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3 UNIVESITÀ DEGLI STUDI DI UDINE Corso di Dottorato di icerca in Tecnologie Chimiche ed Energetiche Ciclo XX Tesi di Dottorato di icerca UN MODELLO PE LA SIMULAZIONE DELLO STALLO OTANTE IN COMPESSOI CENTIFUGHI BISTADIO Tutore Prof. Ing. Gianmario Arnulfi Dottorando Dott. Ing. Lorenzo Scano Anno Accademico 006/07

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5 ingraziamenti Voglio ringraziare tutte le persone che hanno contribuito, direttamente o indirettamente, alla realizzazione di questa Tesi di Dottorato: la mia famiglia, per avermi supportato e sopportato in questi tre anni, in particolar modo mio padre, per aver chiuso tutti e due gli occhi davanti alle mie prolungate assenze dall ufficio durante la fase di scrittura della presente; i miei amici e amiche, per aver fatto finta di niente quando, molte sere, me ne sono stato in studio a fare dottorato ; la mia gatta Amelia, per avermi fatto sempre fusa e compagnia durante quelle sere.

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7 Sommario La presente tesi di Dottorato di icerca ha come scopo la realizzazione di un modello analitico per la simulazione del fenomeno dello stallo rotante nei turbocompressori centrifughi multistadio, in particolare bistadio. Nonostante la larga diffusione di tale tipo di macchina nell industria, la letteratura tecnica è assolutamente carente di indagini teoriche o sperimentali ad essa inerenti, in condizioni di stallo rotante. Tale lavoro vuole quindi colmare questa lacuna, realizzando una analisi teorica completa del compressore a due stadi sulla base della teoria più accreditata per lo studio dell instabilità nelle macchine monostadio: il modello radiale di Moore [1]. A partire dallo studio teorico del fenomeno dello stallo rotante e dell instabilità del flusso nei turbocompressori centrifughi, sono state inizialmente analizzate, nei dettagli, le teorie, reperibili in letteratura, per la sua modellizzazione nel caso di macchine monostadio. Vista la sua completezza nell analisi del campo di moto del diffusore e il suo collegamento diretto con la simulazione dello stallo nei compressori assiali multistadio, è stato scelto il modello di Moore come base di partenza per l estensione al caso di macchine a più stadi. Utilizzando le stesse ipotesi fluidodinamiche e il medesimo approccio alla modellizzazione delle perturbazioni indotte dallo stallo, sono quindi state scritte le equazioni di campo, in condizioni di rottura dell assialsimmetria del flusso, per tutte le componenti di un turbocompressore centrifugo bistadio. Estendendo il dominio di integrazione a tutta la macchina, inclusi i condotti a gomito e le palettature, tanto rotoriche quanto statoriche, è stato necessario individuare particolari formulazioni teoriche per l espressione dei principi di conservazione in coordinate curvilinee ed in sistemi di riferimento rotanti ma non assialsimmetrici. Il modello è stato quindi integrato numericamente, utilizzando un codice di calcolo appositamente scritto nel linguaggio di programmazione C e sviluppato su piattaforma Linux/64bit. Per validarne la bontà, la simulazione è stata condotta per il caso di una soffiante radiale multistadio di cui erano disponibili alcuni dati sperimentali di funzionamento in stallo rotante []. I risultati ottenuti sono stati in ottimo accordo con quelli forniti dalla sperimentazione, in particolare per quanto riguarda la velocità di propagazione della cella di stallo e il profilo dei disturbi all interno della coppia di diffusori. Per ragioni di semplicità della trattazione analitica, in un primo tempo sono state introdotte ipotesi geometriche non strettamente necessarie; successivamente, il modello è stato esteso, rimuovendole. In questo modo esso è diventato completamente parametrizzabile in funzione dei dati geometrici caratteristici: larghezza assiale dei canali, raggi delle componenti e di curvatura dei condotti, e angoli palari. Prendendo come riferimento una tipica geometria di turbocompressore a due stadi è stata quindi effettuata una analisi parametrica atta a evidenziare gli effetti della geometria sulla propagazione e intensità dei disturbi prodotti dallo stallo. Nonostante l assenza di dati sperimentali di confronto, i risultati ottenuti si sono dimostrati in buon accordo con le investigazioni, reperibili in letteratura, per macchine monostadio e con le conclusioni deducibili su basi prettamente teoriche.

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9 Indice 1 Introduzione Motivazioni Organizzazione Lo stallo rotante 3.1 Generalità Lo stallo rotante nelle turbomacchine assiali Lo stallo rotante nelle turbomacchine radiali I turbocompressori centrifughi monostadio: geometria e fluidodinamica Lo stallo rotante nei turbocompressori centrifughi monostadio I turbocompressori centrifughi multistadio: geometria e fluidodinamica Lo stallo rotante nei compressori centrifughi multistadio I modelli di Moore per lo stallo rotante Generalità Il modello di Moore per turbocompressori assiali Il modello di Moore per turbocompressori centrifughi monostadio Definizione del modello fisico e relative equazioni isoluzione del modello Un modello per i compressori centrifughi bistadio Generalità Basi del modello e ipotesi fondamentali Il flusso nei condotti curvi: equazioni in coordinate curvilinee La dinamica relativa del flusso nelle palettature Definizione delle equazioni di campo del modello Induttore del primo stadio Girante del primo stadio Diffusore del primo stadio Condotto a U Canale di ritorno palettato Tratto terminale del sistema di ritorno e induttore del secondo stadio Girante del secondo stadio Diffusore del secondo stadio Condizioni al contorno e relazioni ausiliarie isoluzione del modello Il caso di una soffiante centrifuga bistadio Estensione del modello per compressori centrifughi bistadio Generalità Definizione delle equazioni di campo generali Induttore del primo stadio Girante del primo stadio Diffusore del primo stadio Condotto a U

10 5..5 Canale di ritorno palettato Secondo stadio Modifiche al programma di calcolo Analisi parametrica Aumento della larghezza assiale dei diffusori Diminuzione della larghezza assiale in ingresso delle giranti Diminuzione della larghezza assiale in ingresso degli induttori Diminuzione del raggio esterno delle giranti Aumento del raggio di curvatura degli induttori Aumento del raggio di curvatura del condotto a U Aumento dell angolo di uscita delle pale delle giranti Diminuzione dell angolo di ingresso delle pale del canale di ritorno radiale Conclusioni 05

11 Elenco delle tabelle 5.1 Caratteristiche dello stallo all aumentare della larghezza dei diffusori Caratteristiche dello stallo al diminuire della larghezza delle giranti Caratteristiche dello stallo al diminuire della larghezza degli induttori Caratteristiche dello stallo al diminuire del raggio esterno delle giranti Caratteristiche dello stallo all aumentare del raggio di curvatura degli induttori (soluzione di onda veloce ) Caratteristiche dello stallo all aumentare del raggio di curvatura degli induttori (soluzione di onda lenta ) Caratteristiche dello stallo all aumentare del raggio di curvatura del condotto a U Caratteristiche dello stallo all aumentare dell angolo di uscita delle pale delle giranti Caratteristiche dello stallo al diminuire dell angolo di ingresso delle pale del canale di ritorno radiale (soluzione di onda lenta ) Caratteristiche dello stallo al diminuire dell angolo di ingresso delle pale del canale di ritorno radiale (soluzione di onda veloce ) Elenco delle figure.1 Stallo di un profilo Esempio di curva caratteristica di un turbocompressore Propagazione dello stallo rotante in una schiera di compressore assiale Stallo parziale (a sinistra) e completo (a destra) Stallo progressivo Stallo improvviso Turbocompressore centrifugo monostadio: componenti tipiche Girante centrifuga Tubo di flusso relativo a un vano palare; superfici limite Tubo di flusso curvo sul piano meridiano; flussi secondari dati dagli strati limite sulle palettature Linee dei flussi secondari nella sezione del condotto curvo (adattato da Greitzer et al. [1]) Tubo di flusso curvo sul piano meridiano; strati limite su mozzo e cassa Flussi secondari dati dalla rotazione Diffusore non palettato a pareti piane e parallele Flusso in ingresso al diffusore Stabilità dello strato limite, casi tipici Stabilità del diffusore non palettato al variare dei parametri geometrici e fluidodinamici (adattato da Jansen [3]) Innesco e propagazione dello stallo progressivo secondo Lennenman e Howard [8] Pressione nei palettaggi in un ciclo di stallo rotante (tratto da Y. Chen et al. [9]) Andamento della pressione lungo la pala; diagrammi, 5, 6 e 7 di Figura.19 (adattato da Y. Chen et al. [9]) Sezione meridiana di un moderno compressore radiale multistadio (adattato da Dresser and [30])

12 . Condotto di ritorno; sezioni tipiche Vortici nel condotto di ritorno (tratto da Japikse [13]) Modifica del condotto a U per limitare l innesco dello stallo (adattato da Dresser and [30]) Modello di Moore; compressore Pressione elaborata da una schiera Modello di Moore; compressore centrifugo monostadio Vettori rotanti sul piano cartesiano Triangolo di velocità in ingresso al diffusore Cinematica del moto relativo nel diffusore Luoghi degli zeri nella ricerca delle condizioni al contorno iniziali Luoghi degli zeri per il caso di un onda veloce Parti reali e immaginarie dei disturbi per il caso di un onda veloce Moduli e fasi dei disturbi per il caso di un onda veloce Luoghi degli zeri per il caso di un onda lenta Parti reali e immaginarie dei disturbi per il caso di un onda lenta Moduli e fasi dei disturbi per il caso di un onda lenta Parti reali e immaginarie dei disturbi per il caso di un onda lenta risonante Moduli e fasi dei disturbi per il caso di un onda lenta risonante Compressore centrifugo bistadio: dettagli costruttivi (sopra) e modello semplificato (sotto) Sistemi di coordinate nel canale curvo Coordinate curvilinee generalizzate Coordinate curvilinee assialsimmetriche ortonormali Parametrizzazione del condotto curvo Derivate del versore meridiano Derivate del versore tangenziale Derivate del versore meridiano e tangenziale per il condotto a U Primo induttore Accelerazioni apparenti (centrifuga e di Coriolis) nel primo induttore Prima girante Primo diffusore Condotto a U Accelerazioni apparenti (centrifuga e di Coriolis) nel condotto a U Canale di ritorno palettato Tratto terminale del sistema di ritorno e secondo induttore Seconda girante Secondo diffusore Soffiante centrifuga bistadio; sezione tipica e angoli della girante (adattato da []) Luoghi degli zeri per la soffiante [] con φ = 0.00 e n = 3000rpm Curva caratteristica sperimentale della soffiante per n = 3000rpm (adattato da []) Moduli dei disturbi di velocità e pressione calcolati lungo la soffiante bistadio Fasi dei disturbi di velocità e pressione calcolati lungo la soffiante bistadio Modulo del disturbo di velocità assoluta nel primo e secondo diffusore (φ = 0.00, n = 3000rpm; dati sperimentali estratti da []) Disturbi di velocità assoluta all ingresso dei due diffusori (adattato da []) Confronto tra le fluttuazioni di velocità assoluta, sperimentali e calcolate, nei diffusori. 144

13 5.1 Luoghi degli zeri per la geometria di base nell analisi parametrica Luoghi degli zeri per aumento successivo della larghezza dei diffusori Modulo del disturbo di velocità meridiana all aumentare della larghezza dei diffusori Fase del disturbo di velocità meridiana all aumentare della larghezza dei diffusori Modulo del disturbo di velocità tangenziale all aumentare della larghezza dei diffusori Fase del disturbo di velocità tangenziale all aumentare della larghezza dei diffusori Modulo del disturbo di pressione all aumentare della larghezza dei diffusori Fase del disturbo di pressione all aumentare della larghezza dei diffusori Luoghi degli zeri per diminuzione successiva della larghezza delle giranti Modulo del disturbo di velocità meridiana al diminuire della larghezza delle giranti Fase del disturbo di velocità meridiana al diminuire della larghezza delle giranti Modulo del disturbo di velocità tangenziale al diminuire della larghezza delle giranti Fase del disturbo di velocità tangenziale al diminuire della larghezza delle giranti Modulo del disturbo di pressione al diminuire della larghezza delle giranti Fase del disturbo di pressione al diminuire della larghezza delle giranti Luoghi degli zeri per diminuzione successiva della larghezza degli induttori Modulo del disturbo di velocità meridiana al diminuire della larghezza degli induttori Fase del disturbo di velocità meridiana al diminuire della larghezza degli induttori Modulo del disturbo di velocità tangenziale al diminuire della larghezza degli induttori Fase del disturbo di velocità tangenziale al diminuire della larghezza degli induttori Modulo del disturbo di pressione al diminuire della larghezza degli induttori Fase del disturbo di pressione al diminuire della larghezza degli induttori Luoghi degli zeri per diminuzione successiva del raggio esterno delle giranti Modulo del disturbo di velocità meridiana al diminuire del raggio esterno delle giranti Fase del disturbo di velocità meridiana al diminuire del raggio esterno delle giranti Modulo del disturbo di velocità tangenziale al diminuire del raggio esterno delle giranti Fase del disturbo di velocità tangenziale al diminuire del raggio esterno delle giranti Modulo del disturbo di pressione al diminuire del raggio esterno delle giranti Fase del disturbo di pressione al diminuire del raggio esterno delle giranti Luoghi degli zeri per aumento successivo del raggio di curvatura degli induttori Modulo del disturbo di velocità meridiana all aumentare del raggio di curvatura degli induttori (soluzione di onda veloce ) Fase del disturbo di velocità meridiana all aumentare del raggio di curvatura degli induttori (soluzione di onda veloce ) Modulo del disturbo di velocità tangenziale all aumentare del raggio di curvatura degli induttori (soluzione di onda veloce ) Fase del disturbo di velocità tangenziale all aumentare del raggio di curvatura degli induttori (soluzione di onda veloce ) Modulo del disturbo di pressione all aumentare del raggio di curvatura degli induttori (soluzione di onda veloce ) Fase del disturbo di pressione all aumentare del raggio di curvatura degli induttori (soluzione di onda veloce ) Modulo del disturbo di velocità meridiana all aumentare del raggio di curvatura degli induttori (soluzione di onda lenta ) Fase del disturbo di velocità meridiana all aumentare del raggio di curvatura degli induttori (soluzione di onda lenta )

14 5.39 Modulo del disturbo di velocità tangenziale all aumentare del raggio di curvatura degli induttori (soluzione di onda lenta ) Fase del disturbo di velocità tangenziale all aumentare del raggio di curvatura degli induttori (soluzione lenta ) Modulo del disturbo di pressione all aumentare del raggio di curvatura degli induttori (soluzione lenta ) Fase del disturbo di pressione all aumentare del raggio di curvatura degli induttori (soluzione lenta ) Luoghi degli zeri per aumento successivo del raggio di curvatura del condotto a U Modulo del disturbo di velocità meridiana all aumentare del raggio di curvatura del condotto a U Fase del disturbo di velocità meridiana all aumentare del raggio di curvatura del condotto a U Modulo del disturbo di velocità tangenziale all aumentare del raggio di curvatura del condotto a U Fase del disturbo di velocità tangenziale all aumentare del raggio di curvatura del condotto a U Modulo del disturbo di pressione all aumentare del raggio di curvatura del condotto a U Fase del disturbo di pressione all aumentare del raggio di curvatura del condotto a U Luoghi degli zeri per aumento successivo dell angolo di uscita delle pale delle giranti Modulo del disturbo di velocità meridiana all aumentare dell angolo di uscita delle pale delle giranti Fase del disturbo di velocità meridiana all aumentare dell angolo di uscita delle pale delle giranti Modulo del disturbo di velocità tangenziale all aumentare dell angolo di uscita delle pale delle giranti Fase del disturbo di velocità tangenziale all aumentare dell angolo di uscita delle pale delle giranti Modulo del disturbo di pressione all aumentare dell angolo di uscita delle pale delle giranti Fase del disturbo di pressione all aumentare dell angolo di uscita delle pale delle giranti Luoghi degli zeri per diminuzione successiva dell angolo di ingresso delle pale del canale di ritorno radiale Modulo del disturbo di velocità meridiana al diminuire dell angolo di ingresso delle pale del canale di ritorno radiale (soluzione di onda veloce ) Fase del disturbo di velocità meridiana al diminuire dell angolo di ingresso delle pale del canale di ritorno radiale (soluzione di onda veloce ) Modulo del disturbo di velocità tangenziale al diminuire dell angolo di ingresso delle pale del canale di ritorno radiale (soluzione di onda veloce ) Fase del disturbo di velocità tangenziale al diminuire dell angolo di ingresso delle pale del canale di ritorno radiale (soluzione di onda veloce ) Modulo del disturbo di pressione al diminuire dell angolo di ingresso delle pale del canale di ritorno radiale (soluzione di onda veloce ) Fase del disturbo di pressione al diminuire dell angolo di ingresso delle pale del canale di ritorno radiale (soluzione di onda veloce ) Modulo del disturbo di velocità meridiana al diminuire dell angolo di ingresso delle pale del canale di ritorno radiale (soluzione di onda lenta )

15 5.65 Fase del disturbo di velocità meridiana al diminuire dell angolo di ingresso delle pale del canale di ritorno radiale (soluzione di onda lenta ) Modulo del disturbo di velocità tangenziale al diminuire dell angolo di ingresso delle pale del canale di ritorno radiale (soluzione di onda lenta ) Fase del disturbo di velocità tangenziale al diminuire dell angolo di ingresso delle pale del canale di ritorno radiale (soluzione di onda lenta ) Modulo del disturbo di pressione al diminuire dell angolo di ingresso delle pale del canale di ritorno radiale (soluzione di onda lenta ) Fase del disturbo di pressione al diminuire dell angolo di ingresso delle pale del canale di ritorno radiale (soluzione di onda lenta ) Elenco dei simboli Simboli di validità generale Quantità principali (i simboli in maiuscolo indicano valori adimensionalizzati): a C accelerazione di Coriolis a c accelerazione centrifuga b, B larghezza del canale, nel piano meridiano c, C velocità assoluta (solidale con il laboratorio) F velocità adimensionale di stallo, rapporto tra la velocità angolare della cella e della girante i unità immaginaria m massa p, P pressione statica r, raggio, coordinata radiale r c raggio del condotto a gomito e degli induttori r U raggio del condotto a U t tempo u, U velocità periferica della girante v, V velocità relativa alla cella di stallo w, W velocità relativa alla girante x, ˆx coordinata meridiana e relativo versore y, ŷ coordinata tangenziale e relativo versore z, ẑ coordinata assiale, lungo l asse della macchina, e relativo versore α angolo fluidodinamico relativo alla palettatura statorica β angolo fluidodinamico relativo alla palettatura rotorica γ angolo di apertura del condotto di ritorno palettato ϑ coordinata tangenziale (angolo di rivoluzione sull asse della macchina) ϕ coordinata circonferenziale lungo il condotto curvilineo Λ coefficiente, rapporto di B alla sezione di interesse e 0 B 0 Ψ incremento di pressione effettivo del sistema di compressione ψ c caratteristica assialsimmetrica del turbocompressore ρ densità del fluido ω velocità angolare della girante velocità angolare della cella di stallo ω s

16 Apici, pedici e simboli: quantità media o assialsimmetrica disturbo sinusoidale grandezza vettoriale ˆ versore relativo agli assi derivata temporale D Dt derivata sostanziale x direzione meridiana y direzione tangenziale z direzione assiale, lungo l asse della macchina r parte reale (di termini complessi) i parte immaginaria (di termini complessi) x vettore rotante relativo alla grandezza sinusoidale x Capitolo Quantità principali: A area di passaggio efficace C f coefficiente di attrito alla parete C e coefficiente di mescolamento F C forza di Coriolis F c forza centrifuga H rapporto δ θ h altezza della corrente indisturbata n coordinata binormale p t pressione totale relativa o numero di ossby, pari a w ωr p r p raggio del condotto curvilineo (Figura.10) s coordinata curvilinea z coordinata assiale θ C angolo di divergenza equivalente δ spessore dello strato limite δ spessore di spostamento θ spessore di quantità di moto Ω vorticità Ω n vorticità normale vorticità secondaria Ω s Apici, pedici e simboli: 0 sezione di ingresso dell induttore 1 sezione di uscita dell induttore sezione di uscita della girante 3 sezione di uscita del diffusore 4 sezione di condotto a U

17 5 sezione di uscita del canale di ritorno palettato 6 sezione di uscita del condotto a U 1 primo filetto fluido (Figure.10 e.1) secondo filetto fluido (Figure.10 e.1) 3 terzo filetto fluido (Figure.10 e.1) a prima posizione lungo il condotto curvo (Figure.10 e.11) b seconda posizione lungo il condotto curvo (Figure.10 e.11) c terza posizione lungo il condotto curvo (Figure.10 e.11) i i-esima particella fluida jet flusso indisturbato flusso di scia wake Capitolo 3 Il modello di Moore per turbocompressori assiali Quantità principali: d m N n P ǫ λ τ diametro medio della girante assiale coefficiente numerico relativo al condotto di uscita numero di stadi del compressore numero di celle di stallo e periodicità dei disturbi sinusoidali incremento di pressione elaborato da una schiera palare in assenza di isteresi fattore di ampiezza per deboli disturbi coefficiente globale relativo ai termini di ritardo coefficiente di ritardo per fenomeni viscosi e di isteresi in una schiera palare Apici, pedici e simboli: 00 sezione infinitamente a monte del compressore assiale 0 sezione di ingresso dell IGV 1 sezione di uscita dell IGV sezione di uscita del primo stadio, ovvero del primo statore i sezione di ingresso dello stadio i-esimo, ovvero dell i-esimo rotore i+1 sezione di uscita dello stadio i-esimo, ovvero dell i-esimo statore N sezione di ingresso dell ultimo stadio, ovvero dell N-esimo rotore N+1 sezione di uscita dell ultimo stadio, ovvero dell N-esimo statore e di ingresso dell OGV N+ sezione di uscita dell OGV 11 sezione infinitamente a valle del compressore assiale IGV Inlet Guide Vane, vani guida in ingresso Outlet Guide Vane, vani guida in uscita OGV Il modello di Moore per turbocompressori radiali monostadio Quantità principali: e numero di Nepero

18 f(r) generica funzione del raggio r K coefficiente, definito in (3.89) N dimensione del campo di integrazione complesso P coefficiente adimensionale di pressione X ampiezza di x(t) x(t) generica funzione sinusoidale del tempo (Equazione (3.38)) η coefficiente dato dal rapporto tra le aree di ingresso e uscita della girante κ 1, κ costanti di soluzione semianalitica Π 1, Π funzioni integrali del raggio, Equazioni (3.105) e (3.106) 1, funzioni del raggio, Equazioni (3.109) e (3.110) variabile di integrazione, Equazioni (3.108), (3.105) e (3.106) σ funzione del raggio, Equazione (3.107) ς funzione ausiliaria integranda, Equazione (3.108) τ coefficiente di ritardo per fenomeni viscosi e di isteresi nella girante ξ fase iniziale di x(t) Apici, pedici e simboli: 0 sezione di ingresso dell induttore 1 sezione di uscita dell induttore sezione di uscita della girante 3 sezione di uscita del diffusore non palettato 4 voluta di scarico Capitolo 4 Quantità principali: F r forza esercitata sul fluido nel sistema di riferimento relativo f funzione generica g vettore generico h 1, h, h 3 tassi di variazione delle ascisse curvilinee lungo gli assi i 1, i, i 3 versori relativi agli assi curvilinei K 1, K coefficienti, definiti in (4.148) e (4.16) L a lavoro nel sistema di riferimento assoluto L r lavoro nel sistema di riferimento relativo N numero di stadi del compressore n velocità di rotazione della macchina in rpm P 4 parte costante del coefficiente di pressione assialsimmetrico alla stazione 4 ˆr versore relativo alla direzione radiale, rispetto all asse della macchina ˆr c versore relativo al raggio del condotto a gomito e degli induttori ˆr U versore relativo al raggio del condotto a U r c1, r c raggi degli assi curvilinei s 1, s, s 3 ascisse curvilinee u 1, u, u 3 assi curvilinei x, y, z assi cartesiani χ fase delle sinusoidi dei disturbi

19 δ angolo di inclinazione della tangente alla curva caratteristica, rispetto all orizzontale η coefficiente dato dal rapporto tra le aree di ingresso e uscita della girante φ cifra di flusso della soffiante bistadio relativa a [] τ coefficiente di ritardo per fenomeni viscosi e di isteresi nella girante Apici, pedici e simboli: 0 sezione di ingresso dell induttore 1 sezione di uscita dell induttore sezione di uscita della girante 3 sezione di uscita del diffusore non palettato 4 sezione di uscita del condotto a U 5 sezione di uscita del canale di ritorno palettato 6 sezione di uscita del condotto a gomito e del secondo induttore 7 sezione di uscita della seconda girante 8 sezione di uscita del secondo diffusore 9 voluta di scarico, posizioni successive o differenti di vettori o versori r direzione radiale, rispetto all asse della macchina rc direzione parallela al raggio del condotto a gomito e degli induttori direzione parallela al raggio del condotto a U ru Capitolo 5 Quantità principali: K 1, K coefficienti, definiti in (5.45) e (4.16) B 01 differenza tra le larghezze del canale alle sezioni 0 e 1 nella configurazione di base 1 differenza tra i raggi alle sezioni e 1 nella configurazione di base pendenza della caratteristica assialsimmetrica del turbocompressore ψ c Apici, pedici e simboli: 0 sezione di ingresso dell induttore 1 sezione di uscita dell induttore sezione di uscita della girante 3 sezione di uscita del diffusore non palettato 4 sezione di uscita del condotto a U 5 sezione di uscita del canale di ritorno palettato 6 sezione di uscita del condotto a gomito e del secondo induttore 7 sezione di uscita della seconda girante 8 sezione di uscita del secondo diffusore 9 voluta di scarico valore nella geometria di riferimento (base) (,)base

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21 1 Introduzione 1.1 Motivazioni Lo scopo della presente tesi di dottorato è la realizzazione di un modello matematico completo per la simulazione del fenomeno dello stallo rotante in compressori centrifughi multistadio. Lo stallo rotante è uno dei più noti fenomeni di instabilità fluidodinamica delle turbomacchine. Nel corso degli ultimi cinquant anni, è stato oggetto di una ampia serie di indagini teoriche e sperimentali compiute, tuttavia, quasi esclusivamente su macchine di tipo assiale. Come è noto, tali turbocompressori hanno dominato, durante tutta la seconda metà del secolo scorso, la scena dell industria aeronautica e dello sviluppo dei motori a turbogetto e turbofan. Oltre che nel settore aeronautico, sono inoltre largamente utilizzati nell ambito delle turbine a gas heavy-duty per la realizzazione di centrali a ciclo combinato per la produzione di energia elettrica. isulta quindi piuttosto naturale che le problematiche off-design come lo stallo rotante siano state studiate, per prime, su questo tipo di turbomacchine, vista la necessità di campi di funzionamento stabile (anche in condizioni critiche) a cui devono soddisfare soprattutto i motori di impiego aeronautico. Lo stallo rotante è dunque un fenomeno noto e ben studiato per quanto riguarda i compressori di tipo assiale; svariati sono i modelli che sono stati proposti nel corso degli anni per simularne gli effetti, tra questi, uno dei più noti è quello che costituisce la teoria di Moore [3] per le macchine assiali. Le macchine radiali, d altra parte, non hanno goduto delle stesse attenzioni. Anche se scarsamente utilizzate nell industria aeronautica (vengono impiegate solamente per la realizzazione di piccoli motori a turbina a gas installati in elicotteri o velivoli di piccolissima taglia), queste sono tuttavia estremamente diffuse nel settore industriale, soprattutto quello relativo all industria chimica ed estrattiva. Nonostante siano presenti svariati lavori teorico-sperimentali per la comprensione del fenomeno dello stallo rotante in questo tipo di turbocompressori, gli unici modelli analitici che sono stati sviluppati riguardano unicamente lo studio del campo di moto all interno del solo diffusore di un compressore radiale monostadio. Tali lavori sono il modello di Abdelhamid [4] e la successiva teoria di Moore [1] per turbocompressori centrifughi (che fonde ad arte il lavoro dello stesso Abdelhamid con la blasonata analisi svolta su macchine assiali). Anche se la maggior parte dei compressori radiali utilizzati nell industria è di tipo multistadio (basti pensare alle stazioni di pompaggio del gas naturale), prima dell inizio del presente lavoro non era rintracciabile, nella letteratura tecnico-scientifica corrente, alcuna opera di modellizzazione dello stallo rotante in questo tipo di macchina. La presente tesi avrà pertanto il compito di cercare di colmare, per quanto possibile, questa lacuna, realizzando un modello analitico completo per una macchina centrifuga multistadio (in particolare sarà considerato un compressore bistadio, vista la grande diffusione di tale configurazione in ambito industriale). Il lavoro è stato sviluppato come naturale prosecuzione della precedente tesi di laurea [5], in cui la simulazione del compressore bistadio in stallo è stata effettuata mediante una semplice analisi dei diffusori il cui flusso è stato collegato mediante relazioni sulla pressione e le velocità tratte da indagini sperimentali. Il punto di partenza per la costruzione del modello completo sarà nuovamente la teoria di Moore per macchine radiali monostadio [1] che verrà opportunamente estesa in modo da studiare il campo di moto di tutte le componenti del compressore, e non del solo diffusore. 1. Organizzazione La struttura del presente lavoro ricalcherà il percorso scientifico intrapreso per la costruzione del modello durante i tre anni del corso di Dottorato di icerca.

22 1 Introduzione Il secondo capitolo riguarderà la fluidodinamica dello stallo rotante. A partire dai meccanismi tratti dallo studio delle macchine assiali, ci si concentrerà quindi sui turbocompressori centrifughi. Verrà analizzata la fluidodinamica interna di tali tipi di macchine e saranno presentate le varie modalità di formazione di fenomeni di instabilità. Di fondamentale importanza, a tale riguardo, risulta essere l interazione tra flussi a bassa energia e quantità di moto, dove dominano le forze viscose, e quelli fortemente energetici che costituiscono la corrente principale all interno della macchina: essa è nota, in letteratura, come interazione jet-wake e sarà presentata in dettaglio vista l importanza che svolge nell innesco dello stallo rotante nelle macchine radiali. Questo capitolo descriverà quindi il fenomeno dello stallo rotante per le componenti principali di un compressore centrifugo monostadio, ovvero girante e diffusore, attraverso i dati teorici e sperimentali reperibili in letteratura. Verrà inoltre presentata la fluidodinamica dei condotti di ritorno delle macchine pluristadio e saranno identificate le possibili sorgenti di instabilità ad esse relative. Il terzo capitolo presenterà due dei principali modelli teorici per la simulazione dello stallo rotante in macchine assiali multistadio e centrifughe monostadio: i modelli teorici di Moore. Lo studio di tali teorie è fondamentale perché il modello che si andrà a realizzare pone, sia le sue basi teoriche, che l impostazione di massima, su entrambi: dall analisi assiale viene l idea di studiare, in cascata, stadio per stadio e componente per componente, le varie parti del compressore; da quella radiale l approccio ad uno studio semplificato, ma adatto ad una indagine qualitativa, del campo di moto interno ad ogni componente, in condizione di stallo rotante; da entrambe, la modellizzazione degli effetti dello stallo come deboli perturbazioni rotanti. Il quarto capitolo descriverà nel dettaglio il modello matematico realizzato per simulare lo stallo rotante nei turbocompressori centrifughi bistadio. A partire da un breve riepilogo delle caratteristiche di questo tipo di macchine, verranno quindi poste le ipotesi geometriche e fluidodinamiche di riferimento e le equazioni di campo saranno scritte componente per componente. A ciascuna di queste saranno quindi applicati i disturbi di velocità e pressione rappresentativi dello stallo e le equazioni del modello riformulate nella notazione finale. Saranno presentate altresì le condizioni al contorno apposte a tali disturbi sulle sezioni di ingresso e di uscita della macchina. Data la complessa geometria di alcune parti (come i condotti a gomito e le giranti), saranno introdotte, e dimostrate analiticamente nella prima parte del capitolo, alcune formulazioni di carattere generale inerenti la meccanica dei fluidi in coordinate di tipo curvilineo ed in sistemi di riferimento relativi, non assialsimmetrici. Verrà quindi descritto il programma di calcolo realizzato per la risoluzione del modello e saranno presentati i risultati ottenuti per il caso di una soffiante radiale bistadio oggetto di una indagine sperimentale presso l Università degli Studi di Trieste []. Il quinto capitolo tratterà una estensione del modello in modo da tenere in considerazione anche quei parametri geometrici (come larghezza dei condotti e angoli palari) che nella prima formulazione della teoria sono stati introdotti indirettamente attraverso ipotesi semplificatrici. In tal modo le equazioni di campo diventeranno completamente parametrizzabili in funzione della geometria della macchina. A partire dai dati di un compressore bistadio tipico, in una condizione di funzionamento in stallo rotante, sarà quindi effettuata una analisi parametrica atta ad evidenziare l impatto della geometria della macchina sull ampiezza e sulla propagazione dei disturbi indotti dall instabilità. Il sesto capitolo, infine, concluderà il lavoro riassumendone i tratti fondamentali.

23 Lo stallo rotante.1 Generalità Con il termine stallo ci si riferisce alla perdita della capacità portante di un profilo aerodinamico causata dall aumento eccessivo dell angolo di incidenza di questo rispetto alla direzione della corrente. Al di sopra di un certo valore massimo di incidenza, lo strato limite che avvolge il profilo diventa instabile, tende ad ispessirsi, e, successivamente, a staccarsi dalla superficie dello stesso, con conseguente formazione di strutture vorticose all interno di porzioni di flusso dotate di bassa energia e quantità di moto (la cosiddetta dead water zone, vedi Figura.1), e concomitante caduta della forza portante esercitata dal flusso sul profilo. Lo stallo così descritto è tipico dei profili alari isolati, immersi in una corrente fluida in cui sono assenti apprezzabili gradienti di pressione nella direzione del flusso (il caso classico di un ala di aeromobile). Figura.1: Stallo di un profilo. Figura.: Esempio di curva caratteristica di un turbocompressore. Anche le palettature presenti nelle turbomacchine, elaborando la pressione di un fluido in moto, sono soggette a fenomeni di stallo, a condizione che sia tuttavia presente un gradiente di pressione opposto alla direzione del flusso atto a destabilizzare lo strato limite sviluppato sulla pala. Ecco perché lo stallo è tipico delle macchine operatrici (compressori) termiche che vengono appunto progettate con deflessioni palari minime in modo da limitare al massimo il rischio di distacco della vena fluida. Al contrario, le turbine termiche sono raramente soggette a fenomeni di stallo, perché lo strato limite risulta compresso dal gradiente di pressione elaborato dalla macchina e si mantiene pertanto stabile anche per elevati valori di incidenza sui profili: per questo motivo le pale di turbina sono dimensionate con ampie deflessioni e, spesso, bassi gradi di reazione, in modo da massimizzare lo scambio di lavoro tra fluido e palettatura. Un altra differenza importante relativa allo stallo nelle turbomacchine è la presenza di profili in schiera; l effetto reciproco dei canali palari e il loro moto relativo rende peculiare il fenomeno dello stallo nei turbocompressori, come si osserverà in seguito. Che si tratti di un profilo alare isolato o della paletta di un turbocompressore, lo stallo è tuttavia sempre innescato da un eccessivo aumento dell incidenza del flusso. All interno di una turbomacchina questo si verifica di norma perché la portata, e dunque la componente di velocità meridiana, scende al di sotto del valore di design (ad esempio per manovre errate, chiusura improvvisa di valvole o ostruzioni di parte della sezione della macchina). La porzione a pendenza positiva della curva caratteristica del compressore, intersecata da punti di funzionamento a bassa portata, definisce infatti la curva limite di stallo della macchina (e per compressori inseriti in impianti è caratteristica anche del limite di

24 Lo stallo rotante pompaggio; si fa infatti spesso riferimento a questa con il nome di surge line, Figura.). Un analisi delle curve isorendimento di un tipico turbocompressore, inoltre, mette in evidenza come la massima efficienza della macchina sia sempre associata a punti molto prossimi alla curva di stallo; questo rende conto dell interesse che questa problematica ha da sempre suscitato nei ricercatori: comprendere i meccanismi di stallo e minimizzarne gli effetti porta come conseguenza diretta un aumento netto del rendimento della macchina. Essendo assialsimmetrico, in condizioni di progetto, il flusso all interno di una turbomacchina, è ovvio che, al diminuire della portata in transito, tutte le palettature lungo l annulo risentiranno del medesimo aumento di incidenza. Sembrerebbe pertanto naturale che lo stallo, qualora si verifichi per diminuzioni estreme della portata smaltita, debba interessare contemporaneamente un intera schiera all interno della macchina: si parla in tal caso di stallo completo della palettatura coinvolta. In realtà questa eventualità, anche se riscontrata sperimentalmente in alcuni casi, è decisamente rara; nella maggior parte dei casi il meccanismo dello stallo si inserisce nel complesso della dinamica delle parti rotanti e interessa solo porzioni ristrette di palettatura che appaiono ruotare rispetto al sistema di riferimento principale: si parla in tal caso di stallo rotante e sarà questo l oggetto del presente lavoro di modellizzazione.. Lo stallo rotante nelle turbomacchine assiali Storicamente, il fenomeno dello stallo rotante ha cominciato a essere investigato, all inizio degli anni cinquanta del secolo scorso, su schiere palari e in turbocompressori assiali multistadio. L interesse per questo tipo di macchina in quegli anni è ovviamente attribuibile all enorme impulso dato dall industria dei propulsori aeronautici a getto, che a quei tempi era in piena ascesa. Proprio tra gli anni cinquanta e sessanta del secolo scorso, alcuni lavori pionieristici di studio teorico del fenomeno svolti da Emmons [6] prima, e da Graham e Guentert [7] poi, contribuirono a chiarire il meccanismo alla base del fenomeno dello stallo rotante. Figura.3: Propagazione dello stallo rotante in una schiera di compressore assiale. Si prenda come riferimento la Figura.3; vengono rappresentati tre vani palari di una schiera di turbocompressore assiale, essi sono designati con numeri variabili da 1 a 3. Il fatto che lo stallo si inneschi solo su un numero ristretto di palette, piuttosto che su tutta la schiera (cosa che sarebbe presumibile, come è stato detto in precedenza), è un dato di fatto assodato sperimentalmente. La motivazione teorica più valida per questo è stata fornita da Schulze et al. [8] nel 1950: sarebbero le piccole differenze tra le pale, dovute a microscopiche diversità nella finitura superficiale, nell angolo di calettamento o nei depositi di polvere o sporco durante il funzionamento, a portare allo stallo uno o più profili prima di altri. Nella Figura.3 si suppone che il distacco di vena si sia verificato sull estradosso della pala del vano ; come conseguenza, analogamente ad un profilo isolato, si forma una zona di fluido a bassa energia e quantità di moto a ridosso della pala, dove sono presenti strutture vorticose rotanti a causa dell inversione dello strato limite originato dai fenomeni viscosi. A livello di canale palare, si forma dunque un ostruzione, di spessore pari all altezza della dead water zone, che interferisce con il flusso 4

25 . Lo stallo rotante nelle turbomacchine assiali indisturbato non stallato. Questo è il primo caso in cui si assiste all interazione di porzioni di flusso indisturbate, ad alta energia e quantità di moto, con altre di flusso praticamente in quiete (a causa del distacco di vena); tale interazione è costante nello studio dello stallo rotante e rivestirà un ruolo di primo piano nell analisi dei turbocompressori centrifughi. Seguendo la notazione anglosassone, ci si riferirà alla prima con il termine jet e alla seconda con quello di wake. Come conseguenza dell ostruzione creatasi, il flusso in ingresso al canale si ridistribuirà nei vani adiacenti interferendo con quello indisturbato qui presente, andando ad aumentare l incidenza sulla palettatura del canale 3 e a diminuirla su quella relativa a 1. Essendo la schiera rotante, quindi, in un istante successivo il canale palare 3 andrà in stallo a causa della maggiore incidenza originatasi dalla ridistribuzione del flusso, mentre il vano uscirà contemporaneamente dallo stallo, essendo parallelamente diminuita l incidenza sulla palettatura. Lo stallo risulterà quindi rotante, con propagazione in direzione opposta a quella della girante. La porzione di fluido stallato, in rotazione, esercita sul flusso principale notevoli effetti inerziali a causa della sua massa e può produrre vibrazioni meccaniche molto pericolose per l integrità strutturale della macchina come messo in evidenza da Graham [7]; si fa normalmente riferimento a questo con il nome di cella di stallo. Tipicamente sono presenti una o più celle di stallo, distribuite uniformemente lungo l annulo, e queste possono occupare, in direzione radiale, solo una porzione del vano palare (solitamente in prossimità della punta della pala), oppure tutto lo stesso (e quindi tutta l altezza della palettatura); nei due casi, si parla di stallo completo o parziale. La Figura.4 rappresenta schematicamente queste due diverse configurazioni, mostrando una sezione trasversale di turbocompressore assiale: 5 celle di stallo sono presenti lungo l annulo. Figura.4: Stallo parziale (a sinistra) e completo (a destra). A seconda di come lo stallo rotante si manifesta, passando dalla zona di funzionamento stabile a quella instabile, si parla di stallo progressivo (progressive stall) o improvviso (abrupt stall). Lo stallo progressivo mostra un lento abbassarsi della pressione elaborata dalla macchina man mano che questo si sviluppa al diminuire della portata; lo stallo improvviso, invece, manifesta un crollo netto del coefficiente di pressione nel momento in cui viene innescato. Questa differenza fondamentale può essere riscontrata immediatamente dall analisi delle curve caratteristiche: quando il punto di funzionamento si sposta oltre la curva limite, si ha un andamento continuo decrescente nel caso di stallo continuo (vedi 5

26 Lo stallo rotante Figura.5), mentre in caso di stallo improvviso si ha un abbassamenti repentino della pressione che porta ad una discontinuità della curva caratteristica (vedi Figura.6). Test sperimentali condotti su singoli stadi assiali 1 hanno mostrato che lo stallo progressivo è tipico di quelli aventi rapporti bassi tra il raggio al mozzo e quello all apice della pala (hub-tip ratio); questi sono tipicamente gli stadi di testa di una macchina assiale pluristadio. Normalmente lo stallo progressivo si manifesta alla punta della pala con un numero elevato di celle (da 3 a 8); al diminuire della portata esso tende ad estendersi lungo tutta l altezza della pala, mentre il numero di celle tende a variare; quando lo stallo è completamente sviluppato lungo la paletta il numero di celle diminuisce fino ad attestarsi a ; a questo punto, le fluttuazioni dovute alla massa rotante sono, a volte, talmente forti da rendere difficile anche il riconoscimento delle singole celle [9]. Figura.5: Stallo progressivo. La velocità di propagazione della cella varia man mano che la zona stallata si espande lungo l altezza della pala: si passa da circa il 70 80% della velocità della girante in stallo parziale, per scendere fino a circa il 50% durante quello completo. Lo stallo improvviso è invece caratterizzato da un crollo netto del salto di pressione elaborato dalla macchina. Tipicamente esso si riscontra in palettaggi dotati di un elevato valore del rapporto tra raggio al mozzo e alla punta; le pale di altezza molto limitata sono tipiche degli stadi di coda di una macchina assiale multistadio e, di conseguenza, lo stallo improvviso sarà riscontrabile in prossimità di queste palettature. Le palette risultano qui infatti talmente basse da non permettere uno sviluppo lento e graduale della zona stallata, dalla punta fino al mozzo, come invece avviene normalmente in caso di stallo progressivo; lo stallo si innesca invece immediatamente come completo, bloccando l intero canale palare e provocando Figura.6: Stallo improvviso. la classica caduta della pressione elaborata. La Figura.6 schematizza l andamento della curva caratteristica per un compressore fortemente caricato, manifestante stallo improvviso. Al diminuire della portata si ha il tipico crollo netto della pressione elaborata; a questo punto, si può notare che la condizione di funzionamento si sposta a destra della curva di stallo, quindi, per un breve tratto, il compressore resta in condizioni operative stabili anche ad un ulteriore abbassarsi del flusso (in realtà il crollo della pressione non è mai perfettamente verticale, dunque questa finestra di stabilità in una macchina reale può essere esigua se non inesistente). Successivamente, se la portata viene ripristinata, il punto di stallo non risulterà più nella medesima posizione, ma sarà spostato a valori più elevati della cifra di 1 I famosi test NACA svolti nel corso degli anni cinquanta del secolo scorso. 6