiuso (detto anche appunto controllo in retroazione). 2 Controllo PID Il tipo di controllore più comune, che trova largo impiego in svariate applicazioni industriali, è il controllore proporzionale, integrale, derivativo (PID). Il nome indica che l azione esercitata dal controllore è il risultato della somma di tre termini: uno direttamente proporzionale all errore misurato in un determinato istante; uno proporzionale all integrale dell errore nel tempo; uno proporzionale alla derivata dell errore rispetto al tempo. Posto l errore e(t) = x set x, l espressione che fornisce l output u(t) di un controllore PID è dunque: ( u(t) = k p e(t) + t ) de(t) e(t) dt + T d (4) T i dt 4

5 Figura 6. Il controllo PID tiene conto del valore attuale dell errore (P), della somma degli errori nel passato (I) e della previsione dell errore nel futuro (D). Grafico tratto da: K.J. Åström, R.M. Murray, Feedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers (link). dove k p rappresenta la costante di proporzionalità (anche detta guadagno) del controllore, mentre T i e T d rappresentano rispettivamente la costante di tempo di integrazione e derivazione. Come mostra la fig. 6, l azione proporzionale è evidentemente legata all errore attuale; l azione integrale è correlato all accumulo (integrale) dell errore nel tempo, dall istante iniziale fino al presente, pesato rispetto alla costante di tempo di integrazione; l azione derivativa è legata alla previsione dell errore valutato ad un istante futuro definito dalla costante di tempo derivativa. Per capire come agisce in pratica il controllore, è utile esaminare separatamente i tre termini che lo compongono. 2. Controllo proporzionale Si consideri il sistema meccanico lineare di fig. 5, in cui il controllore abbia solo la componente proporzionale: F (t) = k p e(t) = k p (x set x) (5) L equazione di equilibrio del sistema risulta in questo caso: mẍ + cẋ + kx = k p (x set x) (6) La soluzione stazionaria dell equazione porta a un risultato a prima vista sorprendente: x s = x set (7) + k/k p ovvero la posizione raggiunta dal sistema in condizioni stazionarie (x s ) si discosta dal valore desiderato x set, tanto più quanto maggiore è il rapporto tra la rigidezza della molla e il guadagno del controllore. In altre parole, l impiego di un semplice controllo proporzionale porta con sé inevitabilmente un errore di posizionamento una volta esaurito il transitorio. Da un punto di vista fisico, e con riferimento all esempio del sistema meccanico lineare, questo risultato può essere interpretato nel seguente modo: per mantenere il sistema nella posizione desiderata il controllore dovrebbe esercitare 5

6 Figura 7. Risposta al gradino del sistema lineare con controllo proporzionale (guadagno k p = k = N/mm). una forza non nulla (pari a kx set nell esempio), ma nella posizione desiderata l errore è nullo e conseguentemente anche la forzante calcolata dal controllore è nulla. Di conseguenza il sistema trova un punto di equilibrio con un errore residuo non nullo, che può anche essere elevatissimo se k k p. La fig. 7 mostra la risposta al gradino del sistema nel caso in cui il guadagno del controllore sia proprio uguale alla rigidezza della molla: come atteso, esaurito il transitorio lo spostamento del sistema è soltanto la metà di quello atteso (eq. 7). Per avvicinarsi alla posizione voluta si potrebbe pensare di aumentare il guadagno del controllore, in modo da ridurre il rapporto k/k p al punto da far sì che x s = xset. Così facendo però si modifica in misura rilevante la dinamica del sistema: ponendo y = x x s, l equazione di equilibrio 6 può essere posta nella forma: mÿ + cẏ + (k + k p )y = (8) e dunque anche la pulsazione naturale e il coefficiente di smorzamento del sistema vengono modificati dalla presenza del controllore proporzionale. In particolare, la pulsazione naturale aumenta all aumentare del guadagno, mentre il coefficiente di smorzamento diminuisce. La fig. 8 mostra la risposta del sistema nel caso in cui si scelga di aumentare il guadagno al valore k p = k, che consente di raggiungere una posizione pari al 9,9 % del valore desiderato: si vede come la dinamica del sistema sia molto diversa da quella del sistema non controllato, con una forte accentuazione del comportamento oscillatorio. 6

7 Figura 8. Risposta al gradino del sistema lineare con controllo proporzionale (guadagno k p = k = N/mm). Per ovviare al problema dell errore nella risposta stazionaria insito nel controllore proporzionale, la sezione seguente mostra come sia sufficiente aggiungere un elemento di controllo integrale. 2.2 Controllo integrale Se si considera un controllore puramente integrale, l equazione di equilibrio del sistema meccanico lineare diventa: mẍ + cẋ + kx = k p T i Derivando rispetto al tempo si ottiene: t (x set x) dt (9) m... x + cẍ + kẋ = k p T i (x set x) () Da quest ultima equazione si vede chiaramente come la risposta stazionaria del sistema coincida con il valore desiderato: x set x =. Il controllo integrale dunque permette di eliminare l errore stazionario associato al controllo puramente proporzionale. Per valutare l effetto del controllo integrale sulla dinamica del sistema, si consideri per semplicità l eq. limitata a una dinamica del primo ordine (termini in ẋ e x): ẏ + y/τ = () 7

8 Figura 9. Risposta al gradino del sistema lineare con controllo integrale (T i = 5 s). 8

9 Figura. Risposta al gradino del sistema lineare con controllo integrale al variare della costante T i. dove si è posto, al solito, y = x x set, e si è introdotta la costante di tempo τ = k k p T i che, sebbene non coincida con la costante di tempo di integrazione, è direttamente proporzionale ad essa. La soluzione dell equazione è la ben nota funzione esponenziale x(t) = x set [ exp( t/τ)], in cui la costante di tempo è inversamente proporzionale alla pendenza della tangente alla risposta del sistema all istante iniziale (x set /τ); inoltre rappresenta l istante in cui la risposta raggiunge il 63 % del valore asintotico finale. Come si vede dalla fig. 9, soprattutto dalla figura in basso che riporta la risposta del sistema nei primi dieci secondi, la risposta del sistema lineare con controllo puramente integrale è molto simile a quella di un sistema del primo ordine, almeno per costanti di tempo di integrazione relativamente elevate. Il controllo integrale permette dunque di eliminare l errore stazionario insito nel controllo proporzionale, ma di per sé comporta una risposta relativamente lenta: infatti, affinché il controllore integrale possa esercitare un azione, è necessario che si accumuli errore nel tempo. Si può migliorare la rapidità della risposta diminuendo la costante di tempo integrale, ma oltre un certo valore ciò comporta anche l instaurarsi di una dinamica oscillatoria (fig. ). La combinazione di un elemento proporzionale e uno integrale (controllore PI) consente di eliminare l errore stazionario e di ottenere una risposta molto fedele al segnale imposto: infatti, la grande maggioranza dei controllori impiegati in campo industriale è di tipo PI. La fig. mostra la risposta del sistema in presenza di controllo PI: nel caso in cui si scelgano i parametri in modo arbitrario il risultato può essere insoddisfacente (eventualmente anche con in- 9

10 Figura. Risposta al gradino del sistema lineare con controllo PI. stabilità del sistema), mentre se si adotta una procedura di ottimizzazione dei parametri del controllore si può ottenere una risposta molto fedele al comando fornito (in questo esempio si è adottata la procedura incorporata nel componente PID di Simulink inclusa nel Control System Toolbox, che ha fornito i valori k p = 547,4 N/m e T i = 96,23 ms). 2.3 Controllo derivativo Come anticipato nell introduzione a questa sezione, il controllo di tipo derivativo tiene conto della derivata dell errore, in effetti producendo un azione proporzionale alla previsione dell errore all istante T d. L espressione della forzante nel caso di controllo proporzionale-derivativo (PD) è dunque: ( ) de(t) F (t) = k p e(t) + T d (2) dt Qualora si trascuri l eventuale variazione della variabile x set l equazione di equilibrio risultante è: nel tempo, mẍ + cẋ + kx = k p (x set x) k p T d ẋ (3) E chiaro da questa equazione che il controllo PD non può rimuovere l errore stazionario insita nel controllo proporzionale (eq. 7), per ovviare al quale è necessario il controllo integrale sopra descritto; l effetto dell azione derivativa è quello di aggiungere una componente di smorzamento al sistema, come si vede

11 Figura 2. Risposta al gradino del sistema lineare con controllo PD ottimizzato. dall equazione di equilibrio che si può ottenere ponendo y = x x s : mÿ + (c + k p T d ) ẏ + (k + k p )y = (4) Nelle applicazioni pratiche non si impiega mai una componente derivativa pura (peraltro, come già osservato, nella maggioranza dei casi il controllo è solo di tipo PI), perché potrebbe portare ad amplificare l effetto di disturbi caratterizzati da un elevato contenuto in frequenza. Per questo motivo si filtra la risposta della componente derivativa in modo da attenuare i disturbi di frequenza elevata. Questo risultato si ottiene implementando un controllore con una funzione di trasferimento: u(s) = k p ( + T i s + T Ns d s + N ) e(s) (5) con N costante, in luogo della seguente funzione, che corrisponderebbe all eq. 4: ( u(s) = k p + ) T i s + T ds e(s) (6) La fig. 2 mostra la risposta del sistema con controllo PD con parametri ottimizzati automaticamente: k p = ,3 N/m, T d = 23,54 ms, N = 3593,. Per concludere, le figure 3 e 4 mostrano la risposta del sistema con controllo PID e parametri ottimizzati (k p = 287,8 N/m, T i = 75,5 ms, T d = 43,6 ms, N = 82.9), rispettivamente in assenza e in presenza di disturbo. Il confronto tra le figure 2 3 e 3 4 mostra in maniera chiara l efficacia di un controllo in anello chiuso non solo nel posizionare il sistema, riuscendo anche a migliorarne la dinamica, ma anche nel contenere l effetto di disturbi non preventivabili.

12 Figura 3. Risposta al gradino del sistema lineare con controllo PID ottimizzato Figura 4. Risposta al gradino del sistema lineare con controllo PID ottimizzato in presenza di disturbo. 2