MATEMATICA nella REALTA

Transcript

1 MATEMATICA nella REALTA Lucia Della Croce Giulia Maggi Ada Pulvirenti Dipartimento di Matematica Università di Pavia Piano Lauree Scientifiche Pavia 29 Settembre 2010

2 Attività proposte A. S Approccio alla modellizzazione matematica ( Attività 1 ) Processo interdisciplinare con cui si intende interpretare, simulare, predire i fenomeni reali Le attività 1 e 2 sono da intendersi alternative e a scelta Matematica nella realtà ( Attività 2 ) Elaborazione e manipolazione di immagini

3 TEMI E CONTENUTI Attività 1 Dinamica delle popolazioni Modelli discreti lineari Modelli discreti non lineari

4 MODELLI DINAMICI DISCRETI LINEARI Il sistema evolve nel tempo L intervallo temporale è discretizzato La legge che determina l evoluzione è lineare

5 DISCRETIZZAZIONE TEMPORALE t0 t1 ti T = tn y0 y1 yi yn y = y( t) è una funzione che misura la quantità che varia nel tempo {,,..., } y0 y1 y n sono i valori in corrispondenza ai tempi

6 La legge è lineare {,,..., } y0 y1 y n sono definiti per ricorrenza yn 1 = f ( yn) + f funzione lineare y n+1 y n

7 COSTRUZIONE DEL MODELLO Ipotesi del modello lineare (di Malthus) 1. Nascita di nuovi individui 2. Morte di alcuni individui 3. Il numero di nati è proporzionale al numero di individui presenti 4. Il numero di morti è proporzionale al numero di individui presenti Equazione di bilancio : y n+1 = y n +α y n β y n Equazione alle differenze

8 STRUMENTI MATEMATICI y = λ y n+1 n y = λ y + n + 1 n b con immigrazione y n = λ n y 0 y n+ 1 = n λ y n λ λ b popolazione Yn = 0.8 * Yn b 1 λ tempo

9 Attività di laboratorio proposte Esempi di costruzione di modelli Generalizzazione a contesti diversi Identificazione dei parametri (minimi quadrati) Studio dei punti di equilibrio Estensione al caso non lineare ( logistica)

10 TEMI E CONTENUTI Attività 2 Digitalizzazione di un immagine Trasformazioni di immagini Manipolazione e filtraggio

11 DIGITALIZZAZIONE DI IMMAGINI Immagine in 2 f ( x, y ) ( x, y)? Ω? 2 Luminosità, colore Immagine digitalizzata Discretizzazione spaziale quantitativa

12 1 Discretizzazione spaziale 1 j Q i (i,j) P Matrice P x Q F = ij i j f ( x, y ) Ogni elemento della matrice F è detto pixel

13 Discretizzazione quantitativa I valori f ( x, y) vengono scelti in un insieme discreto di dimensione N (diadica, potenze del 2), che definisce il numero di livelli di grigi

14 DIGITALIZZAZIONE DI IMMAGINI Effetti della discretizzazione Campionamento Quantizzazione Variazione della griglia di discretizzazione spaziale Uniforme F =(F*K)/N. Non uniforme F =log(f)*k/log(n), N range dei grigi di ingresso, K range dei grigi di uscita

15 C A M P I O N A M E N T O

16 Q U A N T I Z Z A Z I O N E U N I F O R M E

17 Q U A N T I Z Z A Z I O N E N O N U N I F O R M E

18 TRASFORMAZIONI DI IMMAGINI Istogramma { (, ) : (, ),0 255} H = freq a b F a b = n n Trasformazioni geometriche Frequenze dei pixel simmetrie traslazioni rotazioni trasformazioni di potenza livelli di grigi 0 n N 1 complementare

19 Immagini diverse possono avere uguale istogramma.

20 MANIPOLAZIONE E FILTRAGGIO DI IMMAGINI Rumore : errori per esempio introdotti nella fase di acquisizione dell immagine, nei valori dei pixel che differiscono dai valori ideali Modelli di rumore Rimozione del rumore (tecniche di filtraggio)

21 Modalità di lavoro con gli insegnanti A. S Alcuni incontri preliminari di formazione Alcuni incontri di collaborazione per la scelta e costruzione di modelli adeguati Incontro finale di relazione e valutazione delle attività svolte, con modalità da definirsi.

22 Modalità di lavoro con gli studenti A. S Eventualmente, a discrezione degli insegnanti interessati, si può prevedere un intervento in classe di alcuni dei docenti universitari con lo scopo di presentare un introduzione alla modellistica matematica e/o all analisi delle immagini. Interventi da parte di alcuni docenti universitari durante le attività di laboratorio (indispensabili!), per coadiuvare gli insegnanti nell applicazione di software (octave). Incontro finale di relazione e valutazione delle attività svolte, con modalità da definirsi.